Введение к работе
Актуальность темы. Многие задачи математической физики и исследования операций могут быть сведены к задачам иыпуклой условной оптимизации в функциональных пространствах. При этом целевой функционал задается в виде интеграла по пространственным переменным, а выпуклое замкнутое множество ограничений — с помощью неравенств, содержащих операторы. Нелинейность ограничений не позволяет свести указанные экстремальные задачи к решению системы линейных уравнений даже в случае квадратичных функционалов. Поэтому их численное решение, как правило, основывается на последовательной аппроксимации конечномерными задачами выпуклой оптимизации. Аппроксимация проводится с помощью классических методов численного анализа (Ритца, конечных элементов, конечных разностей и т. д.). Данная диссертационная работа ориентирована на использование аппроксимации по методу конечных элементов (МКЭ), который на сегодняшний день является одним из наиболее распространенных методов численного решения различного рода сложных вариационных задач.
Погрешность, возникающая в результате аппроксимации, определяет границы разумной точности решения порожденных конечномерных задач и формирует условия на выбор параметров оптимизационных методов, согласованный с точностью аппроксимации. Однако, отсутствие в общем случае неасимптотических оценок скорости сходимости МКЭ не позволяет на практике ограничиться однократным решением конечномерной задачи. Обычно решают несколько таких задач, последовательно увеличивая их размерность и пытаясь полунить близкие решения. При этом во многом приходится полагаться на эвристические приемы, интуицию исследователя, опыт программиста, что с учетом большой размерности может не привести к желаемому результату. Поэтому актуальным оказывается математическое обоснование применяемых методов поиска приближенного решения, базирующихся на итеративной аппроксимации по МКЭ.
Нелинейный характер ограничений сужает возможность их явного учета с помощью выбора базиса или проектирования. В этой связи возрастает роль метода штрафов как универсального способа освобождения от ограничений. Тем не менее, вопросы непосредственного
совмещения к единой иычислитсльной процедуре итеративной конеч-іимло-мсіїтной аппроксимации, штрафования операторных ограничений и собственно шагов метода безусловной оптимизации остались неизученными. Таким образом, представляется актуальной проблема выявления общих условий сходимости соответствующих итеративных алгоритмов и исследование возможностей их применения для решения конкретных задач бесконечномерной оптимизации.
Цель работы. Теоретическое исследование сходимости итеративной схемы, комбинирующей МКЭ, метод штрафов и скорейший спуск, для решения задач бесконечномерной оптимизации с операторными ограничениями-неравенствами. Получение условий согласования параметров штрафа, дискретизации и градиентного метода, обеспечивающих сильную сходимость к решению в сильно выпуклом случае при стандартных.предположениях гладкости.
Научная новизна. Схема итеративной аппроксимации, комбинированной с методом штрафов и градиентной оптимизацией, была изучена ранее для случая аппроксимации по методу Ритца. Полученные при этом условия существенно использовали ортогональность базисных функций. Рассматриваемая в данной диссертационной работе схема аппроксимации по МКЭ заставляет отказаться от этого условия, что потребовало разработки новой техники исследования сходимости.
Традиционно использование метода штрафов в схеме аппроксимации по МКЭ предполагает штрафование ограничений аппроксимированной задачи. Специфический недостаток такого подхода заключается в том, что аппроксимированное множество ограничений может оказаться пустым. Желание избежать этой ситуации приводит к необходимости довольно жестких предположений относительно ограничений задачи. Предложенная в работе методика позволяет обойтись без указанных предположений и не заботиться о непустоте аппроксимированного множества ограничений, так как ориентирована на штрафование исходного бесконечномерного множества ограничений с последующей аппроксимацией получившейся задачи безусловной оптимизации (минимизации оштрафованного целевого функционала). При этом используется метод внешних штрафов. Получены достаточные условия регулярности операторных ограничений и даны оценки скорости сходимости метода интегральных штрафов типа сглаженной "срезки".
В диссертации впервые найдены оценки констант сильной пыпукло-сти и Липшица градиента для аппроксимированных но МКЭ задач п зависимости от размерности аппроксимирующего пространства и соответствующих констант исходной бесконечномерной задачи. Найденные выражения легли в основу условий согласования управляющих параметров методов, используемых в итеративной схеме. Полученные условия согласования позволили предложить новый численный метод для решения рассматриваемого класса задач — итеративный метод штрафов, конечных элементов и градиентного спуска (МИКЭШГ). Построены вычислительные алгоритмы, реализующие МИКЭШГ.
Методы исследования, применяемые в работе, используют математический аппарат и теорию исследования операций, численных методов оптимизации, выпуклый и функциональный анализ, вариационное исчисление.
Обоснованность научных положений. Теоретические положения и выводы диссертации сформулированы в виде утверждений, лемм и теорем и строго доказаны. Предложенные алгоритмы апробированы на тестовой задаче.
Практическая ценность работы обусловлена возможностью применения предложенных алгоритмов для численного решения широкого класса задач бесконечномерной оптимизации с операторными ограничениями. Ряд результатов диссертации включен в научный отчет кафедры исследования операций факультета ВМиК по теме НИР "Математические вопросы моделирования и принятия решений в сложных системах управления" (номер государственной регистрации 01960003307).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 3 печатные работы.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах факультета ВМиК, ВЦ и ИПУ РАН.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав (в 1-й — 5, во 2-й — б, в 3-й — 3 параграфа) и списка литературы, включающего 75 наименований.