Введение к работе
Актуальность темы. Вопрос о наличии периодических режимов в нелинейных системах управления и проблема построения этих режимов точными или приближенными методами возникают в различных задачах теории нелинейных колебаний. Не менее важными являются проблемы анализа и синтеза законов управления, обеспечивающих возникновение в нелинейной системе колебательных процессов с заданными свойствами.
В данной работе предлагается подход к решению этих вопросов для одного класса нелинейных управляемых систем. Рассматривается п-мерная система обыкновенных дифференциальных уравнений следующего вида:
Y=AY + Bw( где матрица А и векторы В, К, С - вещественные постоянные , Y -вектор состояний системы, Y єЕ" , u(a) = F{a)- нелинейный функционал, описывающий нелинейность типа неидеального двухпозици-онного реле. Функция /(/) принадлежит классу непрерывных функций и описывает внешнее воздействие, приложенное к объекту управления. Исследование моделей вида (1) было начато с автономного случая (/(/) = 0) и рассматривались в основном системы второго порядка (работы А.А. Андронова и его школы). В начале 60-х появились эффективные методы аналитического изучения п -мерного фазового пространства В.И. Зубова, Ю.И. Неймарка, ЯЗ. Цыпкина, В. А. Якубовича. Общие вопросы динамики систем вида (1) изложены в монографиях В.И. Зубова, в том числе и при наличии внешнего возмущения. Р.А. Нелепин исследовал системы вида (1) в автономном случае с нелинейной функцией, объединяющей все типовые нелинейности. Одновременно проводились исследования неавтономных систем вида (1) приближенными методами. В прикладной теории нелинейных колебаний широко применяется метод гармонической линеаризации, получивший развитие в работах Е.П. Попова, Е.И. Хлыпало, А.А. Вавилова. Существенный вклад в развитие методов нелинейной теории колебаний, в том числе и для систем вида (1), кроме выше упомянутых, внесли такие ученые, как Н.Н Боголюбов, ВВ. Булгаков, Н.В. Бутенин, Н.М. Крылов, А.И. Лурье. Среди зарубежных работ необходимо отметить исследования Г. Каудерера, Ю. Ку, С. Минагава, Н. Минорского, Дж. Стокера, Т. Хаяси. В последние годы нелинейные неавтономные системы, содержащие функцию релейного гистерезиса, описывают широкий класс физических и технических объектов, подвергающихся внешнему воздействию. В работах М.А. Красносельского и А.В. Покровского был предложен челночный алгоритм построения периодических решений системы (1), когда функция /(/) является периодической и аналитической. Трудно указать область современной техники, для которой не были бы актуальны проблемы изучения колебаний, в том числе вибраций. Нередко колебания мешают эксплуатации технических объектов или даже угрожают их прочности. С этим вынуждены считаться разработчики и исследователи самых разнообразных машин и механизмов, строительных конструкций, транспортных средств. Цели работы заключаются в следующем: исследовать точными аналитическими методами фазовое пространство и пространство параметров системы вида (1), определить достаточные условия существования периодических решений в случае периодического внешнего воздействия и колебательных решений в случае непериодического воздействия, изучить свойства этих решений; выделить в пространстве параметров (коэффициентов) системы вида (1) множество, которое отвечает существованию периодических или колебательных решений; построить в пространстве параметров системы бифуркационные поверхности, при переходе через которые меняется число решений периодических или колебательных решений; 4. разработать алгоритм, позволяющий по коэффициентам системы 5. синтезировать закон управления, обеспечивающего возникновение в Научная новизна. Рассмотрена модель внешнего воздействия, которая ранее не рассматривалась при исследовании систем точными аналитическими методами: f(t)=ea'ut\(a>t + где a,a>,(p - вещественные числа. Доказана теорема существования двуточечно-колебательных решений с точками возврата, принадлежащими заданным множествам, в случае, когда система вида (1) подвергается внешнему воздействию вида (2) с нарастающей и убывающей амплитудой. При внешнем воздействии, которое задается Т - периодической функцией вида: fit) =/о+Л sin (о t+4\) + fi sin (2cot + q>2), (3) где/0, /і,У2> fl,few - вещественные числа, изучены Тв- периодические решения в случае, когда их период равен периоду внешнего воздействия, но объект управления собственно неустойчив, и в случае, когда их период не равен периоду внешнего воздействия. Доказаны теоремы существования субгармонических (Тв = кТ, keN) и супергармонических (Тв=Т1к, keN) колебаний с двумя точками переключения, принадлежащими заданным множествам. Получены достаточные условия единственности асимптотически-устойчивого периодического решения с периодом, равным периоду внешнего воздействия вида (3). Предложен алгоритм синтеза закона управления, обеспечивающего возникновение асимптотически - орбитально устойчивых периодических решений в системе с бигармоническим внешним воздействием вида (3) или асимптотически - орбитально устойчивых двуточечно-колебательных решений в системе, которая подвергается воздействию вида (2) с убывающей амплитудой. Работоспособность алгоритма и эффективность принятого подхода подтверждена с помощью компьютерных реализаций. Методика исследования основана на методе неподвижной точки, методах теории канонических преобразований систем, качественных методах теории обыкновенных дифференциальных уравнений, результатах ВИ. Зубова, РА. Нелепина, В.А. Покровского. Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты позволяют строить новые эффективные численные алгоритмы для нахождения периодических или колебательных решений (их свойств, па- раметров и конфигураций в фазовом пространстве) в нелинейных неавтономных управляемых системах вида (1). Результаты могут быть использованы для изучения математической модели систем указанного класса на начальной стадии проектирования этих систем, поскольку позволяют обосновать выбор коэффициентов, при которых система имеет устойчивые периодические или колебательные решения с требуемыми свойствами, и избежать возникновения в системе решений, как правило, нежелательных с точки зрения приложений (биение, странный аттрактор). Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре Воронежской Зимней Математической Школы - 95 (г. Воронеж, 1995 г.); на IV Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 1996 г.); на III Международной конференции по динамике пучков и оптимизации "BDO-96" (Санкт-Петербург, 1996 г); на научных конференциях факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ (1994 г., 1996 г.); на научных семинарах кафедры теории систем управления электрофизической аппаратурой и кафедры высшей математики факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ . Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 6 печатных работах, их перечень приведен в конце автореферата. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 16 параграфов и 9 пунктов, двух приложений и заключения. В конце работы приведен список цитируемой литературы из 63 наименований. Общий объем работы составляет 132 машинописные страницы, включая приложения на 34 страницах, 9 рисунков и 4 таблицы.
определять наличие периодических решений, их параметры (период,
точки и моменты времени переключения), или наличие колебательных
решений, их параметры (время и точки возврата);
системе вида (1) периодических или колебательных решений с задан
ными колебательными свойствами.