Введение к работе
Актуальность темы и цель работы. В настоящей работе изучаются асимптотические свойства ряда комбинаторных объектов, в число которых входят разбиения натуральных чисел и разбиения множеств. Под асимптотическими свойствами совокупности объектов понимаются свойства объекта, типичного для этой совокупности. Мы рассматриваем множество однородных объектов, скажем разбиения, числа п, выбираем, случайным образом (с равной вероятностью) один из них, и ищем свойства, имеющие место с подавляющей вероятностью при больших п. В диссертации указывается возможный способ решения задач такого типа для широкого класса комбинаторных объектов и рассматривается ряд примеров, для которых удается явно найти указанные свойства. При этом необходимо отметить, что мы ищем свойства, характеризующие объект в целом, а не какие-то его частные характеристики.
Изучением разбиений натуральных чисел первым занялся Л. Эйлер. Он нашел формулу для производящей функции количества р(гс) разбиений числа п и установил ряд тождеств, связанных с разбиениями. Именно результаты Эйлера лежат в основе этой теории. Дальнейшему развитию изучения разбиений чисел послужило нахождение Харди и Рамануджаном асимптотической формулы для р(п) во втором десятилетии XX века ([4]). В середине века Г. Радема-хер [6] уточнил их результат, представив р(л) в виде быстро сходящегося ряда. Результаты Харди, Рамануждана и Радемахера сыграли историческую роль в развитии аналитической и алгебраической теории чисел.
В середине XX века появились работы, изучающие аналогичные вопросы для других комбинаторных объектов. Они дали возможность отвечать на вопросы, сколько существует комбинаторных объектов того или иного типа, однако они не дают никакого представления о том, каковы эти комбинаторные объекты. Этот вопрос можно уточнять различными способами, но общая схема конкретизации вопроса о виде комбинаторных объектов обычно заключается в следующем. Пусть задано семейство комбппагорпых объектов, каждому из которых естественным образом соответствует натуральный ранг. Среди всех объектов ранга п выберем случайным образом один (каждый с равной вероятностью) и исследуем какие-то его характеристики, которые можно рассматривать как случайные величины. Закономерность поведения этих случайных ве-
личин при росте п (если таковая существует) и будет описывать "общие свойства" выбранных для изучения объектов. В описанную схему укладывается- очень широкий спектр вопросов асимптотической комбинаторики.
Следующим этапом в развитии асимптотической комбинаторики стало нахождение ответов на вопрос, сформулированный в предыдущем абзаце, конкретизированный для специальных задач. Можно отметить работы П. Эрдёша д соавторов [2J, В. Г. Гончарова [14], В. Ф. Колчина [15], В. Н. Сачкова [18], и целый ряд других. Однако, все эти работы имеют существенный ведостаток: при росте разбиваемых объектов рассматриваемые функционалы остаются неизменными, и тем самым не позволяют получить полное представление о типичном предельном объекте. Естественным развитием этих работ явилась постановка вопроса, позволяющая получить полное описание типичного предельного объекта. Она, кратко говоря, заключается во вложении конечномерных комбинаторных объектов в бесконечномерное пространство, и исследовании образа типичного объекта. Этот подход был впервые применен А. М. Вершиком в совместных работах с А. А. Шмидтом в 1970-х годах [8, 9], описывающих поведение ти-
' пичных перестановок больших множеств. Позднее А. М. Вершик и С. В. Керов применили тот же подход для описания меры Планшереля на разбиениях [13]. В работе [10] А. М. Вершиком предложена общая постановка вопроса для класса комбинаторных объектов и найдены ответы в ряде случаев.
Диссертация посвящена уточнению результатов А. М. Вершика, а именно,
исследованию отклонений комбинаторных объектов от типичного для них поведения. Роль бесконечномерного пространства, в котором проводится исследование, играет пространство случайных процессов. Доказываются как результаты, позволяющие оценить отклонения от предельного случайного процесса, так и результаты, дающие ответы на чисто комбинаторные вопросы.
В третьей главе используется другое бесконечномерное пространство, а именно решетка непрерывных разбиений по В. А. Рохлину [17]. Показывается, как можно вложить решетки разбиений множеств в решетку непрерываных разбиений, и как это вложение связано с классической конструкцией непрерывных геометрий, принадлежащей Дж. фон Нейману.
Научная новизна. Основные результаты первых двух глав полученывпер-вые. Третья глава содежит концептуально новое изложение конструкции непрерывной решетки разбиений, предложенной А. Бьернером, и ее ранее не известные обобщения.
Методика исследований. В первых двух главах применяется предложенный A.M. Вершиком [10] метод мультипликативных статистик, являющийся приложением идей статистической механики к комбинаторным задачам. Техническим аппаратом являются полные и частичные обратные преобразования Фурье. Третья глава основывается на теории измеримых разбиений, построенной В. А. Рохлиным [17], и на развитой Дж. фон Нейманом [5] теории факторов и непрерывных геометрий.
Теоретическая и практическая ценность. Исследование, проведенное
в диссертации, уточняет ранее известные результаты о предельной форме ти
пичного разбиения и дает описание отклонений типичных рабиевнй от своей
предельной формы. Используемая в работе техника может быть перенесена на
аналогичные задачи. ,
Научная апробация работы. Результаты работы докладывались на международной шведско-русской конференции "Комбинаторика, Динамика, Вероятность", г. Стокгольм, 2000, на семинаре по теории представлений и динамическим системам ПОМИ РАН, г. С.-Петербург, и на математическом семинаре Добрушинской лаборатории ИППИ РАН, г. Москва.
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [21, 22, 23, 24, 25] перечисленных в конце настоящего автореферата.
Объем и структура диссертации. Диссертация содержит 83 страницы машинописного текста и состоит из введения, трех глав и списка литературы із 46 наименований.