Введение к работе
Актуальность тени. Известно, что випуклий нногогрвшшгс, как один из фундаментальных обьектов математики, привлекает вникание ммогнх исследователей. Это объясняется, по-видимому, следующими моментами: непустое множество решений конечной системы линейных неравенств является выпуклым многогранников выпуклая оболочка конечного множества точек евклидова пространства есть также выпуклый многогранник; выпуклые тела аппроксимируются выпуклыми многогранниками: многие природные образования и технологические изделия имеют форму многогранника (алмазы, ювелирные изделия, разного рода детали , И предметы) и др.
Как принято, теория вып>. лых многогранников разбивается на две части: комбинаторная теория, изучающая только граф многогранника, и метрическая теория, исследующая метрические свойства многогранника, не учитывающая его граф.
Актуальнім в последнее время стало проведение комбинаторно-метрических исследований, которые посвящены распространению информации о .конбинагорноя структуре выпуклого многогранника при изучении' его общих свойств, установлению взаимосвязей между комбинаторными и метрическими характеристиками многогранника, а также исследованию влияния изменения метрических характеристик многогранника на его комбинаторную структуру. Эти исследования, в большей степени, основаны на двухступенчатом способе задания многогранника, при котором многогранник определяется своим графом и необходимым спискоа метрических параметров.
Здесь следует отметить, что если современный исследования комбинаторн-й теории выпуклого многогранника относятся к дискретной математике (теория графов, комбинаторика, теория групп, теория слокности), то метрическая теория выпуклого многогранника - это в большей степени раздел геометрии (теория выпуклых тел). Комбинаторно-метрическая теория выпуклого многогранника, основываясь и развивая идеи и методы дискретной математики, позволяет изучать обпгую структуру выпуклого многогранника. Иястоптял диссертация поевпнчна
изучение комбинаторных н коибшттарно-иетрнческнх свойств выпуклого многогранника посредством исследования тех или иных его слоиностных характеристик, которые, как известно, являются актуальными в математической кибернетике.
Значительный интерес в комбинаторной теории многогранников представляет решение проблемы о необходимых и достаточных условиях существования 3-связного пленарного графа, каждая из вершин и граней которого имеет заданное число смежных (проблема Эбархарда). Естественным является вопрос о том, сколько шесимуи (показатель ' неоднородности многогранника) вершин различной степени может иметь граф многогранника.
Одно из классических направлений в метрической теории иногогранников связано с вопросами существования и единственности многогранника с теми или иными данными. Классическая теорема О.Коши гласит: два комбинаторно эквивалентных многогранника, у которых равны соответствующие элементы (ребра и плоские углы), равны. Теорему Ковш можно отнести к комбинаторно-метрической теории выпуклых многогранников, т.к. ока рассматривает многогранник в к3- как граф, на котором заданы значения его метрических параметров.
Теоремы об однозначной определенности многогранника с теми или иными параметрами порождают в некоторых случаях практические способы задания многогранника. Среди них: вершинный способ (многогранник определяется координатами всех своих вершин) и граневып способ (многогранник определяется системой линейных неравенств).
Диссертация посвящена исследованию вопросов комбинаторной и комбинаторно-метрической теории выпуклых многогранников, имеющих естественное теоретическое, либо практическое значение. Центральное место в ней занимает изучение новых, комбинаторно-метрических, способов задания выпуклого многогранника в R3. Такое двухуровневое задание многогранника описывается совокупностью двух типов параметров: комбинаторным, каким является граф многогранника, и достаточным числом метрических параметров. При этом исследуются характеристики сложности этих способов задания и "устойчивости" многогранника к малых деформациям, т.е. изменениям определяющих
его параметров. На значение этих характеристик, оказывается, существенно влияет "неоднородность" многогранниы, которая изучается посрьдствок исследования числа вершин различной степени 3-связного планерного графа (комбинаторная неоднородность) и покрываекости подмножества вершин графа многогранника его k-мерными гранями. Изучение равномерной линейной деформации продиктовано приложениями теоретических результатов диссертации к практическим задачам.
Цель работ». Исследование характеристик неоднородности випуклого многогранника на основе изучения,^ одной сторони, степенного спектра вершин 3-свя.зного пленарного графа, с другой, - сложности покрытия поднножес""а вершин графа многогранника его k-иерныни гранями, о Установление оценок сложности способов задания вьііуклого многогранника, базирующихся на графе многогранника. Исследование меры комбинаторной неустойчивости многогранника к налым изменениях его нетрических параметров при различных способах его задания. Рассмотрение ласса деформированных многогранников, порождаемых равномерными линейными деформациями исходного многогранника. Описание комбинаторно нсизменчивых многогранников при" таких деформациях.
Методы исследований. D работе используются методы дискретной математики и математической кибернетики.
Научная новизна. В диссертации установлены оценки максимального числа вершин различной степени, которые ножет иметь граф многогранника, максимального значения меры комбинаторной неустойчивости многогранника к малым изменениям параметров его задания, при этом получены окончательные результаты о сложности комбинаторно-метрических способов задания при рассмотрении различных типов метрических ( параметров: а также найдены оценки максимальных значения 1 неко- торых характеристик сложности покрытия подмножества вершин графа многогранника его к-гранями №=0,1.2): в качестве приложений рассмотрен процесс "растворения" многогранника при его равнсхерных линейных деформациях и получен критерия комбинаторной неиэменчивости многогранника при таких деформациях.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертация в сс-козион носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в теоретических работах при изучении комбинаторно-метрической структуры выпуклых нногогранников.
Комбинаторно-метрические способы задания представляют также и практический интерес, например, при вводе в память ЭВМ серки
многогранников заданного комбинаторного типа, что позволяет во многих случаях сэкономить число метрических параметров задания многогранника. Следует также сказать, что моделирование процессов горения и растворения однородных тел формы выпуклого многогранника приводит к рассмотрении равномерной линейной деформации.
Апробация работы^ Результаты диссертации докладывались і ка Еколе-семинаре "Дискретная математика и ее приложения" (Москва, 1988), на Всесоюзноя школе "Дискретная катекатика и ео применение при.моделировании сложных систем" (Иркутск, 1931), на И школе-семинаре "Синтез к сложность управляхидих систем" (Ташкент, 1991), на '17 Межгосударственном семинаре по дискретной математике и ее приложениям (Москва, 1993), на семинарах по дискретной математике и ее приложениям в ТаиГУ (1988-19L2).
Публикации.. По те*е диссертации опубликовано 4 работы.
Сч^уктура и обьеи работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, включающего 44 наименования. Первая глава разбита на 2 параграфа, вторая - на 2, третья - на з, четвертая - на 3. Обьем работы 84 страницы.