Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Бескоалиционные дифференциальные игры с интегральными выигрышами на бесконечном промежутке времени . 7
1. Постановка задачи и основные предположения 7
2 Нормальная форма дифференциальной игры лиц 12
3. Необходимые сведения об операторах значения антагонистических дифференциальных игр 16
4. Траектории типа х{-) и х'(-) 25
5 Существование и структура решения игры. Равновесные траектории 39
6 Характеристическое свойство равновесных траекторий 45
7 Модель динамического распределения общественных благ 56
Глава II. Кооперативные дифференциальные игры с неограниченной продолжительностью . 63
1 Стабильность кооперативных решений дифференциальной игры 63
2 Идентификация стабильно равновесных траекторий в терминах решения дифференциального включения 67
3 Локальный подход к построению кооперативных решений . 77
4 Конструкции кооперативных решений 84
5 Кооперативные решения в модели динамического распределения общественных благ 90
Заключение 98
Список литературы 99
- Необходимые сведения об операторах значения антагонистических дифференциальных игр
- Существование и структура решения игры. Равновесные траектории
- Идентификация стабильно равновесных траекторий в терминах решения дифференциального включения
- Кооперативные решения в модели динамического распределения общественных благ
Введение к работе
Теория дифференциальных шр занимается исследованием динамических моделей принятия решений в условиях конфликта и неопределенности Источником развития -этой теории послужили практические задачи из области экономики, экологии, управления механическими и биологическими системами, военного дела При рассмотрении таких іадач, как правило, приходится учитывать динамику изменения состояния управляемой системы, а также наличие нескольких управляющих сторон, имеющих различные субъективные цели.
Становление теории дифференциальных игр связано с работами Р. Айзекса, которые были посвящены, в основном, решению задач преследования и формулировались в виде антагонистических дифференциальных игр ]7]. В нашей стране первые исследования антагонистических дифференциальных игр принадлежат академикам Л С Понтрягину [40], [39], Н Н. Красовскому [26], [27], а также их ученикам [44] и представителю ленинградской школы теории игр — Л. А. Петросяну [33]. Их результаты способствовали развитию теории неантагонистических дифференциальных игр Существенный вклад в разработку этой теории внесли Э Вайсборд, В И Жуковский, А. Ф Клейменов, А. Ф. Кононенко, Л. А. Петросян, Э Р Смольяков [41], [42], Н Т. Тынянский, С. В Чистяков и другие.
В частности, В И. Жуковский в своих оригинальных работах одним из первых указал на принципиальные проблемы, связанные с применением методов классической теории игр (таких как равновесие по Нэшу и оптимальность по Парето) и математической теории оптимального управления (принцип максимума Понтрягина и оптимальности Беллмана) к решению дифференциальных игр Им также была предпринята попытка выделить огновные направления теории неантагонистических дифференциальных игр- бескоалиционные, коалиционные, кооперативные и иерархические игры. В его работах [10], [16], [17], проводятся обширные исследования по каждому из названных направлений
Исследованиям неантагонистических дифференциальных игр посвящены многие работы А Ф Клейменова [18]-[20]. В качестве решения неантаї онисти-ческой дифференциальной игры с терминальными выигрышами он, наряду с традиционным равновесием по Нэшу, рассматривает решения, основанные на принципах оптимальности по Парето и по Штакельбергу, а также кооператив-
ные решения, ііредусмсіїривающие, чго в ходе игры каждый из игроков может производить непрерывные выплаты остальным ш рокам
Своеобразный подход к исследованию кооперативных дифференциальных игр, в центре которого лежит понятие динамической устойчивости принципов оптимальности, изучен в работах Л. А Петросяна [34]
В теории неантагонистических дифференциальных игр прежде всего возникает задача об отыскании ситуаций равновесия или є-равновесия при любом є > 0. Поскольку в общем случае приходится иметь дело с целым множеством траекторий, пригодных для реализации принципа равновесия (и разным из них соответствуют, вообще говоря, разные векторы выигрышей), то возникает также задача сужения этого множества, а в идеале — выбора из него единственной траектории.
Достаточно полное исследование первой задачи проведено для дифференциальных игр с терминальным выигрышем на конечном промежутке времени. Эти исследования начались с работ А. Ф. Кононенко [22]-[24], который, используя формализм теории позиционных антагонистических дифференциальных игр, получил первые наиболее общие результаты, относящиеся к бескоалиционным дифференциальным играм двух лиц. В частности, в терминах движений управляемой системы, он указал достаточные условия существования ситуации є-равновесия в этом классе игр
В работах С В Чистякова [51J-[53], [57] близкая к подходу Кононенко идея была положена в основу построения теории бескоалиционных дифференциальных игр т лиц (т > 2) с терминальными выигрышами игроков. В частности, установлено существование решения рассматриваемой игры (те. существование в игре ситуации є-равновесия при любом є > 0) в терминах ограничений на правую часть системы дифференциальных уравнений, описывающих управляемый процесс В основу построения ситуаций є-равновесия в исходной неантагонистической дифференциальной игре были положены программные конструкции решения антагонистических дифференциальных игр описанные, в частности, в [55] Решение проблемы сужения множества равновесных траекторий оказалось возможным на основе перехода от бескоалиционной дифференциальной ш ры к кооперативной
В данной работе описывается аналогичный подход к построению элементов теории дифференциальных ш р с интегральными выигрышами игроков на бесконечном промежутке времени
В первой главе исследуется определенный стратеї ический аспект решения данной конфликтной задачи В частности, установлено существование решения рассматриваемой иірьі, а также существование равновесных траекторий, соответствующих оптимальному в смысле равновесия по Н^шу поведению игроков в игре Кроме того, доказана теорема о существовании в рассматриваемом классе игр таких траекторий, вдоль которых гарантированные выигрыши игроков к моменту времени t являются неубывающими функциями этого момента времени Эта теорема и ее следствие составляют основу для построения в главе II определенной версии теории кооперативных дифференциальных игр Последний параграф первой главы посвящен применению полученных результатов к исследованию модели динамического распределения общественных благ. В частности, в этом параграфе, данная модель представлена в виде бескоалиционной дифференциальной игры с неоі раниченной продолжительностью и описано множество стабильно равновесных траекторий в этой игре.
Вторая глава посвящена построению определенной версии кооперативной теории рассматриваемых дифференциальных игр. Вводится понятие кооперативного решения дифференциальной игры, являющееся, но сути, сильно динамически устойчивым [53] При этом оказывается, что такое решение может быть построено на основе введенного ранее множества стабильно равновесных траекторий в исходной бескоалиционной дифференциальной игре. В основе подхода к построению кооперативных решений рассматриваемой игры лежит доказанная в 2 2 теорема об идентификации стабильно равновесных траекторий в терминах решений определенного дифференциального включения. Описаны некоторые из таких кооперативных решений, отвечающие известным решениям проблемы дележа — N-ядру, вектору Шепли и др. Последний параграф второй главы посвящен построению некоторых кооперативных решений в модели динамического распределения общественных благ
В заключении формулируются основные положения диссертации, выносимые на защиту
Параграфы каждой из двух глав имеюг (вою нумерацию Утверждения замечания и формулы внутри каждою параграфа также имеюі свою нумерацию, причем при кылках на них из друїих параграфов той же главы впереди, через точку добавляется номер соответствующего параграфа. При подобных ссылках на параграфы другой главы впереди добавляется еще и номер соответствующей главы
Необходимые сведения об операторах значения антагонистических дифференциальных игр
В частности, В И. Жуковский в своих оригинальных работах одним из первых указал на принципиальные проблемы, связанные с применением методов классической теории игр (таких как равновесие по Нэшу и оптимальность по Парето) и математической теории оптимального управления (принцип максимума Понтрягина и оптимальности Беллмана) к решению дифференциальных игр Им также была предпринята попытка выделить огновные направления теории неантагонистических дифференциальных игр- бескоалиционные, коалиционные, кооперативные и иерархические игры. В его работах [10], [16], [17], проводятся обширные исследования по каждому из названных направлений
Исследованиям неантагонистических дифференциальных игр посвящены многие работы А Ф Клейменова [18]-[20]. В качестве решения неантаї онисти-ческой дифференциальной игры с терминальными выигрышами он, наряду с традиционным равновесием по Нэшу, рассматривает решения, основанные на принципах оптимальности по Парето и по Штакельбергу, а также кооператив ные решения, ііредусмсіїривающие, чго в ходе игры каждый из игроков может производить непрерывные выплаты остальным ш рокам
Своеобразный подход к исследованию кооперативных дифференциальных игр, в центре которого лежит понятие динамической устойчивости принципов оптимальности, изучен в работах Л. А Петросяна [34]
В теории неантагонистических дифференциальных игр прежде всего возникает задача об отыскании ситуаций равновесия или є-равновесия при любом є 0. Поскольку в общем случае приходится иметь дело с целым множеством траекторий, пригодных для реализации принципа равновесия (и разным из них соответствуют, вообще говоря, разные векторы выигрышей), то возникает также задача сужения этого множества, а в идеале — выбора из него единственной траектории.
Достаточно полное исследование первой задачи проведено для дифференциальных игр с терминальным выигрышем на конечном промежутке времени. Эти исследования начались с работ А. Ф. Кононенко [22]-[24], который, используя формализм теории позиционных антагонистических дифференциальных игр, получил первые наиболее общие результаты, относящиеся к бескоалиционным дифференциальным играм двух лиц. В частности, в терминах движений управляемой системы, он указал достаточные условия существования ситуации є-равновесия в этом классе игр
В работах С В Чистякова [51J-[53], [57] близкая к подходу Кононенко идея была положена в основу построения теории бескоалиционных дифференциальных игр т лиц (т 2) с терминальными выигрышами игроков. В частности, установлено существование решения рассматриваемой игры (те. существование в игре ситуации є-равновесия при любом є 0) в терминах ограничений на правую часть системы дифференциальных уравнений, описывающих управляемый процесс В основу построения ситуаций є-равновесия в исходной неантагонистической дифференциальной игре были положены программные конструкции решения антагонистических дифференциальных игр описанные, в частности, в [55] Решение проблемы сужения множества равновесных траекторий оказалось возможным на основе перехода от бескоалиционной дифференциальной ш ры к кооперативной В данной работе описывается аналогичный подход к построению элементов теории дифференциальных ш р с интегральными выигрышами игроков на бесконечном промежутке времени
В первой главе исследуется определенный стратеї ический аспект решения данной конфликтной задачи В частности, установлено существование решения рассматриваемой иірьі, а также существование равновесных траекторий, соответствующих оптимальному в смысле равновесия по Н шу поведению игроков в игре Кроме того, доказана теорема о существовании в рассматриваемом классе игр таких траекторий, вдоль которых гарантированные выигрыши игроков к моменту времени t являются неубывающими функциями этого момента времени Эта теорема и ее следствие составляют основу для построения в главе II определенной версии теории кооперативных дифференциальных игр Последний параграф первой главы посвящен применению полученных результатов к исследованию модели динамического распределения общественных благ. В частности, в этом параграфе, данная модель представлена в виде бескоалиционной дифференциальной игры с неоі раниченной продолжительностью и описано множество стабильно равновесных траекторий в этой игре.
Вторая глава посвящена построению определенной версии кооперативной теории рассматриваемых дифференциальных игр. Вводится понятие кооперативного решения дифференциальной игры, являющееся, но сути, сильно динамически устойчивым [53] При этом оказывается, что такое решение может быть построено на основе введенного ранее множества стабильно равновесных траекторий в исходной бескоалиционной дифференциальной игре. В основе подхода к построению кооперативных решений рассматриваемой игры лежит доказанная в 2 2 теорема об идентификации стабильно равновесных траекторий в терминах решений определенного дифференциального включения. Описаны некоторые из таких кооперативных решений, отвечающие известным решениям проблемы дележа — N-ядру, вектору Шепли и др. Последний параграф второй главы посвящен построению некоторых кооперативных решений в модели динамического распределения общественных благ
В заключении формулируются основные положения диссертации, выносимые на защиту Параграфы каждой из двух глав имеюг (вою нумерацию Утверждения замечания и формулы внутри каждою параграфа также имеюі свою нумерацию, причем при кылках на них из друїих параграфов той же главы впереди, через точку добавляется номер соответствующего параграфа. При подобных ссылках на параграфы другой главы впереди добавляется еще и номер соответствующей главы.
Существование и структура решения игры. Равновесные траектории
Стратегии Щ, образующие ситуацию є-равновесия в исходной игре Г(о, XQ) построим следующим образом где отображение b[+1 информационному состоянию ( 0)о,гфо)Т)) ставит в соответствие произвольное допустимое управление щ(-), определенное на полуоси [Г, +оо) Из такого определения стратегий Щ с учетом замечания 1, очевидно, следует, что набор допустимых управлений, отвечающий ситуации IIе в игре Г сь о), совпадает на отрезке [h,T\ с набором управлений, отвечающим ситуации UeT в игре T(t0,x0) А тогда, с учетом неравенств (1) и (2), для любого г Є /, для любой программной стратегии Ut в игре Г(о, о) и ее срежи Uj в игре Г(0,хо,Т) имеем іде иє() = u(t0,xo,Us), u() = u(to,xi}, ис\\иг) Следовательно, Ue есть ситуация є-равновесия в игре Г(і0,а:о) Теорема доказана
Отдельно следует рассмотреть случаи, когда число игроков в игре Г(і0, я0) равно двум и когда система (1.1) имеет вид (2 2). Действительно, если т 2, го в случае отклонения одним из игроков от предварительного соглашения о реализации в процессе управления некоторой траектории х(-), каждый из остальных игроков только по отклонению текущей позиции {t,x(t)) от позиции (t,x(t)) не может, вообще говоря, определить кто из них отклонился от реализации своего управления. В случае же двух игроков, каждый из них только по изменению текущей позиции сразу определяет- отклонился другой игрок от реализации договоренности (те. траектории х{-)) или он придерживается достигнутого соглашения Такая же картина наблюдается и при произвольном числе игроков в случае, когда система (1 1) имеет вид (2.2) Поэтому в этих частных случаях достаточно предполагать, что в каждый момент времени игроки владеют информацией лишь о текущей позиции системы Однако в общем случае для того, чтобы гарантировать существование ситуаций равновесия (или є-равновесия при любом є 0) необходимо определенное информационное расширение игры. Этим и обосновывается введение в рассмотрение рекурсивных стратегий с информацией о предыстории по управлениям.
Под равновесной траекторией в игре Г(о,о) будем понимать функцию х(-), которая на любом конечном отрезке [о, Т] является равномерным пределом некоторой последовательноеги траекторий {х ( )} таких, что где є(k) 0,e(fc) — 0, Ue{M - ситуация є(&)-равновесия в игре T{t0,x0).
Доказательство. Выберем возрастающую последовагельносгь Tk — +оо5 Т\ t0, и положительную последовательность е(к) — О Поскольку игра Г(о)-Со) имееі решение, то существует последовательность траекторий где (7(fc) = ([/j , ,f/m ) — ситуация ()-равновесия в игре Г(0)о)
Рассмотрим эту последовательность траекторий на отрезке [to,T\] При сделанных предположениях на этом, как и на всяком другом конечном отрезке, она является равномерно ограниченной и равностепенно непрерывной Следовательно [21], из нее можно выделить подпоследовательность {x (t)}, равномерно сходящуюся на отрезке [t0,Ti] к некоторой функции x )(t), t Є [to,T\] Причем каждая из функций этой последовательности есть траектория, порождаемая ситуацией є(&і)-равновесия в игре T(t0,xo) и {є(кі)} — подпоследовательность последовательности {в(к)}.
Теперь рассмотрим последовательность {x kl\t)} на отрезке [іоі г]- Рассуждая как и выше, заключаем, что из нее можно выделить подпоследовательность {x(k2\t)}, равномерно сходящуюся на этом отрезке к некоторой функции (2)(), [ 0,7г], причем но выбору последовательности {x (t)}, функция 2(i)(t) будет Сужением фуНКЦИИ X(2)(t) на ОТреЗОК [І0)7і] Далее, аналогично, заключаем, что найдется такая подпоследовательность {ж ()} последовательности траекторий {х ()}, а следовательно и последовательностей {x fcl (i)} и {я ( )}ь=1 которая сходится равномерно на отрезке [і0,Тз] к некоторой функции X(3)(f), сужениями которой на соответствующие отрезки [ о»7 ], к = 1,2, являются функции (i)() и Ж(2)(і), и т. д В итоге приходим к выводу, что для любого п существуют подпоследовательность {x kn\t)} последовательности траекторий { (0}fcLi которая сходится равномерно на отрезке [о)?п] к некоторой функции (п)(), причем эта подпоследовательность является также и подпоследовательностью соответствующей равномерно сходящейся на отрезке [о,Тп-і] последовательности {x fcn-1 (f)}
Рассмотрим теперь вектор-функцию x(t) на полуоси [t0, +00), сужение которой на каждый из отрезков [о,Тп] совпадает с равномерным, на этом отрезке, пределом X(n)(t) последовательности {х -кпЦі)} При сделанных предположениях, вскгор-функция x(t) является траекторией уравнения (1 1) с начальным условием (1.2). Нетрудно видеть также что, вообще, на любом отре же [to,T], Т t0 она являеіся равномерным пределом подпоследовательности последовательно-(ги {- (OJfcLi) образованной из n-х элементов поиіедовательпостей { " (і)} (n =1,2, ) Поскольку {3(ft (0}feLr последовательность, порожденная ситуациями (&)-равиовесия в игре Г(0,#о) ((&) — _оо 0, є(к) 0), то и указанная ее подпоследовательность порождается такими же ситуациями. Следовательно, по определению, траектория x(t) является равновесной Теорема доказана
Идентификация стабильно равновесных траекторий в терминах решения дифференциального включения
Используя результаты, полученные в предыдущем параграфе, представляется возможным по( троение кооперативных решений шры T(D), в рамках которых предполагается, чго в каждой позиции (t,x) Є D иіроки решают задачу о совместном выборе тою или иного направления (/, h) Є ФН(і,х). Здесь, напомним, ФН(,х) — значения многозначною отображения ФН, когорые определяются по формулам (2 3). Из-за предполагаемой невозможности непротиворечивым образом разрешить сразу глобальный конфликт T(t,x) естественно считать, чго каждый из игроков г Є І в позиции (t,x) отстаивает свои интересы, решая тактическую задачу на достижение по возможности большего значения величины dt(t,x,f) + ht. Таким образом каждой "глобальной" игре-компоненте T(t,x) сопоставляется "локальная" игра-компонента 7( )1 которая в нормальной форме имеет вид при этом роль множества стратегий г-го игрока в ней выполняет множество Рг — допустимых мгновенных значений его управления в исходной "глобальной" игре T(t,x), а функция вышрыша i(t,x\-) Р\ х . х Рт — R г-го игрока, соответственно, определяется из условия (здесь и далее предполагается, что соответствующие производные по направлению существуют)
Заметим, что каждой такой "маленькой" игре 7( 1х), ( х) Є D многими способами можно сопоставить классическую кооперативную игру (/, V(t,x)), где V(t, х) 21 — R — характеристическая функция При этом отображениеестественно назвать характеристическим, так как оно, по сути, и определяет соответствующее семейство классических кооперативных игр. Необходимые сведения из теории кооперативных игр. Напомним, что под классической кооперативной игрой обычно понимают пару {/, 1 ), где I - {1,2, ,m} — множество иі роков, а V — так называемая, характеристическая функция, заданная на всевозможных иодмножесівах S множества /, называемых коалициями игроков Содержательно - та игра интерпретируется следующим образом. Предполаїаеіся, что действуя совместно игроки г Є / могут добиться выигрыша V(7), причем каждая из коалиций претендует на часть V(S) этого выигрыша (либо считается, чго коалиция S сама может добиться выигрыша V(S)) Таким образом, возникает задача дележа выигрыша V(I) между всеми игроками с учетом амбиций всех коалиций Обычно считается, что V(0) = 0 и функция V супераддитивна, те V(Sl) Q) V(S) + V(Q), если S П Q = 0, S,Q С I. При этом под дележом понимают любой вектор х = (яі, ,хт) такой, что где 0] (х, V) — наибольший (реди всех эксцессов e(S, х, V), S С /, 02( , V) — следующий по величине эксцесс, возможно, равный с первым, если максимальных (для данного дележа) эксцессов несколько и тд , те
Совокупность всех точек лексикографического минимума вектор-функции 0 на множестве всех дележей называют N-ядром (напомним, говорят, что вектор а Є Я лексикографически не больше вектора 6 Є Rl, если а = Ь, либо первая ненулевая координата вектора а — Ь отрицательная). Известно [64], что N-ядро состоит из единственного дележа (с которым оно обычно и отождествляется) и непрерывно зависит от характеристической функции.
Из многозначных решений проблемы дележа выделим так называемое С-ядро, под коюрым понимают совокупность всех дележей, удовлетворяющих неравенствам К недостаткам С-ядра относят то, что оно может быть пустым. Известно, что если С-ядро непусто, то оно содержит N-ядро, чего нельзя сказать о векторе Шепли
Наряду с классическим понятием принципа оптимальности как отображения, ставящего в соответствие каждой кооперативной игре (/, V) определенное непустое подмножество множества дележей, под принципом оптимальности можно понимать также некоторое отображение Л V — V того или иного класса кооперативных игр V в себя [56] При этом собственно под кооперативной игрой вместо пары (/, V) можно понимать просто всякую функцию V 21 — R На основе такого представления о принципе оптимальности можно построить определенную динамическую теорию классических кооперативных игр [54], в рамках которой считается, что процесс достижения окончательного компромисса в заданной игре У 0) Є V, с одной стороны, может моделироваться итеративной последовательностью игр а с друюй — соответствующей ей, по определенному правилу, последовательностью подмножеств множества дележей в исходной игре 0 Такой подход является состоятельным, поскольку на практике компромисс обычно достигается не мгновенно, а посредством сложного мноюшагового процесса согласования интересов заинтересованных сторон При этом принцип оптимальности называется квазисовершенньш, если итеративный процесс (5) сходится за конечное число шагов к некоторой аддитивной игре
В рамках определения принципа минимакса предполагается, чго V Є Vb, где Vb — множество всех сбалансированных игр, т.е. таких, для которых С-ядро C(V) непусто. Под компромиссом на очередном шаге понимается следующее множество
Кооперативные решения в модели динамического распределения общественных благ
По отображению psh построим селектор многозначною отображения ФН С этой целью для каждого (t,x) Є D найдем проекцию vsh(t,x) вектора pSh{t,x) на множество \{t, х) Век юр vsh{t, х) можно определить как решение следующей задачи
В случаях А) и Б) потенциалы игроков имеют один и гот же вид. Следовательно, в данном случае значения отображений ФН и х имеют тог же вид, чго и в случае А) С учетом этою, сделаем замену переменных в последней задаче, выразив v Є x{t,x) через управления (йі,и2,из). Таким образом, после несложных преобразований перейдем к задаче Решение той задачи вычислено с помощью пакета Maple. Значения управлений, обеспечивающие минимум, имеют вид Эти значения управлений определяют искомый селектор GHsh многозначного отображения ФН Очевидно, что этот селектор однозначный Селектор многозначного отображения ФН, соответствующий отображению ірм строится аналогично Задача его поиска сводится к решению следующей за дачи минимизации з где ірі = , ip2 = Щ, (у5з = fH Решение этой задачи также вычислено с помощью пакета Maple Значения управлений, обес нечивающие минимум, имеют вид Й1 = 1 + « 1 273244, й2 = 5/4, й3 = 9/8 Зіи значения управлений іакже определяют однозначный селектор GHM многозначного отображения ФН Также как в случае А), каждому из найденных селекторов GHsh и GHM отвечает единственная траектория системы (1 7 1) с начальным условием (1.7 2) и единственный вектор выигрышей игроков. 3. Случай В). Пусть а = А = 1/6, Д = 1/4, Д = 1/2, Я, = 3/4, г Є / = {1,2,3} Для характеристического отображения в этом случае будем иметь Вектор Шепли в этой игре имеет вид Финальное решение, отвечающее принципу минимакса, вычисленное с помощью математического пакета Maple в данном случае совпадает с вектором Шепли Ы х) = (1е- ,е «\\е- , (t,x) Є D Следовательно, совпадают и селекторы отображения ФН (г,ж)н- ФН(,х), {t,x) Є D, соответствующие этим решениям Построим соответствующий отображению ipsh селекюр GHsh многозначного отображения ФН Заметим, что потенциалы шроков в случае В) имеют вид (2). Значения отображения ФН определяются но аналогии со случаем А) следующим образом ФН(і, х) = {(/ЛЛ.Лз) \f = -х- + ]«„ К = е-ч (j - V г Є /, Здесь Р — [0,1/4] х [0,1/2] х [0,3/4], a Q — множество решений системы неравенств Задачу поиска проекции вектора V?S/»( E) на соответствующее множество x(t,x) по аналогии со случаем Б) можно свести к следующей задаче минимизации (ui.«2,U3)QnP где / г = Ц, 2 = Ці Уз = Ц С помощью пакета Maple вычислены значения управлений, обеспечивающие этот минимум. Эти управления определяют однозначный селектор G#s/i мноюзначного отображения ФН со значениями которому соответствует единственная траектория системы (1.7 1) с начальным условием (1 7 2) и единственный вектор выигрышей игроков Таким образом, в каждом из рассмотренных случаев решению "локальной" кооперативной игры (вектору Шепли или финальному решению для принципа минимакса) соответствует единственное кооперативное решение исходной дифференциальной игры Заключение Основные положения диссертации, выносимые на защиту, соиояг в следующем 1 Для бескоалиционных дифференциальных игр с с интегральными выигрышами иіроков на бесконечном промежутке времени, доказана теорема о существовании решения в классе стратегий с информацией о предыстории по управлениям Для двух частных случаев рассматриваемых игр установлено существование решения в классе стратегий с информацией о текущей позиции в шре. 2. Доказана теорема о существовании равновесной траектории, которая, в определенном смысле, является предельной для последовательности траекторий, порождаемых ситуациями є -равновесия (ек — 0) Обоснован критерий равновесности. 3 В рассматриваемом классе бескоалиционных дифференциальных игр установлена теорема о существовании стабильно равновесных траекторий, вдоль которых обеспечивается рост гарантированных выигрышей всех игроков 4 В терминах решения определенного дифференциального включения обоснован критерий стабильной равновесности траектории, который наряду с принципами оптимальности теории классических кооперативных игр, положен в основу построения кооперативной теории рассматриваемых дифференциальных игр, имеющей своей целью решение проблемы сужения множества стабильно равновесных траекторий Построены различные кооперативные решения рассматриваемой неантагонистической дифференциальной игры
