Введение к работе
Актуальность темы. Многие проблемы науки и техники требуют изучения колебательных движений различных систем, то есть движений, которым свойственна некоторого вида повторяемость во времени или пространстве. Простейшие движения такого типа — это состояние покоя и чистые периодические колебания, поэтому первыми математическими моделями колебаний служили периодические фуньцми. Однако встретить такие чистые периодические колебания в природе практически невозможно, и если в математической модели колебательного движения какой-либо системы (механической, биологической, электромагнитной и т.н.) некоторая переменная величина описывается непрерывной периодической функцией F, то реальному изменепию этого параметра в общем случае соответствует некоторая непериодическая функция /. Разность значений двух этих функций является, характеристикой качества модели — если последняя выбрана хорошо, то при достаточном совпадении величин ее параметров с соответствующими величинами реального процесса в момент начала отсчета указанная разность остается малой по сравнению с амплитудой колебания на достаточно большом временном интервале.
С раззитием и усложнением техники возникла потребность в более точном описании колебательных движений и, соответственно, в математическом аппарате, способном обеспечить необходимую близость истинного колебательного движения и его модели. Однако чисто периодические функции достаточно долго служили единственным средством рассматриваемого моделирования, и лишь в начале нашего столетия, появилась более сложная модель — почти-периодические функции. Впервые их ползая теория была построена в Г.Бором, и опубликована в 1924 году. В 1936 году в книге Лж. Биркгофа "Динамические си-:темы" (русский перевод 1941 г.) дано определение рекуррентного движения, и начавшая быстро развиваться теория динамических систем явила множество новых классов колебаний. Раз-тичными авторами были введены в рассмотрение слабо-, цепно-почти-, слабо-почти-, псевдо-, особо-рекуррентные движения. Появились слабо-почти-периодические функции, а также почти-іериодические функции Степанова и Безиковича. В.И.Зубовым іано определение рекуррентной функции, соответствующее рекуррентному движению по Биркгофу, и несколько иное дано З.М.Левитаном.
Модель движения, опирающаяся на рекуррентную функцию,
является сугубо общей и описывает подавляющее большинство колебательных движений в природе. Тем не менее, довольно часто встречаются случаи, когда процесс очень близок к чисто периодическому, но не является таковым из-за отсутствия "постоянства" частоты. При этом амплитуда колебаний может рассматриваться либо как абсолютно неизменная, либо как меняющаяся очень незначительно. На практике подобные процессы распадаются на две категории: те, где "плавание" частоты в некоторых пределах необходимо и создается искусственно (например, в устройстве для систематического обзора заданного диапазона радиоволн, частотной модуляции электромагнитных колебаний, в специальных приборах) и те,- где это "плавание" является нежелательным явлением, связанным с воздействием сил типа трения в системе или с неустойчивостью внешних по отношению к системе параметров: температуры, давления, напряжения электрического тока в сети и т.п.
В таком случае, очевидно, описывающая колебания функция будет в определенном смысле очень близка к периодической, и для ее рассмотрения может оказаться удобной модель, опирающаяся на некоторый периодический "образец", в который каким-то способом внесены возмущения по частоте и амплитуде, но который в целом достаточно хорошо приближает истинную функцию, описывающую колебания. Таким образом, в том случае, когда амплитуда колебаний постоянна, а меняется только частота, естественно описать такой процесс с помощью одно-периодической функции ^о> аргумент которой несколько отклоняется от линейного w*< -Ь с. Если же амплитуда также не постоянна, то и модель можно ввести аддитивную поправку для учета таких возмущений. С другой стороны, при регистрации колебаний системы какими-либо приборами будет выдан некоторый набор значений, соответствующих определенным моментам времени, по которому можно построить аппроксимирующею кривую; тогда встает вопрос о существовании для нее вышеописанного представления через периодическую функцию tpo и, если ответ на данный вопрос положителен, о конкретном виде периодического образца и его аргумента.
Цель работы. Целью настоящей работы является указать варианты формализации записи колебательного процесса с непостоянной частотой и амплитудой через периодическую функцию с одной стороны, и без опоры на какой-либо образец с другой такие, что между параметрами этих двух выриантов существует взаимно-однозначное соответствие.
Научная новизна. Рассмотрены два различных подхода к описанию колебаний, близких к периодическим, но отличающихся от них за счет непостоянства частоты: один - опирающийся на периодическую функцию и позволяющий непосредственно оценить частоту и степень ее неустойчивости, другой — без опоры на периодическую функцию. Доказана эквивалентность этих подходов.
Рассмотрен также случай, где возмущающее воздействие вызывает неустойчивость как частоты, так и амплитуды колебаний, что представлено в модели в виде суммы фазопериодическои функции, т.е. функции с неустойчивой частотой, и некоторой ограниченной помехи. Предложен метод выделения фазопериодическои составляющей из описанного колебательного процесса, эбеспечавающий минимизацию модуля помехи.
Получены условия дифференцируемое входящих во все указанные представления функций и оценки констант Липшица этих функций и их производных.
Практическая ценность. Результаты работы носят в основном теоретический характер. Вместе с тем они могут быть использо-заны в практике исследований колебательных процессов в системах, к которым предъявляются требования фазовой и частотной :инхронизации, например, при работе в общей сети нескольких источников электроэнергии. Кроме того, возможно их использо-зание при анализе помехоустойчивости радиосистем.
Апробация работы. Основные результаты диссертации опу-эликованы в работах [1-3]. Результаты докладывались на науч-юй конференции факультета ПМ-ПУ Санкт-Петербургского Го-:ударственного Университета (1992 гг.), на международной конференции CSAM'93 (1993 г.), на семинарах кафедры информационных систем СПбГУ.
Структура и объем работы. Лиссертация состоит из введения, нести глави приложения, изложенных на 76 страницах мангино-шеного текста, и списка литературы, включающего 9 названий.