Введение к работе
Актуальность проблемы. Эффективность применения современных методов управления и оптимизации в автоматизированных системах в значительной степени зависит от адекватности используемых математических моделей реальным объектам и процессам. Поэтому проблема идентификации, изучающая методы построения математических моделей функционирующих систем по априорной и экспериментальной информации, является одной из основных в теории и практике управления сложными объектами различной физической природы. Проблема идентификации возникает не только в технике, но и в экономке, биологии, медицине, в научных исследованиях - везде, где необходимо получать модели изучаемых явлений в конкретных условиях функционирования последних. С середины XX века идентификация становится бурно развивающимся направлением современной теории управления. Значительный вклад в теорию идентификации был внесен такими учеными, как М. Аоки, А.Е. Барабанов, Дж. Бокс, Д. Граупе, И.А. Ибрагимов, О.Ю. Кульчицкий, В.Я. Катковник, И. Ландау, Л. Льюнг, А.А. Немура, К.-Й. Острем, Б.Т. Поляк, Дж. Саридис, Т. Содерстром, В.Н. Фомин, Р.З. Хасьминский, В.Е. Хейсин, Я.З. Цыпкип, СВ. Шильман, П. Эй-кофф.
Задача идентификации устойчивых и неустойчивых стационарных моделей временных рядов, а также моделей с изменяющимися (дрейфующими) во времени параметрами представляется одной из основных в теории адаптивной фильтрации, так как восстановление помехо-сигнальной ситуации является важнейшим этапом построения многих адаптивных систем. Большое внимание здесь уделено проблеме идентификации так называемого регрессионного уравнения, или ARMA-урав-нения, являющегося математической моделью широкого класса временных рядов.
Существует большое число разнообразных алгоритмов идентификации регрессионных уравнений. Среди них следует особо отметить методы, не связанные с восстановлением спектральной плотности временного ряда, например, метод Юла-Уолкера, а также целый класс рекурсивных процедур оценивания: метод стохастической аппроксимации (МСА), метод наименьших квадратов (МНК), метод инструментальной переменной и их различные модификации. Большинство этих методов предна-
значены для идентификации устойчивого авторегрессионного уравнения, или AR-уравнения, (частного случая ARMA-модели). В то же время в приложениях особо актуален вопрос восстановления неизвестных параметров регрессионного уравнения, характеристический полином которого не обязательно является устойчивым.
Для устойчивого, а затем и для слабо неустойчивого регрессионного уравнения при дополнительных частотных ограничениях на его передаточную функцию предложена и обоснована модификация МНК, доставляющая несмещенные сильно состоятельные оценки неизвестных параметров ARMA-модели (С.А. Агафонов, А.Е. Барабанов, В.Н. Фомин, Н.Б.Шепелявая). Настоящая работа продолжает исследования в этом направлении в плане расширения области применения предложенных ранее алгоритмов идентификации и обобщения их на случай неустойчивого регрессионного уравнения, не удовлетворяющего упомянутому частотному условию.
Цель настоящей работы заключается в разработке и теоретическом обосновании алгоритмов идентификации линейного авторегрессионного уравнения бесконечного порядка, позволяющего адекватно описывать широкий класс как ограниченных в 12, так и не удовлетворяющих этому условию временных рядов.
Методы исследования. Проведенные в диссертации исследования в области решения задач идентификации опираются на результаты современной теории рекуррентного оценивания временных рядов, линейной алгебры и математической статистики. При разработке программных средств использованы методы системного программирования.
Научная новизна. Получены следующие новые результаты:
-
Главным объектом исследования в диссертационной работе является мало изученное линейное авторегрессионное уравнение бесконечного порядка. С помощью метода Паде получены его конечномерные приближения линейными регрессионными моделями.
-
Предложен и обоснован новый метод идентификации, являющийся обобщением метода Юла-Уолкера на случай устойчивого авторегрессионного уравнения бесконечного порядка. Этот алгоритм используется в дальнейшем для идентификации устойчивого регрессионного уравнения, не удовлетворяющего упомянутому выше частотному условию.
-
Впервые показано, что с помощью рекуррентной процедуры МНК можно получить сильно состоятельные оценки коэффициентов неустой-
эивого регрессионного уравнения.
4) Получены асимптотические оценки матрицы ковариации погрешности фильтрации в задаче отслеживания дрейфующих параметров в нестационарном регрессионном уравнении. Модель дрейфа и спектральная плотность помехи наблюдения-предполагаются заданными.
Практическая денность. Результаты диссертационной работы носят, в основном, теоретический характер, но могут найти применение при разработке программного обеспечения для идентификации моделей случайных временных рядов.
Публикации. Основные результаты диссертации были опубликованы в работах [1], [2], [3], а также докладывались на VI Санкт-Петербургском Симпозиуме по теории адаптивных систем (7-9 сентября 1999) [4], на 7 Международной студенческой олимпиаде по автоматическому управлению (май 1999) и на семинарах кафедры теоретической кибернетики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Работа над диссертацией была поддержана грантами для молодых ученых и аспирантов правительства Санкт-Петербурга, а также грантом РФФИ №98-01-00581.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав, изложенных на 98 страницах машинописного текста, включающего 2 рисунка и 1 таблицу, и списка литературы, состоящего из 48 наименований.