Дискретное обобщенное H-оптимальное управление и фильтрация в линейных непрерывных объектах Бирюков Руслан Сергеевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Обзор теории обобщенного -управления и фильтрации для линейных дискретных систем 8

1. Обобщенная -норма линейного объекта 8

2. Синтез обобщенного -управления 11

3. Синтез обобщенного -фильтра 13

Глава 2. Обобщенная -норма непрерывного объекта с дискретным целевым выходом 15

1. Уровень гашения возмущений в непрерывно-дискретном объекте 15

2. Наихудшие внешние возмущения и начальное состояние в непрерывно дискретном объекте 28

3. Уровень гашения возмущений в дискретно-дискретном объекте 32

4. Наихудшие внешние возмущения и начальное состояние в дискретно дискретном объекте 49

5. Уровень гашения возмущений в случае бесконечного горизонта 56

6. Характеризация уровня гашения возмущений в терминах LMI 61

7. Выводы 64

Глава 3. Дискретное обобщенное -оптимальное управление 66

1. Синтез оптимального управления по состоянию 66

2. Синтез оптимального управления по выходу 74

3. Управление электромагнитным подвесом 94

4. Выводы 101

Глава 4. Дискретная обобщенная -оптимальная фильтрация 102

1. Синтез оптимального фильтра 102

2. Фильтрация данных в задаче гашения колебаний зданий 108

3. Выводы 114

Заключение 115

Список литературы

• Синтез обобщенного -управления
• Наихудшие внешние возмущения и начальное состояние в непрерывно дискретном объекте
• Синтез оптимального управления по выходу
• Фильтрация данных в задаче гашения колебаний зданий

Введение к работе

Актуальность темы исследования. Современные системы управления, как правило, реализуются в цифровом виде, в то время как большинство реальных объектов функционирует в непрерывном времени. Подобное разделение на аналоговую и цифровую части приводит к потере информации, поскольку значения непрерывного сигнала, поступающего с объекта на регулятор, известны только в фиксированные дискретные моменты времени. По этой причине становится важной задача анализа и синтеза дискретного регулятора, максимально полно учитывающего поведение исходного объекта в моменты времени между измерениями. В зависимости от классов внешних возмущений, действующих на объект, и конечных целей управления выделяют различные подходы к решению указанной задачи. Особый интерес представляет случай, когда на объект действуют внешние возмущения с ограниченной «энергией», а цель управления состоит в минимизации полной «энергии» целевого выхода объекта. В этом случае задача представляет собой задачу дискретного %00-оптимального управления непрерывным объектом по дискретным по времени измерениям.

Для решения указанной задачи были предложены различные подходы. Одним из первых был подход, основанный на представлении исходной непрерывной системы с дискретным выходом как непрерывно-дискретной, поведение которой описывается совокупностью дифференциальных и разностных уравнений (Sun W., Nagpal K.M., Poolla K.R., Khargonekar P.P., Sagfors M.F., Toivonen H.T. и др.). В этом случае процедура синтеза дискретных 7^^-оптимальных регуляторов и фильтров основывалась на дифференциальных уравнениях Риккати, решения которых испытывают скачки в моменты времени, соответствующие наблюдениям. Практическая реализация предложенных алгоритмов синтеза наталкивается на ряд трудностей, связанных с решением нелинейной краевой задачи для дифференциальных уравнений Риккати.

Похожий подход использовался в работах Basar T. и Bernhard P., где задача дискретного ^^-оптимального управления непрерывным объектом рассматривалась с точки зрения теории игр. Условия существования %^-оптимальных регуляторов были сформулированы в случае измеряемого состояния объекта в терминах разностных уравнений Риккати, а процедура синтеза таких регуляторов также основана на решении нелинейной краевой задачи.

Другой подход основан на использовании метода лифтинга, в котором исходная непрерывная система преобразуется в эквивалентную дискретную (Bamieh B.A., Pearson J.B., Chen T., Francis B.A., Tadmor G., Sagfors M.F., Toivonen H.T., Lall S., Dullerud G. и др.). При этом, поскольку между моментами наблюдения внешнее возмущение, как и целевой выход исходного объекта, представляют собой кусочно-непрерывные функции, то возмущение и целевой выход эквивалентной дискретной системы уже принадлежат бесконечно-

мерному пространству. В указанных работах синтез оптимальных регуляторов опирается на последовательное (итерационное) решение либо алгебраических, либо рекуррентных уравнений Риккати, зависящих от вспомогательного параметра, который требуется минимизировать. Практическая реализация данной процедуры приводит к вычислительным трудностям.

Наконец, в работах Михеева Ю.В., Соболева В.А., Фридман Э.М., Shaked U., Suplin V. был предложен подход при котором задача синтеза дискретного -управления непрерывным объектом формально заменялась задачей синтеза -регулятора с запаздыванием. Условия существования -управления были сформулированы в форме достаточных условий в терминах линейных матричных неравенств.

Одним из существенных недостатков теории -управления является предположение о том, что в начальный момент времени объект находится в покое, то есть его начальное состояние нулевое. Если это требование не выполняется, то синтезированные регуляторы хорошо подавляют внешние возмущения, но не всегда адекватно справляются с задачей гашения начальных возмущений, порожденных ненулевыми начальными условиями. В этом случае в качестве единого критерия, учитывающего влияние как внешних, так и начальных возмущений, была предложена обобщенная -норма (Khargonekar P.P., Nagpal K.M. и Poolla K.R.). Эта норма совпадает с классической -нормой, если в начальный момент времени объект находится в покое, а когда начальное состояние объекта ненулевое, а внешнее возмущение отсутствует, то обобщенная -норма совпадает с ₀-нормой, определенной в работах Баландина Д.В. и Когана М.М. Для непрерывных объектов с непрерывным измеряемым выходом были синтезированы непрерывные законы управления и фильтрации в работах Khargonekar P.P., Nagpal K.M., Баландин Д.В., Коган М.М. и др. В случае непрерывного объекта с дискретным выходом известна работа Sun W., Nagpal K.M. и Khargonekar P.P., в которой решение задачи дискретного обобщенного -управления было получено для объекта на бесконечном горизонте. При этом сформулированные законы управления и фильтрации основаны на решении нелинейного дифференциального уравнения Риккати, что затрудняет их использование. Таким образом, дальнейшее развитие теории дискретного обобщенного -управления непрерывными системами является весьма актуальной задачей теории управления.

Цель диссертационной работы. Основной целью работы является развитие теории дискретного обобщенного -управления и фильтрации для линейных непрерывных систем. В соответствии с поставленной целью диссертация направлена на решение следующих задач:

Для линейных нестационарных объектов на конечном интервале времени получить условия существования и уравнения дискретных обобщенных -оптимальных законов управления в классе линейных нестационарных обратных связей по состоянию и в классе линейных нестационарных динамических регуляторов полного порядка по выходу.

Для линейных стационарных объектов на бесконечном интервале времени получить условия существования и уравнения дискретных обобщенных -оптимальных законов управления в классе линейных стационарных обратных связей по состоянию и в классе линейных стационарных динамических регуляторов полного порядка по выходу.

Для линейных нестационарных объектов на конечном интервале времени получить условия существования и уравнения дискретных нестационарных обобщенных -оптимальных фильтров полного порядка в форме наблюдателя.

Для линейных стационарных объектов на конечном интервале времени получить условия существования и уравнения дискретных стационарных обобщенных -оптимальных фильтров полного порядка в форме наблюдателя.

Методы исследования. В работе применяются методы вариационного исчисления и оптимального управления, теории выпуклой оптимизации и, в частности, теории полуопределенного программирования.

Научная новизна и основные результаты. В диссертации получены следующие новые результаты по теории дискретного обобщенного -управления и фильтрации линейными непрерывными объектами:

1. Показано, что обобщенная -норма линейного нестационарного объекта на конечном интервале времени находится как решение нелинейной краевой задачи для матричного дифференциального или разностного уравнения Риккати, а также в терминах линейных матричных неравенств. В случае линейного устойчивого стационарного объекта на бесконечном интервале времени обобщенная -норма находится как решение дискретного алгебраического уравнения Риккати или в терминах линейных матричных неравенств (соответствует пункту 6 паспорта специальности 01.01.09).

2. Для линейных нестационарных объектов на конечном интервале времени получены необходимые и достаточные условия, а в случае неизмеряемого состояния только достаточные условия существования дискретных обобщенных -оптимальных законов управления. Эти законы управления синтезированы в классе линейных нестационарных обратных связей по состоянию и в классе линейных нестационарных динамических регуляторов по выходу (соответствует пункту 6 паспорта специальности 01.01.09).

3. Для линейных стационарных объектов на бесконечном интервале времени получены необходимые и достаточные условия существования дискретных обобщенных -оптимальных законов управления. Эти законы управления синтезированы в классе линейных стационарных обратных связей по состоянию и в классе линейных стационарных динамических регуляторов по выходу (соответствует пункту 6 паспорта специальности 01.01.09).

4. Для линейных нестационарных объектов на конечном (бесконечном) интервале времени получены необходимые и достаточные условия существования и осуществлен синтез нестационарных (стационарных) дискретных обобщенных "Н^ -оптимальных фильтров полного порядка в форме наблюдателя (соответствует пункту 6 паспорта специальности 01.01.09).

5. В качестве приложений синтезированы дискретные обобщенные Ti^ -оптимальные регуляторы в задаче управления телом в электромагнитном подвесом и дискретные обобщенные ^-оптимальные фильтры в задаче гашения колебаний высотных зданий и сооружений (соответствует пункту 6 паспорта специальности 01.01.09).

Соответствие шифру специальности. Работа соответствует формуле специальности 01.01.09 — Дискретная математика и математическая кибернетика и охватывает следующие области исследования, входящие в специальность 01.01.09: п. 6. Математическая теория оптимального управления.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер и представляет собой развитие теории дискретного обобщенного "Н^-оптимального управления непрерывными объектами. Полученные в ней результаты доведены до конструктивных процедур, эффективность которых подтверждается синтезом регуляторов в задаче управления электромагнитным подвесом и синтезом фильтров в задаче гашения колебаний высотных зданий и сооружений.

Степень достоверности и апробация результатов исследования. Основные результаты диссертационной работы обсуждались на заседании Нижегородского научного семинара «Математическое моделирование динамики систем и процессов управления» в НИИ Прикладной математики и кибернетики, а также докладывались на следующих международных и всероссийских конференциях:

X Всероссийская научная конференция «Нелинейные колебания механических систем» им. Ю.И. Неймарка (Нижний Новгород, 2016);

XIII Международная конференция «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (конференция Пятницкого) (Москва, 2016);

ХI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, 2015);

Международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 2015);

Шестая традиционная всероссийская молодежная летняя школа «Управление, информация и оптимизация» (Москва, 2014);

XII Всероссийское совещание по проблемам управления (Москва, 2014);

XIX Нижегородская сессия молодых ученых: Естественные, математические науки (Нижний Новгород, 2014).

В 2013-2014 гг. и 2014-2015 гг. исследования были поддержаны стипендией имени академика Г.А. Разуваева для аспирантов, а также стипендией Правительства Российской Федерации (2014-2015 гг).

Результаты первых трёх глав диссертации были получены при выполнении проекта № 14-01-31120 мол_а в 2014-2015 гг. (руководитель) и проектов № 12-01-31358 мол_а в 2012-2013 гг., № 14-01-00266 в 2014-2016 гг. (исполнитель), выполненных при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований.

Результаты четвертой главы получены при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках Федеральной целевой программы «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2014-2020 годы» (соглашение 14.578.21.0110 от 27.10.2015, уникальный идентификатор RFMEFI57815X0110).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 10 печатных работах, включая 4 публикации в ведущих научных журналах, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ -], трудах двух международных конференций [5, ] и четырех тезисах докладов региональных и Всероссийских конференций [-. В совместной работе ] автору принадлежат результаты численного моделирования.

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 123 страницах, содержит 11 иллюстраций. Библиография включает 81 наименование.

Синтез обобщенного -управления

В теории обобщенного %ос -управления рассматривается линейный управляемый объект, подверженный внешнему воздействию и начальному возмущению, порождаемому неизвестными начальными условиями. Если объект находится в начальный момент времени в покое, то есть начальное возмущение равно нулю, то в качестве меры влияния внешнего воздействия на рассматриваемый объект принимается уровень гашения внешнего возмущения, совпадающий с %оо-нормой, а задача синтеза управления, минимизирующего данный критерий, есть задача Н -оптимального управления [53—57]. Напротив, когда начальное состояние ненулевое, а внешнее возмущение отсутствует, под мерой реакции системы понимается уровень гашения начального возмущения, равный 7о-норме. В этом случае, закон управления, оптимизирующий переходный процесс в наихудшем случае, известен как 7о-оптимальный [33—35]. В общем случае указанные критерии противоречивы, поэтому основная цель обобщенного %ос-управления заключается в определении закона управления, который был бы компромиссным при оценке влияния как внешнего, так и начального возмущений [31—42].

Приведем теперь основные факты, относящиеся к обобщенной Ноо-норме, при этом в изложении будем следовать работам [37, 38, 41]. Для определенности рассмотрим линейный дискретный нестационарный объект вида Xk+i = Акхк + Bkvk, k = 0,...,N-l, zk = Ckxk + Dkvk, где х Є Ж1 — состояние, z Є Е"-2 — целевой выход иие Rnv — внешнее возмущение, N-l т ограниченное по 2-норме: vk vk oo. fc=0

Предположим, что в общем случае начальное состояние х0 ненулевое и неизвестно, а его влияние на динамику объекта интерпретируется как начальное возмущение.

Управляемый выход объекта для фиксированного начального состояния х0 и последовательности возмущений v0,... , vN_ і будем характеризовать значением функционала N-1 j(x0,v0,..., vN_ij = \\z\\i2 + xNSxN = У zk zk-\- xNSxN, (1.2) fc=0 где S = S 0 — весовая матрица, задающая приоритет между качеством переходного процесса и конечным состоянием объекта.

Сначала рассмотрим отдельно два крайних случая: на объект действует только начальное или только внешнее возмущение. Пусть объект в начальный момент времени находился в покое, что соответствует случаю, когда отсутствует начальное возмущение. Следуя [41], определим показатель влияния внешнего возмущений на целевой выход (1.1) — уровень гашения внешнего возмущения — как относительное значение функционала (1.2) в наихудшем случае: J( 0,VO,...,VN_1 ) 2 = sup 2 0 2

Отметим, что если объект (1.1) является стационарным и рассматривается на бесконечном интервале времени, то, используя равенство Парсеваля, можно показать, что выражение (1.3) совпадает с 7 -нормой рассматриваемого объекта [33]. Следующее утверждение характеризует уровень гашения внешнего возмущения в терминах решений линейных матричных неравенств [38, 41].

Утверждение 1.1. Уровень гашения внешнего возмущения в системе (1.1) на конечном интервале времени удовлетворяет неравенству 7оо 7 тогда и только тогда, когда линейные матричные неравенства /AlXk+1Ak - Xk AjXk+lBk Ck\ BTkXk+lAk BjXk+1Bk--f2I Dj Ck Dk -i) 0, (1.4) разрешимы относительно матриц Xk = Xk 0, k = 0,..., N — 1, при XN = S.

Из утверждения следует, что уровень гашения внешнего возмущения 7оо находится как точная нижняя грань множества всех 7, для которых система линейных матричных неравенств (1.4) разрешима относительно матриц Хк = Хк 0 и 7 .

В случае, если внешнее возмущение отсутствует, то влияние начального возмуще ния на качество переходного процесса в системе (1.1) может быть охарактеризовано величиной 2 J(x0,0,...,0 ) 70 = sup 2 (1.5) х0ф0 \Х0\ которая называется уровнем гашения начального возмущения [33, 41]. В [41, 58] показано, что эта величина может быть найдена как решение оптимизационной задачи с ограничениями, заданными линейными матричными неравенствами.

Утверждение 1.2. Уровень гашения начального возмущения в системе (1.1) на конечном интервале времени удовлетворяет неравенству 70 7 тогда и только тогда, когда линейные матричные неравенства ATkXk+1Ak -Xk + ClCk О, Х0 -f2I, (1.6) разрешимы относительно матриц Хк = Хк О, к = 0,..., N — 1, при XN = S. Чтобы описать совместное влияние внешнего и начального возмущений на выход объекта (1.1), определим уровень гашения возмущений как своеобразную свертку двух рассматриваемых факторов [38, 41]: 7W = sup

Jx0,v0,. . . ,VN_1 =F , (1.7) где R = R 0 — весовая матрица, предназначенная для задания приоритета между внешним возмущением и компонентами начального состояния. Введенный таким образом показатель называется обобщенной 7 -нормой. Нетрудно видеть, что в крайних случаях выражение (1.7) превращается либо в (1.3), либо в (1.5), то есть, при х0 = 0 имеем 7w = 7оо, а при v = 0 получим 7«, = 70/ тах(- ). Оказывается [41], что уровень гашения возмущений может быть выражен в терминах линейных матричных неравенств, для этого достаточно потребовать существование общего решения неравенств (1.4) и (1.6), характеризующих в отдельности уровень гашения внешнего возмущения и уровень гашения начального возмущения с учетом весового коэффициента.

Уровень гашения возмущений в системе (1.1) на конечном интервале времени удовлетворяет неравенству 7w 7 тогда и только тогда, когда линейные матричные неравенства (A[Xk+1Ak - Xk A[Xk+1Bk Ck\ JXk+1Ak BjXk+1Bk--f2I Dl Ck Dk -I 0, X0 72Д, (1.8) разрешимы относительно матриц Xk = Xk 0, k = 0,..., N — l, при XN = S.

Из сформулированной теоремы следует, что если решение X0 соответствует 7оо, то для любой весовой матрицы, удовлетворяющей условию R JJXQ, второе неравенство (1.8) будет разрешимо при тех же самых значениях этих переменных, т. е. при Х0 = XQ и 7 = 7со. Следовательно, справедливо равенство /w = 7со. Таким образом, для того чтобы действительно учесть влияние как начального, так и внешнего возмущений, для весовой матрицы R в показателе jw должно выполняться условие Amax (7 R Х 1.

Пусть линейный дискретный управляемый нестационарный объект имеет вид Xk+i = Акхк + B1 kvk + В2 кик, k = 0,...,N-l, Zk = C1 kxk + D1 kuk, (1.9) У к = С2 кхк + D2 kvk, где х Є Ж1 — состояние, z Є Е"-2 — целевой выход, у Є Rny — измеряемый выход, v Є Е"-" — внешнее возмущение и и Є Ж1" — управление. Сформулируем две задачи управления, связанные с функционалом (1.7).

Сначала рассмотрим случай измеряемого состояния. Требуется синтезировать обобщенное "Н -управление по состоянию на конечном интервале времени в виде нестационарной линейной обратной связи ик = вкхк, k = 0,...,N-l, (1.10) при котором уровень гашения возмущений 7w замкнутой системы будет меньше заданного 7. Подобный закон управления можно рассматривать как минимаксный, поскольку он минимизирует относительное значение J(X0,VQ, ... ,vN_i) в случае, когда внешнее и начальное возмущения приводят к его максимальному значению. С учетом сделанных в предыдущем параграфе замечаний, в случае если объект в начальный момент времени находится в покое, функционал (1.7) переходит в (1.3), а сформулированная задача представляет собой задачу Н -оптимального управления [33, 41].

Наихудшие внешние возмущения и начальное состояние в непрерывно дискретном объекте

Отметим, что согласно сформулированной теореме, уровень гашения возмущений 7С при помощи соотношения (2.45) выражается через значение матричной функции X(t). Однако, в силу уравнения (2.6a), величина X(t) неявно зависит от гус. Вследствие этого, для определения уровня гашения возмущений возникает нелинейная краевая задача для матричного дифференциального уравнения Риккати: найти решение уравнения (2.6a) с граничными условиями (2.6b) и (2.45), а также условием (2.6d).

Обратимся теперь к доказательству теоремы.

Доказательство теоремы 2.2. Нетрудно показать, что соотношение (2.4) эквивалентно выполнению равенства sup J(xo,v,w) = 0. (2.48) Иі!2 +ІНІ2 2 + 0Д 0=і Согласно формуле (2.39) функционал J(x0,v,w) может быть записан следующим образом: J(x0,v,w) = xUcJC0 + X(t0) - %R)X0 %\\v - v \\l2 + N-l + J2(wk w k)T(AjX(tk)Ak - %l) (wk - w k) + fc=l + wN — w N (АдгбАдг — 7C- (wN — w N где v и w k определены соотношениями (2.46). В силу справедливости неравенств (2.6b), (2.6c) и (2.6e) первое слагаемое является неположительно определенной, а оставшиеся — отрицательно определенными квадратичными формами, поэтому максимальное значение функционала J(x0, v, w) обращается в ноль при v = v и wk = w k, k = 1,... , N, и соответствующем выборе х0. Следовательно, возмущения v иwl являются наихудшими внешними возмущениями относительно критерия 7с. Подставим v и w k в соотношение (2.48), тогда: sup J(x0,v ,w )= sup xUx(t0) + CjC0--fcR)x0. \\v \\L+\\v \\2+x0R 0=l ll« llL+lh ll2+ ftr0 = l Теперь заметим, что и , и зависят от 0 и справедливы соотношения: v (t) = ъ1В (t)X(t) b(t,t0)x0, / -г- \ -1 -г w k = - (AjX(tk)Ak - 7c Л AjX(t (tk - 0, t0)x0, здесь Ф(Мо) - фундаментальная матрица решений замкнутой системы (2.115). Следовательно, ограничение есть квадратичная форма от х0: \\v \\l2 + \\w \\l+xUxo = x Qx0 = l, где tN Q = R + 1-2 Фт(т,і0)Х(т)В(т)Вт(т)Х(т)Ф(т,і0)(іт + «о N + fc=l J2 фТ( - 0, t0)X{tk)Ak(AlX(tk)Ak - 7сЛ \іХ(ік)Ф(ік - 0, t0). Таким образом, задача (2.48) свелась к следующей: sup x0 ПІКО =1 Xo(x(t0) + C0TC0 - 7ci?W

Для решения последней задачи воспользуемся правилом множителей Лагранжа: точка максимума х0 должна удовлетворять системе уравнений: (x(to) + СоТС0 - jcR\x0 +»Пх0 = 0 и ж аго = 1, (2.49) параметр /і есть множитель Лагранжа. Перепишем первое уравнение как (X(t0) + CQ С0 + /іП)х0 = lcRxo, откуда находим хо = «emax (R 1 \x(t0) + CjC0 + ц Ы V 7с = Атах (і?-1 [х(0) + С0ТСо + /х fil V значение а находится из второго уравнения (2.49). Подставим найденные значения в квадратичную форму и упростим: Xo(x(t0) + Со Со - 1CR)XQ = -iixoflx о = Iі Заметим, что по условию точная верхняя грань равна нулю, следовательно /і = 0. Подставляя найденное значение /і в выражение для х0 приходим к соотношениям (2.45) и (2.46c).

Сформулируем и докажем несколько следствий, отвечающих на вопрос о наихудших о возмущениях, применительно к уровням гашения начального возмущения С, непрерывного внешнего возмущения с , дискретного внешнего возмущения Г и уровня гашения смешанных внешних возмущений с w .

Следствие 2.5. В объекте (2.1), (2.2) и (2.3) уровень гашения начальных возмущений с = тах ( J0 + (0) ) (2.50) достигается при наихудшем начальном состоянии = max ( J0 + (0)] , (2.51) где () — решение системы (2.41), найденное при с. Доказательство. Поскольку на объект не действует ни непрерывное, ни дискретное внешнее возмущение, то соотношение (2.51) получается из соотношений (2.46), если положить в последних = , () = 0 и к = 0, = 1,... , . Ш Следствие 2.6. В объекте (2.1), (2.2) и (2.3) уровень гашения непрерывных внешних возмущений ї = max ( J0 + (0) ) (2.52) достигается при наихудшем внешнем возмущении () = ") 1T()()(), (2.53) где () — решение системы (2.42), найденное при с.

Доказательство. Соотношение (2.53) получается из соотношений (2.46), если положить в последних к = 0, = 1,... , , что равносильно тому, что на объект не действует дискретное внешнее возмущение, а в силу отсутствия начального возмущения необходимо отбросить условие (2.46c) и положить = в соотношении (2.45).

Следствие 2.7. В объекте (2.1), (2.2) и (2.3) уровень гашения дискретных внешних возмущений с = max ( j 0 + (0) ) (2.54) достигается при наихудшем внешнем возмущении / -г- \ -1 -г k = - (j(k)k - с") j(k)(k - 0), (2.55) где () — решение уравнения (2.43) с условиями (2.6b) и (2.6d), найденное при с" . Доказательство. Так как на объект не действует непрерывное внешнее возмущение, то соотношение (2.55) получается из соотношений (2.46), если положить в послед них В {і) = О, а в силу отсутствия начального возмущения необходимо отбросить усло вие (2.46c) и положить R = І в соотношении (2.45). Следствие 2.8. В объекте (2.1), (2.2) и (2.3) уровень гашения смешанных внешних возмущений lT = Amax (cJC0 + X(t0) ) (2.56) достигается при наихудших внешних возмущениях (т- \ —1 -г AjX(tk)Ak - fc wl\ AjX(tk)x(tk-0), (2.57a) v (t) = ( w) 1BT(t)X(t)x(t), (2.57b) где X{i) — решение системы (2.6a), (2.6b) и (2.6d), найденное при % w. Доказательство. Поскольку на объект не действует начальное возмущение, то, отбрасывая в соотношениях (2.46) условие (2.46c) и полагая R = І в формуле (2.45), получаем соотношения (2.57).

Отметим еще раз, что теорема 2.2 и следствия из нее позволяют свести вычисление соответствующих уровней гашения возмущений к решению нелинейной краевой задачи. Последняя же может быть решена различными численными методами, например, методом простой итерации. Кратко опишем применение данного метода на примере вычисления уровня гашения возмущений 7с. Выберем некоторое достаточно большое начальное значение 7 и решим задачу (2.6b), (2.6a) и (2.6d). Далее, используя формулу (2.45), вычислим следующее приближение к 7с. Указанную процедуру будем повто-рять до тех пор, пока разность между двумя соседними найденными значениями не станет меньше некоторого наперед заданного малого положительного числа. Один из существенных недостатков упомянутого подхода, помимо возможного отсутствия сходимости генерируемой последовательности приближений, — необходимость решать на каждом шаге матричное дифференциальное уравнение. От этого можно избавиться, если перейти от непрерывно-дискретной модели к дискретной. Следующий раздел посвящен реализации этой идеи.

Синтез оптимального управления по выходу

Сгруппируем первое и второе слагаемые в (2.105) и упростим выражение для П2, для чего опять применим формулу Шермана-Моррисона-Вудбери, тогда: "Г 1 Г / 1 -г \-1 1 1 -г CTkGk+lWklx \l + Ek+lXk+l(І - Ек+1\к-ІгЕтк+1Хк+1) Ек+1]кЦ GTk+lCk = -г / -г \-1 -г = CTkGk+l(Wk+l - ETk+lXk+lEk+l) GTk+lCk и П2 = ATkXk+l l - Ek+l [Ek+lXk+lETk+l - Wk+l) l Етк+1ХкЛ Ek+lWk Gl+lCk = = ATkXk+lEk+l \l - [ETk+lXk+lEk+l - Wk+l) lЕтк+1Хк+1ЕкЛ Wk Gl+lCk = = AjXk+lEk+l[Wk+l - Ej+lXk+lEj+l) Gl+lCk Подставляя полученные выражения в (2.105) и упрощая, приходим к выражению Хк = Ск Ск + Ак Хк+1 (I - Sfc+iWVi- fc+i fc+i) Ак = Ск Ск + Ак Хк+1Ак 1 [AlXk+lEk+l + CjGk+1 )(fcT+1Xfc+1fcT+1 - Wk+1 ) [Ej+1Xk+1Ak + GTk+1Ck) совпадающему с уравнением (2.98c). Теорема доказана. Теперь сформулируем ряд следствий, позволяющих оценить для объекта (2.96), (2.97), а, следовательно, и для объекта (2.59), значения уровней гашения начального возмущения 7d, непрерывного внешнего возмущения 7d, дискретного внешнего возму ЧП Ч) 41) щения 7d и уровня гашения смешанных внешних возмущений 7 / . Следствие 2.9. Для того, чтобы уровень гашения начальных возмущений ryd в объекте (2.96), (2.97) был меньше заданного числа 7 0 необходимо и достаточно, чтобы существовали матрицы Хк = Хк О, к = 0,..., N, удовлетворяющие условиям: Хк = СкСк + AjXk+lAk, XN = S (2.106a) Х0 7/. (2.106b)

Доказательство. Поскольку на объект не действует ни непрерывное, ни дискретное внешнее возмущение, то соотношения (2.106a) и (2.106b) получаются из соотношений (2.98), если положить в последних R = I, Bk{t) = 0, Ак = 0 и Dk = 0, к = 1,... , N. Ш

Следствие 2.10. Уровень гашения непрерывных внешних возмущений jd в объек-те (2.96), (2.97) меньше заданного числа 7 0 тогда и только тогда, когда существуют матрицы Хк = Хк 0, к = 0,..., N, удовлетворяющие уравнению: Хк = СІСк + АТкХк+1Ак - АткХк+1Вк+1(Щ+1Хк+1Вк+1 - -/іу1Щ+1Хк+1Ак, (2.107) где XN = S и матрицы Вк определены следующим образом: ВкВІ = Bk(s)Bj(s)ds, k=l,...,N. k-\-l к Доказательство. Соотношения (2.107) получаются из соотношений (2.98), если по ложить в последних Ак = 0 и Dk = 0, к = 1,... , N, что равносильно тому, что на объект не действует дискретное внешнее возмущение, а в силу отсутствия начального возму щения необходимо отбросить условие (2.98d).

Следствие 2.11. Для того, чтобы уровень гашения дискретных внешних возмущений 7J в объекте (2.96), (2.97) был меньше заданного числа 7 0 необходимо и достаточно, чтобы существовали матрицы Хк = Хк 0, к = 0,..., N, удовлетворяющие уравнению: Хк = CjCk + AjXk+lAk - (Aj+lXk+lAk + L J+1Cfc) x x (Aj+1Xfc+1Afc+1 + Dj+1Dk+1 - 7/) l (Al+lXk+lAk + Fk+1Ck) (2.108) и условиям (2.98a) и (2.98b). Доказательство. Так как на объект не действует непрерывное внешнее возмуще ние, то уравнение (2.108) получается из (2.98), если положить Bk(t) = 0, а в силу отсутствия начального возмущения необходимо отбросить условие (2.98d).

Следствие 2.12. Для того, чтобы уровень гашения смешанных внешних возмущений 7d w в объекте (2.96), (2.97) был меньше заданного числа 7 0 необходимо и достаточно, чтобы существовали матрицы Хк = Хк 0, к = 0,..., N, удовлетворяющие уравнению (2.98c) и условиям (2.98a), (2.98b).

Доказательство. Поскольку на объект не действует начальное возмущение, то в соотношениях (2.98) необходимо отбросить условие (2.98d). Отметим, что обобщенный уровень гашения возмущений 7d учитывает влияние как начального, так и внешних возмущений, только в том случае, если весовая матрица R удовлетворяет условию Атах(Д"1Д ) 1, R = (ъ Т1Хи0\ (2.109) где XQ V — решение уравнения (2.98c) в момент времени к = 0, удовлетворяющее условиям (2.98a) и (2.98b), а " — минимальное значение 7, для которого это решение было найдено. Действительно, для любой весовой матрицы, удовлетворяющей условию R R , неравенство (2.98d) будет также выполнено при Х0 = XQ V и 7 = 1 % , а учитывая соотношение 7d ld v, получаем, что 7d = ld v. Таким образом, для того чтобы действительно учесть влияние как начального, так и внешних возмущений, весовая матрица R не должна удовлетворять неравенству R R , т. е. для нее должно выполняться условие (2.109).

Как теорема 2.3, так и теорема 2.4 и следствия из нее позволяют охарактеризовать не только уровни гашения возмущений в дискретно-дискретном объекте (2.59) и более общем объекте (2.96), (2.97), но и уровни гашения возмущений в непрерывно-дискретном объекте (2.1)-(2.3). Для этого, в силу сделанного выше замечания, матрицы в уравнении объекта (2.59) должны быть связаны с матрицами уравнения объекта (2.1) соотношениями: Л = ( fc+i,ifc), Bk+l(t) = (tk+1,t)B(t).

В следующем параграфе, используя теоремы 2.3 и 2.4, будут сформулированы и доказаны условия, позволяющие вычислить уровень гашения возмущений ryd в объекте (2.96), (2.97) как решение специальной нелинейной краевой задачи. 4. Наихудшие внешние возмущения и начальное состояние в дискретно-дискретном объекте

Для начала сформулируем и докажем теорему на которую опирается вычисление уровня гашения возмущений и соответствующих ему наихудших начальных условий XQ и внешних возмущений v k,w k, к= l,...,N, для объекта (2.59). После этого обобщим полученные результаты на случай общего объекта (2.96), (2.97), а в заключение сформулируем ряд следствий, поволяющих вычислить уровни гашения начальных, непре-рывных и дискретных внешних возмущений и смешанных внешних возмущений.

Фильтрация данных в задаче гашения колебаний зданий

Наконец, рассмотрим случай, когда на объект действуют и непрерывные, и дискрет-ные внешние возмущения.

Следствие 3.12. Для объекта (3.21), (3.22) на конечном интервале времени существует дискретное Ноо-управление по выходу, обеспечивающее гашение смешанных внешних возмущений при заданном 7 О, если линейные матричные неравенства (3.24a), (3.24b) и первое неравенство (3.24c) разрешимы относительно матриц Хк = = Хк 0, Yk = Yk 0, к = 0,..., N - 1, при XN = Sn, YN = (Sn - Sl2S Sj2) l, а столбцы матриц Nk и Mk образуют базисы пространств ker С2}к 0 D2}k 0 ) и ker (Ви к Di к О О) соответственно.

Доказательство. Так как отсутствует начальное возмущение, то в условиях (3.24) необходимо отбросить второе неравенство (3.24c). Оставшиеся условия не меняются.

Теорема 3.3 и следствия из нее носят лишь достаточный характер, однако, если считать, что объект (3.21), (3.22) является стационарным и рассматривать его на бесконечном горизонте, то условия теоремы 3.3 становятся и необходимыми. Прежде чем переходить к строгой формулировке соответствующего утверждения, определим, ис-пользуя уровень гашения возмущений (2.132), обобщенное -управление по выходу по аналогии с тем, как это было сделано выше для объекта на конечном интервале времени. Для этого рассмотрим объект (3.21), (3.22) в котором A(t) = A, Bj(t) = Bj, Cjtk = Cj, Djtk = Dj и Afc = A, j = 1, 2, и моменты времени tk удовлетворяют соотношению tk+1 k = h = const. Скажем, что дискретный динамический регулятор полного порядка вида хк+1 = Агхк + Вгук, х0 = О, (3.50) uk = Crxk + Dryk, (К В Л СГ Dr определяет обобщенное Нес -управление по выходу, если уровень гашения возмущений 7с(0) замкнутой системы будет меньше заданного положительного 7. Здесь хк Є Ж1 состояние регулятора и Д. Вг Регулятор (3.50) назовем обобщенным -оптимальным регулятором, если неравенство выполняется при сколь угодно малом є 0. Аналогично определяются дискретные 7с- и 7 -регуляторы по выходу для стационарного объекта вида (3.21), (3.22) на бесконечном горизонте. Например, скажем, что регулятор G является дискретным 7с-регулятором по выходу, обеспечивающим гашение начальных возмущений с заданным коэффициентом 7, если выполняется неравенство 7с (@) 7.

Следующая теорема устанавливает необходимые и достаточные условия существования обобщенного -управления по выходу для стационарного объекта на бесконечном интервале времени.

Теорема 3.4. Дискретное обобщенное И -управление по выходу вида (3.50) для стационарного объекта (3.21), (3.22) при заданном 7 0 существует тогда и только тогда, когда линейные матричные неравенства разрешимы относительно матриц X = X 0, Y = Y 0, а столбцы матриц N и M образуют базисы ядер матриц (с2 о D2 0) и (д; D; 0 0) соответственно.

Опустим доказательство сформулированной теоремы, поскольку оно практически слово в слово повторяет доказательство теоремы 3.3.

Отметим, что как и в случае конечного интервала времени, процедура построения обобщенного Псе -регулятора по выходу на бесконечном интервале состоит в следующем: сначала при заданном значении параметра 7 находятся матрицы X и У, удовлетворяющие условиям (3.51), затем, используя подход, описанный в [33, 41, 80], формируется матрица S, например, по формуле

Теорема 3.4 также позволяет синтезировать и обобщенное ft -оптимальное управление по выходу на бесконечном интервале времени. Для этого достаточно найти решение задачи минимизации 7с() при ограничениях, задаваемых неравенствами (3.51), после чего оптимальный регулятор находится как решение (3.52).

Наконец, в заключение параграфа, приведем без доказательств следствия из тео-ремы 3.4, устанавливающие необходимые и достаточные условия существования 70- и Псе -управлений по выходу для стационарного объекта на бесконечном горизонте.

Следствие 3.13. Для стационарного объекта (3.21), (3.22) при заданном 7 0 существует дискретное -управление по выходу на бесконечном интервале времени тогда и только тогда, когда линейные матричные неравенства Ah,XAh 0, С1 AhYAl Y C1YAl (Wc2 0 0 II МТ X I C1YCj WC 0 0 I M 0, (3.53a) (3.53b) x l Y 0, X yl, (3.53c) разрешимы относительно X = X 0, Y = У 0, при этом столбцы матриц Wr KJ 2 и M образуют базисы ядер матриц соответственно.

Следствие 3.14. Для стационарного объекта (3.21), (3.22) на бесконечном интервале времени существует дискретное И -управление по выходу, обеспечивающее гашение непрерывных внешних возмущений с заданным 7 0, тогда и только тогда, когда линейные матричные неравенства и первое неравенство (3.51c) разрешимы относительно X = X О, Y = У О, а столбцы матриц Wr и М образуют базисы пространств кет Со и кет [В.. D-, ) соответственно.

Следствие 3.15. Для стационарного объекта (3.21), (3.22) на бесконечном интервале времени существует дискретное И -управление по выходу, обеспечивающее гашение дискретных внешних возмущений с заданным 7 О, тогда и только тогда, когда существуют матрицы X = X О, Y = У О, удовлетворяющие линейным матричным неравенствам и первому неравенству (3.51c), при этом столбцы матриц N и М образуют базисы пространств ker (С2 D2j и ker [Ви Dx) соответственно. Следствие 3.16. Для стационарного объекта (3.21), (3.22) на бесконечном интервале времени существует дискретное И -управление по выходу, обеспечивающее гашение смешанных внешних возмущений с заданным 7 0, тогда и только тогда, когда линейные матричные неравенства (3.51а), (3.51Ь) и первое неравенство (3.51с) разрешимы относительно матриц ХТ = Х 0 и Y = У О, при этом столбцы мат риц N и М образуют базисы пространств кег С2 О D2 0 и кег ВІ Dj О О соответственно.

Из замечания к теореме 2.8 следует, что существует такая конечная матрица R , что при любом весовом коэффициенте R R обобщенный Я -оптимальный регулятор по выходу на бесконечном интервале времени совпадает с // -оптимальным регулятором по выходу синтезированным по следствию 3.16 и обеспечивающим гашение смешан-ных внешних возмущений. Следовательно, для получения действительного компромисса при учете влияний как начального, так и внешних возмущений весовая матрица R должна удовлетворять условию Атах(Л_1Л ) І. Численно граничное значение R весовой матрицы определяется следующим образом: brx y1 , где через Х обозначена матрица, удовлетворяющая неравенствам (3.51a), (3.51b) и первому неравенству (3.51c) при минимальном значении 7с .

Рассмотрим изображенную на рис. 3.3 механическую систему, состоящую из выве-шиваемого тела массы т и электромагнита [46]. Левитация тела обеспечивается изменением магнитного поля, происходящим за счет изменения напряжения U, подаваемого на обмотку электромагнита. Динамика такого простейшего магнитного подвеса подчиняется двум уравнениям: ті) = F — та, (3.56) V + RI=U. Первое уравнение (3.56) выражает второй закон Ньютона и определяет изменение ко-ординаты s вывешиваемого тела под действием силы тяжести тд и силы F со стороны электромагнита, а второе — определяет изменение силы тока / в цепи электромагнита сопротивлением R при изменении подаваемого на него напряжения U и представляет собой закон Кирхгофа для электрической цепи электромагнита. Через Ф обозначено потокосцепление обмотки электромагнита, Ф = пФ, где Ф — магнитный поток, проходящий через один виток, а п — число витков в обмотке.

Потокосцепление Ф и сила тока / в цепи электромагнита связаны соотношением: = L(s)/, L{s) = , CL = /i0n2A/2, (3.57) где L(s) — индуктивность электромагнита, CL — конструктивный параметр и 6 — величина номинального зазора между электромагнитом и вывешиваемым телом. Если обозначить номинальную индуктивность как L0 = L(0), то С = L05, и тогда