Введение к работе
Актуальность темы диссертации.
Равновесное программирование является интенсивно развивающейся областью математического программирования. Задачу равновесного программирования можно сформулировать в следующей форме. Найти точку v* Є V, удовлетворяющую неравенству
$(«*, v*) < Ф(у*, w) \/w Є V,
где целевая функция Ф(ь,т) задана на произведении подмножеств копечпо-мерного метрического пространства V х V. Здесь перемелная v играет роль параметра, aw- переменная оптимизации.
Основным импульсом для возникновения теории равновесного программирования послужила идея скаляризации различных игровых постановок. Так, для скаляризации седловой задачи Исодо предложил использовать нормализованную функцию. С ее помощью исходная задача сводилась к вычислению неподвижной точки экстремального отображения, а следовательно, и к поиску равновесного решения. Аналогичная идея была реализована и для скаляризации игр многих лиц с равновесием по Нэшу.
Анализ этих и многих других примеров подчеркивает актуальность развития теории и методов решения равновесных задач, поскольку именно эти задачи описывают на модельном уровне сложные ситуации, связанные с поиском компромисса и согласования частично (или полностью) противоположных интересов сторон конфликта.
Значительным стимулом к дальнейшему развитию теории равновесных задач послужило доказательство теоремы Какутани о существовании равновесного решения, которую можно считать обобщением известной теоремы Брауэра о неподвижной точке. Позднее в работах Обспа, Ки Фапя, Лионса, Эттли и др. были получепы и другие формулировки теоремы существования.
В последнее время все больший интерес исследователей привлекает проблема построения методов решения равновесных задач. Суть проблемы состоит в том, что в силу специфики равновесной задачи классические методы оптимизации, в частности градиентный метод, оказываются неприменимыми. В связи с этим Антипин А.С. предложил использовать для решения равновесной задачи экстраградиентный метод, в основе которого лежит идея замены обычной итерации градиентного метода сдвоенной итерацией.
Несмотря на достигнутые результаты, разработка равновесных методов по-прежнему остается актуальной и перспективной областью исследований.
Также необходимо остановиться еще на одном аспекте, связанном с равновесными задачами, а именно их неустойчивостью (некорректностью) к возму-
щениям. В связи с этим возникает проблема построения методов регуляризации исходной равновесной задачи. До сих пор для этой цели исследователи использовали классическую функцию Тихонова с сильно выпуклым стабилизатором. В данной диссертации предлагается новая, кососимметричиая регуляризация равновесной задачи. Данная регуляризация развивает предложенную Антипиным идею кососимметричности, которая обобщает свойство "седловито-сти"для функции Лагранжаи позволяет учесть специфику равновесной задачи. Проблема построения на базе кососимметричной регуляризации устойчивых равновесных методов, которые являлись бы оптимальными по эффективности (на определенных классах задач), представляется актуальной.
Цель работы: исследование равновесной задачи и развитие математического аппарата, исследование методов проекции градиента, метода усреднений и экстраградиентного метода для решения сильно кососимметричной задачи и сравнение их во эффективности, конструирование кососимметричной регуляризации. Построение на ее оспове регуляризованпых вариантов предложенных методов, метода итеративной регуляризации и метода с отслеживанием траектории с использованием экстраградиентного метода, построение регуляризиру-кмцего оператора.
Методы исследований. В работе используются теория и методы гладкой и выпуклой оптимизации, равновесного программирования, негладкой оптимизации, методы функционального анализа, теория некорректных задач и функций комплексного переменного.
Научная новизна работы. В диссертации предложена обобщенная формулировка равновесной задачи. С ее помощью доказана теорема существования решения исходной задачи без предположения ограниченности допустимого множества. Предложен новый метод усреднений и развиты метод проекции градиента и экстраградиентный метод для решения равновесной задачи. Предложена новая, кососимметричная регуляризация исходной задачи и доказана ее сильная сходимость. Исследованы регуляризованные варианты предложенных методов. На базе экстраградиентного метода построен метод итеративной регуляризации, метод с отслеживанием траектории. На основе развитого математического аппарата проведено сравнение предложенных методов по эффективности (трудоемкости).
Теоретическая и практическая ценность работы. Методы, предложенные в работе, могут быть использованы при решении задач игрового типа, их экономических приложений, описывающих на модельном уровне сложные ситуации, связанные с поиском компромисса и согласования частично (или полностью) противоположных интересов сторон конфликта.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на:
- научном семинаре ВЦ РАН под руководством проф. Евтушенко Ю.Г.;
научном семинаре кафедры оптимального управления факультета ВМиК МГУ под руководством проф. Васильева Ф.П.;
научном семинаре ЦЭМИ РАН под руководством проф. Гольштейна Е.Г.;
XI Всероссийской конференции "Математическое программирование и при-ложения"в Екатеринбурге ( февраль 1999 );
VI Конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи"в Москве (19-22 шопя 2000).
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1], [2], [3], перечисленных в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введепия, трех глав и списка литературы, включающего *// наименований. Объем работы составляет ??' страниц машинописного текста.