Введение к работе
Актуальность темы. В стандартной линейно-квадратичной теории оптимальной фильтрации ставятся три задачи: сглаживание или интерполяция; собственно фильтрация; прогноз или экстраполяция. Они различаются объемом измерений, которые доступны в момент времени t, когда требуется оценить состояние системы x(t).
Решение задач собственно фильтрации и прогноза дается известным фильтром Калмана-Бьюси, описанным в большом количестве монографий (Р.Е.Калман, Р.С.Бьюси., В.Н.Фомин, М.Аоки, К.Т.Леондес и др.). В данной работе изучается, в основном, другая постановка задачи: имеется фиксированное запаздывание оцениваемого вектора по отношению к последнему доступному измерению, и требуется минимизировать квадратичный функционал качества относительно ошибки оценивания. Функционал может быть либо дисперсией ошибки оценивания либо минимаксным по множеству возмущений относительно этой ошибки, что приводит к линейно-квадратичным постановкам и к Н-оптимизации. Требуется найти оценку интерполяции, оптимальную по отношению к критерию качества, а также рекуррентную формулу для пересчета таких оценок.
В монографиях по линейно -квадратичной теории управления и фильтрации А.Язвинского, Дж.Медича, Я.Н.Ройтенберга, М.А.Огаркова и др. оптимальная оценка интерполяции представляется как решение стохастического линейного дифференциального уравнения, в которое входит текущее и новое измерение. Это уравнение имеет простую вычислительную структуру, однако оно неустойчиво и непригодно для практических расчетов.
В монографии Р.Ш.Липцера и А.Н.Ширяева даны исчерпывающие решения для общего нестационарного условно-гауссовского процесса наблюдения. В диссертационной работе уточнены свойства фильтров для стационарных систем и найдены рекуррентные формулы для расчета зависимости точности от запаздывания.
Современная теория "^^-оптимального управления и фильтрации построена, в основном, на спектральном методе аппроксимаций аналитическими функциями, изложенном в монографии Б.Френсиса, и на методе уравненихі Риккати, введенном Дж.Дойлом и К.Гловером. Оба этих метода не дают эффективных решений для бесконечномерных объектов. В главе 4 впервые получено уравнение %-оптимального
интерполирующего фильтра на основе метода линейного функционального уравнения, предложенного А.Е.Барабановым. Приведены примеры расчетов оптимальных фильтров для объектов первого и второго порядков.
Цель настоящей работы заключается в синтезе рекуррентных фильтров, связывающих оценки оптимальной интерполяции, а также в исследовании и уменьшении их вычислительной сложности.
Методы исследования. В работе применяются методы линейно-квадратичной теории, основанные на двойственности задач управления и фильтрации; минимаксные методы синтеза 'Н00-оптимальных систем; метод окаймления и другие приемы сокращения вычислений при решении уравнений большой размерности.
Научном новизна. Новым является преобразование двойственности нестационарной задачи интерполяции линейного объекта и задачи управления с условиями на начальное состояние. В синтезированном оптимальном сглаживающем фильтре выделена стационарная часть и исследована зависимость точности от запаздывания. Впервые решена задача синтеза 7^-оптимального фильтра в задаче сглаживания.
Практическая ценность. Оптимальные фильтры, представленные в данной работе, могут быть применены в разнообразных задачах оценивания данных измерения по эашумленным измерениям.
Публикации. Основные результаты диссертации были опубликованы в работах [1-6], а также докладывались на Пятой Крымской Международной Математической школе "Метод функций Ляпунова и его приложения" (5-13 сентября 2000 г.) и на семинарах кафедры теоретической кибернетики математико-механического факультета GaHKT-Петербургского государственного университета—Работа-над диссертацией проводилась при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты N 98—01— 00581, 98-01-01009).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав, изложенных на 108 страницах машинописного текста, включающего 1 рисунок и список литературы, состоящий из 40 наименований.