Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Метод Миттаг-Леффлера 10
1. Теорема Копій о разложимости аналитической функции в ряд, понятия элемента Вейерштрасса и аналитического продолжения 11
2. Теорема Рунге 17
3. Определение прямолинейной звезды 21
4. Me год Миттаг-Леффлера 23
5. Мегод П. Пенлеве 26
6. Приближение голоморфного решения задачи Коши в звезде Миттаг-Леффлера и оценка погрешности приближения 31
7. Вычисление множителей сходимости 38
8. Компьютерная реализация вычисления множителей сходимости 40
Глава 2. Аппроксимации Паде 48
1. Аппроксимации Паде: основные определения и принципы построения 48
2. Сходимость аппроксимаций Паде 56
Глава 3. Эллиптические функции 58
1. Мероморфные функции 58
2. Эллиптические функции 61
3. р(г)-функция Вейерштрасса 66
4. Новый подход к вычислению значений р(,г:)-функции 76
Глава 4. Применение аналитических методов к решению задач механики 81
1. Задача о сферическом маятнике 81
2. Уравнение Дуффинга 90
Заключение 107
Литература 112
Приложения 119
- Определение прямолинейной звезды
- Приближение голоморфного решения задачи Коши в звезде Миттаг-Леффлера и оценка погрешности приближения
- Новый подход к вычислению значений р(,г:)-функции
- Применение аналитических методов к решению задач механики
Введение к работе
Данная работа основана на двух взаимосвязанных методах построения частных решений голоморфных систем дифференциальных уравнений: методе Миттаг-Леффлера и методе построения аппроксимаций Паде.
В основу исследований положены классические результаты основателей комплексного анализа: Вейерштрасса, Миттаг-Леффлера, Рунге, Паде, полученные в середине 19-го и начале 20-го веков, касающиеся приближения однозначных аналитических функций полиномами и рациональными функциями. Применением их результатов к меюдам построения решений дифференциальных уравнений в задачах механики занималось не одно поколение математиков, образованы целые школы. Однако, до сих пор, многие вопросы остались без ответа. Более того, привлекательные на первый взгляд, теоретические результаты, на практике при численной их реализации для исследования конкрегных механических систем, столкнулись с такими компьютерными трудностями, что у многих вычислителей был потерян всякий интерес от безнадежности.
В области небесной механики в 60-х годах 20-го века в институте теоретической астрономии В.А. Брумберг пытался применить меюд Миттаг-Леффлера приближения полиномами к задаче трех тел, но на практике рассчитывая множители сходимости на вычислительной технике того времени столкнулся с большими трудностями, отказался от этой идеи, и вообще от этого метода [16].
В наше время метод приближения полиномами функций в своих звездах Миттаг-Леффлера встречается довольно редко в теоретических разработках как российских [47, 65, 71, 70], так и зарубежных [92, 93] ученых.
На метод построения аппроксимаций Паде первыми, обратившими внимание среди русских ученых, были московские математики А.А. Гончар и СП. Суегин [32, 33, 34] из института математики им. В.А. Стеклова. При их содействии и непосредственно под их руководством в 1986 году была переведена с английского языка и издана монография Дж. Бейкера, П. Грейвс-Морриса "Аппроксимации Паде"[9], которая вызвала интерес не только математиков, но и механиков, и физиков. Она до сих пор остается наиболее полной и содержательной монографией по методу рациональных аппроксимаций - аппроксимаций Паде.
Определение прямолинейной звезды
Пусть ео - круговой элемент Вейерштрасса в точке ZQ. ИЗ ТОЧКИ ZQ ВЫХОДЯТ прямолинейные лучи. Построим продолжение данного элемента ео с центром в точко ZQ НО этим прямолинейным лучам. Очевидно, что на каждом луче существует начальная часть, вдоль которой продолжение возможно. Длина ее не меньше, чем радиус элемента ео- Если посредством продолжения элемента ео вдоль данного луча нельзя достичь произвольной точки этого луча, начиная от ZQ, то на луче должна иметься іочка z\, отличная от ZQ, такая, что продолжение элемента ео возможно вдоль отрезка луча, начиная от ZQ, до любой точки интервала (ZQ, z\), и невозможно вдоль всего сегмента [ZQ, Z\]. Определение. Отметим на каждом луче, выходящем из ZQ, соответствующую точку z\, полагая z\ — со, если продолжение возмооїспо вдоль всего луча, и рассмотрим миооїсество точек, прииадлеоюащих всем воз-моэюным полуинтервалам (ZQ,Z\). Это миооїсество называется прямолинейной звездой элемента ео и обозначается Seo (см. рис. 1). Оно содержит всеючки плоскости, которых можно достичь, аналитически продолжая элемент ео вдоль всевозможных прямолинейных отрезков с общим началом в точке ZQ. Определение. Миооїсество Q = E\SCo назовем тенью звезды Seo. Очевидно, Q - замкнуто в Е и может иметь положительную меру. Покажем, что Seo есть область. В самом деле, ZQ - внутренняя точка множества Seo, так как весь круг элемента ео содержится в Seo. Если возьмем z\ ф ZQ и z\ Є 5 , то по теореме об аналитическом продолжении элемента [61] (см. 1 этой главы), точка z\ обладает такой окрестностью U, что элемент ео можно аналитически продолжать вдоль любого отрезка [ZQ,], ГДО . U. Следовательно, U С Seo и 5ео есть открыюе множество. Связность множества Seo непосредственно вытекает из того, что любые две точки, принадлежащие Seo, могут быть соединены посредством ломаной кривой. Например, точки z\ Є Seo, zi Є Seo могут быть соединены в 5ео иосредством ломаной, состоящей из двух отрезков [Z\,ZQ] И [20,22]. Покажем, что 5ео есть односвязная область. Допустим, что внутри замкнутой жордановой кривой 7 Є Seo находится точка ф. Seo. Проведем через точку луч из ZQ.
Луч этот пресечет кривую 7 в точке z\ такой, Ч Ю Є [zo,zi], но но определению множества 5Єо оірезок [ZQ,Z-\\ содержится в этой области, и значит, [zo, z\] содержится в ней вопреки допущению. Следовательно, прямолинейная звезда Seo есть односвязная область. Пусть 5ео - прямолинейная звезда элемента ео. Выше мы показали, что Seo есть односвязная область. Пусть z\ ф ZQ И Z\ Є Seo и е\ — элемент с центром z\, представляемый рядом ) an(z — z\)n, полученный продолжением элементно та ео вдоль прямолинейного отрезка [ZQ, z\\. Положим f(z\) = UQ И определим f(z) как однозначную функцию во всей области 5ео. Покажем, что эта функция f(z) является аналитической в данной области. Для точки z\ существует окрестность U, принадлежащая 5ео, такая, что для любой точки Є U продолжение элемента ео вдоль ломанной ZQ ZI приводит к тому же элементу Є\. Отсюда следует, что продолжение элемента е\ вдоль отрезка [zi,] приводит к тому же элементу є с центром : ocn{z — )n , что и продолжение элементно та ео вдоль отрезка [zo,]. Но если окрестность U, а следовательно и точка , принадлежит кругу сходимости элемента Єї, то результатом продолжения элемента е\ вдоль [z\,] должен служить элемент с центром , подчиненный е\. Следовательно, є есть элемент, подчиненный еі, и значение /() = 0 свободного члена ряда, представляющего элемент , совпадает со значением ряда YI ап{ — zi)n в точке z = . Следовательно, мы доказали, что во всех точках некоюрой окрестности іочки z\ Є Seo, откуда и вытекает аналитичность функции f(z) в этой окрестности и далее в силу того, что z\ - произвольная точка области, - во всей области 5ео . Итак, продолжая элемент ео но всем возможным лучам, выходящим из 2о, мы получаем в результате однозначную аналитическую функцию f(z) в звезде Seo данного элемен-ia. 4. Метод Миттаг-Леффлера Покажем, как функцию f(z) можно представить в виде суммы ряда многочленов, равномерно сходящегося внутри звезды Seo.6 Пусть F - ограниченное замкнуюе множество точек из Seo. Потребуем, чтобы для каждой точки z Є F тому же множеству F принадлежали также все точки прямолинейного отрезка [20,2]. Этому требованию можно удовлетворить, пополняя первоначально заданное множество точками всевозможных прямолинейных отрезков, соединяющих ючки из F с 2о, где ZQ — центр элемента ео. Пусть L - замкнуїая жорданова спрямляемая кривая, принадлежащая Seo и содержащая внутри F. Такую кривую всегда можно найти, используя возрастающую последоватсльносгь одиосвязных областей, построенных из квадратов и приближающих Seo изнутри. В качестве L можно взять границу одной из таких областей.
Приближение голоморфного решения задачи Коши в звезде Миттаг-Леффлера и оценка погрешности приближения
Предпринимались разные попытки выбрать наилучший способ аппроксимации дроби (1.6.6) последовательностью полиномов {Vm(t)}m=o в звезде 5ео. Одним из самых удобных разложений функции ip{t) является разложение Гурса (1903 г.), представляющее собой результат применения метода Коши-Липшица к дифференциальному уравнению которое при начальном условии ср(0) = 1 определяет функцию tp(t) = . В работе [16] метод Гурса обобщается для (1.6.7) с помощью метода Коши-Липшица в модификации Пиконе. Поясним кратко суть метода Коши-Лишница в модификации Пиконе. В своих работах в 1899 г. Пикар и Пенлеве указали на тесную связь между разложением аналитических функций в ряды полиномов и интегрированием дифференциальных уравнений по методу Коши-Липшица. Смысл метода Коши-Лиишица [77] состоит в том, что строится последовательность функций ж, которая при п - оо равномерно сходился Уг = 1,2,..., т к решению системы дифференциальных уравнений dx с начальными условиями хг(0) = х\ .
Если правые части уравнений (1.6.8) не зависят явно от t и являются полиномами от переменных Хк, то метод Коши-Липшица непосредственно приводит к разложению функций xt(t) в ряды полиномов, сходящихся в соответствующих звездах Миттаг-Леффлера, т. е. для уравнения (1.6.7) это оказывается самым подходящим методом. Но сам метод не дает определения областей сходимости для рядов функций хг{) и, кроме того, последовательность полиномов, построенная меюдом Коши-Липшица, сходится очень медленно (ниже в работе приведены расчеты, из которых это хорошо видно).
Скорость убывания погрешности пропорциональна 1/п. Пиконе, предполагая [77], что правые части уравнений (1.6.9) обладают непрерывными частными производными по своим аргументам до и+1, и 1 порядка включительно, применил метод Коши-Липшица к системе 1,...,m. Для уравнения (1.6.7) константа 9 является абсолютной для звезд Миттаг-Леффлера, так как не зависит от системы (1.6.10), т. е. метод Коши-Лиишица в модификации Пиконе связан с независимым от исходной системы (1.6.10) одним уравнением (1.6.7), который и определяет абсолютную константу 9. Из интеграла Коши (см. 4 этой главы) имеем: где х - любая точка прямолинейной звезды функции /(і), а Г - замкнутая кривая длины L, расположенная внутри звезды, окружающая точку х и такая, что всякий луч, исходящий из начала, пересекает эту кривую в одной и только в одной точке. Когда t описывает кривую Г, - описывает путь, имеющий ни одной общей точки с часгыо вещественной оси от 1 до со. Для всякого є 0 существует N = N(e) такое, чгіо при п N абсолютная величина разности, стоящей в иодшпегралыюм выражении (1.6.12), будет меньше є, отсюда и вьпекает [16]: где v - фиксированное произвольное, в = const - абсолютная константа, связанная лишь с оценкой (1.6.11) и не зависит от вида /?г. Итак, достаточно потребовать, чтобы в (1.6.13) п было таким, чтобы — є, т. е. достаточно, чтобы Величина N(i) и есть искомое количество полиномов Vk{t), к = 0,1,..., N(i), обеспечивающих оценку Пусгь v - произвольное, но фиксированное натуральное число [у 1), тогда систему (1.6.10) из С помощью рекуррентных выражений введем полиномы коэффициенты которых - целые положительные числа, а степень тп определяется формулой mn = {v + \)n-\. Искомые полиномы связаны с полиномами (1.7.2) соотношением Формулы (1.7.9) и (1.7.10) полностью решают задачу о нахождении нами множителей сходимости /ц\ Отметим, что все v + 1 коэффициентов полиномов (fi(t) и первые v + 1 младших коэффициентов всех полиномов (fn(t) равны единице //{." = 1 ДЛЯ /. = 0,1,...,1/, п 1. Дальнейшие значения коэффициентов моноюнно убывают вплоть до значения jimn = п тп и скорость этого убывания уменьшается с увеличением номера полинома п при фиксированном і/ис увеличением числа и при фиксированном п. В случае і/=1, что соогвеїствует полиномам обычного метода Коши-Лиишица, выведенные формулы упрощаю гея. Именно, при и = 1
Новый подход к вычислению значений р(,г:)-функции
Как видно из предыдущего параграфа процесс вычисления р(г)-функции довольно трудоемкий. Поемо і рим на процесс вычисления р(г)-функции с другой стороны. Мы знаем, что р(.г)-функция голоморфна в некоюрой обла-сі и и, следовательно, по теореме Коши может быть представлена сходящимся рядом, расположенным по степеням z — ZQ В окрестности ТОЧКИ ZQ Є G, т.е. може г быть задана элементом Вейерштрасса где p - радиус сходимости, аг предсіавляюг собой коэффициенты Тейлора, т.е. для их определения достаточно знать значения производных р(г)-функции в точке ZQ. Зная элемент Вейерштрасса ео мы можем построить аналитическое продолжение р(г)-функции в своей звезде Миттаг-Леффлера и на основании теоремы о монодромии построенная функция будет однозначна. Таким образом, нам для посіроения элемента Вейерштрасса необходимо знать значение искомой функции в некоторой начальной точке ZQ И ее основные периоды. Пусть нам заданы для некоторой р(г)-функции основные периоды 2a i и 2о;з, т.е. известен основной параллелограмм периодов. Построим параллелограмм периодов (см. 2 этой главы) на комплексной плоскосіи с вершинами 0, 2ш\, 2и 2 и 2о»з (напомним, чю 2щ = 2и\ + 2о;з). В случае, когда один из основных периодов действительный, а другой - мнимый, основным параллелограммом периодов будет прямоугольник. Если же основные периоды - сопряженные комплексные числа, то основным параллелограммом периодов будет являться ромб. В 3 мы показали, что точки, лежащие в центре или в серединах сторон основного параллелограмма, явля-іоіся двукратными нулями, а точка, лежащая в левом нижнем углу, является двойным полюсом для р(г)-функции. Внутри него рассмотрим малый параллелограмм - параллелограмм полупериодов с вершинами 0, ш\, Ш2 и щ и выберем в нем внутри точку ZQ. Из определения р(г)-функции Вейерштрасса можно записать (см. 3 формулу (3.3.4)) и посчитать ряд в выбранной нами точке ZQ\ Для однозначного определения р(г)-фуикцж нам необходимо еще определить инварианты: Итак, мы носіроили начальные данные для нашей р(г)-функции.
Обозначим полученное значение р(з)-функции в іочке z0 как Таким образом, по заданному элементу Вейерштрасса ео можно построить аналитическое продолжение р(.г)-функции насколько эю возможно в своей звезде Миттаг-Леффлера. Следуя меіоду Мит іаг-Леффлера, р(г)-функцию можно разложить в своей звезде Миттаг-Леффлера в ряд Здесь п (п = 1,2,...) - номер полинома, ц!1 - множители сходимости (см. главу I), аг, - коэффициенты Тейлора в точке ZQ, определяемые но формуле: т.е. необходимо знать производные р(г)-функции в точке ZQ. Воспользуемся тем, ч іо р(,г)-функция удовлетворяет нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка, а инварианты д2 и #з у нас известны из (3.4.3). Выпишем это дифференциальное уравнение: получим: Для однозначного решения дифференциального уравнения (3.4.9) встает вопрос: какой знак выбирать в уравнении (3.4.9). В конечном виде p {z)-функция предсіявляется в виде двух ветвей в плоскости ги. Тем не менее сяма р(г)-функция однозначная.
В зависимости от чого какую мы хотим получить ветвь, такой и следует выбирать знак в дифференциальном уравнении (3.4.9). Выберем знак " Ї". Найдем производные р-функции: (3.4.10) Таким образом, при заданных начальных данных (3.4.3)-(3.4.4), посчитав производные по (3.4.10) и используя полученные численные значения множителей сходимости в первой главе, мы сможем построить ряд полиномов (3.4.5), коюрый согласно методу Митіаг-Леффлера должен равномерно сходиться к точному значению р(.г)-функции в своей звезде, т.е. построим приближение р(.г)-функции в требуемой точке z. Если же нам надо посчитать значение р(2)-функции в некоторой точке z, лежащей вне звезды Миттаг-Леффлера, то здесь можно воспользоваться аппроксимациями Паде. Построим аппроксимацию Паде в заданной точке z. Основные принципы построения аппроксимаций Паде описаны в главе II. Задаем L + 1, L 0 - количество слагаемых в числителе и М + 1, М 0 - количество слагаемых в знаменателе для построения дроби аппроксимации Паде. Проверяем не равен ли нулю построенный нами определи і ель Ганкеля (3.4.11). Если он не равен нулю, то приступаем непосредственно к вычислению аппроксимации Паде. Если же он равен нулю, то речь может идти и о том, что аппроксимации Паде может и не существовать в заданной точке, т.е. заданная точка может быть особой точкой. Чтобы убедиіься, что мы попали в особую точку, надо попробывать пересчитать определитель Ганкеля при других L и М, если же зю ничего не дасг, и вновь построенный определитель Ганкеля будет снова равен нулю, то тогда можно попьпаться обойти эту точку, задав 8, и поечиїаіь определитель Ганкеля в точке ZQ-\-5, либо в точке ZQ — 5. Так окружив нашу предполагаемую особую точку ZQ окрестностью 5, мы обходим эту точку.
Применение аналитических методов к решению задач механики
В этой главе на модельных примерах: задаче о сферическом маятнике и уравнении Дуффинга рассматривался применение описанных выше меюдов: меюда Миттаг-Леффлера и построение аппроксимаций Паде. Описываегся аналитическое и численное решение данных задач. Предсіавленьї численные результаты, рассчиїанньїе на компьюіере, проводится их анализ. В 1 решается задача о сферическом маятнике методами Миттаг-Леффлера и аппроксимаций Паде. Показьшаеіся как можно использовать р(г)-функ-цию Вейерпітрасса для решения системы уравнений, описывающих движение сферического маятника В 2 рассматривается уравнение Дуффинга. Для решения уравнения Дуффинга строится алгориш, основанный на методах Миі іаг-Леффлера и аппроксимаций Паде. Уравнение Дуффинга решается как аналитически, чак и численно на компьюіере. Проводився анализ полученных численных результатов. 1. Задача о сферическом маятнике Наиболее часто эллиптические функции использую і ся в механике для интегрирования дифференциальных уравнений движения. Рассмотрим нос і роение функции Вейерппрасса p[z) на модельном примере - задаче о сферическом маятнике [61]. Сферическим маятником называется тяоїселая материальная точка, двиоісущаяся без трения по поверхности сферы (см. рис. 1)[61]. Выберем цилиндрическую систему координат: р, ip, z.
Прямоугольная система координат: х, у, z (см. рис. 1). Запишем уравнение сферы в цилиндрической сисіеме координат: где R - радиус сферы, а р, z - цилиндрические координаты. По теореме живых сил, приложенных к маятнику [4, 6, 68], получим: Так как силы, действующие на мая і ник, лежат всегда в одной плоскосіи с осью z, Ю можно еще воспользоваться законом площадей [61], утверждающей, что секторная скорость движения проекции маятника на плоскость 5 = 0 относительно начала координат ос гае і ся иосюянной: р2 = С = const. (4.1.3) О і сюда слезет, чгю угол (р являеіся моноюниой функцией времени t. Итак получили сие і ему уравнений, описывающих движение сферического маятника: где h = const, С = const. Система (4.1.4) определяет координаты z, р и ip движущейся точки как функции времени. Покажем, что эти координаты выражаюгся с помощью р-функции Вейерппрасса [61] и, используя новый подход к ее определению (см. 4 главы 3), вычислим эти координаты. Сначала определим S, для чего исключим р и ip из наших уравнений. Имеем: Сопосіавляя выражения (4.1.5) и (4.1.2), запишем: Упростив последнее выражение, получаем где q(z) - многочлен треіьей степени. Если ZQ (-R ZQ R) - координата маятника в начальный момент времени, ю, очевидно, что q(zo) О, т.к. скоросль S = " есть действительное число. Заметим, что g(+oo) = +оо, q(R) = -С2, q(z0) 0, q(-R) = -С2 О, q(—оо) = —оо, іогда все нули z\, z2, S3 многочлена третьей сіепени q{z) действительные. Если q(zo) О, ю они лежат по одному на интервалах (R, + оо), (ZQ,R) и (—R, 2Q). Обозначим их в следующем порядке: Если q(z o) = 0, то интервал (R, +оо) по-прежнему будет содержать один нуль Si, т.к. общее число нулей в нем нечетное, а интервал (—со,—Я) не будет содержать ни одного нуля, т.к. общее число нулей в нем четное. Следовательно, два нуля должны содержаться в одном из полуинтервалов (—Я, So] и [So, R), и мы получили прежнее расположение нулей с тем лишь различием, что между SQ и h или между So и ї2 иоявляеіся знак равенства, т.е. возможен случай, когда z2 = z3 = zQ. (4.1.8) В случае (4.1.8) уравнение (4.1.6) интегрируется в элементарных функциях [61]. Мы будем считать, что все корни уравнения q(z) — О - простые. В этом случае q(z) осіаеіся неоірица іельньїм на сегменте [Із, h], содержащем значение ZQ, и меняет знак при переходе z через границу сегмеїпа.
Следовачельно, координата z должна удовлетворять неравенствам т.е. маятник все время осіаеіся в пределах некоторого шарового пояса. В уравнении (4.1.6) сделаем замену: и, следовательно, сущесівуег (функция р(т) с основными периодами: одним действительным 2а и одним чисто мнимым 2ifi, удовлетворяющая уравнению Если г = a + ip, то [35, 61] р(т) = р(сг + г/?) являеіся функцией or сг с периодом 2а, дифференцируемой и возрасіающей or ез до е2 на сегменте [0, а] и убывающей ог е2 до ез на сегменте [а, 2а]. Те же значения р(т) принимает и на любой прямой т = о + (2к + 1)г/3, к = 0, Введем еще одно обозначение Осіалось определить р(т) в (4.1.14). Из начальных данных определяя zi, 22, 23, мы вычисляем корни 6j многочлена, определяющего р(т)-функцию, и вычисляем основные периоды. Начальные данные у нас известны из (4.1.13). Используя предлагаемый в 4 в главы 3 алгоритм для вычисления значений р(г)-функций, вычисляем искомую р(т). Таким образом, мы вычислим значение р(т) в (4.1.14) и тем самым найдем решение уравнения Для решения нелинейного дифференциального уравнения первою порядка (4.1.18) можно использовать метод Миттаг-Леффлора (см. главу I) или метод аппроксимаций Паде (см. главу II), a z(t) определяйся из (4.1.14), а констаніа С через выражение (4.1.19). Метод Миттаг-Леффлера Следуя методу Мигтаг-Леффлера можно функцию (p(t) в своей звезде разложить в ряд но полиномам Итак коэффициенты Тейлора вычисляем по формулам (4.1.23)-(4.1.24), множиіели сходимости у нас известны (приведены в приложениях), теперь можно приступить к построению и вычислению полиномов (4.1.22). Ряд (4.1.21) из построенных полиномов должен согласно меюду Мич іаг-Леффлера равномерно сходится к точному значению p(t) в своей звезде. Таким образом, мы построили приближение решение дифференциального уравнения (4.1.18).
