Введение к работе
Актуальность проблемы, как известно, выпуклый анализ и оптимизация на сегодняшний день являєтеся, пожалуй, наиболее развитыми и завершенниын разделами исследования операция. Гибкий математический аппарат, разработанный в рамках этой теории, делает его применимым в самых разнообразных областях - экономике, экологии, проектировании систем, военном деле и т.д. В то же время, совершенно естественно, что возможности этого аппарата не безграничны, поскольку на повестку дня встают новые, все более сложные классы задач. Это стимулировало и стимулирует возраставшее количество работ, посвященных различным обобщениям выпуклости. Характер этих обобщений, конечно же, самым существенным образом зависит от тех целей и приложений, в которых планируется их использование. Ниже предлагается обобщения выпуклости, ориентированные на приложения в области экономическое динамики, теории селлоыих функций и других разделов исследования операций.
Исходный моментом исследования послужили две задачи, возникающие в приложениях исследования операций:
-
нахождение необходимых н достаточных условий существования характеристик в моделях экономической динамики;
-
отыскание седловых точек при наличии функциональных ограничений на переценила.
Первая задача традиционно изучалась применительно к иоделяи экономической динамики неПааиозского типа (см.работы С.А.Аізланаза, В.Л.Макарова, А.М.Рубшіооз ti др.). При этой существенно использовалась техника оапуплого анализа. Отказываясь
от условий выпуклости (точнее говоря, заменяя их условием монотонности, котррое вполне естественно соответствует природе экономических объектов), мы получаем гораздо более' общий класс моделей экономической динамики - управляемые динамические системы. Рассмотрение, некоторых разновидностей управляемых динамических систем без предположений выпуклости является весьма актуальным и проводилось в работах Моришины, Никайдо и Рубинова в направлении, связанном с исследованием их устойчивости. В нашей работе проводится изучение характеристик управляемых динамических систем, как общего, так и частного вида. Получены необходимые и достаточные условия их существования, исследованы их свойства.
вторая задача представляет собой одну из разновидностей минимаксных задач, занимающих центральное место в исследовании операций (не претендуя на полноту, достаточно сослаться на работы Ю.Б. гермейера, Е.Г. Гольштсйна, В.Ф. Демьянова, В.В. Федорова, Р.Рокафеллара). Она была исследована Гермейером и Федоровым на основе метода штрафных функций. Нами предложен более обший и систематический подход, связанный с концепцией двойственности. Этот подход приводит к обобщению на рассматриваемую задачу теорем двойстгенности, построению модифицированных функций Лагранжа и созданию на их основе численных методов. Особенно важным является то, что двойственный подход распространяется на невипуклые задачи отыскания сеяловых точек.
Рассмотрение перечисленных вопросов потребовало создания специального аппарата, который на чаш взгляд предстаьляет самостоятельный интерес. Основными элементами этого аппарата но мере возрастания общности являются:
теория отделимости нормальных и устойчивых множеств; .
теория положительно однородных монотонно возрастающих .функций (включая суб- и супердифференциальное исчисление);
конструкция ^-выпуклых функций;
- конструкции ч^-седловых и слабых т)?-седловых функций.
Применение этого аппарата дало возможность решить выше
упомянутые задачи.
Цели и задачи работы, основной целью диссертации является создание некоторых конструкция, обобщающих понятие выпуклости, и применение их для решения задач, возникающих в экономической динамике и теории игр.
Методы исследования. Основой методики исследования служит, аппарат теории двойственности, выпуклого анализа, а также специально разработанная техника, связанная с классом положительно однородных монотонно возрастающих, g-выпуклих и т|-седловых функций. .
Научная новизна работы состоит в следующем:
-
Введено и изучено семейство- положительно -однородных монотонных функций. Для " него определены понятия суб- и супердифференциалоа, на основе которых развито соответствующее исчисление. Эти результаты в совокупности составляют аппарат исследования управляемых динамических систем в незыпуклон случае,' с помощью которых получены необходимые и достаточные условия существования характеристик оптимальных траекторий.
-
Введены и исследованы конструкции " -выпуклых И 1) -седловых функций, обобщающие понятия выпуклой и вогнуто-выпуклой функций. Предложена универсальная схема построения теории
лвойственности для задач оптимизации и отыскания седловых точек.
3. Для задачи отыскания седловых точек с ограничениями построена исчерпывающая теория двойственности. Введены молифнинрованные функции Лагранжа, иа основе которых разработаны численные методы поиска седловых точек.
Практическая ценность работы связана с построением характеристик траекторий управлявши динамических систем, разработкой численных методов решения задач отыскания седловых точек.
Апробация работы и публикации, основные результаты работы были представлены иа IV Всесоизнон семинаре по исследованию операция и системному анализу (г.Батуми, * 1983 г.), научно-технической конференции "Методы математического программирования и их программное обеспечение" (г.Свердловск, 1984 г.), международной конференции "стохастическая оптимизация" (г.Киев, 1984 г.), а такге на семинарах в ИПК РАН, ВЦ Ран, факультета прикладной математики и процессов .управления лгу, факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ. по теме диссертации опубликовано 16 работ (все без соавторов)!
Структура и o6ten работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 39 наименований, объеи диссертации - 170 страниц.