Кратчайшие замкнутые бильярдные траектории в выпуклых телах в нормированных пространствах Балицкий Алексей Михайлович

Введение к работе

Актуальность темы исследования и степень её разработанности.

Главный объект изучения в диссертации — следующая дискретная динамическая система: выпуклое тело (бильярдный стол), в котором рассматриваются замкнутые бильярдные траектории. Приведём примеры вопросов, которые изучались в литературе.

1. Для данного бильярдного стола и традиционной бильярдной динамики отражений от границы стола (угол падения равен углу отражения): существует ли хотя бы одна замкнутая бильярдная траектория? если да, то как много? сколько траекторий обладают наперёд заданными характеристиками (количество звеньев, число вращения на плоскости и т.п.)?

2. Как «физически корректно» определить бильярдную динамику в среде с неевклидовыми свойствами, например в однородной анизотропной среде?

3. Существует ли кратчайшая замкнутая бильярдная траектория? Если да, то сколько в ней звеньев? Можно ли охарактеризовать тела, в которых кратчайшая замкнутая бильярдная траектория, скажем, двузвен-ная?

4. Каковы свойства метрической характеристики () выпуклого тела , определяемой как инфимум длин замкнутых бильярдных траекторий в теле ? Как она связана с другими метрическими характериками, например, объёмом vol тела ? В частности, интересна задача минимизации изопериметрического отношения ₍^vo₎^l_dim .

5. Вопросы, касающиеся внешних бильярдов, свойств каустик, и другие, которых мы не касаемся.

Первый вопрос, по крайней мере для случая гладкого строго выпуклого бильярдного стола К С М^п, — топологический. Первый такой результат был доказан в 1960 г. Дж. Биркгофом; он доказал (и в доказательстве прослеживаются простейшие идеи теории Морса), что в плоском случае п = 2 для любого фиксированного числа звеньев т и для любого числа вращения р существуют хотя бы две замкнутых траектории с таким числом звеньев и таким числом вращения. В размерностях п > 3 нижние оценки (в терминах т^п) на количество траекторий для некоторых т даны в нескольких работах М. Фарбера, С. Табачникова, Р. Карасёва (все — в случае евклидовой бильярдной динамики). Обобщение на финслеровы бильярды дано П. Благо-евичем, М. Харрисоном, С. Табачниковым и Г. Циглером.

Для случая гладкого невыпуклого бильярдного стола К С Ш^п существование замкнутой бильярдной траектории с не более чем (п + 1) отражениями от границы установлено В. Бенчи и Ф. Джианнони аналитическими методами. Обращаем внимание, что в невыпуклом случае двузвенная замкнутая бильярдная траектория не обязана существовать, в отличие от выпуклого случая, где двукратный обход ширины тела даёт тривиальный пример такой траектории. При помощи аналитических и симплектических методов удаётся доказать существование (< п + 1)-звенной замкнутой бильярдной траектории длины, ограниченной сверху в терминах объёма (это сделано в работе К. Витербо), диаметра (это сделано в работе П. Альберса и М. Маццукелли) или радиуса вписанного шара (это сделано в работе К. Ири).

В негладком случае можно рассматривать бильярдные траектории двух типов: классические (не отражающиеся в негладких точках границы бильярдного стола) и обобщённые (для которых доопределены корректные отраже-

ния в негладких точках границы). Зачастую получающиеся задачи обретают дискретный комбинаторный характер. Наибольший интерес вызывает изучение классических замкнутых бильярдных траекторий. Чаще всего рассматривают случай, когда бильярдный стол — симплекс. Из решения задачи Фаньяно, известной с XVIII века, следует, что в остроугольном треугольнике (в случае евклидовой геометрии отражений) существует классическая трёх-звенная бильярдная траектория, образованная основаниями его высот. Однако для общего тупоугольного треугольника неизвестно, существует ли в нём классическая бильярдная траектория (хоть какого-нибудь периода). Лучший результат в этом направлении — использующее компьютер доказательство Р. Шварца для треугольников с углом меньше 100. В размерностях три и больше рассматривались явные примеры классических траекторий в правильном симплексе евклидова пространства (в работе Н. Бедариде и М. Рао) и пространства Лобачевского (в работе О. Бадта и Я. Островера). Во второй главе данной диссертации излагается совместный результат автора с А. Акопяном, доказывающий существование классических замкнутых бильярдных траекторий в негладких выпуклых телах, все негладкие точки которых удовлетворяют некоторому условию «остроугольности». Из этого следует существование классических замкнутых бильярдных траекторий в симплексе евклидова пространства, все двугранные углы которого острые. Метод доказательства – исследование задачи минимизации длины обобщённой траектории (методом Бездека–Бездека, описанным ниже) и проверка того, что минимизатор в ней оказывается классической траекторией (в предположении «остроугольности» бильярдного стола).

Бильярдная динамика в нормированной геометрии Минковского (или, более общо, в финслеровой геометрии) отвечает в физическом контексте распространению света в однородной анизотропной (соответственно, в неоднородной анизотропной) среде; при этом отражения от границы тела подчи-5

няются принципу Гюйгенса. В работе Е. Гуткина и С. Табачникова вводится финслерова бильярдная динамика и объясняется бильярдная двойственность.

Как уже было отмечено, определение бильярда можно обобщить, определив корректные отражения в негладких точках границы бильярдного стола. Для таких обобщённых траекторий вопрос существования замкнутой траектории становится значительно проще. К. Бездек и Д. Бездек доказали (следуя более ранним идеям К. Бездека и Р. Конелли), что в любом выпуклом теле R инфимум () длин обобщённых замкнутых бильярдных траекторий достигается на некоторой обобщённой траектории, в которой не более ( + 1) звеньев. Их идея состояла в том, чтобы рассмотреть другую оптимизационную задачу — минимизировать длину ломаной, которую нельзя параллельным переносом сдвинуть во внутренность бильярдного стола. Из теоремы Бездека–Бездека следует, что кратчайшая обобщённая замкнутая бильярдная траектория существует, и можно задавать вопросы про количество звеньев в ней и про её длину (). Обобщение теоремы Бездека–Безде-ка на случай произвольного нормированного пространства (и даже на случай пространств с несимметричной нормой, или калибровкой) дано в статье А. Акопяна, А. Балицкого, Р. Карасёва, А. Шариповой и излагается в этой диссертации в первой главе.

Вопрос о характеризации всех выпуклых тел, в которых кратчайшая замкнутая бильярдная траектория двухударная, поставлен С. Зельдичем в контексте обратных спектральных задач. Из теоремы М. Гоми следует, что таких свойством обладают выпуклые тела, в которых максимальный вписанный шар касается границы тела в двух антиподальных точках (например, центрально симметричные тела). Другие классы плоских областей, в которых кратчайшая замкнутая бильярдная траектория двузвенная, рассматривались в работах К. Бездека и Д. Бездека (там рассматриваются пересечения кругов,

центры которых расположены достаточно близко) и А. Балицкого (там приведён аргумент А. Заславского для тел постоянной ширины на плоскости).

Симплектический подход Ш. Артштайн-Авидан и Я. Островера к бильярдной динамике состоит в том, что они выражают (К) через так называемую симплектическую ёмкость Экланда-Хофера-Цендера лагранжева произведения тела К на евклидов шар (их результат распространяется также на бильярды в анизотропной среде). Ёмкость Экланда-Хофера-Цендера принадлежит семейству симплектических инвариантов, изучение которых началось с теоремы М. Громова о несжимаемости: шар В^2п(г) симплектоморфно вкладывается в цилиндр Z²ⁿ(R) = B²{R) х R²ⁿ~² (расщепление симплектическое, т.е. оба множителя лежат в дополнительных симплектических подпространствах) если и только если г < R. Теорема Громова позволяет определить нижнюю и верхнюю симплектическую ёмкость выпуклого множества X С Ш^2п:

, о п2г? / \ ^симпл- -t^i _/ _л/- . г г г>2 лг ^симпл- гу2п / пм

с(Х) = sup{7rr : В (г) ^->- Х\ < с(Х) = mi{7rit : X --^ Z \Щ\-

Нижняя и верхняя ёмкости Громова зажимают между собой целое семейство симплектических инвариантов, среди которых для нас наиболее важна ёмкость Хофера-Цендера снг{), определяемая в терминах гамильтоновой динамики. Частный случай результата Ш. Артштайн-Авидан и Я. Островера тогда гласит, что (К) = снг{К х В^п(1)) (расщепление лагранжево, т.е. оба множителя лежат в дополнительных лагранжевых подпространствах), а в более общем случае снг{К х Т) может быть проинтерпретировано в терминах анизотропной бильярдной динамики. Другой полезный взгляд на ёмкость Хофера-Цендера происходит из двойственности Кларка, представляющей ёмкость как решение задачи оптимизации квадрата (неевклидовой) длины замкнутой кривой на выпуклой поверхности уровня гамильтониана при фиксированной величине гамильтонова действия.

Величина (К) обладает рядом неочевидных свойств, таких как моно-

тонность относительно вложения тел, или неравенство типа Брунна-Минков-ского, которые впервые были показаны Ш. Артштайн-Авидан и Я. Остро-вером при помощи симплектического подхода. В данной диссертации эти и некоторые другие свойства объясняются элементарно с позиции обобщённой теоремы Бездека-Бездека. Некоторые другие неравенства, связывающие бильярдные свойства тел К и К — К, доказаны в работах А. Балицкого, А. Ако-пяна, Р. Карасёва, Ф. Петрова, Й. Нира. Очень интересный результат, связывающий симплектические инварианты с выпуклой геометрией посредством бильярдной динамики, был доказан Ш. Артштайн-Авидан, Я. Островером и Р. Карасёвым: они свели давнюю гипотезу Малера о произведении объёмов полярных тел к симплектической гипотезе Витербо (неравенству изоперимет-рического типа между объёмом выпуклого тела и его симплектической ёмкостью). Другой частный случай гипотезы Витербо может быть проинтерпретирован как неравенство изопериметрического типа между объёмом выпуклого тела и длиной его кратчайшей замкнутой бильярдной траектории (возможно, в неевклидовой норме). Из результатов В. Мильмана, Ш. Артштайн-Авидан и Я. Островера, которые доказывают гипотезу Витербо с точностью до некоторого множителя, следует, например, что изопериметрическое отношение

Г7гт7 > с_п vo\{Kyiⁿ

для любого выпуклого тела К С М^п, где с_п = Су/п для некоторой абсолютной константы с. Однако минимум изопериметрического отношения (максимально возможное значение с_п), так же как и соответствующее «критическое» тело К, остаются неизвестными даже в случае п = 2. Конкретная оценка сверху (по-видимому, улучшаемая) на величину С2 следует из результатов К. Бездека и Р. Конелли.

Основные результаты диссертации так или иначе связаны с частными случаями гипотезы Витербо (интерпретируемыми как бильярдные изопери-

метрические неравенства), а также случаями равенства в ней. Эти основные результаты автора изложены в третьей главе. В частности, предъявлены новые случаи равенства в гипотезе Витербо, связанные с пермутоэдрами и, более общо, с графическими зонотопами. Для этого вычислена их ёмкость Хо-фера–Цендера при помощи бильярдной техники. Комбинаторные свойства пермутоэдра и графических зонотопов существенным образом используются в доказательствах. Доказаны неулучшаемые изопериметрические бильярдные неравенства в ₁-норме и в калибровке с единичным телом-симплексом. Описаны бильярдные траектории в многогранниках Ханнера в случае, когда единичным телом нормы является тот же многогранник Ханнера. Цели и задачи работы.

исследование существования решения задачи минимизации длины классической бильярдной траектории в негладких телах, и, как следствие, существования замкнутых классических бильярдных траекторий в негладких телах;

обнаружение новых и исследование известных минимизаторов изопери-метрического отношения Витербо (объём, поделённый на степень ёмкости) в связи с комбинаторно-геометрическими свойствами пермутоэдров и графических зонотопов;

решение задач минимизации изопериметрического отношения Витербо в частных случаях некоторых норм (интерпретируемых как изопериметриче-ские неравенства, связывающие объём бильярдного стола и длину кратчайшей замкнутой бильярдной траектории).

Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в теории бильярдных динамических систем, физике анизотропных сред с отражающими поверхностями, дискретной и комбинаторной геометрии.

Методология и методы исследования. В работе используются различные методы дискретной математики, в частности, методы комбинаторики пермутоэдров, зонотопов и ориентированных матроидов; методы комбинаторной и выпуклой геометрии; методы оптимизации кусочно-гладких функций на конфигурационных многообразиях; методы элементарной топологии на дискретных структурах.

Положения, выносимые на защиту.

5. На случай (возможно, несимметричного) нормированного пространства обобщена теорема Бездека–Бездека, характеризующая кратчайшие замкнутые бильярдные траектории в терминах ломаных, которые невозможно параллельным переносом поместить во внутренность бильярдного стола. (Доказательство проведено автором и опубликовано в статье [1] в соавторстве с А. Акопяном, Р. Карасёвым, А. Шариповой.)

6. Доказано существование классических замкнутых бильярдных траекторий в негладких выпуклых телах, все негладкие точки которых удовлетворяют некоторому условию «остроугольности» (доказательство проведено в статье [2] в соавторстве с А. Акопяном, которому принадлежит основная идея, а автору — детали реализации). Из этого следует существование классических замкнутых (евклидовых) бильярдных траекторий в симплексе, все двугранные углы которого острые. Доказано (лично автором), что если кратчайшая обобщённая замкнутая бильярдная траектория имеет максимальное число звеньев (+1 в размерности ), то она избегает негладкие точки границы бильярдного стола. Доказаны (лично автором) обобщения этих результатов на неевклидов случай.

7. Обнаружены (лично автором [4]) ранее неизвестные случаи равенства в гипотезе Витербо, связанные с пермутоэдрами и графическими зоно-топами.

4. Доказаны (лично автором [4]) неулучшаемые изопериметрические бильярдные неравенства в ₁-норме и в калибровке с единичным телом-симплексом.

5. Описаны (лично автором [3]) классические бильярдные траектории в многогранниках Ханнера в случае, когда единичным телом нормы является тот же многогранник Ханнера. Доказано, что все они имеют одну и ту же длину, и что они плотны в фазовом пространстве.

Степень достоверности и апробация результатов. Все результаты строго доказаны. Результаты, изложенные в диссертации, в разное время докладывались и обсуждались на

конференции «Информационные технологии и системы», Нижний Новгород, 2014.

конференции «Встреча поколений», Москва, 2015;

конференции «Intuitive Geometry, LFT Centennial», Будапешт (Венгрия), 2015;

конференции «Geometry and Symmetry», Веспрем (Венгрия), 2015;

девятой конференции по дискретной геометрии и алгебраической комбинаторике, остров South Padre (США), 2017;

межкафедральном семинаре МФТИ по дискретной математике, 2014;

математическом семинаре в Institute Science and Technology, Австрия, 2016;

воркшопе по экстремальной комбинаторике и комбинаторной геометрии, Долгопрудный, 2016;

научном семинаре кафедры высшей математики МФТИ, Долгопрудный, 2018;

научном семинаре «Алгебраическая и другая комбинаторика» под руководством Ф. Петрова в Санкт-Петербургском государственном университете, Санкт-Петербург, 2018.

Основные результаты работы опубликованы в четырёх работах [1–4]; все четыре — в международных изданиях, индексируемых в Scopus и Web of Science. Основные результаты диссертации и положения, выносимые на защиту, отражают личный вклад соискателя в работах с соавторами, в частности, в [1] — доказательство обобщённой теоремы типа Бездека–Бездека в несимметричных нормированных пространствах, в [2] — доказательство теоремы о существовании замкнутой классической бильярдной траектории в остроугольных телах и теоремы о том, что обобщённая замкнутая бильярдная траектория максимального периода — классическая.

Структура работы. Работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы. Общий объём диссертации составляет 76 страниц. Список литературы содержит 47 наименований.