Категорные и бурбаковские конструкции в теории управления Данилов, Никита Юрьевич

Введение к работе

Актуальность работы Теория категорий и исчисление родов структур предлагают различные модели для описания совокупностей „однородных" математических объектов. В разное время для этой цели были предложены и другие формализмы, например, универсальные алгебры, и т.д. Однако, между универсальными алгебрами и категориями с одной стороны и родами структур с другой есть существенное различие: первые больше подходят для изучения математических структур уже заданных при помощи средств, лежащих вне этих формализмов и, соответственно, предоставлют минимальные средства для порождения новых типов объектов (по двум типам универсальных алгебр, можно построить „тип-произведение", по двум категориям — категорию функторов и т.д.), в то время как исчисление родов структур предоставляет средства для построения всех типов математических объектов. Например, там где при использовании родов структур можно сказать „определим род структуры группы как ... ", в теории категорий говорится „рассмотрим категорию групп ... ", предполагая при этом, что определение группы и гомоморфизма групп известно заранее.

Тем самым, роды структур позволяют описывать совокупности математических объектов неким „регулярным" способом и также регулярно задавать морфизмы между объектами (при помощи т.н. естественных и естественных канонических морфмзмов), что делает роды структур удобным формализмом для изучения общих декомпозиционных свойств. В то же время, имеется развитой аппарат категор-ного анализа, базирующийся на специфических категорных понятиях, не имеющих прямых эквивалентов в исчислении родов структур. Для того чтобы использовать результаты, полученные в теории категорий для иследования декомпозиционных свойств мат. объектов (в частности, динамических систем), надо выяснить связь между базовыми понятиями теории категорий и исчисления родов структур. На более практическом уровне, оказывается, что иногда категорный, а не бурбаковский вариант какой-либо конструкции точнее соответствует математической практике (например, свободное произведение групп — это категорное копроизведение, но не бурбаковская финальная структура на дизъюнктивной сумме множеств-носителей сомножителей), а иногда — наоборот (например, бурбаковский подобъ-

ект топологического пространства — это в точности подпространство, а категорных подобъектов гораздо больше); поэтому естественным образом возникают вопросы: каким категорным подобъектам (и фактор-объектам) соответствуют бурбаковские подобъекты, и при каких условиях они совпадают. Цель работы

1. Сравнение мономорфизмов с инъективными отображениями и эпиморфизмов и сюръекциями. Поиск условий совпадения мономорфизмов и инъективных морфизмов. Двойственно для эпиморфизмов. Сравнение категорных и бурбаковские подобъектов и фактор-объектов. Поиск классов мономорфизмов, представимых бурбаков-скими подобъектами. Двойственно для эпиморфизмов. Поиск класса категорий, в которых бурбаковские и категорные подобъекты и фактор-объекты совпадают.

2. Изучение взаимосвязи категорных произведений и бурбаковских начальных структур. Поиск условий их совпадения. Изучение начальных структур в некоторых классах категорий: категориях функторов и категориях с естественными каноническими морфизмами.

3. Применение категорного аппарата к категориям гладких многообразий, обыкновенных дифференциальных уравнений и дифф. уравнений с управлением. Построение для них родов структур с естественными каноническими морфизмами.

Научная новизна

1. Сравнение мономорфизмов с инъективными отображениями и эпиморфизмов и сюръекциями. Всякий мономорфизм, как известно, является инъекцией. Двойственно для эпиморфизмов. Приводятся контрпримеры для соответствующих обратных утверждений. Приводятся достаточные условия совпадения мономорфизмов и инъективных морфизмов (через существование свободных объектов), как для одноосновных, так и для многоосновных родов структур. Двойственно для эпиморфизмов. Исходя из этих результатов сравниваются категорные и бурбаковские подобъекты и фактор-объекты. Находятся достаточные условия, при которых всякий категорный подобъект содержит среди своих представителей каноническую инъекцию. Строятся классы мономорфизмов (строгих и регулярных), которые (при необременительных условиях) представимы бурбаковскими подобъ-

ектами. Двойственно для эпиморфизмов. Находятся условия на категорию (в терминах существования системы эпи-моно-факторизации), достаточные для совпадения бурбаковских подобъектов и фактор-объектов.

2. Найдено простое условие, достаточное для совпадения категорных произведений с бурбаковскими начальными структурами (на самом деле, достаточное для выполнения более общего соотношения: зада-ваемости бурбаковских пределов забывающими функторами). Найдено необходимое условие, выполняющееся для всякого конуса, являющегося бурбаковским пределом. Найдены условия, при которых это условие является и достаточным. Изучены бурбаковские пределы в категориях функторов. Выяснено, что в этих категориях имеет место („патологическая") ситуация, когда всякий допустимый моноконус является бурбаковским пределом. Найдены достаточные условия на объекты с начальной структурой в категориях с естественными каноническими морфизмами.

3. Описаны категории гладких многообразий, обыкновенных автономных дифференциальных уравнений на мнообразиях и управляемых динамических систем на многообразиях. Описаны мономорфизмы и эпиморфизмы, конечные объекты, некоторые свойства забывающих функторов и функторов касательного расслоения. В категориях ОДУ и динамических систем найдены объекты, такие что соответствующие им ковариантные и контравариантные основные функторы сопоставляют системе уравнений множество ее решений и множество инвариантов соответственно. Для всех вышеперечисленных категорий построены роды структур, в которых стандартные морфизмы являются также естественными каноническими.

4. Введена некотороая конструкция обогащения категорий, т.е. изучения категорий, в которых множества морфизмов снабжены дополнительной структурой. Изучены базовые свойства полученного таким образом класса обогащенных категорий и доказана его замкнутость относительно перехода к категории функторов, произведению категорий, категории слоя, комма-категории и замкнутость относительно пределов и копределов.

5. Вспомогательные результаты: построены примеры свободных и косвободных объектов в категориях отношений эквивалентности, эн-

доморфизмов и автоморфизмов множеств и в категории отображений множеств. Доказан результат о свойствах „т-оператора" в бурбаков-ских формальных системах. Научно-практическое значение

1. Полученные результаты о условиях совпадения бурбаковских и категорных понятий позволяют переносить некоторые теоретико-категорные теоремы в исчисление родов структур.

2. Намеченная категорная интерпретация дифф. уравнений с управлением позволяет в переспективе построить категорныи аппарат для декомпозиционного и классификационного анализа динамических систем, альтернативный „синтетической дифференциальной геометрии" Ловера.

3. Обогащенные ^-категории, изучаемые в главе 7, приложимы к управляемым системам, в которых множества морфизмов (т.е. подстановок, переводящих решения в решения) из одной системы в другую естественным образом снабжаются дополнительной структурой топ. пространства.

Апробация работы Результаты, составляющие содержание работы были изложены на семинарах в Вычислительном Центре РАН. По теме диссертации опубликованы три работы, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы Работа состоит из вступления, введения, пяти глав, разбитых на разделы, подразделы и параграфы, трех приложений, предметного указателя и списка литературы из 26 наименований. 156 стр.