О комбинаторной структуре непримитивных параллелоэдров первого типа Большакова Елена Алексеевна

Содержание к диссертации

Введение

1 Различные определения 1Ж-области и .L-разбиєния: по Г.Ф. Вороному, В.А. Венкову, В.Н. Делоне 17

1.1 Основные разбиения, связанные с ПКФ 18

1.2 Ж-разбиения 19

1.3 L-разбиения 23

1.4 Дуальность 25

1.5 L-типы 27

2 Установление комбинаторной структуры непримитивного параллелоэдра первого типа по его символу 30

2.1 Первый тип параллелоэдров и его символ 30

2.2 О расположении в n-мерном пространстве параллелоэдров, соответствующих правильным квадратичным формам ранга к п 34

2.3 Суммы Минковского отрезков (зоноэдры) 38

2.4 Ранг символа 40

2.5 Вырезы и остатки в символах 43

2.6 Зоны граней 45

2.7 Отдельные грани 45

2.8 Инцидентность граней 54

2.9 Примеры 56

3 Критерий комбинаторной эквивалентности параллело эдров первого типа, заданных символами 60

3.1 Определения, формулировка основной теоремы 62

3.2 Из комбинаторной эквивалентности параллелоэдров следует циклическая неразличимость символов 64

3.3 Из циклической неразличимости символов следует целочисленная унимодулярная эквивалентность квадратичных форм 67

3.4 Согласованная ориентация двух символов 72

3.5 Основная теорема без ограничения рассмотрения только "эталонными" квадратичными формами 81

Список литературы

• Ж-разбиения
• О расположении в n-мерном пространстве параллелоэдров, соответствующих правильным квадратичным формам ранга к п
• Отдельные грани
• Из комбинаторной эквивалентности параллелоэдров следует циклическая неразличимость символов

Введение к работе

Параллелоэдром п измерений называется n-мерный ограниченный выпуклый многогранник, параллельными копиями которого можно без пропусков и перекрытий по внутренним точкам замостить все п-мерное евклидово пространство Е^п.

В XIX веке в классических работах Е.С. Федорова [1, 2] и Минков-ского [3] были заложены начала теории параллелоэдров. Особо значительное продвижение в этой теории совершил в начале XX века Г.Ф.Вороной [4].

Большой класс параллелоэдров составляют так называемые области Дирихле-Вороного точечных решеток. Вопрос о том, исчерпываются ли ими все параллелоэдры. до сих пор открыт. Вороной показал, что аффинно эквивалентны ІЖ-областям все примитивные параллелоэдры [4], Житомирский несколько расширил этот класс [8]. Делоне дал доказательство для всех n-мерных параллелоэдров при п < 4 [6].

Одной из основных задач, связанных с параллелоэдрами, является перечисление всех их разновидностей. Полное описание трехмерных параллелоэдров дал Федоров [2], все четырехмерные параллелоэдры перечислил Делоне [9].

Чаще всего параллелоэдры классифицируют по і-типам. Первоначально это понятие определил Вороной. В дальнейшем оказалось, что удобно различать геометрический и арифметический Л-типы па-

раллелоэдра.

Перечисление і-типов пятимерных примитивных параллелоэдров выполнили Рышков и Барановский [10, 11], атакже, независимо, швейцарский геометр П. Энгель [15]. Результаты этих двух исследований не совсем совпадали (221 и 223 типа примитивных пятимерных параллелоэдров соответственно), сравнение предпринял В.П. Гришухин [16]. Итогом стало уточнение: существует ровно 222 типа примитивных пятимерных параллелоэдров.

В последнее время изучение 1Ж-областей решеток сведено к изу-

чению сумм Минковского конечного для каждого п числа так называемых коренных параллелоэдров благодаря теореме о коренных парал-лелоэдрах, сформулированной Рышковым |25, 26, 27]. Окончательные формулировки и подробные доказательства этой теоремы даны в [28].

Тем не менее, найти общий конструктивных подход ко всем па-раллелоэдрам затруднительно. Поэтому изучаются и отдельные классы параллелоэдров. В частности, интерес вызывают параллелоэдры, являющиеся зоноэдрами (зоноэдральные параллелоэдры).

Исследованиями условий, необходимых или достаточных для того, чтобы зоиоэдр был параллелоэдром, занимались H.S.M. Coxeter [13], П, Макмаллен [23]. G.C. Shephard [22]. Зоноэдральные параллелоэдры тесно связаны с дайсингами [19, 20, 21], кроме того, существует соответствие между стандартными системами зонных векторов зогю-эдральных параллелоэдров и регулярными матроидами [24].

В настоящее время исследованиями по перечислению комбинаторных типов зоноэдральиых параллелоэдров занимается Энгель [17, 18]. Это перечисление выполняется в результате компьютерных расчетов. В настоящее время расчеты проведены вплоть до размерности 8.

В настоящей диссертации изучается один класс зоноэдральиых параллелоэдров, а именно, параллелоэдры (в том числе и непримитивные) первого типа. Найден конструктивный подход к таким паралле-лоэдрам любой размерности.

В дальнейшем во введении теоремы и утверждения снабжены теми номерами, которые они имеют в основном тексте.

Первая глава глава носит технический характер. Она посвящена сравнению различных определений DF-области и //-разбиения, соответствующих положительно определенной квадратичной форме (ПКФ).

В этом вопросе существует некоторая "историческую несправедливость": областью Дирихле-Вороного сейчас обычно называют область действия точки решетки, замечательную геометрическую интерпретацию, предложенную В.Н. Делоне, в то время как Вороной ставил в соответствие ПКФ несколько другой многогранник. Определение Вороного аналитическое (см. ниже) и не очень наглядное.

Определение (Г.Ф. Вороной, [4]). Многогранник DVgp (соответствующий положительно определенной квадратичной форме f) есть мноо/сество точек а, заданных координатами (сц, а%...., а_п) в

ортонормированием базисе , удовлетворяющими неравенствам

/(ж) + 2(а,ж)>0, xeZⁿ. (1)

DVgp-разбиение получается переносом многогранника DVQp на все векторы вида t4, где t Є Zⁿ, А - матрица ПКФ /.

Определение (В.Н. Делоне, [5, 9]). Многогранником ВУд_п

или областью Дирихле-Вороного некоторой точки N решетки Г называется совокупность точек рассматриваемого n-мерного пространства, каэ/сдая из которых отстоит от точки N не дальше, чем от любой другой тонші решетки Г.

Совокупность >1/д_и-областей всех точек решетки образует ВУд_н-разбиение. Это разбиение можно получить переносом ДУд_н-области начала координат на все векторы решетки.

Теорема 1.1. Разбиения DVq_p и ВУд_н евклидова пространства п измерений, отвечающие одной и той же ПКФ, аффинпо эквивалентны друг другу.

Кроме того, в первой главе рассматривается определение области Дирихле-Вороного, данное Веиковым [7]. Оказывается, что эта область не совпадает ни с DVg_p-, ни с ВУд_н- областью, хотя и аффинно им эквивалентна.

Далее, рассматривается взаимосвязь между определениями L-раз-биения по Вороному и Делоне (они не совпадают, но аффинно эквивалентны), и L-типа ПКФ (совпадают).

Следует отметить, что определения Делоне более наглядны, но в некоторых случаях забытые определения Вороного дают больше возможностей. Так, доказательство теоремы о коренных параллелоэд-рах [25, 26, 27] в системе определений Делоне было крайне трудно, фактически непригодно к опубликованию. Возвращение к определениям Вороного позволило сделать доказательство относительно простым [28].

Вторая и третья главы посвящены непримитивным параллело-эдрам первого типа.

Среди всех областей L-типа наиболее простое описание имеет область первого типа, при любом п представляющая собой симплици-альный конус. Ей принадлежат квадратичные формы, представимые

следующей суммой, в которой формально полагается xq — 0: f(x_u х₂, .., х_п) = ^ Ау (^ - xj)², где Ау > 0, J^ А|- > 0. (*)

Параллелоэдры, соответствующие квадратичным формам ранга 1 от п переменных суть отрезки. Таким образом, все параллелоэдры первого типа суть суммы Минковского отрезков, т.е. зоноэдры.

Поскольку параллелоэдры, соответствующие точкам одной и той же открытой грани области Ді, отличаются друг от друга только метрическими характеристиками, достаточно описать структуру одного параллелоэдра из этого множества, отвечающего "эталонной" квадратичной форме, в разложении (*) которой каждый коэффициент А_у-равен либо 0, либо 1.

Такие параллелоэдры (и квадратичные формы) описываются символом Рышкова: для квадратичной формы / от п переменных это граф с вершинами г>о, ^i, ...,%, в котором ребро ( Vj) присутствует тогда и только тогда, когда в разложении (*) формы / коэффициент Ау- равен 1.

Вторая глава посвящена описанию метода явного описания структуры произвольного непримитивного n-мерного параллелоэдра первого типа. Этот метод существенно опирается на результаты о коренных параллелоэдрах [28].

Показано, что квадратичной форме {%{ — Xj)², если ее рассматривать как форму от п переменных, в пространстве Е^п соответствует параллелоэдр ~ отрезок с концами в точках \{ц — 6j) и \{tj — е^). Квадратичной форме х\ соответствует параллелоэдр - отрезок с концами в точках \е{ и — ~Єі (ei, 62, ..., е_п - векторы ортонормированного репера ).

Далее вводится естественное понятие ранга символа.

Определение. Рангом символа называется размерность соответствующего ему параллелоэдра (то есть ранг соответствующей символу "эталонной" квадратичной формы).

Доказывается ряд утверждений о ранге символа, из которых наиболее важным для последующих построений является следующее.

Утверждение 2.18. Пусть символ G имеет і вершин и г компонент связности. Тогда ранг символа G равен t — r.

Далее, для изучения fc-мерных граней зоноэдрального параллелоэдра, порожденного системой отрезков S, требуется рассмотрение

непополнимых подсистем системы S_} имеющих ранг к. Для того, чтобы отыскать такие подсистемы по известному символу, вводится понятие fc-вырезов и fc-остатков графа (символа).

Определение. Множество R(G)cE ребер произвольного простого разреза графа G = (V, Е) будем называть 1-вырезом в графе G.

Определение. Граф G\ = (V,E\R(G)}_} получающийся удалением из графа G = (V,E) некоторого 1-выреза R(G), будем называть 1-остатком (от) графа G.

Определение. Назовем к-остатком Gk графа G при 2 < к < п (где п - ранг символа (?) всякий 1-остаток от какого-либо (к — 1)-остатка графа G.

Определение. Назовем к-вырезом R^k(G) в графе G объединение 1-вырезов R(G), R(Gi). ..., R(Gk-i), выбранных соответственно из графов G, G_x = G\R(G), G₂ = СДВД), ..., G^ - G_k^\R(G_k.₂). Кроме того, fc-вырез R^k(G) будем называть реализованным последовательностью 1-вырезов R(G), R(G{), ..., R(Gk-i).

Между (n — к)-остатками символа и fc-зонами граней соответствующего параллелоэдра существует взаимно однозначное соответствие:

Теорема 2.1. Пусть V - параллелоэдр первого типа, соответствующий символу G, a F - его грань размерности к < п. Тогда определяющем параллелоэдром для грани F (и для всякой другой грани F' параллелоэдра V, параллельно "конгруэнтной грани F, то есть для всей k-зоны, которой принадлежит грань F) служит параллелоэдр, отвечающий некоторому (п — к)-остатку графа G.

Обратно, если G_n-^ - (п — к) -остаток (к > I) символа G и V{_n-^ - соответствующий ему параллелоэдр, то в параллелоэдре V есть к-зона граней, определяющим параллелоэдром для которой служит параллелоэдр Т(_п-щ-

Для нахождения всех индивидуальных граней в fc-зоне требуется изучение различных ориентации ребер символа, входящих в соответствующий (п — &)-вырез.

Всякий 1-вырез R(G) порождает разбиение множества вершин V графа G на два непересекающихся подмножества V\ и 14 ( U И> — V), обладающих тем свойством, что множество ребер 1-выреза R(G) совпадает с множеством всех таких ребер графа G, что одна из вершин ребра принадлежит множеству Vi, а другая - множеству V^. R(G) — {{vi,Vj)E I UiGVi,VjeV₂}.

Определение. Допустимой ориентацией 1-выреза R(G) в гра-

фе G назовем такое приписывание направлений всем ребрам, входящим в этот вырез, что все начальные вершины ребер находятся в множестве Vi или же все начальные вершины находятся в множестве Vg.

Определение. Допустимой ориентацией &-выреза R^k(G) в графе G назовем всякое приписывание направлений всем ребрам, входящим в этот вырез, которое может быть получено в результате следующих шагов,

1. Выбор реализации fc-выреза: R^k(G) = R{G)l)R(Gi)l)... UR(G_k~i).

2. Выбор последовательно для каждого 1-выреза R(G)> R{Gi),..., R{Gk-\) допустимой ориентации (соответственно в графах G, Gi, ..., Gk-i).

3. Приписывание каждому ребру х, принадлежащему fc-вырезу R^k (G), того направления, которое оно получило на гааге 2 при выборе допустимой ориентации соответствующего 1-выреза.

Ориентации fc-выреза R^k{G)^ которые не могут быть получены в результате выполнения шагов 3.-3, допустимыми не являются.

Направленному ребру (щ/а~1) будем ставить в соответствие вектор Pik — \ (бі — 6k) Ребру (Щ,щ) СТаВИТСЯ В СООТВеТСТВИе ВеКТОр Pfa =

-Рік ~ \(&к -).

Определение. Вектором (пространства Е^п)^ представляющим ориентированный допустимым образом /г-вырез R^k(G) (к > 1) назовем сумму векторов, соответствующих ребрам этого &-выреза:

P&iG) = Y, P^ik-

Отклоняющим вектором грани Т с центром симметрии О? па-раллелоэдра V с центром симметрии О-р будем называть вектор х — O_vO?.

Доказывается, что отклоняющими векторами граней параллело-эдра первого типа являются векторы, представляющие допустимые ориентации соответствующего выреза:

Теорема 2.2. Пусть V - параллелоэдр первого типа, G - его символ, Rⁿ~^k -это (п — к)~вирез в графе G, uG_n-k - соответствующий (п — к)-остаток, V* - параллелоэдр, отвечающий символу G_n~k-

Среди к-мерных граней параллелоэдра V, параллельно конгруэнтных параллелоэдру V*, тогда и только тогда есть грань с отклоняющим вектором х, когда существует такая допустимая ориентация (п - к)-выреза Rⁿ~^k, что х = ^С(^)й"-*(^е.7 ^{— е}»)» ^г^^е (Vi) ~ ребра ориентнированного (п — к)-выреза Rⁿ~^k, а е\, е₂,..., е_п - координатные вектори.

Таким образом, чтобы перечислить все грани в &-зоне, достаточно найти все допустимые ориентации соответствующего (п — &)-выреза. Для формулировки конструктивного критерия допустимости ориентации выреза вводится понятие когерентной ориентации fc-выреза (которое выделяет некоторый класс ориентации, содержащий в себе все допустимые).

Определение. Пусть R^k(G) - fc-вырез в графе G, a Gk - соответствующий ему fc-остаток. Назовем ориентацию ребер fc-выреза R^k(G) когерентной^ если для любых двух различных компонент связности Н\ и #2 в графе Gfc справедливо одно из трех утверждений:

fc-вырез R^k(G) не содержит ребер, соединяющих компоненты #1 иЯ₂,

все ребра ^-выреза R^k{G), соединяющие компоненты #i и #2, выходят ИЗ #1 и входят В #2,

все ребра fc-выреза R^k(G), соединяющие компоненты Hi и #2, выходят ИЗ R.2 и входят В Н\.

Очевидно, что допустимая ориентация А;-выреза является его когерентной ориентацией. В то же время обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Для когерентно ориентированных вырезов вводится понятие символа выреза.

Определение. Стягиванием в графе G = {У.,Е) множеств вершин V\ С V, \^г2 С V, ..., V_m С У, обладающих тем свойством, что Ц П Vj = 0 при г / j и (J2=i И = У, будем называть переход к графу G' = (V',E'), образованному следующим образом: V' = {v[,v>₂,... ,Е' = (}) | 3() eE,_Vie Ц, v, Є Vj}. Если вершины графа G были помечены, вершину v[ графа G' считаем помеченной всеми пометками вершин из множества Ц.

Определение. Символом fc-выреза R (G) в символе G будем называть граф, получающийся из графа G стягиванием по множествам вершин компонент связности fc-остатка Gk — G\R^k(G).

Очевидно; имеет место взаимно однозначное соответствие между всеми когерентными ориентациями выреза и всеми ориентациями символа этого выреза.

Следующая теорема дает критерий допустимости ориентации к-выреза в графе (символе).

Теорема 2.3. Пусть R^k - неориентированный вырез в графе G, a J - его символ. Тогда

4. всякой допустимой ориентации выреза R^k (и, тем самым, грани параллелоэдра V, соответствующего символу G) соответствует такая ориентация символа J, что в нем нет ни одного орцикла;

5. обратно, всякой ориентации символа J без орциклов соответствует допустимая ориентация выреза R (и, тем самым, отклоняющий вектор некоторой грани параллелоэдра V).

Для того, чтобы указать инцидентность граней, вводится понятие допустимости ориентированного стягивания ребра в графе.

Определение. Будем говорить, что для ориентированного некоторым образом символа J = (U, D) некоторого fc-выреза R^k{G) в графе G допустимо ориентированное стягивание ребра [и^щ) Є D (его направление не существенно), если для каждой вершины и графа J, за исключением вершин щ и щ, верно одно из трех утверждений;

1. Вершина и соединена ребром не более чем с одной из вершин щ

и щ.

2. Оба ребра (^,), {и,щ) исходят из вершины и (т.е. имеют вид (щщ)>

3. Оба ребра (и.щ), {щщ) входят в вершину и (т.е. имеют вид (щ,и), (и—и)).

Если это условие выполнено, ориентированным стягиванием ребра (ui,Uj) в графе J назовем переход к графу J' — (U⁷, D'), образованному следующим образом:

U^f = и\{щ,щ}ии%

D^! — D\{{ui,Uj)}\{(ui,u)\u Є U, (щ,и) Є D}\{(uj,u)\ue и,{щ,и) Є

D}\j{(u*,u)\(ui,u) Є D или (uj,и) Є D}U{(u,u*)|(ii, w?j) D или (u, г4 D}.

Вершину u* получившегося графа считаем помеченной объединением тех множеств, которыми были помечены вершины Щ И Uj.

Будем также говорить, что граф G допускает ориентированное стягивание на граф (?', если можно из графа G последовательными ориентированными стягиваниями ребер получить граф, изоморфный G'.

Теорема 2.4. Пусть V - параллелоэдр. соответствующий символу G, aF\ и i*2 - его грани. Пусть грань F\ описывается ориентированным символом J\ выреза R^k(G), а грань F^ - ориентированным символом Ji выреза R^m{G).

Грань F% является гранью грани F\ тогда и только тогда, когда символ J% допускает (как граф) стягивание на символ J\.

Также во второй главе рассмотрены примеры.

В третьей главе исследуется связь между символами комбинаторно идентичных параллелоздров первого типа.

Определение. Пусть G\ — (VI, Е\) и ( = {V2, -) - два графа. Отображение <р : Е\ —> Еъ множества ребер первого графа в множество ребер второго графа сохраняет простой цикл С графа G\. состоящий из ребер #1, 2?2) , %ь, ^если ребра <р{х\), Ц>{Х2), -, ^() образуют, возможно в другом порядке, простой цикл в графе Gi.

Определение. Назовем два графа G\ — (Vi, Е{) и G% — (V2, Е2)

циклически неразличимыми, если между ребрами одного и другого графа установлено взаимно однозначное соответствие tp : Е\ —> Еч, удовлетворяющее условию: отображение ц> сохраняет все простые циклы графа G\. а обратное отображение цГ¹ : Еч —» Е\ сохраняет все простые циклы графа G%.

Теорема 3.1 (Основная). Пусть G\ и G% - два символа первого типа, д и Pi - соответствующие им квадратичные формы первого типа, aV\uVi " соответствующие параллелоэдры. Тогда следующие три утверждения эквивалентны:

1. Параллелоэдры Т\ и V

2. Символы G\ и (?2 циклически неразличимы.

3. Квадратичные формы, f\ и f-i целочислепно упимодулярпо эквивалентны.

Импликация 3^1 теоремы 3.1 практически очевидна, особенно если принять во внимание, что двум целочисленно унимодулярным квадратичным формам соответствуют конгруэнтные решетки, а значит, и конгруэнтрые параллелоэдры (в определениях Делоне).

Для доказательства импликации 1^2 важно следующее утверждение.

Утверждение 3.2. Пусть С_п+\ - кольцо ранга п (то есть (п + 1)-вершинное), Vc ~ параллелоэдр, соответствующей символу С_п+\. Пусть также G - некоторый символ первого типа, Vq - соответствующий ему параллелоэдр, и пусть параллелоэдры Vc и Vq комбинаторно эквивалентны. Тогда граф G также является кольцом пап + 1 вершине.

Импликации 2^3 дано два доказательства, опирающихся на теорему Уитни [34]. Первое из них проще, зато второе попутно положительно решает вопрос о возможности согласованной с отображением (р ориентации двух циклически неразличимых графов.

Пусть G ~ (V, Е) - граф. и¹ и v" - две его вершины, V\ и V% - такие множества вершин, что V\ U V% = V \ {V, v"}_} V\ П F₂ = 0 и в графе G нет ни одного ребра вида (г?і, г^), где v\ Є Vj., v% Є \\.

Определение. Обобщенным переключением в графе G = (V, Е) по паре вершин (v',v") с вариантным множеством V\ будем называть переход к графу G = (V, Е), где

{{vsy)\[v_iiv')zE,v_jEV_l}.

Теорема Уитни о циклически неразличимых графах. Один из двух циклически неразличимых графов можно превратить в другой последовательностью обобщенных переключений.

А именно, если G\ и (7₂ - циклически неразличимые графы, то существует последовательность обобщенных переключений, преобразующая граф С?2 в изоморфный графу G\, то есть

(?! ~ Sw_(%%)(Sw₍,_%^)(... Sw₍^_%+i)(G₂))). (**)

Импликация 2^3 следует, например, из теоремы Уитни и следующего утверждения.

Утверждение 3.4. Пусть символ Gi получается из символа G\ переключением по паре вершин (v_m,v_p)_; то есть ( = Sw(_Vm)U ){G\). Тогда соответствующие квадратичные формы Д и Д целочисленно

унимодулярно эквивалентны,

Доказательство этого утверждения конструктивно: в явном виде указывается целочисленное унимодулярное преобразование переменных, переводящее квадратичную форму Д в /₂. Композиция таких преобразований, соответствующих всем переключениям в соотношении (**), и дает преобразование для пары циклически неразличимых символов.

Для второго доказательства импликации 2 =^ 3 вводится понятие согласованной ориентации циклически неразличимых символов.

Пусть G\ и G-2 - циклически неразличимые графы, ребрам которых приписаны некоторые направления. Пусть С\ - простой цикл в графе Gi, а С*2 - соответствующий ему простой цикл в графе G%

Определение, Будем называть циклы Сі и С% сонаправленнымщ если для заданного направления обхода цикла С\ существует направление обхода цикла С₂, для которого выполнено следующее: если при обходе цикла С\ ребра ж_{ь 2)} ~,Щ направлены "по обходу", а ребра у\,У2, -, Vi ~ "против обхода" (в порядке, не обязательно совпадающим с указанным), то при обходе цикла ( ребра (р(х{), ^{^2)-, ..,, ifixk) также направлены "по обходу", а ребра ф(уі), <р{у2), , <р(уі) - "против обхода" (в порядке, не обязательно совпадающим с указанным или с тем, в котором их прообразы входят в цикл Сі).

Импликация 2 =^> 3 следует из двух утверждений: Утверждение 3.10 (Эквивалентность согласованно ориентированных символов). Пусть G\ — (V,E) uGi — (U-,D) ~ циклически неразличимые, согласованно ориентированные символы. Тогда существует целочисленное унимодулярное отображение, переводящее символ G\ в символ G₂.

Утверждение 3.12 (Существование согласованной ориентации). Пусть G\ и G% - циклически неразличимые графы. Тогда существует их согласованная ориентация.

Теорема Уитни используется для доказательства существования согласованной ориентации.

Второе доказательство во многих случаях дает более удобный способ явного указания целочисленного унимодулярного преобразования для пары циклически неразличимых символов G\ и С₂: согласован-

ная ориентация часто строится просто на глаз , а после этого достаточно выбрать каркас в символе Gi, соответствующий ему каркас в символе G2 и решить несложную систему уравнений для нахождения преобразования для этой пары каркасов.

Наконец, в третьей главе приведены аналоги теоремы 3.1 для случая, когда рассматриваются не только "эталонные" квадратичные формы из замкнутой области первого типа, а также для случая, когда квадратичные формы первого типа принадлежат не обязательно главной области.

Теорема 3.2. Пусть f\ и фі ~ две квадратичные формы, первого типа, представленные в виде разлооюения (*), не обязательно "эталонные", А\ и А\ - открытые грани -главной области первого типа, которым принадлежат эти формы. Пусть также V\ и Vi - параллелоэдры, соответствующие квадратичным формам j\ и f%_f a G\ uG% - символы этих граней А\ и А\. Тогда следующие три утверждения эквивалентны:

3. Параллелоэдры Т\ и V% комбинаторно эквивалентны,

4. Символы G\ и (?2 циклически неразличимы.

5. Грани А\ и Д^ целочисленно унимодулярно эквивалентны.

Теорема 3.3. Пусть /і и /г - две квадратичные формы первого типа, не обязательно из главной области, А\ и АІ - открытые грани областей L-muna_} которым принадлежат эти формы. Пусть также V\ uV/і и ]ч. Параллелоэдры, V\ иТг комбинаторно эквивалентны тогда и только тогда, когда грани А\ и А\ целочисленно унимодулярно эквивалентны.

Следует заметить, что теорема 3.3 положительно решает вопрос об эквивалентности понятий комбинаторного типа и і-типа параллелоэдров в частном случае (непримитивных параллелоэдров первого типа).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [35]-[38]. Они неоднократно докладывались автором на семинарах механико-математического факультета; на семинаре академика О,Б, Лупано-ва "Математические вопросы кибернетики", на семинаре "Дискретная геометрия и геометрия чисел" под руководством С.С. Рышкова,

Н.П. Долбилина и Н.Г. Мощевитина, а также на международных конференциях.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю Сергею Сергеевичу Рышкову] за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также всему коллективу кафедры дискретной математики механико-математического факультета МГУ за внимательное отношение и доброжелательную атмосферу.