Введение к работе
Актуальность темы. В прикладных задачах , связанных с анализом устойчивости динамических систем, наряду с классическим понятием устойчивости стационарного состояния по Ляпунову, важную роль играют понятия мультипликативной D-устойчивости (или просто D-устойчивости) и аддитивной D-устойчивости, возникающие вследствие имеющихся неопределенностей в данных или знаниях о моделируемой системе.
Понятие D-устойчивости матриц впервые появилось в конце 50-х годов в работах по математической экономике, а в дальнейшем и в математической экологии. Матрицу называют D-устойчивой, если она устойчива в произведении с любой диагональной матрицей с положительными элементами на главной диагонали.
Понятие аддитивной D-устойчивости возникло несколько позже, в середине восьмидесятых годов. Ранее, в литературе по математической экологии матрицы, обладающие этим свойством, называли сильно устойчивыми. Устойчивая матрица называется сильно устойчивой (или аддитивно D-устойчивой, или короче, aD-устойчивоії), если она сохраняет устойчивость при вычитании из нее диагональной матрицы с любыми неотрицательными элементами на главной диагонали.
Из определений D- и aD-устойчивости матриц не ясно, можно ли проверить их за конечное число шагов. Поэтому возникает задача построения конструктивных, т.е. проверяемых за конечное число шагов, критериев (или ха-рактеризаций) принадлежности произвольной матрицы множеству D- и aD-устойчивых матриц. Критерий устойчивости Рауса-Гурвица [1] позволяет свести проблему D- и aD-устойчивости к вопросу, являются ли положительными всюду в положительном ортанте некоторые действительные полиномы от многих переменных. Благодаря элементарности соответствующих полиномов для матриц 2x2 и 3x3, данная проблема решена достаточно давно, см. [2]. Были известны также некоторые необходимые условия и некоторые достаточные условия D- и aD-устойчивости, см. например [2,3,4,5], однако проблема характери-зации оставалась открытой уже для матриц 4x4.
1 Гантмахер Ф.Р. Теория матриц//М.: Наука (1966)
2 Cross, G. W., Three types of Matrix Stability// Linear Algebra and Its Applications 20,253-263 (1978)
1 Д.О. Логофет, Свикобианы компартментальных моделей и DaD-устойчивость свикобианов// Доклады Академии Наук, т.360, №2, стр 167-170, 1998
4 Johnson С. R. Second, third and fourth order D-Stability//Joumal of Research of the National Bureau of Standarts- 8. Mathematical Sciences, Vol 788, No I, Jan-March 1974
! Johnson, C.R. Sufficient conditions for D-Stabiiity II J. Econom. Theory, 1974. V.9, P. 53-62
Из теоремы Рауса - Гурвица, в частности, следует, что с помощью теоремы Зайденберга - Тарского (см. [6,7,8]) могут быть получены конструктивные критерии (полуалгебраические условия) принадлежности множества D- и aD-yc-тойчивых матриц. Однако, трудоемкость алгоритмов исключения переменных, основанных на теореме Зайденберга - Тарского не позволяет применить их к достаточно сложным полиномам с большим числом переменных и с высокими степенями переменных (каковыми являются полиномы, возникающие при анализе D- и дД-устойчивых матриц). С практической точки зрения, эти алгоритмы реально применимы лишь для полиномов от двух переменных и для полиномов от трех переменных небольших степеней.
Современная практика математического моделирования в прикладных областях (в частности, в проекте INTAS - РІК «New version of the Moscow global biosphere model», 1995-97, номер INTAS-94-1154) требовала разработки компактных критериев для свойств D- и oD-устойчивости матриц размера 4x4 и выше.
Цель работы. Построение алгоритмически проверяемых за конечное число шагов необходимых и достаточных условий D- и aD- устойчивости действительных матриц.
Методы исследования. Используются методы компьютерной алгебры (метод квазиоднородных полиномиальных форм, [9]), методы топологии.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. В диссертации решены следующие новые задачи:
-
построены алгоритмически проверяемые за конечное число шагов необходимые условия и достаточные условия D- и aD- устойчивости действительных матриц,
-
построена картина включений и пересечений множеств D- и aD- устойчивых матриц, Pq - матриц, а также устойчивых матриц,
-
доказана звездность множества aD- устойчивых матриц любого порядка и D- устойчивых матриц порядка 2 и 3.
' Tarski, A. A decision method for elementary algebra and geometry, 2nd edition// Univ. of California Press, Berkeley Los Angeles (1951).
' Seidenberg. A new decision method for elementary algebra.// Ann. of math. Ser.2,1954, v. 60, p.356-374
Кушниренко А.Г., Коркина О. Еще одно доказательство теоремы Зайденберга-Тарского// Сибирский математический журнал, 1985 г. т.26, вып. 5
Каноаей Г.В., Нефедов В.Н. О некоторых необходимых условиях и достаточных условиях положительности действительного полинома от нескольких переменных в положительном ортанте. //Деп. в ВИНИТИ, 07.02.2000 г., №281-В0О.
4) построены новые алгоритмически проверяемые за конечное число шагов необходимые условия и достаточные условия знакопостоянства действительных полиномов в положительном ортанте.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы специалистами в области математической экологии, математической экономики, математического моделирования и компьютерной алгебры.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в 1999 году на следующих семинарах и конференциях:
на семинаре кафедры алгебры механико-математического факультета МГУ "Компьютерная алгебра" под руководством проф. А.В. Михалева, проф. В.Н. Латышева, проф. В.А. Артамонова, проф. В.К. Захарова, доц. В.Т. Маркова, доц. Е.С. Голода, вед. н.с. Е.В. Панкратьева,
на семинаре факультета ВМК МГУ "Численные методы в оптимизации" под руководством проф. Ф.П. Васильева,
на семинаре "Матричные методы вычислений" под руководством проф. Е.Е. Тыртышникова (ИВМ РАН),
на семинаре по проблемам устойчивости в математических моделях под руководством А.Н. Филатова (ИВМ РАН),
на международной научно-технической конференции и российской школе молодых ученых и специалистов "Системные проблемы качества, математического моделирования и информационных технологий", Сочи, 1999 г.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приведен в конце автореферата. [i~ 61
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав. Текст диссертации изложен на 76 страницах, включая 3 рисунка и 8 таблиц. Список литературы содержит 34 наименования.