Введение к работе
Актуальность темы. Возникнув в 50-е годы, задача идентификации и адаптации моделей динамических систем остается актуальной, что подтверждается большим числом современных публикаций. Значительный интерес для рассмотрения представляют модели динамических систем, допускающие представление в виде стохастических линейных дифференциальных или стохастических линейных разностных уравнений. При этом важный класс образуют задачи идентификации квазистационарных моделей, возникающие при исследовании новых технических систем, например в области навигации движущихся объектов или при оценке характеристик производственных и технологических процессов.
Для решения таких и подобных им задач разработано множество методов и алгоритмов, систематизированных в трудах известных ученых: Дж. Сарндиса, Л. Льюнга, Я.З. Цыпкнна, В.Ю. Рутковского и других. В работах Б. Уидроу, С. Стнрнза, II.В. Семушина и некоторых других предложено разделять способы использования регистрируемой информации в целях адаптации или адаптивной идентификации на две группы.
В первой группе способов информация о характеристиках входных сигналов используется для введения в вычислительный алгоритм или в. аналитические выражения для оптимальных значений параметров системы обработки сигналов. При этом априорные предположения о доминирующих параметрах и характеристиках источника сигналов непосредственно влияют на качество работы системы, но успешность таких действий практически не гарантируется из-за отсутствия контроля за критерием (функционалом) качества системы. Методы решения такого типа иногда называют пассивными.
Во второй группе методов качество работы системы с параметрической идентификацией контролируется непосредственно, так как идентификация оптимальных характеристик системы производится по некоторому функционалу качества во время реатьной работы. Основное преимущество таких систем заключается в образовании обратной связи по критерию качества. В данной работе будем называть их системами идентификации с функциональной обратной связью. Построение таких систем затруднено, так как из-за неполноты и зашумленности измерений исходный функционал качества принципиально не может быть реализован как функционал, зависящий от неизвестной ошибки фильтрации. Преодоление этих затруднений открыто в работах Р. Хемптона и II.В. Семушина, предложивших практически одновременно формирование вспомогательных функционалов качества, достигающих экстремума при тех же харак-
теристиках, что и исходный функционал качества, но при этом доступных для реализации. Однако практическое использование данного подхода требует эффективных численных алгоритмов минимизации вспомогательного функционала. На построение и исследование таких алгоритмов и направлена данная работа.
Тема настоящей диссертации вошла в наз'чную программу "Университеты России" по проекту НДС-34 "Идентификация и адаптивные процессы в системах управления".
Цель работы — обоснование, разработка и исследование свойств сходимости численных алгоритмов идентификации оптимальных дискретных фильтров в соответствии с принципом функциональной обратной связи в теории и практике адаптивного оценивания и стохастического управления.
Достижение данной цеди обеспечивается в работе решением следующих задач:
1) формирование наблюдаемого функционала качества для квазистационарной линейной динамической системы с эашумленнымн измерениями;
-2) обоснование численных алгоритмов минимизации функционала качества;
-
исследование возможности использования методов идентификации с функциональной обратной связью при различной степени априорной неопределенности модели;
-
исследование вопросов сходимости адаптивного фильтра к оптимальному дискретному фильтру.
Решение первой задачи осуществлено в рамках метода вспомогательного функционала Качества с учетом критерия оптимальности функционала качества Я.З. Цыпкина на классе распределений.
Вторая задача характеризуется трудностью решения для функцноната общего вида. Для минимизации сформированного функционала в работе используются методы, применявшиеся при решении аналогичных задач, а именно: одношаговый и многошаговый стохастические градиентные методы и стохастический вариант метода Ньютона. Исследуются возможности данных методов в рамках алгоритмов идентификации с функциональной обратной связью для систем фильтрации.
Постановка третьей задачи обусловлена тем, что большинство работ содержит результаты, ограниченные случаем неизвестной ковариации шу-
мов, в то время как наибольший интерес вызывает решение задачи идентификации неизвестных параметров модели в обшей постановке.
Четвертая рассматриваемая задача ставит целью определение характера и скорости сходимости фильтра, в частности сходимости адаптивного фильтра к оптимальному дискретному фильтру.
Методы исследования. Для получения теоретических результатов использован аппарат теории вероятностей и математической статистики, теории стохастической идентификации и адаптации, теория матриц и вычислительная линейная алгебра, методы численной оптимизации. Для получения численных результатов использован аппарат теории математической статистики и численного моделирования.
Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые результаты:
построен алгоритм адаптивной фильтрации, позволяющий идентифицировать параметры моделей стохастических линейных динамических систем в соответствии с принципом функциональной обратной связи;
предложены реализуемые алгебраически эквивалентные рекуррентные выражения для оценки неизвестных параметров модели, не требующие известности ковариационных матриц шумов модели при условии невырожденности матрицы наблюдений;
доказана теорема о сходимости адаптивного фильтра к оптимальному установившемуся фильтру;
полученные результаты обобщены на случаи матрицы наблюдений неполного ранга;
получена асимптотическая оценка скорости сходимости алгоритма;
построены алгоритмы адаптивной фильтрации на основе стохастического варианта метода Ньютона и стохастического многошагового градиентного метода;
доказана алгебраическая эквивалентность алгоритмов идентификации, отвечающих различным методам:
одношаговому методу стохастических градиентов,
многошаговому методу стохастических градиентов,
стохастическому варианту метода Ньютона;
построен алгоритм адаптивной фильтрации для систем с неизвестными переходной матрицей состояния модели и ковариационными матрицами шумов.
Теоретическая и практическая значимость. Научная и практическая значимость работы определяются новизной научного подхода к построению адаптивных фильтров для квазистационарных линейных динамических систем. Используемый для этой цели принцип функциональной обратной связи позволяет строить и применять новые алгоритмы для решения задач идентификации параметров квазистационарных линейных динамических систем в темпе реального времени. Результаты диссертации могут быть использованы в таких областях как теория идентификации и адаптации, для решения практических задач идентификации оптимальных дискретных фильтров для квазпстацпонарных линейных динамических систем, включая стохастические системы управления.
На защиту выносятся следующие положения.
-
Применение принципа функциональной обратной связи для систем оценивания и стохастического управления в задачах идентификации оптимальных установившихся фильтров.
-
Рекуррентные алгоритмы адаптивной фильтрации, применимые для систем с неизвестными коварпациямн шумов, а также при неизвестной переходной матрице состояния.
-
Численные алгоритмы, реализующие метод стохастических градиентов в процессе минимизации вспомогательного функционала качества.
-
Сходимость численных алгоритмов минимизации функционала качества к характеристикам оптимального фильтра.
-
Асимптотическая оценка скорости сходимости численных алгоритмов идентификации.
-
Результаты математического моделирования и вычислительных экспериментов, подтверждающие работоспособность предлагаемых алгоритмов в широком диапазоне априорной неопределенности характеристик исходной модели.
Апробация работы. Результаты работы доложены на 2-й Международной конференции "Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии" РОАИ-2-95, г. Ульяновск, 1995 г.;
на Международной конференции "Информационные технологии в моделировании и управлении", г. С.-Петербург, 1996 г.; на IX Международной конференции "По проблемам теоретической кибернетики", г. Ульяновск, 1996 г.; на семинаре кафедры "Нелинейные динамические системы и проблемы управления" факультета ВМпК МГУ (г. Москва); на семинарах кафедры "Математическая кибернетика и информатика" механико-математического факультета УлГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка литературы. Она изложена на 109 страницах, содержит 22 рисунка и 8 таблиц. Список цитируемой литературы состоит из 96 наименований.
Личный вклад. Решение всех поставленных задач, численное моделирование на ЭВМ, анализ результатов и выводы из них выполнены автором самостоятельно.