Введение к работе
Актуальность темы. В последние голы заметпо возрос интерес к задачам оптимальпого управлепия нелипеппыми динамическими системами с импульсными воздействиями типа меры или обобщённых функций более сложной структуры. Такие задачи естественным образом возникают при расширении нерегулярных вырожденных задач оптимального управления, в которых нельзя рассчитывать на существование решепия в традидиоішом классе абсолютно непрерывных траекторий и измеримых ограниченных управлений. Траекторные компоненты минимизирующих последовательностей в задачах такого типа обладают свойством сходимости к разрывным функциям, а управляющие компоненты имеют дельтообразные составляющие. Многочисленные прикладные модели нерегулярных задач, требующих импульсно-траекторного расширения, встречаются в задачах управления манипуляторами, квантовомеханическими и лазерными объектами, в динамике полёта, в управлении экономическими и экологоэкономическими системами.
Существенный вклад в развитие методов импульсно-траекторного расширения и качественную теорию управления нелинейными уравнениями с импульсным управлением внесли работы СТ. Завалищина, А.Н. Сесекина, В.Ф. Кротова, В.И. Гурмана, Б.М. Миллера, В.А. Лыхты, Р. Ришела, Дж. Варги, Р. Винтера и М. Перейры и ряда других математиков. В этих работах выделен класс задач, для которых однозначно определяется траектория при импульсном управлении (динамические системы со свойством Фробениуса), описана структура импульсной траектории и интегральной воронки при невыполнении условия Фробениуса, получены различные варианты необходимых условий первого порядка типа стационарности и принципа максимума Л.С.Понтрягина и даже квадратичные необходимые и достаточ-ные условия оптимальности для задач, обладающих свойством корректности расширения.
Между тем успехи в разработке численных методов решения задач импульсного управления значительно скромнее, а публикации на эту тему единичны и носят незавершенный характер по своей конструктивности. Если говорить о нелокальных методах
преобразования нерегулярных задач и задач импульсного управления (типа нелинейного преобразования Гоха и метода перехода к производной задаче), то основным их недостатком является необходимость находить в аналитической форме решение некоторой вспомогательной системы в частных производных, задающее регуляризирующее преобразование. Лля нужд качественной теории связанные с этим проблемы удалось преодолеть вплоть до условий оптимальности высших порядков за счёт разработанной В.А. Дыхтой так называемой техники расшифровки, вскрывающей взаимосвязи между исходной задачей и преобразованной. В частности, путём расшифровки получен вариационный принцип максимума (ВГШ) для линейной по управлению задачи импульсного управления со свойством Фробениуса1 - к настоящему времени наиболее сильное (в первом порядке) необходимое условие оптимальности в указанном классе задач.
Поэтому представляется актуальным исследовать, в какой мере развитая техника и соответствующие критерии оптимальности могут быть эффективны в плане разработки численных методов решения задач импульсного управления.
Цель работы состоит в построении методов улучшения импульсного управления, базирующихся на аналогах условий стационарности, линеаризованного принципа максимума, а также вариационном принципе максимума, т.е. на необходимых условиях оптимальности 1-го порядка для импульсных процессов в системах со свойством Фробениуса. Кроме того, преследовалась цель распространить ВПМ на задачи импульсного управления с ограничением понтрягинского тині, на текущее значение импульса и терминальными фазоограниченшши.
Метод исследования основан на качественной теории дифференциальных систем с импульсным управлением и анализе метода нелинейного преобразования Гоха (НПГ) - одного из способов сведения задачи импульсного управления к классической. Анализ направлен на конструктивную реализацию аналогов типовых методов улучшения управления - условного градиента, проекции градиента, скорейшего спуска, а также основанных на принципе
1В.А.Дихта. Вариационный принцип максимума и квадратичные условия оптимальности импульсных и особых процессов // Сиб. мат. жури. 1994. Т. 35, No 1. С. 70-8.
лаксимума. В ходе исследования используются основные техни-геские приёмы расшифровки, позволяющие описать методы в терминах исследуемой (а не преобразованной) задачи.
Научная новизна результатов, полученных автором, состоит і следующем:
разработаны и программно реализованы варианты квазигра-щентных методов решения задач импульсного управления, осно-іанньїе на необходимых условиях импульсно-слабого минимума типа линеаризованного принципа максимума;
доказан вариационный принцип максимума для задач с огра-шчением на текущее значение импульса и терминальными фа-юограничепиями;
- предложен численный метод решения задач импульсного
управления, основанный на ВПМ.
Практическая значимость. Материалы диссертации и пред-іагаемьіе в ней методы
использовались при выполнении хоздоговора с ИрВЦ СО РАН на тему "Разработка комплекса алгоритмов и программ ю улучшению и приближённому синтезу управления", а также з госбюджетной научно-исследовательской теме кафедры выспей математики Иркутской государственной экономической академии "Математические методы анализа экономических систем" si в учебном процессе - в спецкурсах "Оптимальное управление зкопомическими системами" и "Макроэкономическое моделиро-эание";
используются в научных исследованиях по гранту Госкоми-гета РФ по высшему образованию "Оптимальное управление процессами с разрывным состоянием и вариационный принцип максимума" и по гранту РФФИ "Качественный и численный анализ задач оптимального управления с разрывными траекториями";
доведены до программной реализации и апробированы п вычислительных экспериментах на серии задач тестового и прикладного характера. В сравнении с традиционными подходами, не использующими импульсно-траекторное расширение нерегулярных задач, результаты расчётов показали их более высокую эффективность.
Апробация работы. Основные результаты, включенные в диссертационную работу, в виде докладов представлялись на X Все-
союзном симпозиуме "Системы программного обеспечения решения задач оптимального планирования" (1988 г., Нарва), на IX рабочем совещании IFAC "Управление: приложения и оптимизация'' (1992 г., Мюнхен), на II Европейской конференции по управлению (1993 г., Гронинген), на Международной конференции "Сингулярные решения и процессы в системах управления" (1993 г., Переславль-Залесский), на Всероссийской научной школе "Компьютерная логика, алгебра и интеллектуальное управление. Проблемы анализа устойчивости развития и стратегической стабильности" (1994 г., Иркутск). Материалы диссертации неоднократно обсуждались на объединённом научном семинаре "Проблемы оптимизации, динамики и математической экономики" Иркутского госуниверситета, Иркутской государственной экономической академии и ИрВЦ СО РАН.
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 7 работах.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глаи, заключения и списка литературы. Общий объём диссертации составляет //У страниц. Список литературы содержит "7-4. наименований.