Введение к работе
Актуальность темы. Одним из важных свойств принципов оптимальности, используемых в различных классах динамических игр со многими участниками, является их динамическая устойчивость. Это свойство, впервые введенное Л.А.Пэтрося-пом в ш, обеспечивает реализуемость и устойчивое оптимальное развитие конфликтного динамического процесса, что особенно важно для многочисленных практических приложений. В связи с этим возникают два круга актуальных задач : исследование динамической устойчивости известных принципов оптимальности для различных классов динамических игр и конструирование новых динамически устойчивых (сильно динамически устойчивых) решений, диссертационная работа посвящена исследованию указанных актуальных проблем применительно к различным классам динамических игр с неполной информацией .
Цель работы. Исследование устойчивости известных принципов оптимальности в конечных многошаговых играх со многими участниками в классе смешанных стратегий. Математическое обоснование применимости динамически устойчивых и сильно динамически устойчивых решений в указанном классе игр, а также в конечных повторяющихся играх с дисконтированием выигрыша.
Конструирование и исследование новых динамически устойчивых принципов оптимальности в дифференциальных играх п лип с терминальными и интегральяьми выигрышами.
Научная новианз. Теория динамических игр, возникшая на стыка классической статической теории игр юз и математической теории оптимального управления, является в настоящее время одним из перспективных и быстро развивающихся направлений современной математики. Наибольшее развитие получила теория антагонистических дифференциальных игр, основополагающие результаты которой были получены научными школами Л.С.Понтрягина и Н.Н.Крзсовского. Большой вклад в теорию антагонистических дифферешзвлышх игр внесли Р.Айзеке. В.Д.Бзтухткн, Н.Л.Григорзшга, В.И.Зубов, А.Ф.Кононенко,
А.В.Кргакимский, А.Б.Куржанский, Е.Ф.Мищенко, М.С.Николь-скиа, Ю.С.Осипов, Н.Н.Петров, Л.А.Петросян, Б.Н.Пшеничный, Н.Ю.Сатимов, А.И.Субботин, Г.В.Томский, У.Флеминг, А.Г.Чен-цоз, Ф.Л.Черноусько, А.А.Чикрий и многав другие советские и зарубежные математики.
Сдаако многие задачи принятия решовмп в организационных, социально-гкономических и других юшфликтво-управляемих системах характеризуются, в числе прочих факторов, наличном многих участников и на являются антагонистичагашми. Различные вопросы, связанные с оптимальным поведонием игроков в некоторых классах нэантагонистических игр и динамических игр со многими участниками, рассматривались в работах Э.Ы. Ваасборда, В.И.Жуковского, В.В.Захарова, А.Ф.КлеЛмонова, А.Ф.Кононенко, О.А.Малафеева, Л.А.Патросяца, Н.ТДыняяско-го, Ю.Е.Чистякова и других авторов.
Одной из основных задач теории игр, как это отмечает Н.Н.Воробьев в із}, является конструирование и анализ принципов оптимального поведения игроков. D статической теории игр изучаются разнообразные принципы оптимальности, имеющие определенные границы приложимости, в рамках которых они могут считаться в достаточной мере адекватным описанием содержательно оптимального поведения. При исследовании динамических игр со многими участниками возникает вопрос о применимости того или иного "статического" принципа шггимальности в более широких классах игр. На этом цуги можно ожидать нахождения обоснованных критериев выбора принципов оптимальноеги в различных классах игр, а также формального конструирования новых принципов, которые могут оказаться весьма плодотворными. Предмет данной работы относится к отому кругу актуальных задач.
В работе из впервые было обращено внимание на одно важное свойство решения динамических игр, названное свойством динамической устойчивости (состоятельности во времени). Попытки переноса известных в статической теории принципов оптимальности на различные классы динамических игр без соовотствующэго исследования их динамической устойчивости, вообще говоря, но обоснованы и в ряда случаев могут приводить к выбору заведомо нереализуемых решения. Воп-
росы динамической устойчивости решений в различных классах динамических игр изучались в работах Л.А.Петроспна, Н.Н.Данилова, В.В.Захарова, Н.А.Зенкевича, С.В.Чистякова и других авторов.
Основные результаты диссертации : 1) Доказана динамическая и сильная динамическая устойчивость известных принципов оптимальпости в классе смешанных стратегий для конечных многошаговых игр п лиц с неполной информацией и различными определениями выигрыша в подаграх. г) Математически обоснована применимость отдельных принципов оптимальности для одного класса повторяющихся игр с дисконтированием выигрыша.
з) Предложены методы обеспечения динамической устойчивости арбитражных Парато-оптимальных решений в дифференциальных играх со многими участниками, основанные на определенном характере изменения значения "статус кво" з текущих подаграх вдоль оптимальной траектории. В случае дифференциальных игр с терминальными выигрышами получены в явпом виде законы движения точки "статус кво", обеспечивающие динамическую устойчивость конкретных арбитражных решений. Для игр с интегральными выигрышами предложена одна модель динамики выплат игрокам при движении вдоль оптимальной траектории, обеспечивающая динамическую устойчивость арбитражного решения Кэлаи-Смородинского.
Общая методика исследования основана на классических результатах теории игр и современных методах теории управления динамическими системами. Существенно используется теория разложения позициоиых игр и стратегий в них, предложенная Г.У.Куном в ш, методы конструирования динамически устойчивых принципов оптимальности в дифференциальных играх, описанные в работах Л.А.Петросяна, а также современные результаты теории арбитражных схем.
Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты и предложенные метода могуг быть использованы в теории динамических игр со многими участниками, при обосновании применимости отдельных принципов оптимальности в конфликтно-управляемых системах с различной информационной структурой,
при решении динамических задач распределения и выоора, а также при конструировании устойчивых принципов оптимальности в дифференциальных играх п лиц.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Всесоюзных Герценовских чтениях (Лонинград,і99і), па Международной конференции "Конструктивная теория функций" (С-Петербург,і992), на 2 Международной семинаре КФАК "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" (Челябинск,i9s>o), на Международной конферон-ции "Теория приближения и задачи вычислительной математики" (Днепропетровск,1953), на Международном конгрессе "Компьютерные системы и прикладная математика" (С-Петербург,!99з), а также обсуждались на семинарах по теории игр кафедры математической статистики, теории надежности и массового обслуживания факультета прикладной математики - процессов управления С-ПЙГУ.
Публикации. По теме диссертации опубликованы 7 печатных работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех.глав (is параграфов) и списка литературы, включавшого 72 наименования. Общий объем диссертации составляет 121 страницу.