Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Постановка задач прогнозирования устойчивости равновесных состояний оболочечных элементов конструкций к силовым возмущениям 24
1.1 Устойчивость механических систем к присутствию малых силовых возмущений, действующих на конечном промежутке времени 24
1.2 Необходимые условия неустойчивости неконсервативных механических систем 29
ГЛАВА 2. Прогнозирование устойчивости равновесных состояний цилиндрических оболочек к силовым возмущениям 37
2.1 Постановка задачи об устойчивости равновесных состояний цилиндрических оболочек к силовым возмущениям 37
2.2 Прогнозирование устойчивости к силовым возмущениям сжатых в осевом направлении изотропных цилиндрических оболочек. 45
2.2.1 Анализ особенностей спектра собственных частот цилиндрической оболочки, возникающих при квазистатическом осевом сжатии 45
2.2.2 Прогнозирование границы устойчивости цилиндрических оболочек к силовым возмущениям при осевом сжатии 64
2.3 Устойчивость равновесных состояний замкнутой круговой цилиндрической оболочки при внешнем давлении и осевом сжатии 73
2.4 Выбор коэффициентов устойчивости вафельных цилиндрических оболочек при осевом сжатии
2.5 Оценка вероятности потери устойчивости ортотропных цилиндрических оболочек при их равномерном осевом сжатии 103
2.6 Определение динамических характеристик композитных слоисто-волокнистых оболочек и прогнозирование их устойчивости при осевом сжатии
2.6.1 Определение динамических характеристик слоисто 111
волокнистых оболочек с малым числом слоев
2.6.2 Прогнозирование устойчивости композитных слоисто волокнистых цилиндрических оболочек при осевом их сжатии 127 Стр
ГЛАВА 3. Прогнозирование устойчивости оболочек вращения к силовым возмущениям 144
3.1 Прогнозирование границы безусловной устойчивости сферических оболочек при внешнем давлении на основе динамического критерия 144
3.2 Прогнозирование положения нижней границы области экспериментальных значений критических нагрузок конических оболочек при осевом сжатии 154
3.3 Прогнозирование положения нижней границы области экспериментальных значений критических нагрузок конических оболочек при внешнем давлении 163
3.4 Методическое и программное обеспечение расчётов для определения условий возникновения флаттера сопловых насадков высотных ракетных двигателей 167
3.4.1 Основные соотношения, используемые при построении математической модели сопловых блоков высотных ракетных двигателей 170
3.4.2 Каноническая система уравнений аэроупругих колебаний оболочечной конструкции из композиционных материалов 175
3.5 Прогнозирование условий возникновения флаттера насадков высотных РД из композитных материалов 179
3.6 Анализ условий возникновения флаттера конических насадков, усиленных упругим шпангоутом 182
Выводы и заключение 184
Список литературы
- Необходимые условия неустойчивости неконсервативных механических систем
- Анализ особенностей спектра собственных частот цилиндрической оболочки, возникающих при квазистатическом осевом сжатии
- Прогнозирование положения нижней границы области экспериментальных значений критических нагрузок конических оболочек при осевом сжатии
- Прогнозирование условий возникновения флаттера насадков высотных РД из композитных материалов
Необходимые условия неустойчивости неконсервативных механических систем
Рассматриваемое состояние равновесия или движения механической системы принято называть невозмущенным состоянием. Под возмущенными состояниями системы понимают те из них, которые получаются после начального момента времени из невозмущенного состояния вследствие малых дополнительных нагрузок длительного характера, не учтенные в расчете, или некоторых начальных возмущений. Начальные возмущения состоят в общем случае из комбинации начальных статических возмущений и мгновенных начальных импульсов, осуществляемых в начальный момент времени и вызывающих некоторые изменения начальных значений координат и компонентов скорости [106].
Исторически сложились и развиваются две элементарные концепции того свойства, которое именуется термином устойчивость [98].
Первая элементарная концепция отождествляет понятие устойчивости невозмущенного состояния со свойством возмущенных состояний возвращаться к исходному состоянию. В строительной механике на протяжении длительного периода времени потеря устойчивости равновесия отождествлялась именно с этой концепцией. Она сыграла решающую роль в деле выработки так называемой теории «статической устойчивости», основы которой были заложены в трудах Эйлера. Согласно методу Эйлера форма равновесия называется устойчивой, если малые возмущающие воздействия вызывают малые отклонения системы от рассматриваемой формы равновесия, причем, уменьшая возмущающие воздействия, можно сделать эти отклонения сколь угодно малыми. Форма равновесия называется неустойчивой, если даже сколь угодно малые возмущения вызывают конечные отклонения системы от рассматриваемой формы равновесия. Фундаментальные задачи устойчивости упругих стержней, пластин и оболочек, а также наиболее важные для инженера задачи устойчивости равновесных состояний консервативных систем, были решены на основе соображений статики, в силу чего в строительной механике на протяжении длительного периода времени потеря устойчивости равновесия отождествлялась именно с этой концепцией. В результате, как отмечает Арнольд, «согласно курсам строительной механики будущий инженер-строитель приучается мыслить исключительно в категориях эйлеровой постановки задачи устойчивости равновесия» [5].
Следует особо отметить, что при применении статического метода Эйлера, т.е. рассматривая лишь совокупность форм равновесия, близких к начальной форме, полностью исключаются из анализа возможные формы движения от исходного состояния к новым формам равновесия. Формальное применение статического критерия к неконсервативным системам без последующего анализа закономерности такого применения, чревато получением ошибочных выводов [106].
В законности применения статического критерия к неконсервативной системе можно убедиться только после того, когда будет получено также решение и с помощью динамического критерия и оба решения совпадут. Таким образом, метод Эйлера ограничен уже в силу того, что его применение невозможно при решении задач устойчивости равновесия механических систем при наличии неконсервативных сил и динамических нагрузок. Применение динамического критерия устойчивости становится в этих случаях единственно возможным [7].
Вторая элементарная концепция отождествляет понятие устойчивости невозмущенного состояния со свойством пребывания движения возмущенных состояний в окрестности невозмущенного состояния. Этот вопрос является для техники в ряде случаев более важным, чем наличие тенденции к возврату обратно к невозмущенному состоянию. Почти исключительно вся «физическая механика» заинтересована именно во втором элементарном понимании устойчивости. Обе эти концепции разрабатываются до настоящего времени, причем теория упругой устойчивости тонкостенных элементов конструкций продолжает развиваться в основном в рамках первой элементарной концепции понятия устойчивости. Благодаря трудам А.М. Ляпунова теория устойчивости движения стала строгой математической дисциплиной. В отличие от определений, предлагавшимися его предшественниками, определение Ляпунова обладает математической строгостью. Оно оказалось настолько удачным, что было принято как основное всеми учеными. Особенности определения устойчивости по Ляпунову состоят в следующем [3]. Во-первых, предполагается, что возмущения налагаются только на начальные условия. Возмущенное движение происходит под действием тех же сил, что и невозмущенное движение. Во-вторых, устойчивость рассматривается на бесконечно большом промежутке времени. В-третьих, возмущения предполагаются малыми. Физически это означает, что рассматривается устойчивость по отношению к мгновенно действующим возмущениям. После А.М. Ляпунова теория устойчивости движения развивалась по различным направлениям. В частности, усилия многих ученых были направлены на определение условий устойчивости при больших и постоянно действующих возмущениях, а также на конечном промежутке времени и при случайных силах [42, 96, 130].
Реальная механическая система находится обычно под постоянным воздействием небольших возмущающих сил, учесть которые при составлении уравнений движения практически невозможно. «Эти последние, сколь бы малы они не были, влияют на движение системы в особенности, если движение неустойчиво» отмечал Н.Г. Четаев [130]. Он впервые поставил вопрос о влиянии на устойчивость системы силовых возмущений, действующих не мгновенно, как это у Ляпунова, а на протяжении некоторого интервала времени.
Анализ особенностей спектра собственных частот цилиндрической оболочки, возникающих при квазистатическом осевом сжатии
Следовательно, если на протяжении некоторого интервала времени на оболочку действуют малые силовые возмущения определенного вида, то при выполнении необходимых условий они способны вызвать колебательную неустойчивость оболочки. Это может привести к явлению «скачка», т.е. к внезапной смене равновесного состояния и исчерпания несущей способности оболочки.
Для выявления этих необходимых условий обратимся к анализу особенностей спектра собственных частот оболочек, существующих при квазистатических нагрузках.
Рассмотрим замкнутую круговую изотропную цилиндрическую оболочку, находящуюся в равновесном состоянии в условиях сжатия усилиями Т1 01 =кТв.
Здесь Т101 - усилия сжатия, равномерно распределенные вдоль дуговых кромок цилиндрической оболочки, к - параметр осевого сжатия, Тв - верхняя критическая нагрузка, определяемая по формуле Лоренца-Тимошенко ТВ= , ЕН - = 0,605—. (2.21) V3(1-v2 ) R Формула (2.21) была получена в рамках концепции Эйлера в предположении, что исходное равновесное состояние замкнутой круговой упругой цилиндрической оболочки идеальной начальной формы является безмоментным. Определенные на ее основе значения критических усилий сжатия реальных оболочек оказываются в два-три и более раз больше значений, полученных при испытаниях таких оболочек. Поэтому единственное значение, которое можно придавать указанной формуле, - это формула для довольно грубой оценки критической нагрузки сверху.
Проследим за эволюцией динамических характеристик при осевом сжатии шарнирно опертой цилиндрической оболочки относительной толщины R/h=100 и
относительной длины z = lil\-v2 /jRh = 20, у которой в процессе эволюции первое появление в спектре частоты, равной нулю, происходит при числе волн в окружном направлении п=9. При расчетах применяем устойчивый высокоточный метод численного интегрирования, реализованный в программе [49] и учитываем нелинейную зависимость параметров напряженно-деформированного состояния оболочки от параметра осевого сжатия к. Результаты вычислений квадратов частот первых четырех мод колебаний, имеющих девять волн в окружном направлении, а 9т = а 1т{к) представлены на Рис. 2.1.
Следует отметить, что квадраты частот колебаний цилиндрической оболочки colm=colm{k) являются линейными функциями параметра осевого сжатия к в диапазоне значений от нуля до 0,72. Характерно, что более высоким номерам мод колебаний т отвечают более высокие скорости их убывания. Это приводит к перехлесту частотных кривых. На Рис. 2.2 показана эволюция форм собственных колебаний оболочки, соответствующая изменениям значений параметра к.
Форма собственных колебаний, отвечающая наименьшей частоте при девяти волнах в окружном направлении щ ,1 (0), не имеет перемен знака, у второй формы колебаний, отвечающей частоте ш92(0) - точно одна перемена знака, а у частоты ш93(0) - две перемены знака (Рис. 2.2, а). Эти формы обладают ортогональностью. При значении параметра сжатия к1(,92) = к = 0,496 первые две частоты практически равны: а 92 -ш91( )«1. Формы колебаний, соответствующие этим частотам оболочки, показанные на Рис. 2.1, б, имеют равное число перемен знака. Следует отметить, что эти формы не обладают свойством ортогональности.
При значении параметра сжатия к = 0,645 практически равны вторая и третья частоты. Формы колебаний, соответствующие этим частотам оболочки, показанные на Рис. 2.1, в, имеют равное число перемен знака и не являются ортогональными.
Три первые формы колебаний при и=9 и параметре к = 0,690 показаны на Рис. 2.1, г. Форме колебаний, имеющей одну перемену знака, соответствует наименьшая частота, следующая частота имеет форму колебаний с двумя переменами знака, а у третьей частоты форма колебаний не имеет узловых точек.
Смена порядка чередования узлов у форм колебаний и сохранение скоростей убывания квадратов частот у форм колебаний, имеющих равное число узловых точек, свидетельствует о перехлесте частотных кривых. а) три первые формы свободных колебаний при n=9 и параметре k = б) три первые формы колебаний при n=9 и параметре k = 0,499 в) три первые формы колебаний при n=9 и параметре k = 0,645 г) три первые формы колебаний при n=9 и параметре k = 0,690
На Рис. 2.3 показана характерная расчетная зависимость квадрата минимальной частоты колебаний оболочки от параметра осевого сжатия. В отличие от зависимости квадрата минимальной частоты прямолинейного стержня, которая линейно зависит от параметра сжатия, как расчетные, так и экспериментальные кривые квадрата минимальной частоты цилиндрической оболочки резко снижаются при больших значениях осевой силы [37]. Это делает невозможным непосредственное определение критических нагрузок по результатам вибрационных испытаний.
Расчетами установлено, что значения параметров к =к-", при которых сближаются частоты /-ой и у-ой мод колебаний, приближенно могут быть получены путем определения условий, при которых имеет место равенство парциальных частот уравнений (2.19), описывающих возмущенное движение оболочки. В том случае, когда учитывается нелинейная зависимость параметров равновесного напряженно-деформированного состояния оболочки от параметра осевого сжатия к, элементы матрицы а\ в системе ОДУ (2.19) могут быть вычислены согласно
Прогнозирование положения нижней границы области экспериментальных значений критических нагрузок конических оболочек при осевом сжатии
При описании исходного невозмущенного равновесного состояния оболочки до настоящего времени в ряде работ принимается допущение о том, что состояние оболочки является напряженным, но недеформированным [2, 13, 14]. Такое допущение соответствует исходному безмоментному состоянию оболочки. В действительности ограничения, накладываемые на радиальные перемещения торцов оболочки, приводят к тому, что образующая оболочки искривляется, так что в реальных оболочках с торцевыми шпангоутами напряженное состояние является моментным и деформированным (Рис.2.7).
Типичная картина распределения перемещений w0=w/h по длине цилиндрической оболочки. В области 2, отмеченной двойными линиями, искривление образующей отрицательно и возникают окружные сжимающие усилия Т202. со0 = Т01 /ТВ;
Если в ходе решения задачи пренебречь искривлением образующей оболочки, положив в соотношениях (2.17) величину 00 тождественно равной a ij в уравнениях возмущенного нулю, то в результате матрица коэффициентов движения оболочки перестаёт быть матрицей общего вида и становится симметрической. При этом выражение под внутренним радикалом в (2.31) остаётся положительным вплоть до появления первого нулевого корня. Следовательно, при таком предположении можно обнаружить только статический тип неустойчивости и соответствующую критическую нагрузку. При дальнейшем рассмотрении считаем, что величина 00 отлична от нуля и равновесное напряженно-деформированное состояние оболочки нелинейно зависит от параметра нагрузки.
Пусть при некотором значении параметра нагрузки к = к( ) имеет место равенство парциальных частот pni = pnj. Вид общего решения системы уравнений (2.29) в области значений, лежащей в окрестности каждого из параметров к = к ), зависит от значения произведения недиагональных элементов ai}aji. Матрицы atj общего вида могут быть представлены в виде сумм симметричной и кососимметричной матриц, что является свидетельством присутствия в возмущенном движении, описываемых уравнениями (2.19), (2.29), внутренних циркуляционных (неконсервативных позиционных) сил. Проходя периодически через одни и те же положения, эти силы производят работу, приводящую к изменению энергии системы [129]. Наличие циркуляционных сил является необходимым условием того, чтобы выражение под внутренним радикалом (2.31) могло при выполнении условия ciijCiji 0 принимать отрицательные значения в пределах некоторых интервалов величин параметра сжатия к. Расчетами установлено, что такие интервалы существуют при величинах усилий сжатия, больших, чем Т1 01 = 0.67ТВ.
Так, применительно к оболочкам, характеризуемым коэффициентом Пуассона, равным 0,3 и безразмерными параметрами R/h = 250, //і? = 1,3, в диапазоне значений параметра к от 0,72 до 0,77 при числе волн п=3, и значениях параметров i=2 и j=8 соответственно, корни уравнения (2.30) являются комплексными и записываются в следующем виде Q1 = у/ + і а; &-2=у/- ш; 13=-у/ + і a; Q.4=-y/- іа. Эволюция величин Q 2,Q 8, обусловленная ростом параметра сжатия к, показана на Рис.2.8. Параметр Q связан с величинами модулей корней Q соотношением П= 2+а2=П Е pR2(\-M2) Рис. 2.8. Эволюция величин Q 3,2, 3,8, обусловленная ростом параметра к (I-Q 3,2; 2 -Q 3,8) Комплексным значениям корней соответствует колебательный тип неустойчивости оболочки, при котором колебания в окрестности равновесного состояния характеризуются одной частотой ц/ и амплитудами, возрастающими со временем по закону ехр(сй). При равенстве парциальных частот р32= p38 в рассматриваемом примере максимальная величина а в (2.31) была найдена при значении параметра к, равном 0,75. Наибольшая из парциальных частот системы (2.32) при этом равнялась 2185 Гц.
Результаты численного интегрирования системы уравнений d 2 (2.32) dV ТаітГт ( ) + fi ()/Р (І = I 2, ... , 8) m=1 по времени на интервале t є (0, 0,035) с шагом 0,00001 секунды при числе волн в окружном направлении п=3 и учете восьми первых гармоник для различных значений параметра к показаны на Рис. 2.9 - 2.14.
Зависимости координатной функции q2=q2(t) для случаев, когда при интегрировании в уравнениях (2.32) функция f2(t) = а4 t была единственной отличной от нуля и величина параметра сжатия в одном случае принадлежала интервалу относительной неустойчивости ( = 0,75), а в другом лежала вне его (к = 0,6), показаны на Рис. 2.9 и 2.10 соответственно.
Результаты интегрирования системы уравнений (2.32) для функции q2 = q2(t)при к = 0,6 и f2(t) = а4 t На Рис. 2.11 - 2.14 зависимости координатных функций q2,q4,q6,q% от времени t показаны для случая, когда единственная отличная от нуля функция была задана как f2(t) = аsm(pt). Очевидно, что экспоненциальный рост функции q2 = q2 (t) сопровождается с небольшим запаздыванием аналогичным ростом координатных функций q4,q6,q%, что может привести к явлению «скачка», т.е. к внезапной смене равновесного состояния. Это означает, что исходное равновесное состояние является неустойчивым к силовым возмущениям вида м
Прогнозирование условий возникновения флаттера насадков высотных РД из композитных материалов
Топливные баки при проектировании новых и модернизации существующих ракет-носителей, несмотря на широкое применение композиционных материалов, по-прежнему изготавливаются из алюминиевых сплавов. Для топливных баков, характеризуемых невысоким уровнем внутреннего давления, основным расчетным случаем является эквивалентное осевое сжатие. Перспективные ракеты-носители семейства «Ангара» состоят из универсальных ракетных модулей, в состав которых входят баки с обечайками вафельной конструкции. Баки выполняются в виде обшивки, подкрепленной густой системой взаимно ортогональных ребер жесткости. Наиболее часто применяемым вариантом конструктивно-ортотропных обечаек являются вафельные обечайки, которые изготавливаются заодно со стенкой из единой заготовки методом механического или электрохимического фрезерования.
Вафельные обечайки имеют ряд преимуществ перед гладкими. Экспериментально установлено, что они обладают значительно более высокой несущей способностью при осевом сжатии, чем равные им по массе гладкие и мало чувствительны к начальным несовершенствам формы типа локальных вмятин, не превышающих по глубине половины толщины исходного листа. При этом несущая способность обечаек баков определяется их устойчивостью.
До настоящего времени основным методом расчета на устойчивость вафельных оболочек является эмпирико-статистический метод, основанный на обработке результатов большого количества испытаний разнообразных цилиндрических оболочек (подкрепленных и гладких). В отечественном ракетостроении накоплен значительный статистический материал по обмерам сотен баков с вафельными обечайками. Результаты этих испытаний представляются в виде графиков зависимости коэффициента устойчивости эквивалентной гладкой оболочки от параметров нагружения для различных отношений радиуса цилиндрической оболочки к толщине обшивки вафельной панели. Описание основных положений метода проектирования реальных вафельных оболочек, применяемого как в нашей стране, так и за рубежом, содержится, например, в работах [88, 135]. Сущность его сводится к тому, что с помощью коэффициента конструктивности в результате определения эквивалентной толщины гладкой конструктивно-ортотропной оболочки hэкв , работающей на растяжение и изгиб, определяется соответствующее ей отношение R/hэкв [88]. Далее по величине этого отношения определяется коэффициент снижения классической величины коэффициента устойчивости по статистической кривой 99%-ной вероятности работы [144].
Это подход позволял использовать семейство кривых для коэффициентов устойчивости гладких оболочек с дополнительным множителем в традиционной формуле, полученное из решения задачи устойчивости ортотропной оболочки в линейной постановке. Созданный в 1960 г. в КБ «Салют» на основе этих положений метод практического расчета устойчивости часто подкрепленных цилиндрических оболочек, подверженных совместному действию осевого сжатия и внутреннего давления, нашел применение при создании конструкций ряда ракетоносителей и в том числе ракеты «Протон», находящейся, как и созданный метод, в эксплуатации до настоящего времени. В процессе проведения экспериментальной обработки и накоплений результатов статических испытаний модельных и натурных конструкций баков ракет оказалось, что принятые расчетные положения достаточно хорошо подтверждаются полученными экспериментальными результатами с некоторыми уточнениями в сторону увеличения значений коэффициентов устойчивости, сделанными в области малых величин внутреннего давления [45].
В КБ «Салют» был разработан расчетно-статистический метод проектирования сварных вафельных обечаек баков ракет-носителей, основанный на статистически обоснованных амплитудах начальных отклонений их формы, полученных на основе обработки результатов обмеров вафельных обечаек баков для двух типов серийных ракет-носителей, изготовленных на заводе ГКНПЦ им. М.В. Хруничева и Оренбургском авиационном заводе [107, 108]. Созданная методика расчета и реализующая ее программа [84, 105] позволяют определить величину гарантированной несущей способности обечаек баков ракет-носителей при осевом сжатии при минимуме исходных данных, описывающих геометрические параметры вафельной цилиндрической оболочки. Методика позволила значительно увеличить точность определения критических нагрузок потери устойчивости вафельных цилиндрических оболочек и провести облегчение ряда топливных баков РН, имеющих обечайки с вафельным подкреплением. Непосредственное использование данной расчётно-статистической методики при другой производственной технологии и иных типоразмерах оболочек и форм несовершенств напрямую невозможно, т.к. требуется вновь проводить процедуру измерений несовершенств, накопления результатов и их обработку.
Для прогнозирования границ вероятной неустойчивости вафельных конструктивно-ортотропных оболочек, осуществляемого при их проектировании на основе конструкторской документации, может быть применен метод, основанный на применении динамического критерия устойчивости.
Рассмотрению подлежат конструктивно - ортотропные (вафельные) оболочки, выполненные из панелей, подкрепленных часто расположенными продольными и поперечными ребрами, полученными обработкой исходного листа (Рис.2.29).
Исходный лист считается изотропным с коэффициентом Пуассона v и модулем на растяжение - сжатие Е. Модуль сдвига материала исходного листа равен G = E/2(l + у) . Высота панели вафельной оболочки равна Н, а толщина её обшивки - zx = Н - тах , / }.