Введение к работе
Одним из основных понятий в математическом анализе является понятие производной. Возникавшие в процессе развития математики и ее приложений новые задачи содержали негладкие (не-диффсренцируемые) функции и тем самым вызвали потребность в расширении понятия производной (градиента в многомерном случае). Такой подход к изучению негладких задач получил большое признание.
В настоящее время негладкий анализ представляет собой вполне сложившийся и бурно развивающийся раздел современной математики. Методы и результаты негладкого анализа широко применяются во многих разделах математики, механики, экономики.
Несмотря на то, что на сегодняшний день получены значительные результаты в области негладкого анализа, остается еще много интересных и актуальных нерешенных задач.
Актуальность темы. Предлагаемая работа посвящена исследованию неявных функций для недоопределенных систем уравнений, заданных негладкими функциями (липшицевыми и квазидиффе-ренцируемыми)*.
Известна роль теорем о неявной функции в математическом анализе. С их помощью можно делать заключение о существовании, единственности и дифференцирусмости решения уравнения, не находя самого решения, что подчас не менее важно фактического знания решения. Неявные функции для непрерывных недифферен-цируемых функций были изучены Дж. Варгой, для лишшщевых функций - Ф. Кларком, В. Ф. Демьяновым, А. Д. Иоффе, для ква-зидифференцируемых - В. Ф. Демьяновым.
Проведенные исследования способствовали как бы очерчиванию контуров применения аппарата негладкого анализа для нахождения неявной функции и предполагали возможность новых подходов к проблеме и новых путей ее решения. В результате различные аспекты рассматриваемой проблемы устойчиво сохраняются как признанный предмет дискуссий. Поэтому актуальным остается рассмотрение в негладком анализе обобщений теорем о неявной функции.
"Работа осуществлялась при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований грант № 97-01-00499.
Предметом анализа настоящей диссертационной работы являются неявные функции для недоопределенных негладких систем уравнений.
Цель диссертационной работы состоит в попытке объединить и поместить указанное многообразие в ракурсе единого объекта рассмотрения, а также изучить неявные функции в случае недоопределенных систем в негладком анализе, то есть негладких систем, в которых число уравнений меньше числа неизвестных.
Комплекс актуальных проблем, возникших в ходе исследования задачи о неявной функции в негладком анализе, обусловил необходимость решения следующих основных задач:
1) изучить свойства субдифференциала Кларка и Мишеля -
Пено, квазидифференциалов, конвексификаторов и необходимость
применения их для нахождения неявной функции;
-
найти достаточные условия существования и единственности неявной функции для недоопределенных систем уравнений, заданных негладкими функциями;
-
разработать метод для решения задачи о неявной функции для недоопределенных систем в негладком случае;
-
на основе полученного метода указать возможность его применения к субдифференциалыюму отображению Кларка, квазидифференциальному отображению, CF-отображению (конвексифи-каторному);
-
описать результаты проведенного анализа.
Научная новизна вытекает из сформулированных выше цели и задач исследования. Принципиальной новизной отмечен сам комплексный подход к неявным функциям для недоопределенных систем, при котором они рассматриваются в терминах субдифференциала Кларка, квазидифференциалов, конвексификаторов. Кратко опишем основные полученные результаты:
1. Для полностью определенных систем лишшщевых функций
сформулирована и доказана теорема о неявной функции в терми
нах конвексификаторов.
-
Доказаны достаточные условия существования неявной функции для недоопределенных систем негладких функций (лишни-цевых, квазидифференцируемых, неявной функции по направлениям) .
-
Для лишшщевых, квазидифференцируемых функций в случае недоопределенных систем доказана единственность неявной функ-
ции, ее липшицевость, непрерывность, дифференцируемость по направлениям.
4. Предложен метод для нахождения неявпой функции для недо-определенных негладких систем.
Теоретическая значимость результатов исследования определяется вносимым им вкладом в использование теоремы о неявной функции в негладком анализе.
Значение результатов работы состоит не только в том, что они являются обобщением гладких теорем о неявной функции, но и в том, что в недоопрсделснном негладком случае с их помощью можно получить результаты, не имеющие аналогов в гладком случае.
Практическое применение. Полученные теоремы о неявных функциях могут быть полезными для исследования условий регулярности в задачах математического программирования при негладких ограничениях - равенствах, а также для построения метода Ньютона для решения негладких систем уравнений.
Методы исследования. Используются методы и результаты классического математического анализа, линейной алгебры, негладкого анализа.
Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на семинарах кафедры математической теории моделирования систем управления СПбГУ (1994-1997) , университетских научных конференциях "Управление динамическими системами (СПбГУ, 1994-1997), X Всероссийской конференции "Математическое программирование и приложения" (Екатеринбург, февраль 1997), Международной конференции "Проблемы оптимизации и экономические приложения" (Омск, июль 1997).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 4 научных работы, список которых приведен в конце автореферата.
Структура работы. В композиционном отношении работа состоит из ввеления, четырех глав, заключения, приложения, списка литературы из 107 наименований и имеет общий объем 120 страниц. Во введении обосновываются выбор и актуальность темы. Первая глава содержит предварительные сведения, необходимые для решения задач. В последующих трех главах непосредственно помещены основные результаты. Заключение подводит итог, намечая перспективы для дальнейших изысканий по выявленной проблематике.