Введение к работе
- -
Актуальность тега. Двойственность играет вагнув роль в ыат-е-гатике, особенно в теории экстреиальнкх задач.Она позволяет нам сопоставить одной задаче другую, двойственную задачу и изучить :вязь некду ьдаи. Это весьма полезно в механике, где основная и тройственная задачи— это две хорошо известные форми законов со-сранэкия,характеризующие соответственно,смещения и напряжения;п численном анализе, где двойственная садача мокет помочь реиению основной; в математической экономике,где данные двойственной задачи выряжаются в виде цен;в вариационном исчислении,где двойственная задача дозволяет построить обобщенное решение вариационной задачи,у которой кет классического решения,и т.д.
Изучению двойственности в классическом случае,когдз минимизируется випуклая функция,посвящена много прекрасных работ. Но,во многих областях человеческой деятельности возникает необходимость принятия решения,оптимального не по одпону критерии, а по нескольким критериям одновременно. Следовательно, естественно возникает математическая проблема одновременной оптимизации нескольких функционалов, каьдый из которых оценивает определенное качество рассматриваемой системи. Такие задачи называются кного-критериальннми задачами,иди задачами оптимизация по конусу,е зависимости от способа упорядочения инояеетва значений критериев.
В работах л.Гурвица, В.ДЛ!огида,В.В.Подиновского,А.Я.Азидава, Х.Кавасаки,Т.Танино,И.Яна раавита теорія двойст»зніюсти .для выпуклых многокритериальных задач.
Однако,во мнопіх моделях неизбелно возникают невыпуклостя,что делает сомнительный пригодность стандартных подходов к изучению двойственности в таких задачах, й не случайно, что различные авторы при рассмотрении отдельных классов невыпухлнх задач ислолъ-
_ 4 -
зуют различные методы.
Б обоих работах Р.РокафелларД.Гонен.М.Авриел. М.Иину при исследовании невылуклнх задач математического программирования,для изучения двойственности используют модифицированные функции Лаг-
ракаа.
В данной работе соотношения двойственности как для невыпуглых
задач математического программирования,так и для задач оптимизации по конусу получаются на основе метода возмущиний.В скалярной оптимизации этот метод применен в работах Р. Рокафелляра. Суть этого метода состоит в том,что, данная основная задача путем введения параметра возмущения включается в сеиейсгю подобных ей задач, называемое возмущением первоначальной задачи, и используя конструкцию со1гряк8Нной функции, сопоставляется ей двойственная задача.
Изучению двойственности в вштуклых задачах оптимизации по кону
су, с применением метода возмущений посвящены работы Азимова Ш,
Кавасаки [2],Танино и Савараги СЗ], в которых различными путями
вводятся понятия субдифферэнщшла и первого и второго сопряжен
ных многозначных отображений,. В настоящей диссертации при изуче
нии двойстЕеачостн в невыпуклых задачах оптимизации по конусу
использованы идеи работы И]. -:
Понятие субдифференциала является эффективным математическим инструментом для изучения свойств сопряженных функций,а также сопряженных многозначных отображений,сводимых к связям между основной и двойственной задачами.Если исследования выпуклых задач,ос-СП Азимов А.Я. Двойственность многокритериальных задач.- Мате-
М.-ПТ.ЧЧСКИЙ сборник. 1986,131,*12,с.С19-535. Ш Ктто.-ак! И. Duality Theorem In Чиїtlobjective Nonlinear Гтийгалтаїнд.- Mathenatl so' Oper.Res. i9G2,v.7,»1, p.95-11. СЗ] ТлиI no T..Sasaragl Y. Conjugate Maps and Duality In Multi-objective Optimisation.- J 0 T A, 1980,31,p.473-499.
новывахжиеся на теоремах отделимости випуклих инозеств гиперплоскостями, позволяли использовать'в качестве элементов субдифференциала линейных непрерышвх функционалов, то при исследовании задач невыпуклой оптимизации возникает необходимость использования в качестве таких элементов более сложных функций.
Двойственность в задачах оптимизации по конусу.основана на соотношениях минимальных (слабо минимальных, собственно минимальных) и максимальных элементов в частично упорядоченных шювэствах, в отличие от двойственности в обычной, оптшизацик, где двойственность связана с совпадением минимальных и максимальных элементов в линейно упорядоченных множествах вещественной прямой.
Характерязадая свойств минимальных и максимальных- .элементов множеств в частично упорядоченных пространствах часто опираются на теоремы отделимости.Отсутствие соответствующих теорем отделимости для невкпуклых множеств, по-видимому является одной из трудностей на пути, развития теории двойственности'для невыпуклых задач оптимизации по конусу.В диссертации использована идея отделимости многвств с помощью, выпуклых функций,введенная а работах Незе и Хильденбрандта.
Цель -работы. Целью настоящей работы, является развитие теории двойственности для невкпуклых задач однокритериальной и многокритериальной оптимизации.
Научная новизна и практическая ценность.работ». В работе предложена новая схема построения и исследования двойственных задач с учетом невыпуклости, С этой ?;елью:
1) введено новое определение субдифференциала,являющееся расширением классического, определения этого понятия;
* 2) получены достаточные условия субдифферэнцируемосги как для скалярнозначннх функций,так и для многозначных отображений;
3) доказана теорека -отделимости для ковнтуклых множеств,где в
качестве отделяющей функция используется выпуклая монотонная Функция;
4} устане клены необходимые и достаточные уолокп для слабо и г.обствеяно минимальных точек невыпузошх подмножеств частично упорядоченных пространств;
-
введены понятая первых и вторых сопряженных функций к 'сопряженных многозначных отображений с использованием ютнуппс непрерывных функций; услшоглено,что при таком определении паевая и вторая сопряженные функции сохраняют осно.чьы.; свойства (используемые при изучении двоистьешооти) присушив им при их классических оределениях;получены теоремы двойственное/га для многозначных отображений;' .
-
доказаны теоремы двойственности для невыпуклых задач одно-критериальной и многокритериальной оптимизации;
-
в каждом случае (т.е. в- однокритериальвом и многокритериальном случаях) построена функция Лагранаа и получены необходимые и достаточнее условия для рещений( эффективных решений) основііой и двойственной задач-в форме существования седловой точки функции Лаг ранка. ' ' -
Полученные результаты применены для построения двойственных задач и доказательства теорем двойственности для некоторых клас-ор новдауклнх задач.Ковне двойственные соотношения получены также длл классов выпуклых задач олтимизации по-конусу с ограничениями в вад« включений к дискретных включений, для линейных многокритериальных задач с ограничениями в форме равенств и нора-венстз.Ьыяымка возмехноеть применения теории двойственности для і.зучііНія ситуаши равновесия в конхуриггчой якокчмяке.
'С:'?.-'".. ме-точика исследования. В работе т оркя двойствзнности cTisji'.Ti.h нг, ochoe'j. метода возмущений.Применяются теории функцио-тлы^го анализа,выпуклого анализа, негладкого анализа и много-
критериальной оптимизации.
Апробация работы. Основные результата диссертации докладывались на семинарах кафедры исследования операция и математического моделирования БГУ им.М.А.Расулзэде.на международной иколе-се-йіяаре по методаги оитигазащга и их прплогешіям (Иркутск, 1989) „на {VII піко ле-се минере по математическому моделированию в проблемах зационального природопользование Ростов-на-Дону Л Э90).
Публикации. По теме диссертации опубликовано восемь работ, сгш-;ок которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы.Диссертация состоит из ЕЕедения.трех "лав и croicica литературы,включающего 79 наименований. Объем работы составляет 141 страниц машинописного текста.