Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор литературы. цель диссертации 5
1.1. Введение... ...5
1.2. Обзор работ по устойчивости параметрических систем ..8
1.3. Обзор работ по нелинейным параметрическим колебаниям II
1.4. Цель диссертации 14
2. Комбинационные параметрические резонансы в системах с аналитической нелинейностью ...17
2*1. Введение ...17
2.2. Применение метода Крылова-Боголюбова .19
2.3. Описание комплекса программ для исследования нелинейных параметрических колебаний... ...23
2.4. Комбинационный резонанс суммарного типа... ...32
2.5. Комбинационный резонанс разностного типа ...47
2.6. Случай отсутствия стационарных колебаний...61
3. Параметрические резонансы в системах с сухим трением . 71
3.1. Введение .71
3.2. Применение метода Крылова-Боголюбова.. ...72
3.3. Влияние сил сухого трения на простые резонансы 76
3.4. Комбинационный резонанс суммарного типа. 90
3.5. Комбинационный резонанс разностного типа 98
3.6. Прохождение через резонанс. 106
4. Параметрические резоыансы при пожгармоническом возбуждении 120
4.1. Предварительные замечания 120
4.2. Стационарные колебания системы с одной степенью свободы при бигармоническом возбуждении 122
4.3. Устойчивость системы с двумя степенями свободы при бигармоническом возбуждении ..128
4.4. Комбинационный резонанс суммарного типа 138
4.5. Комбинационный резонанс разностного типа.. 146
4.6. О приближении почти периодического воздействия при помощи полигармонического 152
Сводка результатов и выводы. 161
Литература
- Обзор работ по устойчивости параметрических систем
- Описание комплекса программ для исследования нелинейных параметрических колебаний...
- Влияние сил сухого трения на простые резонансы
- Стационарные колебания системы с одной степенью свободы при бигармоническом возбуждении
Введение к работе
Всестороннее изучение резонансных явлений в механических колебательных системах при воздействии параметрических возмущений объясняется большой важностью подобного анализа для многочисленных технических приложений. Наличие параметрических резонансных колебаний в машинных агрегатах, элементах авиационной техники, в строительных сооружениях может существенно изменить их эксплуатационные характеристики, В связи с появлением объектов новой техники, где требования по точности, надежности и виброустойчивости очень высоки, становится необходимым более тщательный анализ явлений и эффектов, которые могут иметь место при параметрических колебаниях в условиях, наиболее приближенных к реальным.
Как правило, исследование параметрических колебаний требует изучения поведения решений дифференциальных уравнений вида
где X (і- ) - vt - мерная вектор-функция фазовых переменных, (L - не зависящая от времени действительная матрица размерностью vt, vi. , и,- действительное число, характеризующее интенсивность параметрического возбуждения, Ал ("t ) - действительная матрица-функция размерностью wxvv , f - матрица-функция, характеризующая нелинейные восстанавливающие и. диссипативные силы.
Остановимся на некоторых задачах машиностроения, приборостроения и вибротехники, изучение которых приводит к необходимости исследовать уравнения типа ( I.I ). К подобным уравнениям сводится исследование поведения однороторного гирокомпаса с абсолютно жесткой шарнирной опорой при поступательных вибрациях на основание 118, 491 , анализ движения гироскопа в кор-дановом подвесе [ 44] и с неконтактным подвесом при угловых вибрациях основания [20, 56 ] , устойчивость гиротахометра, установленного на колеблющемся объекте \.4б] # Обзор задач приборо- и машиностроения, решение которых связано с анализом дифференциальных уравнений t переменными коэффициентами, дан в работах [б, 71, 75] .
Одной из задач динамики машин является исследование крутильных колебаний коленчатых валов двигателей внутреннего сгорания t 381 . При расчете таких колебаний необходимо учитывать воздействия на коленчатый вал двигателя всех звеньев кривошипно-шатунного механизма. Теоретические исследование крутильных колебаний и данные инженерной практики говорят о том, что если отношение радиуса кривошипа к длине шатуна не мало, то наиболее опасен динамический режим, связанный с потерей устойчивости в зонах параметрического резонанса. Эта опасность остается существенной даже в тех случаях, когда рабочий режим смещен относительно критических зон при условии, что эти зоны пересека - 7 ются в переходных режимах. К системам с параметрическим периодическим возбуждением могут быть отнесены спарниковые передачи с изменяемой жесткостью и ряд других систем различных областей техники [б, 161 .
Задача анализа параметрических резонансов является актуальной при расчете вертолетных систем в связи с теоретическим исследованием динамической неустойчивости винтокрылых аппаратов, называемой в специальной литературе "земным резонансом" [l9,55J.
Результаты ряда исследований, связанные с анализом параметрических колебаний ракет, приведены в [78, 84, 851 .
Изучение динамики и устойчивости трубопроводов, подверженных действию внешнего потока и (или) содержащето текущую жидкость, сводится к исследованию уравнений типа ( I.I ). Жидкость, текущая через систему, представляет собой источник энергии, который может вызвать вибрацию и неустойчивость трубопроводов. Такие явления имеют место в системах обвязки двигателей,, напорных трубопроводах ГЭС и АЭС, магистральных нефтепроводах, теплообменниках и т.п. [ 47, 59, 61, 80, 96, 97 J .
С уравнениями вида ( I.I ) связан расчет шахтных подъемников І35] , сельскохозяйственной техники [40] , зубчатых передач [8б] , железнодорожных мостов под действием движущихся нагрузок Г 34] , корабельных мачт С 103 1 , дисковых пил [76J .
В ряде случаев, используя математическую аналогию, наблюдаемую в написании дифференциальных уравнений колебаний, можно результаты, полученные для одних систем, распространить на другие. Поэтому выполняемые исследования параметрических колебаний конкретных систем выходят за рамки частных задач.
- 8 Обзор приложений к физике задач параметрических колебаний имеется в L75Л • Автор І75І отмечает, что в электродинамике возникает проблема параметрически возбуждаемых колебаний (резонансные колебания "параметрического осцилятора", параметрическое возбуждение при распространении электромагнитных волн), В нелинейной оптике, в частности в теории лазеров, параметрические осциляторы приобрели большое значение. Проблема одновременного параметрического и собственного возбуждения существует в электронике (квантовая электроника), магнитоупругости (магнитоупру-гие поверхностные волны), физике плазмы и аэроупругости.
Основными направлениями теории параметрических колебаний являются, во-первых, определение границ областей динамической неустойчивости и, во-вторых, определение характерных амплитуд колебаний.
1.2. Обзор работ по устойчивости параметрических систем
Равновесию системы ( I.I ) соответствует решение 3C(t )з0. Задача об устойчивости состоит в том, чтобы установить условия, связывающие параметры возбуждения с параметрами системы, при которых решение «с( Ь ) = О является устойчивым по Ляпунову. Напомним определение устойчивости решений систем вида ( I.I ) по Ляпунову [45] . Решение Х( t ) = 0 уравнения ( I.I ) называется устойчивым, если для любого 0 существует такое (8 ) 0,что из условия II 9С(І0 ) II Ь при любом t t0 следует неравенство Ц «( і )\\ • Здесь Ц , Ц - норма в фазовом пространстве системы ( І.І ).
Б противном случае тривиальное решение уравнения ( I.I ) называется неустойчивым. Решение ос ( і ) s 0 называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и , кроме того, выполняется условие
Задачу определения границ областей динамической неустойчивости можно разделить на два случая» Это выяснение условий» при которых тривиальное решение системы С I.I ) становится неустойчивым при сколь угодно малых значениях параметра to- Если же исходная система является неустойчивой, то необходимо установить условия при которых решение ос (\, ) = 0 системы ( I.I ) становится устойчивым (параметрическая стабилизация). Для приложений представляют интерес оба случая, поскольку встречаются во многих задачах механики и техники [б, 20, 52, 70, 71, 77] .
Учитывая наличие работ, в которых имеются обзоры литературы по устойчивости параметрических систем [б, 70, 75, 77, 82, 90 ] , остановимся на работах, опубликованных в более позднее время.
Широкое распространение численных методов и применение вычислительной техники открывает новые возможности для исследования устойчивости параметрически возбуждаемых систем. Так, в работах [7, 8] на основе теории Флоке исследуется устойчивость нулевого решения уравнений, как в случае канонических, так и неканонических систем. В работах L 8 95 J дано обобщение метода определителей Хилла, предложенного в [ б J . Все эти методы предназначены для реализации на ЭВМ и свободны от предположений о малости параметров, о малости диссипативных членов, о близости системы к канонической и т.п. ограничений.
Примеры приближенной процедуры определения устойчивости нулевого решения ряда линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами имеются в [ 107 j . В статьях [98, 104} получили свое дальнейшее развитие уже известные методы. Устойчивость исследуется методом, основанном на принципе Гамильтона, а также асимптотическим методом Крылова-Боголюбова. Решение задачи идентификации параметрических возмущений дано в С 39 ] .
Большой интерес для современной техники представляют стержневые и тонкостенные элементы типа пластин и оболочек, находящиеся под воздействием разнообразных нагрузок. Важным приложением является анализ явлений неустойчивости этих конструктивных элементов [зЗ, 37, 50, 65:, 68, 81, 100 ] .
Параметрические колебания систем с несколькими степенями свободы при детерминированных и (или) случайных возмущениях исследованы в [її, 31, 46, 74, 92, 93 ] . В этом случае помимо простых резонансов появляются комбинационные, характер которых зависит от того является исходная система канонической или неканонической.
Согласно данным параметрические воздействия, наблюдаемые в машинах и приборах, являются отличными от гармонических. Примерами таких воздействий служат полигармонические или почти периодические процессы. Изучение параметрических резонансов канонических систем линейных дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами посвящены работы [15, 41, 62, 69, 70 ] • Получены резонансные соотношения для критических частот возбуждения. Вопросы о возможности замены квазипериодических коэффициентов линейных дифференциальных уравнений с помощью полигармонических функций рассмотрены в работах [48, 571 . Перечисленные работы посвящены исследованию системы с одной степенью свободы, поэтому представляет интерес анализ устойчивости системы с несколькими степенями свободы при полигармоническом параметрическом возбуждении,
В реальных машинах некоторые из параметров могут изменяться случайным образом, поэтому большое внимание уделяется исследованию устойчивости стохастических параметрических систем [ II, 60, 89, 101 ] .
В последние годы увеличивается интерес к задачам параметрической стабилизации при детерминированных и случайных возмущениях [9, 10, 54, 62, 63, 79 1 •
Обзор работ по устойчивости параметрических систем
Равновесию системы ( I.I ) соответствует решение 3C(t )з0. Задача об устойчивости состоит в том, чтобы установить условия, связывающие параметры возбуждения с параметрами системы, при которых решение «с( Ь ) = О является устойчивым по Ляпунову. Напомним определение устойчивости решений систем вида ( I.I ) по Ляпунову [45] . Решение Х( t ) = 0 уравнения ( I.I ) называется устойчивым, если для любого 0 существует такое (8 ) 0,что из условия II 9С(І0 ) II Ь при любом t t0 следует неравенство Ц «( і )\\ Здесь Ц , Ц - норма в фазовом пространстве системы ( І.І ).
В противном случае тривиальное решение уравнения ( I.I ) называется неустойчивым. Решение ос ( і ) s 0 называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и , кроме того, выполняется условие
Задачу определения границ областей динамической неустойчивости можно разделить на два случая» Это выяснение условий» при которых тривиальное решение системы С I.I ) становится неустойчивым при сколь угодно малых значениях параметра to- Если же исходная система является неустойчивой, то необходимо установить условия при которых решение ос (\, ) = 0 системы ( I.I ) становится устойчивым (параметрическая стабилизация). Для приложений представляют интерес оба случая, поскольку встречаются во многих задачах механики и техники [б, 20, 52, 70, 71, 77] .
Учитывая наличие работ, в которых имеются обзоры литературы по устойчивости параметрических систем [б, 70, 75, 77, 82, 90 ] , остановимся на работах, опубликованных в более позднее время.
Широкое распространение численных методов и применение вычислительной техники открывает новые возможности для исследования устойчивости параметрически возбуждаемых систем. Так, в работах [7, 8] на основе теории Флоке исследуется устойчивость нулевого решения уравнений, как в случае канонических, так и неканонических систем. В работах L 8 95 J дано обобщение метода определителей Хилла, предложенного в [ б J . Все эти методы предназначены для реализации на ЭВМ и свободны от предположений о малости параметров, о малости диссипативных членов, о близости системы к канонической и т.п. ограничений.
Примеры приближенной процедуры определения устойчивости нулевого решения ряда линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами имеются в [ 107 j . В статьях [98, 104} получили свое дальнейшее развитие уже известные методы. Устойчивость исследуется методом, основанном на принципе Гамильтона, а также асимптотическим методом Крылова-Боголюбова. Решение задачи идентификации параметрических возмущений дано в С 39 ] .
Большой интерес для современной техники представляют стержневые и тонкостенные элементы типа пластин и оболочек, находящиеся под воздействием разнообразных нагрузок. Важным приложением является анализ явлений неустойчивости этих конструктивных элементов [зЗ, 37, 50, 65:, 68, 81, 100 ] .
Параметрические колебания систем с несколькими степенями свободы при детерминированных и (или) случайных возмущениях исследованы в [її, 31, 46, 74, 92, 93 ] . В этом случае помимо простых резонансов появляются комбинационные, характер которых зависит от того является исходная система канонической или неканонической.
Согласно данным виброметрии [ 5І параметрические воздействия, наблюдаемые в машинах и приборах, являются отличными от гармонических. Примерами таких воздействий служат полигар монические или почти периодические процессы. Изучение параметрических резонансов канонических систем линейных дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами посвящены работы [15, 41, 62, 69, 70 ] Получены резонансные соотношения для критических частот возбуждения. Вопросы о возможности замены квазипериодических коэффициентов линейных дифференциальных уравнений с помощью полигармонических функций рассмотрены в работах [48, 571 . Перечисленные работы посвящены исследованию системы с одной степенью свободы, поэтому представляет интерес анализ устойчивости системы с несколькими степенями свободы при полигармоническом параметрическом возбуждении,
Описание комплекса программ для исследования нелинейных параметрических колебаний...
Как было сказано выше, область применения соотношений ( 2.9 ) и ( 2.10 ) ограничена требованиями малости коэффициентов нелинейности, демпфирования, возбуждения. Развитие вычислительной математики, современной вычислительной техники и численных методов позволяет изучить колебания параметрически возбуждаемых систем без каких либо ограничений и с любой (машинной) степенью точности. Для этого был создан программный комплекс, состоящий из двух пакетов прикладных программ.
Пакет прикладных программ PSTAB (название пакета образовано из начальных букв слов ВиишіКнлл StalrJtftu ) содержит набор модулей, реализующих различные методы исследования устойчивости параметрически возбуждаемых колебаний. Существенная составная часть пакета - библиотека модулей для отыскания со сжоль угодно большой точностью границ областей неустойчивости. В зависимости от специфики задачи можно выбрать модули, наиболее подходящие для данного конкретного случая.
Пакет программ РЪТАВ делится на пять подсистем: исходные модули, управляющие параметры, монитор исследования устойчивости в пространстве параметров, библиотека модулей методов и критериев устойчивости,табличное и графическое документирование. Общая схема функционирования пакета показана на рис. 2.1. Исходные модули, которые составляет пользователь при решении конкретной задачи, обеспечивают функционирование библиотеки модулей методов и критериев. Библиотека модулей содержит раз личные численные методы и критерии устойчивости, позволяющие эффективно проводить численный анализ. Мониторы генерируют определенный тип программ, в рамках которых реализуется выбранный метод и критерий устойчивости, а также вид графического документирования. Монитор объединяет модули в некоторый, заказанный пользователем,набор из библиотеки.
Конкретный вариант программ определяется совокупностью управляющих параметров. Функционально управляющие параметры разделены на три группы. С помощью параметров первой группы из всего списка модулей подключаются те, которые необходимы для выбранного метода исследования устойчивости. Вторая группа параметров задает критерий устойчивости, третья группа - управляет выводом результатов.
В пакете прикладных программ PSTAB реализованы два метода численного исследования устойчивости параметрически возбуждаемых систем. Это метод матриц монодромии (модуль f\JU& ), основанный на общей теории дифференциальных уравнений С7, 3, 16 ] и метод обобщенных определителей Хилла (модуль UIVJL ), который является обобщением классического метода Хилла для уравнения Матье-Хилла на системы произвольной конечной размерности [8, 16 1 .
Для суждения об устойчивости достаточно вычислить все мультипликаторы - собственные значения о матрицы монодромии (модуль ЪОЬ ). Условие асмптотической устойчивости имеет вид Критерий матричных норм (модуль NOfcH ) основан на теореме о том, что для любой квадратной матрицы R её положительная степень R стремится к нулевой матрице при vv\,-» тогда и только тогда, если все её собственные значения лежат в от крытом единичном круге. Практически все вычисления сводятся к умножению степеней матрицы самих на себя, т.е. к последова тельному вычислению матриц R , R , R , ...,йг . Стремление матриц R, к нулевой проверяется по одной из её норм, например \\РЛ\= \у\ддь \ vv\\ Таким образом, получаем условие \Д2 г? Пр Н \\с\, ( 2.12 ) где р есть некоторое натурально число. Условие ( 2.12 ) можно дополнить достаточным условием неустойчивости, которое вытекает из рассмотрения следов степеней матрицы монодромии. Если хотя бы один из мультипликаторов J лежит вне единичного круга, то при больших р модуль следа может превысить величину vt- . Достаточное условие неустойчивости имеет вид WCf lWVl. (2.13)
Кроме того, в ряде случаев для установления принадлежности рассматриваемой точки из пространств параметров системы к области асимптотической устойчивости или неустойчивости удобно применять критерий Рауса-Гурвица (модуль WUfcV ) ї.16 . Если анализ устойчивости основан на методе обобщенных определителей Хилла, необходимо отобразить левую полуплоскость комплексного переменного W на внутренность единичного круга комплексной плоскости (У при помощи дробнолинейного преобразования W = (ff + 1)/(6 - I) (модуль MGt ). Соответствующее преобразование для матриц есть ., преобразование Кэли fc U-E H EW &CH-fci". ( 2.14 ) После этого появляется возможность использования критерия ( 2.II ) или критерия матричных норм.
Общая схема вычислений включает в себя, также, алгоритм построения областей неустойчивости с наперед заданной точностью ( модуль ШЦЧ ).
Кроме этого, в библиотеку модулей пакета прикладных программ Р5ТАВ входит модуль CON , предназначенный для исследования устойчивости системы с постоянными коэффициентами и модуль . позволяющий вычислять собственные частоты исследуемой системы. Модуль PLOT предназначен для вывода окончательных результатов исследования в виде таблиц и графиков. Схема функционирования основных библиотечных модулей пакета программ представлена на рис. 2.2. Исходные модули СОЕ? С, C0ET-D , COEFV используются при численном исследовании устойчивости динамических систем с переменными коэффициентами, а модуль FORM - систем с постоянными коэффициентами.
Влияние сил сухого трения на простые резонансы
Исследуем параметрические резонансы системы с периодически изменяющейся жесткостью при учете сил сухого и вязкого трения. Движение такой системы описывается уравнением
Здесь 0 - коэффициент вязкого трения, V\ - коэффициент сухого трения, со - частота собственных колебаний системы, со -частота возмущающей силы, J (ас , r- ) - характеристика не линей ных восстанавливающей и диссипативной сил. В работе у 66 J проводится исследование резонансных режимов параметрической системы ( 3.12 ) в случае, когда J ( ос. , 2 r ) = 0.
При описанных выше ограничениях периодическое решение исходного уравнения, соответствующее главному параметрическому резонансу со = 2о 0 , в первом приближении определяется из системы уравнений ( 3.7 ). Для определения стационарных значений амплитуды и фазы приравняем нулю правые части уравнений ( 3.7 ), которые после введения обозначения
Пусть нелинейная упругость в системе С 3.12 ) отсутствует, т.е. $CS Ьх/ 1АЛ = 2.Ax cUc./dbi . Вычисления по формулам ( 3.8 ) дают, что H W M , UJ.0 = О. Тогда первое условие в ( 3.19 ) соблюдается всегда и устойчивость стационарных колебаний определяется следующей зависимостьк ( 3.20 ) Таким образом, существует точка ветвления в которой происходит смена устойчивости стационарных режимов колебаний. Устойчивым значениям соответствуют ветви кривой ( 3.15 ) для которых а0 сц и неустойчивым т е , для которых а0 сц ,
На фазовой плоскости ветвь &0 Ц. представляется седло-вой точкой. Б эту точку входит две траектории, образующие сепаратрису, которая делит плоскость начальных значений на области, приводящие к тривиальному решению или стационарным режимам колебаний.
Рассмотрим два частных случая. Если в системе ( 3.12 ) отсутствует сухое трение, т.е. \\ = 0, тогда имеется только устойчивая ветвь, т.к. условие ( 3.20 ) всегда будет выполнено. Резонансные режимы для этого случая исследованы достаточно подробно [4, б, 75] . Если же в системе ( 3.12 ) нет нелинейного затухания (а = 0 ), то условие ( 3.20 ) никогда не выполняется и существует только неустойчивая ветвь амплитудно-частотной зависимости, что согласуется с результатами, полученными в работе С бб] .
На рис. 3.1. приведены резонансные кривые системы ( 3.12 ) для Vo =0,1; И =0,01; М = 0,01 и различных значениях нелинейного трения Л . Пунктирными линиями показаны неустойчивые ветви амплитудно-частотной зависимости. Увеличение нелинейного трения ведет к уменьшению амплитуд устойчивых колебаний и оказывает незначительное влияние на неустойчивую ветвь. Точками отмечены критические значения OV . . Чем больше , тем при меньших значениях амплитуды наблюдается ветвление решения. Аналитически это можно исследовать с помощью соотношения ( 3.21). Для того, чтобы в системе появились стационарные колебания необходим заброс в область выше неустойчивой ветви.
Для проверки этого факта проводилось численное моделирование колебаний на ЭВМ. Рис. 3.2 иллюстрирует результаты такого моделирования при V - »1 - 2,0; = = 0,01 и М = 0,05. Существуют значения начальных условий (случай а, ) при которых траектория движения в области резонанса является затухающей. Выше показано движение отображающей точки на стробоскопической фазовой плоскости. Если ctCO Ci , то состояние равновесия в резонансной зоне будет устойчивым фокусом. Если оцфхь , то после некоторого установления система выходит на стационарный режим колебаний.
На рис 3.3 дано сопоставление результатов, полученных методом Крылова-Боголюбова и численным моделированием на ЭВМ. Вычисления проведены для случая № =0,1; IS = 0,01; ц = 0,01; М = 0,05. Результаты численного моделирования, выполненные с помощью пакета прикладных программ PVI В (см. п. 2.3), построены на рисунке толстыми линиями. Наблюдается хорошее соответствие результатов исследования двумя методами. Анализ влияния сил сухого трения на амплитудно-частотные зависимости приведен на рис. 3.4. При исследовании принято W = 0,2; х = 0,1; t = 0,01. Увеличение сухого трения приводит к стабилизации колебаний, причем амплитуды, соответствующие неустойчивой ветви?могут принимать достаточно большие значения. Чем больше параметр сухого трения V\ , тем выше положение точки ветвления сю , что видно и из ( 3.21 ), но, кроме этого, увеличение И ведет к сужению области резонирования.
Рис. 3.5 и З.б показывают амплитудно-частотные зависимости в областях побочных резонансов второго, третьего и четвертого порядков. Применение метода Крылова-Боголюбова в этих случаях затруднительно, поэтому исследования базировались на численном моделировании с помощью ЭВМ, Параметры системы ( 3.12 ) были выбраны следующие t = 0,01; t = 0,1; № = 0,5. Как видно из графиков, чем выше порядок резонанса, тем при меньших значениях параметра сухого трения наблюдается стабилизация колебаний в области резонанса.
В качестве другого примера рассмотрим колебательную систему с нелинейной восстанавливающей силой, т.е. $(лЧтУ хЪ Для получения стационарных значений амплитуды колебаний используем уравнение ( 3.15 ).
Стационарные колебания системы с одной степенью свободы при бигармоническом возбуждении
Влияние сил сухого трения при различных значениях параметров исходной системы иллюстрируется рис. 3.20 - 3.22, которые построены при 1 = г = 0,025. Рис. 3.20 соответствует jfc = 0,1, J x= 0, Ьг= 0,1, w0 = 0,1, db = 5-ПГ3. Зависимость I построена при И = И = 0,0025; зависимость 2 - v\ = = л = 0,005; зависимость 3 - и = М = 0,0075; зависимость 4 - м = w = 0,01. Здесь затягивание происходит в область больших частот. Случай симметричной нелинейной восстанавливающей силы показан на рис. 3.21 ( = = 0,5, w0 = 0,4, &, = 5 10 ). Рис 3.22 иллюстрирует прохождение через резонанс в обратном направлении (выбег) при V = е г = 1,0, cL = -8 10 . Кривые прохождения через резонанс в прямом (см. рис. 3.21) и обратном (см. рис. 3.22) направлениях значительно отличаются. Стационарные решения, соответствующие этим рисункам имеют затягивание в область меньших частот параметрического возбуждения. При прямом прохождении наблюдается резкое возрастание амплитуд колебаний. В случае обратного направления изменение частоты вначале происходит плавное увеличение амплитуд нестационарных колебаний, а затем наблюдается их резкое возрастание.
В работе [62] показано существование двух типов параметрических резонансов при полигармоническом возбуждении. Во-первых, это резонансы, отвечающие парциальному воздействию отдельных составляющих в разложении ( 4.2 ). Соответствующие частотные отношения имеют вид ( 4.3 )
Эти резонансы называют парциальными. Остальные резонансы, для которых Ь в соотношениях ( 4.3 ) не кратно ни одному из целых чисел, называют коллективными. При & соответствующие точки принадлежат тому же отрезку частотной оси, что и парциальные резонансы ( 4.3 ). Поэтому наибольший интерес вызывают коллективные резонансы, для которых р ъ . Если выразить соответствующие частотные отношения через основную частоту л , то получим, что для этих резонансов
В данной главе исследуются стационарные резонансные колебания системы ( 4.1 ). Особое внимание уделяется изучению коллективных и комбинационных резонансов. Так как аналитическое решение уравнений ( 4.1 ) затруднительно, то анализ базируется на методе численного моделирования.
Рассмотрим систему, уравнение возмущенного движения которой имеет вид Здесь х ("t ) - обобщенная координата, - коэффициент демпфирования, 0 - собственная частота системы, и, - коэффициент возбуждения, - характеристика нелинейной диссипатив-ной силы. Функцию 9 ( "Ь ) считаем заданной в виде где парциальные частоты параметрического воздействия Bt и Ьг связаны соотношением Ьъ = % &Л / s . Тогда период функций ( 4.6 ) и коллективная частота параметрического воздействия равны 1 = 2 п /ЧА, 9= /s . В рассматриваемом случае частотные отношения парциальных и коллективных резонансов ( 4.3 )и ( 4,4 ) примут вид V у0 V- « »,... . ( ,.7)
Границы областей неустойчивости представлены на рис. 4.1 и рис 4.2 І62І . Области неустойчивости заштрихованы. Вычисления проведены при "$ = 0,01. Рис. 4.1 соответствует t = 3, s = 2, а рис. 4,2 - Ч/ = 7, s = 5. Клинья областей неустойчивости, примыкающие к частотной оси вблизи со = 4 ( рис. 4.1 ) и GO = 3, 4, 5 ( рис. 4.2 ) отвечают коллективным параметрическим резонансам ( со = Ьх /со0 ).
Анализ стационарных колебаний в областях неустойчивости проводился с помощью пакета программ Р V I В ( п. 2.3 ). На первом этапе проводилось численное интегрирование уравнения (4.5) до тех пор пока колебательный процесс не установится. Далее, по полуденной реализации определялись коэффициенты Фурье. Шаг интегрирования W выбирался с тем расчетом, чтобы частота = = 2 % / W превышала максимально ожидаемую частоту процесса в 1,5 - 2 раза.
При этом принято t = 0,01, = 0,05. Рис. 4.3 -4,6 построены для случая Ч/ = 3, S = 2, рис. 4.7 и 4,8 построены для Ч = 7, s = 5. Рис. 4.3 иллюстрирует амплитудно-частотные зависимости в областях парциальных резонансов, а рис. 4.5 и 4.7 в областях коллективных резонансов. Индекс амплитуды оик соответствует номеру гармоники в разложении На рис. 4.4, 4.6 и 4.8 по горизонтали отложена характерная частота параметрического возмущения со = йЛ /сор , а по вертикали частота реализации процесса в зонах неустойчивости. Проведенные исследования говорят о том, что частоты реализаций можно представить в виде "» й ( «-в ) где I - номер области неустойчивости. Формулу ( 4.8 ) можно использовать при аналитических исследованиях стационарных колебаний при бигармоническом возбуждении.
