Введение к работе
Актуальность темы. Алгоритмы стохастической аппроксимации и их модификации продолжают активно изучаться и по сей день. Они широко используются в задачах оценивания, идентификации, фильтрации, обучения и различных задачах адаптации. Процессам стохастической аппроксимации и их пременениям к указанным выше задачам посвящена обширная литература как в нашей стране так и за рубежом. Хорошо известны работы по этой тематике таких авторов как Я. 3 Цып-кин, Б. Т. Поляк, А. Н. Бородин, А. П. Коростелев, Т. П. Красулина^ Ю. М Ермольев, 0. Ю. Кульчицкий. Из зарубежных авторов можно отметить Д. Анбара, Г. Кушнера, Л. Льюнга, Д. Рупперта и др. В последнее время, особенно за рубежом, возрос интерес к задаче нахождения непрерывных точек различных непрерывных отображений. Различные рекуррентные алгоритмы для решения этой задачи, имеющие много общего с процессами стохастической аппроксимации предлагались и исследовались в работах С. Ишикавы, Д. Манна, Л. Кихоу.
Важным преимуществом рассматриваемых алгоритмов (особенно проявляющимся при реализации их на ЭВМ) является их рекуррентность и достаточно простой вид, что влечет ослабление требований к рабочей памяти и вычислительным мощностям используемых компьютеров. В связи с этим большой интерес представляют условия применимости алгоритмов стохастической аппроксимации и их модификаций, предназначенных для практических приложений. В ряде задач, в частности, в медицинских и биологических исследованиях, требуется обеспечить сходимость алгоритма стохастической аппроксимации к корню уравнения регрессии снизу. При генетических исследованиях возникает необходимость оценки вероятность вырождения того или иного генетического фактора. Кроме того, для практической реализации алгоритма на вычислительных машинах, важное .значение имеет быстрота сходимости того или иного процесса стохастической аппроксимации. Поэтому разработка и исследование методов решения указанных задач, а также изучение скорости сходимости процессов стохастической аппроксимации, имеют большое научное и практическое значение.
Цель работы. Целью настоящей работы является - разработка и обоснование алгоритмов нахождения неподвижных точек различных случайных отображений; применение этих алгоритмов к задаче оценивания вероятности вырождения ветвящегося процесса;
различных случайных отображений; применение этих алгоритмов задаче оценивания вероятности вырождения ветвящегося процесса;
разработка и исследование процессов стохастической аппроксима ции, обладающих свойством односторонней сходимости;
исследование скорости сходимости некоторых алгоритмов стохасти ческой аппроксимации.
Методика исследования. В качестве основного метода исследова ния используется аппарат теории случайных процессов и стохастичес ких дифференциальных уравнений. Для доказательства сходимости ах горитмов используются мартингальная теория, схема, использованная Д. Анбаром (Anbar D.A. A modified Robbins-Monro procedure approximating the zero of a regression function from below. - Ann. Statist., 1977, v.5, p.229-234.). и метод, предложенный Майором і Ревесом (Major P., Revesz P. A limit theorem for the Robbins-Monro approximation. - Z. Wahrsch. Verw. Geb.. 1973, 27, p.79-86. и развитый затем в работах Л. Гольдстейна и Т.П. Красулиной. Последний метод используется также при исследовании скорости сході мости процессов стохастической аппроксимации
Научная новизна и практическая ценность. В диссертации доказаны следующие теоремы:
теоремы о сходимости стохастических рекуррентных процедур к неподвижной точке в одномерном и многомерном случаях;
теорема о сходимости стохастической рекуррентной процедуры к значению вероятности вырождения ветвящегося процесса;
- теорема об односторонней сходимости модифицированного
непрерывного процесса стохастической аппроксимации к корню
уравнения регрессии;
- теорема об односторонней сходимости модифицированной про
цедуры стохастической аппроксимации в дискретном случае при
новом выборе констант, определяющих процесс.
Исследована скорость сходимости процессов стохастической аппроксимации в неисследованных ранее случаях.
Полученные в диссертации теоретические и практические резулі результаты позволяют обосновать применение стохастических реку] рентных процедур в различных задачах адаптации и обу-гн::з Кроме того, процессы, обладающие свойством односторонней сходимости МО гут применяться в медицинских и биологических исследованиях.
алгоритмы оценивания вероятности вырождения ветвящегося процесса -в генетических исследованиях.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на 5 Ленинградском международном симпозиуме по теории адаптивных систем, а также на научных семинарах кафедры теоретической кибернетики Санкт-Петербургского университета и опубликованы в работах [1-4].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 116 страниц. Библиография содержит 75 наименований.