Введение к работе
Актуальность темы.
Диссертация посвящена проблеме редукции математических моделей сложных управляемых динамических процессов.
В настоящее время развитие исследований сложных управляемых динамических процессов приводит к созданию все более сложных математических моделей. Решение задач управления с использованием таких моделей вызывает много трудностей и требует больших затрат различных ресурсов, например, машинного времени. Поэтому возникает необходимость в редукции (упрощении) построенных математических моделей. Более простая модель должна, с одной стороны, о блегчить получение результата, а с другой стороны, продолжать отражать существенные качества объекта и процесса управления. Разработка адекватных методов редукции моделей сложных управляемых динамических процессов находится в центре внимания многих исследователей.
Одним из подходов к проблеме редукции математических моделей является подход, разрабатываемый в отделе ВЦ РАН под руководством Ю.Н.Павловского. Согласно этому подходу, исследуемая модель погружается в множество объектов той же структуры. С этими объектами связывается семейство их отображений друг в друга (морфиз-мов), сохраняющих свойства объектов, существенные для рассматриваемого круга задач. Множество объектов с заданными морфизмами образуют категорию. Редукция модели заключается в сопоставлении ей с помощью специальных морфизмов более простых или уже изученных моделей, представляющих собой изоморфные объекты, факто-робъекты и подобъекты исходной модели. Задача редукции состоит в нахождении этих специальных морфизмов и соответствующих им объектов.
Изоморфные или, как еще говорят, эквивалентные объекты имеют одинаковые свойства в рамках данной категории. Построение эквива-
лентной модели, имеющей более простой вид, позволяет свести задачу управления для исходной модели к более простой задаче для эквивалентной модели.
Подобъект представляет собой в известном смысле сужение структуры исходного объекта. Информация о части свойств исходной модели, предоставляемая подобъектом, может оказаться достаточной для решения той или иной задачи управления.
При факторизации упрощение достигается за счет перехода от исходной модели к агрегированной модели, оперирующей с укрупненными характеристиками — агрегатами. Информация, полученная при изучении фактормодели, используется для изучения исходной модели.
Рассмотренные методы редукции (построение эквивалентного объекта, подобъекта, фактор объекта) могут применяться для решения задач управления, связанных с моделями управляемых динамических процессов, совместно и в различной последовательности.
Важным типом математических моделей управляемых динамических процессов являются нелинейные управляемые системы вида
У = /о(у) + /(у)и, yeMcR", utRP. (1)
Такие системы называются аффинными. Основной характеристикой системы (1) является множество фаоовых траекторий. Под фазовой траекторией (называемой также решением) понимается функция y(t), для которой существует такое допустимое управление u(t), что y(t), u(t) удовлетворяют (1).
Системы вида (1) можно погружать в различные категории. Первые исследования по редукции аффинных систем велись в категории ASP, морфизмы которой определяются следующим образом. Рассмотрим наряду с системой (1) систему
x=9o(x) + g{x)v, xeLcRm, veR*. (2)
Гладкое отображение ф фазового пространства М системы (1) в
фазовое пространство L системы (2) называется морфизмом системы (1) в систему (2), если р = s и для каждого решения y(t) системы (1), соответствующего некоторому управлению u(t), функция x(t) = ip(y(t)) яаляется решением системы (2), соответствующим управлению v(t) = u(i). Изоморфизмами являются по существу замены переменных.
Возможности для редукции в категории ASP довольно ограничены. Эти возможности расширяются при использовании более общих морфизмов, т.е. при погружении рассматриваемых систем в более широкие категории.
Наиболее общей категорией аффинных управляемых систем является введенная В.И.Елкиным категория AS, морфизмы в которой определяются как гладкие отображения фазовых пространств, переводящие решения в решения без априорного задания закона изменения управлений. Изучение редукции в этой категории представляет большой интерес как с теоретической, так и с практической точки зрения.
Цель работы.
Развитие методов редукции аффинных управляемых систем на основе понятий эквивалентности и сужения в категории AS.
Научная новизна.
Исследование проблемы редукции аффинных систем в категории AS относится к новому перспективному направлению в теории управления.
В диссертации получен.ряд результатов по классификации управляемых систем. Найдены условия эквивалентности аффинной системы линейной системе в терминах двойственных объектов. Разработаны методы построения так называемых почти тривиальных подсистем аффинных управляемых систем. Рассмотрена более широкая постановка задачи линеаризации аффинных систем по сравнению с теми, которые рассматривались ранее. Найдено решение этой задачи
для некоторых типов аффинных систем.
Все полученные результаты являются новыми.
Практическая ценность работы.
Разработанные методы редукции аффинных управляемых систем позволяют упростить решение ряда задач управления, связанных с управляемыми системами. Как это осуществляется на практике, показано в работе на примере задачи терминального управления. Аналогичным образом развитые метопы могут использоваться в задачах оптимального управления, инвариантности по возмущениям, автономности, идентификации и в других задачах.
Апробация работы и публикации.
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах ВЦ РАН и научных конференциях МФТИ (1993-1996). Основное содержание диссертации опубликовано в 5 научных статьях.
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы (51 наименование). Объем работы — 133 машинописные страницы.