Введение к работе
Актуальность темы. Теория минимаксных (макснминных) 'задач, являющаяся одня.м in наиболее сложившихся разделов негладкого анализа, прошла значительный путь развития. Одна из ее первых задач, задача о наилучшем равномерном приближении функции многочленами, была поставлена еше П.Л.Чебышевым. Работы Валле-Пуссена. Е.Я.Ремеза. С.И.Зуховпцкого, Дж.Данскина, В.Ф.Демьянова, В.Н.Ма-лоземова. Б.Н.Пшеничного. Ю.Г.Евтушенко, Ю.Б.Герменера, В.В.Федорова. А.Г.Сухарева. К).М.Данилина, В.М.Панина, С.К.Заврнева и других специалистов во многом предопределили сегодняшнее состояние теории мшшмакса.
Интерес к минимаксным задачам поддерживается их обширными приложениями в технике, экономике и самой математике. В процессе сотрудничества соискателя с разработчиками радиотехнических устройств, некоторые задачи параметрической оптимизации проектируемых, устройств удалось формализовать в следующем виде:
^-(.г) = тій /(.г - ,j) -> max, (lj
где О и D некоторые замкнутые множества из конечномерного простран-( і ва R'". а /() функция, определённая на открытом, множестве S, которое содержит множество D — Q = {г — у R,J / .г Є D. у Є $2}.
Выяснилось, что некоторые задачи наглядного геометрического характера (например, задачи о внутренней и внешней оценке множества шаром произвольной нормы) также сводятся к задаче вида (1). Частным случаем'функции ^(.с) в задаче (1) является функция расстояния (ФР) от точки до множества в некоторой норме п(-) :
рп(.с) =niiiru(.c -tj). (2)
уЄІІ
Хорошо известна ее важная роль в негладком анализе, теории приближений и других разделах математики.
Задача отыскания максимина функции разности аргументов (1) и ФР (2) являются главными объектами исследования диссертации.
Многие успехи в решении минимаксных задач связаны с исследованием маргинальных функций (функций максимума и минимума), сначала с распадающимися, а затем со связанными неременными. Дифференциальные свойства таких функций изучались в работах В.Ф.Демьянова1, Б.Н.Пшеничного2, Дж.Данскина, А.М.Рубинова, М.С.Никольского, Л.И.Минченко, R.T.Rocafellar, R.Janin, J.Gauvin, F.Dubeau, J.-B.Hiriart--Urruty и др. Другой подход к решению минимаксных задач, известный по работам В.В.Федорова3, основан на применении метода штрафов. К решению минимаксных задач применялся также метод линеаризации Б.Н.Пшеничного4 и его модификации. Полученные результаты, касающиеся как необходимых и достаточных условий решения, так и алгоритмов решения, опирались на довольно жёсткие предположения.
Часто в задачах параметрической оптимизации проектируемых технических устройств, которые сводятся к задаче вида (1), функция j(x), а также функции, которыми задаются множества П и D, сами являются маргинальными функциями или функциями, от которых нельзя требовать более, чем дифференцируемость по направлениям. В этой ситуации обычно становится невозможным перенесение известных ранее результатов для минимаксной задачи общего вида на случай задачи (1) из-за невыполнения предположений, при которых эти результаты были получены.
Исследованием свойств ФР занимались многие математики. Она часто используется как инструмент исследований. Так с ее помощью исследуются аппроксимативные свойства множеств в теории приближений а, ставятся задачи по оценке и аппроксимации множеств и многозначных отображений в негладком анализе. Поэтому важно знать свойства ФР, прежде всего дифференциальные, для всевозможных п(-) и О.
'См.напр.: В.Ф.Демьянов. Минимакс: дифференцируемость по направлениям. Л.: изд. Ленпнгр. ун-та, 1974.
См. напр.: Б,Н.Пшеничный. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.
См.: В.В.Федоров. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979. 4См.: Б.II.Пшеничный. Метод линеаризации. М.: Наука, 1983. 5См.напр.: В.С.Балаганский, Л.П.Власов. Проблема выпуклости чебышевских множеств // Успехи матем. наук. 1996. Т.51г N6. С.125-188.
Вышеизложенное позволяет сделать вывод об актуальности настоящей работы.
Цель работы заключалась в
а) получении необходимых и достаточных условий решения задачи
(1) при основном предположении о дифференцируемости по напра
влениям функции /() и функций, лебеговыми множествами кото
рых являются О и D; конкретизации этих результатов для случая
квазидифференцируемых функций 6;
б) исследовании свойств ФР с произвольной нормой, а именно, тре
бовалось:
установить необходимые и достаточные условия дифференцируемости ФР по направлениям в фиксированной точке, а также получить соответствующие условия субдифференцируемости и супер-дифференцируемости ФР (в определении В.Ф.Демьянова-А.М.Ру-Сптовіг);
указать способы построения верхних выпуклых аппроксимаций и нижних вогнутых аппроксимаций ФР в фиксированной точке (соответственно в определении Б.Н.Пшенично го и Л.М.Рубинова7) п их исчерпывающих семейств;
установить случаи непустоты и формулы субдифференциала и супердифференциала Пено ФР;
изучить особенности поведения ФР до сильно выпуклого множества и до множества, являющегося дополнением сильно выпуклого множества до всего пространства Rp;
в) построении и обосновании алгоритма решения задачи о внутрен
ней оценке выпуклого компакта шаром наибольшего радиуса в
произвольной норме;
г) построении и обосновании алгоритма решения задачи расчёта но
минальных значений параметров проектируемого устройства, ко-
См.: В.Ф.Демьянов, Л.В.Васильев. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981.
?См.: В.Ф.Демьянов , A.M.Рубинов. Основы негладкого анализа и квазидидиффе-ренциальное исчисление. М.: Наука, 1990.
торые обеспечивали бы, в пределах точностных возможностей используемого оборудования, техническую реализацию устройства с наилучшей качественной характеристикой.
Методы исследования. В диссертации используются методы выпуклого анализа, теории минимаксных задач, многозначных отображений, а также основы квазидифференциального исчисления.
Необходимые и достаточные условия решения задачи (1) были получены через внутренние и внешние (по включению) оценки локальных аппроксимаций (конуса Булигана) лебеговых множеств функции (р(х). При этом существенно использовались специфика ее задания в зада-
че (1).
При изучении дифференциальных свойств ФР во многом использовалась техника и некоторые идеи геометрического характера, нарабо-тайные в трудах В.Ф.Демьянова" * и Б.Н.Пшеничного по исследованию функций маргинального вида. Главные результаты базировались на получении формулы нижней производной Дини ФР по направлению и оценки сверху для верхней производной Дини ФР по направлению, а также на рассмотрении случаев выпуклости и вогнутости ФР.
В основу построения алгоритмов решения рассматриваемых в диссертации прикладных задач были положены задачи о вложении в ограниченный телесный многогранник шара наибольшего радиуса, а таюке лебегова множества функции Минковского наибольшего объёма, которые сводились к задаче линейного программирования.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Необходимые и достаточные условия максимина функции разности аргументов получены в предположениях на объекты задачи, которые не дают возможности их получения в качестве следствия известных ранее результатов для максиминной задачи общего вида. Они получены с помощью предложенного в диссертации нового подхода к характериза-ции решения экстремальной задачи, который опирается на оценки локальных аппроксимаций (конуса Булигана) лебеговых множеств целевой функции (она в рассматриваемой задаче имеет маргинальный вид).
Для ФР, как для функции маргинального вида, впервые получены не только достаточные условия дифференцируемое по направлени-
ям, но и необходимые условия, причём в сравнимой форме. Полученная формула производной ФР по направлениям справедлива всегда, как только ее диффсрснцируемость по направлениям в данной точке имеет место. Эта формула не может быть получена в качестве следствия из известных ранее формул для подсчета производной по направлению функции маргинального вида*' ». Решаемые в диссертации вопросы о других дифференциальных характеристиках ФР являются либо новыми по постановке, либо обобщают полученные ранее результаты на случай произвольной нормы.
Формализация задачи фиксированных допусков, являющейся одной из задач параметрической оптимизации проектируемых устройств, в виде задачи отыскания максимина функции разности аргументов, позволила получить необходимые и достаточные условия ее решения при более широких, чем известные ранее, предположениях и предложить алгоритм решения для случая квазивогнутой функции качества.
Практическая значимость. Задача отыскания максимина функции разности аргументов может иметь приложения в задачах наглядного геометрического и технического содержания. Примеры таких приложений, задачи о внутренней и внешней оценке множества шаром произвольной нормы, а также некоторые задачи параметрической оптимизации проектируемых устройств, даны непосредственно в диссертации. При сотрудничестве с разработчиками радиотехнических устройств, результаты диссертации были использованы соискателем при расчёте номиналов и допусков на параметры для ряда СВЧ-устройств ([1]-[3]).Отметим также, что максимин нормы разности аргументов задействован в определении расстояния Хаусдорфа между множествами и, следовательно, результаты исследования задачи (1) могут быть полезными при решении задач по равномерной оценке сложных множеств множествами простой геометрической структуры.
ФР широко применяется в математике, как инструмент исследований. Установленные в диссертации новые свойства ФР могут увеличить круг ее приложений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Саратовских зимних школах по теории функций и приближений (1986, 1988,1990,1992,1994,1996 гг.), Воронежских весенних школах "Понтря-
гинские чтения" (1993, 1994 гг.), международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященной 90-летию академика С.М.Никольского (Москва, апрель-май 1995г.), международной конференции "Негладкий анализ и многозначные отображения'7 (С.-Петербург, май-июнь 1995г.), международной конференции "Современные проблемы математики и механики", посвященной 175-летию со дня рождения П. Л. Чебышева (май 1996), конференции "Алгебра и анализ" (Казань, июнь 1997г.), а также докладывались и обсуждались на семинарах кафедры математической теории моделирования систем управления С.-ПбГУ,кафедры оптимального управления МГУ, Вычислительного центра РАН, Института высокопроизводительных вычислительных систем РАН, кафедры дифференциальных уравнений и прикладной математики СГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [4]-[16]. Их приложения к задачам параметрической оптимизации некоторых радиотехнических устройств отражены в [1]-[3], а также в книге В.П.Мещанова, Л.Л.Фельдштейна8 (глава 10 "Вопросы расчёта допусков" написана вместе с В.П.Мещановым) и в книге В.П.Мещанова и др.9 (глава 6 "Оптимизация допусков" написана вместе с В.П.Мещановым).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы (содержащего \Ч1 наименования), списка обозначений и изложена на 274 стр. машинописного текста.