Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Анализ современных устройств для грохочения и возбуждения колебаний 12
1.1 Обзор современных вибрационных грохотов 12
1.2 Обзор существующих вибровозбудителей 22
1.3 Краткие выводы 34
Глава 2 Устройства и способы периодического изменения энергоемких параметров колебательных систем
2.1 Особенности параметрических колебаний 36
2.2 Анализ устройств для периодического изменения параметров жесткости механических систем 38
2.3 Некоторые принципы создания энергосберегающих вибрационных машин .41
2.4 Устройство для периодического изменения инерционных параметров механических систем 43
2.5 Краткие выводы 48
Глава 3 Динамика вибрационного грохота на комбинационном параметрическом резонансе
3.1 Динамическая и математическая модель одномассного вибрационного грохота .49
3.2 Нахождение стационарных решений нелинейной системы методом усреднения .59
3.3 Анализ приближенных решений .64
3.4 Исследование устойчивости вибрационного грохота на комбинационном резонансе
3.4.1 Определение резонансных зон 70
3.4.2 Аналитический метод исследования 71
3.5 Динамическая модель двухмассного вибрационного грохота.
Сведение двухмассной машины к одномассной 78
3.6 Краткие выводы 83
Глава 4 Энергетическая эффективность вибрационного грохота на комбинационном параметрическом резонансе и анализ экспериментальных данных 85
4.1 Применение энергетических соотношений Мэнли-Роу к анализу параметрически возбуждаемого вибрационного грохота 85
4.2 КПД резонансного виброгрохота 90
4.3 Принцип действия вибрационного грохота на многократном комбинационном параметрическом резонансе 91
4.4 Самосинхронизация резонансных колебаний вибрационного грохота .97
4.5 Анализ экспериментальных данных .102
4.6 Краткие выводы .109
Заключение 112
Список литературы
- Обзор существующих вибровозбудителей
- Некоторые принципы создания энергосберегающих вибрационных машин
- Исследование устойчивости вибрационного грохота на комбинационном резонансе
- Принцип действия вибрационного грохота на многократном комбинационном параметрическом резонансе
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Процессы разделения на фракции кусковых и сыпучих материалов, а также твердой фазы пульп и суспензий на продукты различной крупности с помощью просеивающих поверхностей, называемые грохочением, широко используются на предприятиях, добывающих и перерабатывающих минеральное сырье. Именно эти процессы в значительной степени определяют качество сырья и конечную стоимость получаемых из него продуктов.
В настоящее время, в связи с быстрым ростом высоких технологии, особый интерес вызывают процессы грохочения тонких порошков и труднопросеиваемых материалов.
При переработке минерального сырья на технологических линиях широко применяются вибрационные транспортно-технологические машины (ВТТМ). Самой представительной группой ВТТМ являются вибрационные грохоты. Широко используемые традиционные вибрационные грохоты с дебалансным (центробежным), кинематическим и электромагнитным приводами имеют невысокие технические и эксплуатационные показатели при значительных энергозатратах.
Задача состоит в том, чтобы малым резонансным воздействием на
колебательную систему машины вывести ее на самоуправляемое и
самоподдерживаемое собственное движение. Эта задача решается на основе
возбуждения многократного комбинационного параметрического резонанса.
Инвариантность параметрического закона колебаний к выбору начальных условий запуска вибрационной машины обеспечивает устойчивость параметрического резонансного режима колебаний.
Разработка и внедрение в промышленность резонансных грохотов открывает новые перспективы развития вибрационной техники и технологии. Повышение эффективности и производительности грохотов за счет их динамического и конструктивного совершенствования является важной технико-экономической задачей.
Учитывая, что существующее оборудование для грохочения не удовлетворяет современным требованием надежности, эффективности и производительности, направление данного исследования является весьма актуальным, современным и своевременным.
Степень разработанности темы исследования. Исследованием и разработкой вибрационных машин занималось большое количество отечественных и зарубежных учных. Наибольший вклад в создание теоретических основ вибрационной техники внесли И.И. Блехман, Л.А. Вайсберг, Р.Ф. Ганиев, И.Ф. Гончаревич, В.И. Антипов, Э.Э. Лавендел, Б.П. Лавров, В.И. Потураев, K.M. Рагульскис, К.Ф. Фролов, К.Ш. Ходжаев. Практика проектирования, расчета и технологического применения вибрационных грохотов были развиты в работах В.А. Баумана, И.И. Быховского, В.В. Бердуса, Л.А. Вайсберга, В.З. Дятчина, A.C. Жгулва, В.И. Засельского, А.Н. Коровникова, В.П. Надутого, В.А. Перова, А.О. Спиваковского, М.В. Хвингии и других.
Большинство современных конструкций вибрационных просеивающих машин работают в зарезанансном режиме колебаний. Эти машины имеют низкую энергетическую эффективность, т.к. в е колебательной системе циркулирует большая реактивная мощность, необходимая для преодоления инерционных сил. Один из наиболее эффективных способов повышения производительности, снижения
энергетических затрат грохота основан на явлении резонанса. В машине, находящейся в резонансном состоянии, упругие и инерционные силы взаимно уравновешиваются, а энергия вибровозбудителя расходуется только на преодоление диссипативных сил. При этом машина совершает движение, близкое к собственному. Резонансные режимы работы вибрационной машины, являющиеся энергетически наиболее эффективными, практически не реализуемы из-за их низкой стабильности при обычном резонансе вынужденных колебаний. Основной трудностью практического использования резонансных машин является их высокая чувствительность к изменению технологической нагрузки и параметров колебательной системы.
Целью работы является разработка динамической модели вибрационного грохота на комбинационном параметрическом резонансе, позволяющем повысить эффективность его работы.
Задачи исследования:
- разработать динамическую модель одномассного вибрационного грохота с
двумя параметрическими вибровозбудителями и построить уравнения его
движения;
построить амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) колебаний вибрационного грохота с параметрическими вибровозбудителями;
исследовать устойчивость стационарного режима работы вибрационного грохота;
определить энергетическую эффективность резонансного вибрационного грохота с параметрическим возбуждением; определить КПД вибрационного грохота;
создать опытный образец вибрационного грохота с параметрическим резонансным вибровозбудителем;
подтвердить полученные результаты по устойчивости экспериментально; разработать рекомендации и конструкции для повышения эффективности работы вибрационных грохотов.
Научная новизна:
- впервые получены решения устойчивости стационарного режима работы
одномассного вибрационного грохота при синхронной работе двух
параметрических вибровозбудителей;
разработаны новые конструкционные схемы и рекомендации для реализации виброударного режима работы двухмассного вибрационного грохота с применением буферных элементов;
получены новые результаты подтверждающие применимость и справедливость энергетических соотношений Мэнли-Роу для расчета мощностей, рассеиваемых в колебательной системе вибрационного грохота при комбинационном параметрическом резонансе;
- определен КПД вибрационного грохота, отражающий его энергетическую
эффективность.
Теоретическая и практическая значимость. Научно обоснованы теоретические основы повышения эффективности работы вибрационных грохотов, которые подходят для целого класса транспортно-технологических машин.
Создан опытный образец вибрационного грохота, принцип действия которого основан на комбинационном параметрическом резонансе. Испытания лабораторного образца показали его высокую эффективность при малых габаритах и массе привода.
Результаты работы могут быть использованы как для создания нового класса
высокоэффективных энергосберегающих вибрационных транспортно-
технологических машин, так и для развития принципиально новой отрасли вибротехники. Это дает возможность модернизировать машиностроительные предприятия, выпускающие вибрационное транспортно-технологическое оборудование, а также произвести техническое перевооружение действующих предприятий горнорудной, химической, стекольной и ряда других отраслей промышленности, использующих тонкодисперсные материалы и нанопорошки. Результаты данной работы могут быть востребованы ведущими предприятиями по разработке вибрационного транспортно-технологического оборудования: ЗАО “НПК “Механобр-Техника” (г. Санкт-Петербург), ООО “Вибротехцентр-КТ” (г.Москва), ЗАО “Консит-А” (г.Москва), предприятиями Нижегородской области ЗАО “Автокомпозит” (г. Выкса), ОАО “Мельинвест” (г. Нижний Новгород), ЗАО “Стромизмеритель” (г. Нижний Новгород).
Методология исследования основана на использовании обще- и частнонаучных методов познания. Решение поставленных задач проводится методами теории нелинейных колебаний, аналитической механики и теории устойчивости. Используются численные и экспериментальные методы.
Положения, выносимые на защиту:
математическая модель динамики движения одномассного вибрационного грохота на комбинационном параметрическом резонансе;
подход к исследованию устойчивости стационарного режима работы вибрационного грохота;
метод повышения эффективности работы вибрационного грохота на использовании двухмассной модели;
метод для определения энергетической эффективности вибрационного грохота с параметрическим вибровозбудителем;
модель опытного образца вибрационного грохота с двумя параметрическими вибровозбудителями.
Достоверность полученных результатов. Основные положения и выводы диссертации основываются на строгом применении методов математического анализа, аналитической механики, теории нелинейных колебаний, а также на использовании современных программных продуктов и подтверждены экспериментальными результатами.
Реализация работы. Созданный опытный образец вибрационного грохота на комбинационном параметрическом резонансе используется в учебном процессе Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева в курсах “Теория колебаний”, “Теоретическая механика”, “Теория самоорганизации и устойчивости динамических систем”.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались, обсуждались и получили одобрение на:
- IХ Всероссийской научной конференции “Нелинейные колебания
механических систем” им. Ю.И. Неймарка (г. Нижний Новгород, 2012
г.);
XIII и XIV Международных молодежных научно-технических конференциях “Будущее технической науки” (г. Нижний Новгород, 2014,2015 г.);
II Международной научно-практической конференции “Современные тенденции развития науки и технологий” (г.Белгород, 2015 г.).
Публикации. Основное содержание диссертационной работы опубликовано в 4 статьях в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, а также получен патент РФ на изобретение.
Личный вклад автора состоит в анализе литературных источников, получении результатов по устойчивости и энергетической эффективности, проведении экспериментов и интерпретации полученных результатов. Все представленные в диссертационной работе численные и экспериментальные результаты получены лично автором.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 123 страниц, включая 1 таблицу и 42 иллюстрации. Список литературы состоит из 101 наименования.
Обзор существующих вибровозбудителей
В настоящее время вибрационные машины и технологии применяются практически во всех сферах человеческой деятельности, начиная с миниатюрных устройств для медицины и косметических целей и заканчивая мощными виброустановками для горнорудной промышленности [1,2]. Одной из основных технологических операций, выполняемых на вибрационном оборудовании является грохочение.
Первые указания на использование технологии грохочения содержатся на египетских настенных рисунках, датирующихся 1500 г. до н.э. С приходом бронзового века грохочению начинают подвергаться соль, металлические руды и уголь, а спустя какой-то промежуток времени под сортировку попадают неметаллические руды и разнообразные химические компоненты. Во время европейской научно-технической революции (в конце 17 в.) растет популярность грохотов для сухой сепарации. А с конца 19 в. предпочтение при грохочении минеральных материалов отдается ситовым моделям, предшественникам существующих плоских вибрационных аналогов. Дальнейшее техническое развитие шло по пути появления моделей с более сильным вибрационным оборудованием для получения большего числа мелких фракций сортируемого материала. Новое мощное виброоборудование позволяло достигать рабочих скоростей приводов в 700 – 3000 оборотов в минуту и амплитуды вибрации поверхности просеивания менее 10 мм [40].
Огромный вклад в развитие вибрационных машин внесла компания «Механобр», основанная в 1916 г. профессором горного института Г. О. Чечоттом со своими коллегами С. Е. Андреевым и Л. Б. Левенсоном. Первым же официальным печатным изданием научных трудов «Механобра» в 1924 г. становится монография, посвященная именно грохотам, – это книга профессора Л.Б. Левенсона [65], возглавлявшего в те годы техническое бюро «Механобра». Эта монография стала первым в России трудом, посвященным грохотам.
Разработкой и совершенствованием конструкций рабочих органов грохотов занимался В.Н. Потураев. Им были предложены конструкции эластичных рабочих органов для вибрационных транспортно-технологических машин [81,82].
Большой вклад в расширение области применения вибрационных машин различного технологического назначения внес И.Ф. Гончаревич. Также он занимался разработкой методик расчета вибрационных грохотов и транспортирующих машин [46-50].
В настоящее время одними из ведущих специалистов России в области горно-обогатительного машиностроения, теории расчета, проектирования и эксплуатации вибрационных машин, являются Л.А. Вайсберг [37-39] и И.И. Блехман [29-33]. Результаты их фундаментальных исследований и разработок в области теории и расчета вибрационных машин являются признанной научной базой для создания передовых отечественных технологий и машин.
Вибрационные грохоты получают вс более широкое применение в самых разнообразных отраслях промышленности. Вибрационные грохоты широко используют в горно-рудной промышленности для разделения материалов на классы перед дроблением, промывки материала перед обогащением в тяжелых средах и последующей отмывки суспензий, обезвоживания продуктов обогащения [25, 80]. Для аналогичных целей вибрационное грохочение используют в горно-химической [56], угольной промышленности и при производстве строительных материалов. В последних двух случаях вибрационные грохоты применяют для разделения готового продукта (угля, щебня, гравийно-песчаных масс) на кондиционные товарные классы перед отправкой потребителям. В металлургической промышленности на вибрационных грохотах удаляют некондиционную по крупности мелочь из сырых окатышей, после обжига которых эту операцию повторяют [67]. Аналогичную операцию выполняют и с агломератом после спекания – сначала горячим, а затем – охлажденным. Перед доменной плавкой контрольному грохочению для удаления мелочи подвергают все сырьевые материалы, загружаемые в печь [39].
Также вибрационное грохочение применяется при подготовке тонкоизмельченного сырья к последующему прессованию и спеканию в абразивном, огнеупорном, керамическом, электродном и других производствах, базирующихся на порошковой технологии [59]. Перспективное применение вибрационного грохочения – разделение тонкоизмельченной твердой фазы рудных пульп перед обогатительными операциями.
Принцип работы грохотов заключается в пропускании материала через разделительную перегородку с определенным размером отверстия. Частицы, размеры которых меньше размера отверстия в сите, проходят сквозь него, а более крупные задерживаются. Используя перегородки с разными размерами отверстий, можно разделять материал на требуемое число фракций.
В качестве разделительных перегородок обычно применяются сетка или колосники. Просеивающие поверхности грохотов могут иметь прямоугольные или круглые отверстия. Прямоугольные отверстия используются в случае применения влажных или засоренных материалов, а круглые – необходимы для получения более однородного продукта. Наибольшее распространение получила стальная сетка (ГОСТ 3306-70). Для классификации тонко измельченных материалов применяется также сетка из цветных металлов, щелка и капрона. Весьма перспективно применение резиновой сетки, долговечность которой, по данным промышленности, существенно выше стальной. Колосники обычно применяются для классификации материала, содержащие крупные куски.
Принципиальная особенность вибрационного грохота состоит в том, что колебания возбуждаются динамическим приводом, называемым вибровозбудителем. В подавляющем большинстве конструкций грохотов используют дебалансные (центробежные) вибровозбудители с вращающейся неуравновешенной массой, гораздо реже – электромагнитные [43].
Некоторые принципы создания энергосберегающих вибрационных машин
В последние десятилетия сформировалась достаточно новая отрасль техники - вибротехника. Машины вибрационного принципа действия, как отмечает академик К.В. Фролов, расцениваются сейчас как основа технологии будущего. В работах [21,22, 88] приводятся методы совершенствования машин вибрационного принципа действия, которые находят применение в инженерной практике.
Дальнейшее развитие вибротехники связано с решением проблемы создания экологически чистых энергосберегающих вибрационных машин и технологий [46]. Например, экологические требования обеспечиваются транспортированием в вибрирующем трубопроводе (закрытой емкости) ядовитых и взрывоопасных материалов. Закрытый рабочий орган предотвращает контакт обслуживающего персонала с транспортируемым опасным продуктом и исключает запыление помещений. Энергосбережение служит одним из главных показателей любой техники и определяет ее эффективность.
Одним из принципов создания энергосберегающих вибрационных машин является использование явления резонанса. В колебательной системе, находящейся в резонансном состоянии, упругие и инерционные силы взаимно уравновешиваются, а энергия расходуется только на преодоление диссипативных сил. При этом энергия привода используется наиболее эффективно. Основной трудностью практического использования резонансных машин является их высокая чувствительность к изменению технологической нагрузки и параметров колебательной системы, что объясняется крутизной их амплитудно-частотной характеристики. Для повышения стабильности резонансного режима часто приходится идти на искусственное снижение добротности колебательной системы и увеличение энергоемкости вибрационной машины [61].
Ещ одним важным принципом снижения энергопотребления является самосинхронизация вибровозбудителей [33,98]. Если движение вибрационной машины с протяжным рабочим органом возбуждается одним мощным вибровозбудителем, то оно носит характер интенсивных упругих (паразитных) колебаний. Возбуждение паразитных колебаний значительно повышает энергопотребление, искажает форму движения рабочего органа и приводит к быстрому износу узлов вибромашины. Для исключения паразитных колебаний, можно использовать вместо одного мощного несколько маломощных синхронизирующихся вибровозбудителей. При этом паразитные колебания одного из вибровозбудителей будут уравновешиваться противоположно направленными паразитными колебаниями от другого вибровозбудителя. В результате под действием таких вибровозбудителей даже гибкая балка будет колебаться почти как абсолютно жесткая. Здесь самосинхронизация проявляется как общее свойство приспособляемости отдельных объектов технического коллектива к ритму рабочего коллектива в целом [30].
Для возбуждения и стабилизации резонансных машин часто применяют различные способы автоматического регулирования [20]. Один из наиболее эффективных путей возбуждения и стабилизации резонансных режимов работы вибрационных машин основан на явлении авторезонанса [20-24]. Авторезонанс – это специальным образом организованные оптимизированные автоколебания нелинейной системы с малым демпфированием. Этот резонанс происходит под действием силы, пораждаемой движением самой колебательной системы машины. При этом в системе возбуждаются периодические автоколебания за счет положительной обратной связи, формирующей силу возбуждения в зависимости от параметров колебаний рабочего органа, и автоматически подстраиваются под изменение технологической нагрузки. При грамотной настройке авторезонансной системы устанавливается автоколебательный режим, обеспечивающий оптимальный характер ее функционирования.
Авторезонансное возбуждение позволяет значительно снизить мощность привода технологической машины и, как следствие, повысить е коэффициент полезного действия. Основным недостатком авторезонансного возбуждения является усложнение вибрационного привода за счет необходимости введения дорогих систем автоматического управления и построения блока электрического питания привода машины, что, в свою очередь, ведет к удорожанию и снижению надежности машины в целом [45]. Также ввиду нелинейности колебательной системы, не исключена возможность срыва резонансного режима колебаний. Авторезонансное возбуждение за счет средств автоматического управления частично решает задачу повышения стабильности резонансных машин при высокой добротности их колебательных систем, но задачу стабилизации резонансного режима без средств автоматического управления авторезонанс не решает. Решение данной задачи было предложено за счет использования комбинационного параметрического резонанса [4].
Исследование устойчивости вибрационного грохота на комбинационном резонансе
В случае малогистерезисной линейной упругой системы (2=0) резонансные кривые 2, 3 для амплитуд A и A0 (рисунки 3.3 - 3.4) в окрестности частоты возбуждения = 1.3, соответствующей точной настройке на комбинационный резонанс ( = v + 1, v = 0,25 ), представляют собой плавные кривые. Они не имеют характерного максимума, присущего высокодобротным колебательным системам при обычном резонансе вынужденных колебаний. Анализируя рисунки 3.3 и 3.4 (резонансные кривые 2, 3), можно заметить, что увеличение коэффициента линейного демпфирования рабочего органа практически в шесть раз и увеличение коэффициента h нелинейного демпфирования рабочего органа при одинаковых малых значениях коэффициента 0 линейного демпфирования маятников приводит к расширению резонансной зоны и е небольшому сдвигу. При этом амплитуда колебаний рабочего органа снижается в 2 раза, тогда как при обычном резонансе вынужденных колебаний линейной системы амплитуда колебаний уменьшается линейно, т.е. тоже в шесть раз. Это объясняется тем, что ИЭ не подвержен действию технологической нагрузки. Следовательно, система на комбинационном параметрическом резонансе становится более эффективной и устойчивой к внешнему воздействию. Следует отметить, что при определенных значениях коэффициента и0 линейного демпфирования маятников может происходить только расширение или только сдвиг резонансной зоны. Величина нелинейного демпфирования h влияет только на амплитуду рабочего органа, а амплитуда колебаний маятников при этом практически не изменяется. Также в ходе исследований было замечено, что величина h не оказывает влияния на ширину резонансной зоны.
На рисунке 3.5 приведены зависимости генерируемых частот с51, S2 от частоты параметрического возбуждения . На этом графике наглядно отображена настройка комбинационного резонанса 5 = 51+52. При точной настройке, т.е. при величине рассторойки частоты параметрического возбуждения относительно суммы собственных частот =0 (рисунок 3.7 а) c5j « vc5, с52 « 1 .
Зависимости амплитуды, фазы колебаний рабочего органа, амплитуды колебаний маятников и частот генерации 5 52 от расстройки А имеют аналогичный вид и представлены на рисунке 3.7.
Зависимости от расстройки частоты параметрического возбуждения: а – амплитудно-частотная характеристика рабочего органа; б – амплитудно-частотная характеристика маятников; в - зависимость генерируемых частот 1, 2 () ; г – фазочастотная характеристика рабочего органа 3.4 Исследование устойчивости вибрационного грохота на комбинационном резонансе Задачей устойчивости движения и равновесия занимались многие виднейшие математики и механики: Л. Эйлер, Ж. Лагранж, Э.Дж. Раус, Дж.Дж. Томсон, Н.Е. Жуковский, А. Тондл, А. Пуанкаре [35, 36, 55, 90]. Наиболее общая постановка задачи об устойчивости движения, мощные и вместе с тем строгие методы решения были предложены в 1892 г. А.М. Ляпуновым. Основополагающими они являются и в настоящее время.
Расчет областей неустойчивости выполнен на ЭВМ в программном пакете MatLab [79]. На рисунке 3.8 приведены области неустойчивости для параметров =0.02, =0.25. По оси абсцисс на графике отложены значения безразмерной угловой скорости , а по оси ординат - безразмерный коэффициент щ демпфирования бегунка. Графики построены для различных значений безразмерного коэффициента демпфирования рабочего органа. На представленном ниже графике области неустойчивости заштрихованы. Анализ областей неустойчивости показывает, что увеличение коэффициента демпфирования рабочего органа при малых значениях коэффициента демпфирования маятников 0 приводит к расширению областей неустойчивости, то есть резонансных зон. Важно отметить, что эффект расширения резонансной зоны при увеличении демпфирования рабочего органа можно реализовать на практике. Действительно, инерционный элемент вибровозбудителя не подвержен действию технологической нагрузки. За счет конструктивных мероприятий демпфирование бегунков может быть сделано весьма малым.
При исследовании устойчивости движения целесообразно наблюдать не поведение обобщенных координат системы в возмущенном движении, а только их возмущения (вариации) от координат, которые они имели в невозмущенном движении. Исследуем устойчивость особых точек, соответствующих стационарному режиму колебаний, воспользовавшись методом, предложенным в [64]. Для этого составим уравнения в вариациях где а1}= - коэффициенты уравнений первого приближения (матрица т=1 Якоби), q] = q] (t) - f] (t) - вариация (отклонение) величины q(t). Устойчивость положения равновесия определяется знаками действительных частей собственных значений матрицы Якоби. Чтобы найти собственные значения р, необходимо решить характеристическое уравнение алгебраического вида:
Принцип действия вибрационного грохота на многократном комбинационном параметрическом резонансе
В настоящее время при проектировании технологических машин особое место занимают вопросы энергетической эффективности машин, поскольку в соответствии с государственной программой Российской Федерации «Энергосбережение и повышение энергетической эффективности на период 2020 г." к современному оборудованию предъявляются высокие требования по энергетической эффективности. Поэтому в этой главе разберем актуальные на сегодняшнее время вопросы, связанные с энергетической эффективностью вибрационного грохота на комбинационном параметрическом резонансе [12].
Обратимся к первым N уравнениям системы (3.13). Правые части этих уравнений представляют собой, так называемые, вибрационные моменты M =-v2ycos( k+ k) (=1,2…,TV) в безразмерном виде. В размерных величинах вибрационные моменты выражаются следующей формулой М{Вк) =-mypccos(wk+q k) к=\, 2…Л (4.1) где -ту - моменты переносных сил инерции относительно осей подвеса маятников ИЭ (точка В на рисунке 3.1). Рассматриваемые выше моменты возникают из-за колебаний оси вращения ротора ИЭ.
Возникает вопрос о том, откуда берется энергия для возбуждения и поддержания колебаний. Для того, чтобы объяснить механизм преобразования энергии вращения ИЭ в энергию колебаний, найдем мгновенную безразмерную мощность к-го вибрационного момента Р{к\т) = М{ \ы + ($ кХ =1,2… Д. Заметим, что в системе координат Ах у маятники ИЭ совершают плоское движение с угловой скоростью соа = со + (рк.
Суммарная мгновенная мощность, развиваемая вибрационными моментами Р1(т) = 2,МВ)ф,- мощность, потребляемая маятниками ИЭ (управляющей подсистемой) на частоте 1. Таким образом, мгновенная мощность Р(х) равна алгебраической сумме мощности накачки Рн(т) и мощности (х), рассеиваемой маятниками ИЭ.
Далее найдем мощность Рн(т), поступающую в систему от источника накачки. Источником энергии, затрачиваемой на колебания системы, являются приводной двигатель и ротор ИЭ. Мгновенную безразмерную мощность накачки запишем в виде
Раскрывая синус и косинус суммы, заменяя тригонометрические суммы углов k двумя членами их разложения в ряд, а также используя выражения (3.25), после вычислений и преобразований получим І 1 л
При этом мощность P 1, рассеиваемая управляющей подсистемой, считается положительной, мощность Pн, поступающая от источника накачки -отрицательной. Из равенства (4.11) следует, что =(-і5нш1)/ш . Поскольку 1, то при настройке =0,25 получим Рх -0,25,Рн . Это приближенное равенство означает, что только часть мощности накачки поступает в управляющую подсистему.
Для определения безразмерной мгновенной мощности Р2{х) , рассеиваемой рабочим органом на частоте 2, воспользуемся последним уравнением системы (3.14), которое запишем в виде y + 2(n+hy2)y + (\ + 2y2)y = a i0 [(-ipk + й2ф,) cosy, + 2о5ф, sin vj A 2 2 .. „ . .2 1 2 - -ю Ф sin у, + ф,ф, sin у, + 2юФ,ф, cosy, + ф, sin у, + -ф,ф, cosy, 1 2 з 2 co ,cosy, -йф,ф,8іпу, +ф,ф,со8у,]. (4.14)
Подставив в правую часть этих уравнений третью формулу из выражения (3.18) и выполнив те же вычисления и преобразования, что и выше, получим 2 y + 2(n+hyl)y + (\ + $2yz)y = -a i0N(uz2AQ 1- A cosco2i. (4.15)
Уравнения (4.15) представляют собой обычные уравнения вынужденных колебаний. Правая часть этих уравнений играет роль вынуждающей силы с резонансной настройкой (21).
В стационарном состоянии мгновенная мощность, передаваемая рабочему органу, равна произведению мгновенной вынуждающей силы на мгновенную скорость рабочего органа в соответствующем направлении: причем =1+2. Как уже отмечалось выше, мощности, потребляемые маятниками ИЭ и рабочим органом, считаются положительными, а мощность, поступающая от источника накачки – отрицательной.
Соотношения (4.22) показывают, что мощность от источника накачки распределяется между колебаниями подсистемами с частотами 1 и 2 поровну. Невозможно запасти мощность в одной подсистеме.
Важно отметить, что соотношения (4.22) выражают содержание теоремы Мэнли-Роу [68] (закон сохранения энергии для колебательных систем вместе с источником накачки). Рассмотрение этой теоремы проведено для модели с нелинейной емкостью. В подобных параметрических системах изменение нелинейного параметра происходит в результате воздействия колебаний накачки (вынуждающей периодической силы).
В нашем случае имеет место принудительное параметрическое возбуждение общего вида. В дифференциальных уравнениях движения (3.14) имеются как линейные, так и нелинейные выражения с периодическими коэффициентами.
Таким образом, доказана справедливость энергетических соотношений Мэнли-Роу в вибрационной машине с параметрическим резонансным приводом.
Важной характеристикой эффективности любой машины в отношении преобразования или передачи энергии является КПД. Используя полученные соотношения Мэнли-Роу (4.20), нетрудно определить КПД предлагаемого вибрационного грохота. Мощность, рассеиваемая в колебательной системе машины P12=P1+P2, где P1 – мощность, потребляемая маятниками ИЭ (управляющей подсистемой) на частоте 1, P2 – мощность, которая расходуется на выполнение технологического процесса (полезная мощность). Отсюда КПД вибрационного грохота в соответствии с соотношениями Мэнли-Роу можно определить следующим образом