Введение к работе
Актуальность работы. Часто в прикладных и теоретических задачах построения систем управления минимизируется некоторый функционал, зависящий от состояния системы и от управляющего воздействия. При этом желательно не только знать, существует ли такой оптимальный процесс, но и получить его возможно более явное выражение через параметры системы. Наиболее удобным является представление оптимального процесса в виде регулятора - то есть оператора, который в любой момент времени по предыстории состояния объекта (или даже только по значению состояния в последний момент) определяет вектор оптимального управления в этот момент. Такое решение существует, вообще говоря, далеко не всегда.
В работе рассматривается задача минимизации степенного функционала, близкая в смысле практического использования к задаче минимизации максимального отклонения. Уравнение объекта управленій предполагается линейным. Изучается возможность получить решение такой задачи в виде оптимального регулятора. Исследуется связь полученного решения с решением линейно-квадратичной задачи.
Доказано, что при определённых предположениях в линейно-степенной задаче существует единственный оптимальный процесс и получено его представление в виде оптимального регулятора. Отдельно рассмотрены случаи квазиоднородного и квадратично-степенного функционалов. Получены уравнения в частных производных, решение которых позволяет явно выразить оптимальный регулятор исходной задачи. Полученный регулятор обладает свойством универсальности в следующем смысле: он не зависит от начального состояния объекта. Это полезно, поскольку на
практике обычно начальное состояние объекта неизвестно или известно неточно.
Актуальность поставленных и решённых в диссертации задач обусловлена важностью исследования систем управления, где требуется минимизировать максимальное отклонение переменных состояния и управления от некоторых эталонных значений (обычно нулевых). Кроме того, актуальным является обобщение некоторых методов исследования задач оптимального управления на задачи более широкого класса, чем линейно-квадратичные.
Цель работы. Постановка и решение задачи минимизации степенного функционала для линейного объекта управления. Исследование связи с результатами для линейно-квадратичной задачи. Получение оптимального регулятора, не зависящего от начального состояния и исследование его свойств. Моделирование на компьютере оптимального управления с помощью построенного регулятора.
Методы исследования. В диссертацин использованы методы теории оптимального управления, теории дифференциальных уравнений, математического анализа, компьютерное моделирование.
Научная новизна. Решена задача оптимального управления линейным объектом с минимизацией степеннбго функционала. Построено уравнение в частных производных, через решение которого выражается универсальный оптимальный регулятор в поставленной задаче.
Практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при решении задач минимаксной оптимизации для систем, описываемых дифференциальными уравнениями небольшого порядка путём замены целевого минимаксного функционала на степенной функционал (как правило, затруднительно непосредственно минимизировать сам минимаксный функционал). При помощи построенного регулятора
можно осуществлять управление системой, начальное состояние которой неизвестно.
Достоверность полученных результатов. Полученные результаты основываются на строгом использовании математических методов. Результаты компьютерного моделирования подтверждают теоретические выводы.
Публикации. Имеется 3 публикации [4][5][6].
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на ХГХ всероссийской конференции студентов и аспирантов в МГУ (Москва, 6-11 апреля 1997г.), 1-й международной конференции "Control of Oscillations and Chaos" (Санкт-Петербург, 27-29 августа 1997 г.), 1-й международной конференции "Tools for Mathematical Modeling" (Санкт-Петербург, СПбТТУ, 3-5 декабря 1997 г.), Российско-Шведской конференции по управлению (Стокгольм, 11-13 мая 1998 г.). На конференции "Control of Oscillations and Chaos" доклад [5] был признан финалистом конкурса молодых учёных.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 8 глав, заключения, списка литературы и содержит 78 страниц машинописного текста.