Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Состояние вопроса, постановка цели и задач исследования 8
1.1. Устройство и принцип действия манометрической трубчатой пружины 8
1.2.Методы виброзащиты 12
1.3. Обзор исследований в области колебания стержней и оболочек ... 19
1.4.Обзор исследований в области сопротивления жидкости перемещениям в ней тел 26
1.5. Основные выводы, постановка задачи 32
Глава 2. Математическое моделирование колебательного движения манометрических трубчатых пружин 34
2.1.Расчет параметров затухания колебаний манометрических трубчатых пружин с помощью уравнений Лагранжа второго рода 34
2.1.1. Динамическая модель пружины 34
2.1.2. Опре деление потенциальной энергии пружины [105] 35
2.1.3. Определение кинетической энергии [105] 42
2.1.4. Опре деление обобщенных сил сопротивления и коэффициента сопротивления 47
2.1.5.Решение системы уравнения движения 50
2.2. Динамическая и математическая модель колебательного движения манометрической трубчатой пружины, как криволинейного стержня 54
2.3.Выводы 57
Глава 3. Численные методы и комплексы программ для решения системы уравнений, колебательного движения манометрических трубчатых пружин
3.1 .Решение системы уравнений методом Бубнова-Галеркина 58
3.2. Определение коэффициента Кармана [105] 63
3.3.Исследование сходимости решения 65
3.4.Комплекс программ для определения параметров затухания колебаний манометрических трубчатых пружин 67
3.5.Сравнение результатов методов расчета 71
3.6.Влияние геометрических характеристик и вязкости
демпфирующей жидкости на параметры затухающих колебаний 73
3.7. Влияние вязкости демпфирующей жидкости на снижение времени затухания колебаний 79
3.8.Выводы 80
Глава Экспериментальные исследования колебаний манометрических трубчатых пружин 81
4.1. Мето дика эксперимента 81
4.1.1.Цель и задачи эксперимента 81
4.1.2.Опытные образцы манометрических пружин 81
4.1.3. Определение физических свойств демпфирующих материалов 84
4.1.4. Определение параметров затухания с помощью анализатора вибрации AU014 85
4.1.5. Определение параметров затухания с помощью вибрационного вискозиметра SV-10 86
4.2.Сравнение параметров затухания колебаний 88
4.3.Выводы 96
Заключение 97
Литература 98
- Обзор исследований в области колебания стержней и оболочек
- Определение кинетической энергии [105]
- Определение коэффициента Кармана [105]
- Определение физических свойств демпфирующих материалов
Обзор исследований в области колебания стержней и оболочек
В манометрической трубчатой пружине применяется свойство полой трубки деформироваться под действием давления. Обычно манометрическая трубчатая пружина представляет собой тонкостенную кривую трубку вытянутого поперечного сечения (рис. 1.1, а). При подаче давления во внутреннюю полость поперечное сечение трубки деформируется, принимая форму, показанную пунктиром на рис. 1.1, б. При этом продольное волокно аа трубки переходит на дугу большего радиуса, а волокно bb — на дугу меньшего радиуса. Поскольку волокна стремятся сохранить свою первоначальную длину, поперечные сечения трубки, изображенной на рис. 1.1, а, будут поворачиваться против часовой стрелки. Пружина будет разгибаться, и ее конец получит некоторое перемещение X, это перемещение передается на стрелку прибора через передаточный механизм.
Классификация МТП Принцип действия манометрической пружины заключается в искривлении контура поперечного сечения. Чем больше это искривление, тем больше угловое Ау и линейное X перемещение конца пружины. На величину деформации поперечного сечения существенное влияние оказывает его форма.
В связи с различными рабочими характеристиками и процессом изготовления, наиболее часто встречаются пружины из цельнотянутых трубок с различными профилями поперечного сечения. Наибольшее распространение получили эллиптические (рис. 1.3, а), плоскоовальные (рис. 1.3, б) и восьмеркообразные (рис. 1.3, в) профиля. При одинаковых геометрических параметрах наибольшей чувствительностью обладает пружина с эллиптическим сечением, менее чувствительной является пружина с плоскоовальным сечением, а пружины с восьмеркообразным имеют большую прочность и жесткость.
Формы поперечных сечений манометрических пружин Пружины с сечением в виде ромба (рис. 1.3, г) и с продольным гребнем (рис. 1.3, з) используются, когда нужно увеличить чувствительность пружины, гребни могут располагаться как снаружи, так и вовнутрь сечение пружины. Сечения [86] применимы, когда есть вероятность работы манометра при давлениях выше номинального. Сечения, обладающие одной осью симметрии (рис. 1.3, д, е) превосходят плоскоовальные по чувствительности.
В манометрических термометрах, а так же приборах где следует использовать минимальный внутренний объем, пружины изготавливаются «гантелеобразного» сечения или используются вкладыши [2, 3]. С помощью толстостенных пружин измеряются высокие давления, сечение предложенное в [54] А.Г. Нагаткиным позволяет измерять Рис. 1.4. Толстостенное давления порядка 100 МПа (рис. 1.4). сечение пружины Кроме цельнотянутых трубок при производстве манометров применяют пружины полученные сваркой листового материала. Сварной шов может располагаться как на концах малой, так и на концах большой полуоси. Штампованные полупрофиля свариваются между собой, и происходит навивка пружины, что очень сильно упрощает технологию производства. Такие пружины обладают более высокой чувствительностью по сравнению с такими же пружинами из цельнотянутой трубки.
В немецких патентах [118] были рассмотрены манометрические пружины с переменой вдоль профиля сечения толщиной стенки для улучшения технических характеристик. В.В. Кандыбой был предложен профиль пружины для измерения высоких давлений, с увеличенной толщиной стенки на концах большой оси, вследствие возникновения там максимальных напряжений. Для увеличения работоспособности в [69] предлагается использовать восьмеркообразную форму поперечного сечения с уменьшением толщины стенки на средних и боковых участках.
С целью улучшения показателей и увеличения частот свободных колебаний в [1] предлагается пружина с переменной толщиной и формой сечения вдоль центральной оси рис. 1.5. В [62] пружина с переменным сечением по длина представляет собой соединенные между собой трубки, каждая трубка отличается толщиной стенки и формой сечения.
Определение кинетической энергии [105]
Динамическая модель пружины. Используется модель, предложенная В.И. Феодосьевым при решении задачи статической деформации манометрической трубчатой пружины работающей под внутренним давлением [88]. В этом случае манометрическая трубчатая пружина представлена в виде механической системы с двумя степенями свободы (рис.2.1.), с обобщенными координатами: относительный угол раскрытия пружины - ср = — и величина увеличения малой полуоси поперечного сечения трубки - Wo. Обобщенные координаты. Моделирование затухающих колебаний осуществляется с помощью уравнений Лагранжа второго рода: d /дТ\ дТ _ d t\dtJ Wi QPi + QRi где i=l...n; n - число степеней свободы; t - время; qt - обобщенные координаты; Т - кинетическая энергия, QP. - обобщенные силы, соответствующие потенциальным силам; QR. - обобщенные силы сопротивления.
Обобщенные силы, соответствующие потенциальным силам выражаются как QP. = - -, где U - потенциальная энергия. При определении потенциальной энергии были произведены следующие допущения, в связи с приближенным законом деформации контура поперечного сечения: 1) Характер деформации сечения принимается такой же, как у прямой трубки, нагруженной внутренним давлением. 2) Все участки пружины, выделенные двумя поперечными сечениями, находятся в равных условиях, в связи с этим не учитывается влияние заделки трубки. Таким образом, получаем, что нормальные сечения трубки, будут плоскими как до деформации, так и после деформации трубки. 3) Приведенная к срединной поверхности трубки нормаль до деформации остается нормальной и не искривленной после деформации к деформированной срединной поверхности. 4) Осевая линия только лишь искривляется, но остается нерастяжимой. 5) Поперечное сечение симметричное относительно обеих осей при деформации лишь искривляется, но остается нерастяжимым. 6) Радиус кривизны центральной оси много больше малой полуоси поперечного сечения, а она в свою очередь больше толщины стенки пружины (R»b»h). 2.1.2. Определение потенциальной энергии пружины [105]. Рассмотрим выделенный двумя поперечными сечениями участок манометрической пружины с центральным углом d0 (рис.2.2,а), и выделенный из него продольными сечениями бесконечного малый элемент (рис.2.2,6), который находится в плоском напряженном состоянии. Согласно [9] при двухосном напряженном состоянии удельную потенциальную энергию и можно выразить через компоненты деформаций:
Бесконечно малый элемент Продольные деформации ЕЪ возникающие при увеличении давления во внутренней полости трубчатой пружины, возникают за счет деформации поперечного сечения, стремящегося при этом к окружности. Волокно АВ элемента пружины, выделенного двумя близкими поперечными сечениями, перешло в положение A D (рис.2.3), радиус волокна АВ увеличится с R+y до R+y+w, где w - проекция перемещения точки А поперечного сечения на ось у, при этом волокно АВ удлинилось на величину отрезка CD, ели бы поперечные сечения не поворачивались
В действительности продольные волокна, повернут поперечное сечение пружины, стремясь сохранить свои первоначальные размеры, и волокно АВ займет положение А В . Относительная деформация волокна АВ будет равна:
Рассмотрим деформации в поперечном направлении бесконечно малого элемента. При работе под давлением поперечное сечение пружины деформируется, стремясь принять форму окружности. Таким образом, кроме продольных деформаций возникают поперечные, вызванные изгибом стенки пружины. Относительное удлинение в касательном направлении к профилю поперечного сечения (рис.2.4) будет определенно следующим образом.
Из подобия треугольников АА О и CCiO определим длину волокна ССі, находящегося на расстоянии z от среднего контура сечения. где Ri - радиус кривизны контура сечения до деформации. С учетом деформации волокно ССі удлинится до величины Значения z и дуга ds (предположение о не растяжимости контура) остаются прежними. Поэтому сс( = (Y+1) ds где R2 - радиус кривизны сечения после деформации.
Уменьшить количество неизвестных поможет связь между перемещением w, и изменением кривизны АК, так как оба этих значения определяются деформацией профиля поперечного сечения.
Для определения формы искривления профиля поперечного сечения манометрической пружины, согласно методу Ритца, примем, что поперечное сечение деформируется, так же как и прямолинейная трубка, работающая под давлением. Рассмотрим элементарный стержень, работающий под давлением, давление представим как распределенную нагрузку q (рис.2.5, а).
Определение формы искривления поперечного сечения Возможно, выразить перемещение w и изменение кривизны АК через распределенную нагрузку q, но для удобства свяжем ее с перемещением малой полуоси стержня wo, которое примем за меру искривления контура. Выражение изгибающего момента в произвольном сечении С, при раскрытии статической неопределенности стержня:
Определение коэффициента Кармана [105]
Масса элемента определяется - щ = pVb где р - плотность материала трубки. Объем элементарного элемента полупрофиля -Vt = R d6 ds dz; где Rd0 - длина элементарного элемента полупрофиля; ds - ширина элементарного элемента полупрофиля; dz - высота элементарного элемента полупрофиля. Масса элементарного элемента полупрофиля - щ = р R d6 ds dz. Квадраты абсолютных скоростей верхнего и нижнего элементарных полупрофилей элемента равны: Япрод - перемещение элемента в продольном направлении; Яр - перемещение элемента в радиальном направлении; w6 І - проекция перемещения элемента на ось х (рис.2.6.).
Определение перемещений в плоскости сечения Значение кинетической энергии было получено с учетом того что для симметричных точек на верхнем и нижнем полупрофилях сечения пружины продольные и радиальные составляющие скоростей равны, поэтому:
Изменение кривизны стержня = —, длина элемента ds = Rd6, с учетом этого интеграл Мора примет вид: A=/GH)MiRde (2.20) где R± - радиусы кривизны центральной оси стержня до деформации; R - радиусы кривизны центральной оси стержня после деформации; dd - центральный угол элементарного элемента пружины. Изменение кривизны представляет собой отношение взаимного угла поворота dO двух сечений к расстоянию ds между ними:
Вся пружина, нагружена давлением, поэтом все участки находятся в одинаковых условиях, в связи с этим изменение кривизны центральной оси постоянно по длине всей манометрической пружины.
.Определение обобщенных сил сопротивления и коэффициента сопротивления. Силы сопротивления, действующие на отдельные точки системы, пропорциональны их скоростям Rt = —(3vt, определим обобщенные силы и коэффициент сопротивления из данной формы записи.
Пользуясь приемом неопределенных коэффициентов, запишем формулу для определения аэродинамической силы по способу анализа размерностей. Очевидно, сила R зависит от площади наибольшего поперечного сечения тела F, кинематического коэффициента вязкости v, плотности жидкости р и скорости набегающего потока v.
Показатели степени у единиц измерения величин слева должны быть такими же, как и показатели степени у единиц измерения соответствующих величин справа. С учетом этого, получаем: В общей практике принимается п=2. Обозначив 2A = CR, будем иметь: где CR - коэффициент аэродинамической силы, F - площадь миделевого сечения. Силы сопротивления действуют по нормали к сечению трубки, поэтому учитывается только сила лобового сопротивления: Rx = сУ- -, (2.28) где Сх - коэффициент лобового сопротивления; F - площадь миделевого сечения; р - плотность жидкости; v - скорость. Для симметричных тел Сх описывается корреляцией Стокса: Сх = —. Число Рейнольдса Re характеризует режим движения жидкости, учитывающее основные характеристики потока Re = —-, где а характерный линейный размер.
Для манометрической пружины характерный линейный размер -расстояние между стенками колбы манометра и большой осью пружины, площадь миделевого сечения F = Rdsd.6, а произведение vp - является динамической вязкостью жидкости цж.
Решение системы уравнений движения. Система дифференциальных уравнений для системы с двумя степенями свободы основанная на уравнениях Лагранжа второго рода принимает вид: коэффициенты затухания (положительные); кг и к2 - частоты затухающих колебаний; х\ и х - числа, сопряженные с соответствующими комплексными числами. Таким образом, получены выражения для определения первых двух параметров затухания колебаний манометрической пружины. Полученное аналитическое решение позволяет определить параметры затухания с различной формой поперечного сечения, постоянной по длине.
Имея значения параметров затухания можно получить уравнения движения. Корню хг соответсвует система частных решений: р = СцЄХіС, щ = С21ех . Комплексному сопряженному корню соответствует сопряженная система решений р = СцЄХіС, ш0 = С21ех . Из полсуммы этих решений получаем следующее вещественное решение: р(і) =-(с1іЄ іс + с да)
Из этих уравнений следует, что рассматриваемое движение манометрической пружины можно рассматривать как наложение двух затухающих колебаний. Данные колебания характеризуются одинаковыми частотами кг и к2 и коэффициентами затухания щ и п2, но они отличаются друг от друга амплитудами колебаний и сдвинуты по фазе.
Таким образом, получены уравнения движения, с помощью которых можно оценить скорость затухания в зависимости от вязкости демпфирующей жидкости и геометрических параметров пружины. 2.2. Динамическая и математическая модель колебательного движения манометрической трубчатой пружины, как криволинейного стержня
Ранее полученный энергетический метод расчета позволяет аналитически рассчитать параметры затухания колебаний манометрических пружин. Так как для нахождения выражения перемещений профиля поперечного сечения трубки принималась деформация прямой трубки, то с увеличением параметра кривизны пружины погрешность данного метода будет возрастать. Ниже предлагается альтернативный метод.
Представим манометрическую пружину как изогнутый стержень, который совершает колебания в плоскости кривизны центральной оси. Перемещение элементарного сечения будет складываться из продольной и и поперечной w составляющей.
Определение физических свойств демпфирующих материалов
Определение физических свойств демпфирующих материалов. В качестве демпфирующих материалов были выбраны воздух, дистиллированная вода и глицерин. Так как динамическая вязкость является произведением кинематической вязкости и плотности, то было необходимо определить именно эти физические свойства. Кинематическая вязкость определялась согласно ГОСТ 33-66, с помощью капиллярного вискозиметра типа ВПЖ-2 (рис.4.3, а). Вискозиметр представляет собой U-образную трубку. Измерение вязкости основано на определение времени истечения через капилляр определенного объема жидкости. Плотность определялась согласно ГОСТ 3900-85 ареометрами (рис.4.3, б).
Расчетные значения практически полностью совпали со справочными, далее в расчетах используется принятое значение динамической вязкости.
.Определение параметров затухания с помощью анализатора вибрации AU014. Для определения параметров затухания колебаний имеющихся образцов использовался анализатор вибрации AU014, представляющий собой портативный переносной автономный микропроцессорный виброизмерительный прибор (рис.4.4).
Прибор комплектуется двумя пьезодинамическими датчиками виброускорения дифференциального типа со встроенными предусилителями, обеспечивающими высокую чувствительность, помехозащищённость и линейность характеристики во всем частотном диапазоне. Частотный диапазон прибора от 0,4 до 10 кГц, погрешность измерений не более 10%. Общий вид стенда для измерения параметров затухания колебаний показан на рис. 4.5. Работа на стенде производилась в следующем порядке, пружина, закрепленная в емкости, зажимается в тисах. У основания трубки (в месте перехода пружины в фасонную часть) устанавливался датчик виброанализатора. После установки виброанализатора в режим ожидания испытуемый образец, имеющий до этого начальное отклонение, начинал совершать колебательные движения. Прибор воспринимал сигналы от датчика и после восьми замеров обрабатывал и выдавал в результате среднеарифметическое значение.
Определение параметров затухания с помощью вибрационного вискозиметра SV-10. В качестве альтернативного способа определения параметров затухания был использован вибрационный вискозиметр SV-10 (рис.4.6) с погрешностью измерений не более 3%. Рис. 4.6. Вибрационный вискозиметр SV-10. Для наших целей пьезоэлектрический датчик 014МТ регистрирующий быстропеременное или импульсное давление преобразовывается в электрический сигнал с помощью электронной схемы SV-10, полученные данные формируются в программе PowerGraph (рис.4.7).
Интерфейс PowerGraph. Работа на стенде (рис.4.8) производилась таким же образом, как и при измерении с помощью анализатора вибрации AU014, отличием является только то, что датчик 014МТ приклеивался к основанию пружины на клей (ТУ 2385-011-04831040-95). При воздействии на пружины датчик воспринимал сигнал и в PowerGraph формировались значения колебаний. Стенд для измерения параметров затухания с помощью электронной схемы SV-10.
Сравнение параметров затухания колебаний Для оценки сходимости представленных методов сравним расчетные и экспериментальные значения частот затухающих колебаний и коэффициентов затухания. Для определения экспериментальных значений коэффициента затухания воспользуемся понятием декремента затухания, который представляет собой
Как видно из формулы 4.5 амплитуды колебаний будут затухать по экспоненциальному закону, поэтому при экспериментальном определении коэффициента затухания будем удерживать по 10 значений амплитуд и аппроксимировать полученную зависимость экспоненциальной функцией, с помощью метода наименьших квадратов.
Результаты расчетов значений стальных образцов для разных демпфирующих материалов приведены в табл.4.3, 4.4, 4.5. Результаты расчетов значений для латунных образцов приведены в табл.4.6, 4.7, 4.8. Таблица 4.3 Значение параметров затухания при демпфировании воздухом
Сравнение теоретических и экспериментальных значений показало, что отклонения частот не превышали погрешностей приборов 10% - для анализатора вибрации Аи014 и 3% для вискозиметра SV-10. Отклонения значений коэффициента затухания чуть больше для анализатора вибрации Аи014 не более 15% и для вискозиметра SV-10 не более 8%. Это подтверждает хорошую точность расчетов для различных демпфирующих жидкостей. На основании этого можно сделать вывод, что данный метод можно применять для расчета затухающих колебаний манометрических трубчатых пружин.
Экспериментальные исследования показали, что отклонение расчетных значений частот колебаний от экспериментальных значений во всем диапазоне не превышает погрешностей прибора - 10% для анализатора вибрации Аи014 и 3% для вискозиметра SV-10, отклонение коэффициента затухания 15% и 8% соответственно. Это говорит о том, что предложенный метод может быть применен для определения параметров затухания.