Введение к работе
Актуальность теш. Многие математические модели в биологии,-івдищшо,' механике, электротехнике и химической кинетике шсываются системами дифференциально-олгебраическш: уравнений эда
x'(t)=g(x(t).y(t),a(t)), (1)
y(t)-f(x(t),y(t),a(t')), х(0)*х, У(0)=у, де tilt0,t0*TJ, x(t)iRn, y(t)&n, a(t)№1 отображение ;ZWRm+n*l-(K'!l, /:Wjr*n*-l-0?\ причем yo*f(x,yo,a(0)).
Такие задачи возникают при моделировании явлений, одержаних процоссы с существен!..). различными характергаші ременами, т.е. быстрые п медленные процессы. Соответствукгсив атематические модели объединяют быстрые и медленные переменные, то приводит к аесткои системе уравнений. В практическом оделировании обычно делается упрощающее предположение, что истрые переменные изменяются мгновенно. Например, для задач с алым параметром є такое предположение превращается в условие =0. Таким образом, исследование- многих реальных объектов редполагает решение соотвоствувдей системы дифференциально-. лгебраических уравнений.
В настоящее время известно значительное число работ, эсвященяых исследованию дифференциально-алгебраических систем равнений. Для примера достаточно назвать монографии (Бояринцев
Ю.Е.' и др.. 1989і; Наігвг Е., Warmer G., 19912), отражавдие достижения советских и зарубежных авторов в этой области.
Задачи, рассматриваемые в этих работах, в основной концентрируются на следующих двух направлениях:
- исследование свойств дифференциально-алгебраических уравнешй
и их рошений;
- построение дискретных аналогов систем дифференциально-
алгебраических уравнений на основе конечно-разностных методої
решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Однако, несмотря на несомненные достш:ения в области chctoj дифференциально-алгебраических уравнений', полученных покі результатов недостаточно, чтобы корректно исследовать систем! уравнений, возникахвдо при моделировании тех или иных реальны: объек'лэв. Заменяя непрерывную задачу дискретной, построенной ні основа кекого-либо конечно-разностного метода решена обыкновенных дифференциальных уравнений, получаем систем; алгебраических уравнений, точное реаение которой, за исключаниеі линейного случен, . не мскет быть найдено. Следовательно приходится применять итерационные метода, которые внося.
1 Боярицев Ю.Ы., Данилов В.А., Логинов А.А., Чистяков В.Ф
Численные методы решения сингулярных систем. Новосибирск: Наука 1989. .
2 Halrer Е., Wanner С Solving ordinary differentia
equations II. Stiff and differential-algebraic problems. Berlin
Springer, 1991. '-..''.
ополштолшуп скибку, чак как в реальной ситуация му вшуздеші гранимиться кокечкш числом птораинЗ.. Учтшгаая к тому кз, что азличнио итерационные' метеш рзшешм алгебраических скотом ргвненнл восьма существенно отличаются пак условиями и г:оростью сходимости, так и слохзїостьв реализаций на ЭВМ, риходзгм к необходимости исследовать различные комбпшрованкие зтодн реиопия. систем даффореіщиально-алгебракческих уравнений с злыэ построения наиболее зффэктивнкх методов.
Цоль. работе і- Цэльв работы является разработка численных зтодоз решения задачи (1), выяснение условий сходимости этих втодоз, применение получениях результатов для исследования зтоматичасіслх моделей медико-биологичоских процессов, изучаемых медицинское кибернетике,
Методи исследования. В рзботе используются метода '.тематической кибернетики, вычислительной математики, ітемвткческого анализа, линейной алгобры, программировашія, ітематического моделирования и медицинской кибернетики.
Научная новизна. В диссертационной работа предложена два >мбивнрованных метода решения задати 0):--неявішй мзтод Эйлера в сочетании с методом простих итераций; неявный метод Адамса второго порядка в сочетании с методом втона. Для этих, катодов доказаны тесроми о сходимости ибликеиного решения к точному, получены 'оценки точности ибликенкого решения з_ зависимости от шага -сетки и числа ераций. Исследованаэффективность различных реализаций метода амса-Ньютона.''''
Практическая цепкость, ііиссертацня имеет как теоретическую.
так и практическую цепкость. Получению б ней теорэткчееки результаты представляет самостоятельней интерес для решеїш задач математической кибернетики на ЭВМ. Кроме того предлокегашэ 'чмслежшэ мэтода позволяют исследовать многи медико-биологические к механичвскио модели. Реализованные диссертации, модели прішапюш дія решения некоторых вояросо медицинской кибернетики, клинической медицины іі для плашіровани физиологических экспериментальных исследований.
Темо диссертации связана с плановой научно исследовательской работой ВЦ All СССР /Матзмзтическо моделирование экологических м физиологических процессов* систем", номер государственной регистрации 01. 86. 0130459 (199 г.), с ЧИР "Исследование медико-биологических последствий возмояностей выживания человека" (подтема "Пациент" тем "Иоследствил-г") по заданию АН СССР (1990 г.).
Апробация работы. Результаты диссергащш докладывались обсуждались на Всесоюзном семинаре "Моделирование и оценк резервных возмокностей развивающихся систем" (п.г.т. Славское Львовская обл., 1991), на Всесоюзной конференции "Новые подход к решений дифференциальных уравнений" (Дрогобич, 1991), н специальных семинарах ВЦ РАЛ, факультета вычислительно математики и кибернетики, мехзшко-матеыатнческого факультет МГУ:
Публикации. Основные, результати диссертации опубликованы работах [1-63.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения четырех глаз, . заключения и; трех приложений. В работ