Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор литературы 11
2. Численно-аналитическое исследование границы устойчивости прямолинейных стержней, нагруженных продольной силой, и их поведение вблизи границы устойчивости
2.1. Вывод уравнения и краевых условий, описывающих поперечные колебания продольно нагруженного стержня 21
2.2. Нахождение границы устойчивости сжатого стержня при шарнирном закреплении концов 24
2.3. Исследование поведения сжатого стержня после потери устойчивости при шарнирном закреплении концов 27
2.4. Нахождение границы устойчивости консольно закрепленного стержня со следящей силой на свободном конце
2.4.1. Решение задачи с использованием разработанного численного алгоритма 34
2.4.2. Исследование устойчивости с использованием двухмодового приближения 43
2.4.3. Сравнение результатов исследования
2.5. Исследование поведения консольно закрепленного стержня со следящей силой на свободном конце после потери устойчивости 51
2.6. Выводы к главе 2 58
3. Численно-аналитическое исследование границы устойчивости прямых трубопроводов, транспортирующих жидкость 61
3.1. Вывод уравнения и краевых условий, описывающих поперечные колебания прямого трубопровода, транспортирующего жидкость 61
3.2. Исследование влияния потока жидкости на устойчивость шарнирно закрепленного трубопровода
3.2.1. Решение задачи с использованием разработанного численного алгоритма 68
3.2.2. Исследование устойчивости с использованием базисных функций 70
3.3. Исследование влияния потока жидкости на устойчивость консольно
закрепленного трубопровода 76
3.3.1. Решение задачи с использованием разработанного численного алгоритма 77
3.3.2. Исследование устойчивости с использованием двухмодового приближения 82
3.3.3. Сравнение результатов исследования 85
3.4. Выводы к главе 3 86
4. Численно-аналитическое исследование динамики криволинейного трубопровода с нестационарным потоком сжимаемой жидкости 88
4.1. Воздействия нестационарного потока на трубопровод. Особенности проведенного исследования 88
4.2. Математическая модель трубной оболочки 92
4.3. Вынужденные колебания трубопровода при заданных гидродинамических силах, приложенных в узлах стыковки прямолинейных участков 98
4.4. Вынужденные колебания трубопровода при волновом процессе в потоке транспортируемой среды 102
4.5. Выводы к главе 4 111
Заключение 113
Список литературы 114
- Нахождение границы устойчивости сжатого стержня при шарнирном закреплении концов
- Исследование устойчивости с использованием двухмодового приближения
- Исследование влияния потока жидкости на устойчивость шарнирно закрепленного трубопровода
- Вынужденные колебания трубопровода при заданных гидродинамических силах, приложенных в узлах стыковки прямолинейных участков
Введение к работе
Актуальность работы. Диссертационная работа посвящена исследованию
динамики и устойчивости нагруженных осевой силой стержней и трубопроводов с
движущейся жидкостью, а также исследованию математических моделей,
описывающих эти процессы. Результаты рассмотрения относительно простых и предельных случаев являются основой для анализа сложных моделей, для получения качественных представлений о физике протекающих процессов и их зависимости от параметров конструкции и воздействий, а также могут использоваться для верификации сложных моделей и их компьютерной реализации.
Анализ публикаций, посвященных изложению результатов подобных
исследований, свидетельствует о сохранении интереса к детальному рассмотрению
считающихся классическими проблем консервативной и неконсервативной
устойчивости нагруженных стержней. Исследование динамики трубопроводов с потоком жидкости, как наиболее часто встречающихся в энергетике элементов конструкций, представляет значительный теоретический и практический интерес. Важным фактором анализа и развития методики решения указанных задач является использование получаемых результатов в образовательном процессе при подготовке специалистов по прикладной математике и механике деформируемых систем.
Степень разработанности темы. Практическая потребность в решении проблемы устойчивости и колебаний упругих конструкций послужила важным стимулом разработки методики постановки и решения возникающих при этом задач. Классическим примером является создание Л. Эйлером основ вариационного исчисления и его использование для решения задачи устойчивости сжатого стержня. Это явилось важным продолжением принадлежащему И. Ньютону созданию основ классической механики. Работы И. Ньютона и Л. Эйлера, требования практики по созданию различных конструкций, механизмов и систем в значительной мере определили направления исследований Ж.Л. Лагранжа и У. Гамильтона, а в дальнейшем – создание А. Пуанкаре и А.М. Ляпуновым математических основ теории устойчивости движения. Развитие науки, в частности, прикладной механики, привело к появлению различных направлений, из которых наиболее близким к тематике диссертации является раздел теории упругой устойчивости и, в частности, устойчивости неконсервативных систем, в том числе трубопроводов с движущейся жидкостью как типичных гидроупругих систем. Из большого числа публикаций, близких к рассматриваемым в диссертации проблемам, следует отметить работы Циглера, Хермана, Лейпхольца, Болотина, Вольмира, посвященные рассмотрению поведения нагруженных осевой силой стержней, и работы Бенджамена, Пайдусиса, Рота, Болотина, посвященные анализу динамики трубопроводов с потоком жидкости. Основной особенностью этих работ является использование при решении проблемы устойчивости приближенных методов с применением ограниченного числа первых базисных функций, что в случае несамосопряженной задачи не имеет строгого математического обоснования.
Цель работы состоит в развитии и применении численных алгоритмов исследования консервативной и неконсервативной устойчивости прямолинейных сжатых стержней и трубопроводов, транспортирующих жидкость, как типичных
элементов конструкций, встречающихся в энергетике и строительстве. Для достижения цели были поставлены следующие основные задачи:
-
Развитие метода анализа изменения корней характеристического уравнения в зависимости от параметров при исследовании устойчивости упругих стержней, нагруженных продольной силой, и трубопроводов с потоком жидкости.
-
Анализ достоверности результатов, полученных приближенными методами с использованием небольшого числа базисных функций при решении неконсервативных задач упругой устойчивости стержней и трубопроводов.
Научная новизна работы состоит в развитии подхода к исследованию динамики рассматриваемых конструкций, в разработке методики и численного алгоритма при оценке границы устойчивости прямых стержней и трубопроводов с потоком жидкости, в получении результатов без использования представления решения в виде рядов с ограниченным числом базисных функций, в результатах исследования видов бифуркаций и поведения рассматриваемых систем при потере устойчивости.
Теоретическая значимость состоит в разработке численно-аналитической методики получения решения задач устойчивости упругих стержней и трубопроводов с потоком жидкости, в результатах исследований характера состояний равновесия при консервативном характере потери устойчивости, а также оценка параметров автоколебаний, возникающих при неконсервативном характере потери устойчивости консольно закрепленных стержней, нагруженных следящей осевой силой.
Практическая значимость состоит в разработке численного алгоритма и результатах нахождения границ потери устойчивости продольно нагруженных прямых стержней и трубопроводов с потоком жидкости, в результатах исследования колебаний криволинейного трубопровода при наличии волнового процесса в потоке транспортируемой жидкости, наглядно демонстрирующих условия опасного резонансного возбуждения.
Методология и методы диссертационного исследования основаны на
использовании вариационного принципа Гамильтона–Остроградского, на
аналитических и численно-аналитических методах исследования полученных математических моделей, на применении классических подходов аналитической механики и теории устойчивости, на рассмотрении примера классической задачи устойчивости консольного стержня со следящей силой на свободном конце, а также задачи об устойчивости трубопровода с потоком жидкости как типичной гидроупругой системы, на разработке компьютерных алгоритмов и конкретных расчетах при заданных физических и геометрических параметрах рассматриваемых конструкций.
Основные положения, выносимые на защиту
-
Развитие и реализация численно-аналитического подхода к определению границы потери устойчивости нагруженных продольной силой прямых стержней и трубопроводов с движущейся жидкостью.
-
Нахождение границы потери устойчивости и исследование поведения продольно нагруженного стержня вблизи этой границы в случае шарнирного закрепления концов.
-
Нахождение границы потери устойчивости консольно закрепленного стержня со следящей силой на свободном конце с помощью двух различных подходов и исследование поведения стержня вблизи границы устойчивости.
-
Нахождение границы потери устойчивости прямого трубопровода с потоком жидкости при шарнирном и консольном закреплении.
-
Численно-аналитическое исследование динамики криволинейного трубопровода относительно простой формы при волновом процессе в гидросистеме.
Достоверность результатов диссертационной работы основана на
использовании строго обоснованных теоретических подходов при получении математических моделей исследуемых конструкций, на корректно построенных компьютерных алгоритмах численного решения, на подтверждении результатов компьютерного моделирования известными решениями аналогичных задач.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на итоговой научной конференции учебно-научного инновационного комплекса «Модели, методы и программные средства» (Нижний Новгород, 2007), на VIII, IX Всероссийских научных конференциях «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 2008, 2012), в V, VI, VII Всероссийских молодежных научно-инновационных школах «Математика и математическое моделирование» (Саров, 2011, 2012, 2013), на X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011), на XVI, XVII, XVIII, XIX Нижегородских сессиях молодых ученых «Математические науки» (Нижний Новгород, 2011, 2012, 2013, 2014), в X, XI, XII молодежных научных школах-конференциях «Лобачевские чтения» (Казань, 2011, 2012, 2013), на XIX Нижегородской сессии молодых ученых «Технические науки» (Нижний Новгород, 2014), на XXIII, XXVI, XXVII Международных инновационно-ориентированных конференциях молодых ученых и студентов (Москва, 2011, 2014, 2015), на VII и VIII Всероссийских конференциях «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, 2013, 2015), на форуме молодых ученых (Нижний Новгород, 2013), на Международной конференции по математической теории управления и механике (Суздаль, 2013), на XI Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, 2015).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 19 работах [1–19]. В рецензируемых научных изданиях, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, опубликовано 6 работ [1–6].
Личный вклад автора. Проведено исследование границы устойчивости нагруженного продольной силой шарнирно закрепленного стержня с помощью динамического подхода, а также поведения стержня вблизи границы устойчивости [6, 8, 13–15]; разработан численный метод для определения границы устойчивости консольно закрепленного стержня со следящей силой на свободном конце, не ограничивающийся учетом малого числа первых базисных функций [1–2, 4, 7, 9, 14, 18], и проведен анализ результатов, полученных с помощью разработанного метода и при помощи приближенных методов, использующих в качестве базисных функций функции Крылова [4, 9] и полиномы [10]; проведено исследование поведения
консольно закрепленного стержня после потери устойчивости [6, 12–13, 15–18]; с
помощью разработанного численного метода и приближенных методов,
ограничивающихся учетом малого числа первых базисных функций, проведено
исследование прямого трубопровода с потоком жидкости при шарнирном и консольном закреплении [2, 4, 7, 9, 19]; проведено исследование вынужденных колебаний трубопровода с потоком жидкости при гидравлическом ударе [3, 5, 11]. В совместных работах соавторам Л.В. Смирнову и В.Ф. Овчинникову принадлежат участие в постановке задач, общее руководство исследованиями и участие в обсуждении, редактировании и оформлении результатов; В.М. Силантьева и А.В. Яскеляин, А.А. Горбунова оказали помощь в численных расчетах волнового процесса в однородном потоке текущей жидкости.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 201 наименований. Общий объем диссертации составляет 133 страницы машинописного текста, включая 42 рисунка и 10 таблиц.
На различных этапах работа поддерживалась грантами АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (проекты РНП.2.1.2.3556, РНП 2.1.2/3863, РНП 2.1.2/13421); грантом РФФИ (проект 05-08-50187); ФЦП «Научные и научно– педагогические кадры инновационной России» (ГК № 02.740.11.0535); грантом Президента РФ для поддержки ведущих научных школ (№ НШ – 4307.2010.8); Заданием Минобрнауки РФ (№ Н-031-0); соглашением Минобрнауки России в рамках федеральной целевой программы «Исследования по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2014-2020 годы» (соглашение № 14.578.21.0036 (уникальный идентификатор RFMEFI57814X0036)). В том числе работа выполнена в рамках проектной части государственного задания в сфере научной деятельности на 2014-2016 годы (НИР № 8.2668.2014/К).
Нахождение границы устойчивости сжатого стержня при шарнирном закреплении концов
Это уравнение, описывающее поперечные колебания рассматриваемого как стержень трубопровода, содержит слагаемое, учитывающее присоединенную массу, а также содержит два слагаемых в соответствии с принятой терминологией, называемых центробежной силой и силой Кориолиса.
Исследованиями шарнирно опертых труб занимались: Ниордсон, Бенджамин, Турман и Моут, Пайдуссис и Иссид, Хуссейн и Плаут, Холмс, Рот [154, 174, 181, 189, 193, 196]. Пайдуссис и Иссид [185] провели глубокий теоретический анализ наряду с обширным обзором более ранней литературы. В опубликованных работах этих авторов изучено линейное поведение опертых труб как с учетом, так и без учета демпфирования. Кроме того, отмечены результаты теоретического изучения флаттера, возникающего после начальной дивергенции. Холмс в статьях по нелинейным колебаниям [172, 173] рассмотрел закритическое поведение таких труб. Было показано, что сила со стороны жидкости описывается силами Кориолиса, которые пропорциональны скорости жидкости, и центробежной силой, пропорциональной квадрату скорости, причем последние идентичны сжатию с приложенной осевой следящей нагрузкой. Центробежная сила, распределенная по длине трубы, подобна сжимающей нагрузке [12, 197]. Для шарнирно закрепленной трубы гидродинамическая сила является по существу консервативной. Она действует подобно сжимающей силе, и потеря устойчивости подобна той, которая рассмотрена Эйлером [197].
Для консольного трубопровода, через свободный конец которого жидкость вытекает, действующая на этом конце гидродинамическая сила является следящей и может привести к возникновению растущих колебаний. Такая неустойчивость является неконсервативной, и линейный анализ позволяет предположить возникновение автоколебаний (бифуркация Андронова–Хопфа) [36]. Исследования флаттера трубы–консоли начинаются с работы Бенджамина [154], где изучено как теоретически, так и экспериментально поведение трубы, составленной из шарнирно соединенных звеньев, и рассмотрен предельный переход к целой трубе, когда число звеньев становится большим. Было отмечено, что центробежные силы, действующие со стороны жидкости, пропорциональны квадрату скорости и фактически эквивалентны действию следящей силе на конце трубы, из которого вытекает жидкость. Было показано, что неустойчивость проявляется в виде нарастающих колебаний.
Работы Херрманна и его соавторов посвящены теории линейного флаттера двухзвенной модели со следящей силой на торце [156, 168, 169, 171, 192]. Пайдуссис и соавторы в ряде работ [165, 182, 184, 185] рассмотрели теоретически и экспериментально поведение цельных консольных труб, по которым транспортируется жидкость. Теоретическая часть этих работ выполнена в рамках линейной теории. В работе Пайдуссиса и Иссида [185] кратко обсуждается экспериментальные данные для нелинейных задач. Нелинейные модели рассмотрены в работах Бюргесса и Левенсона, Руссле и Херрмана [160, 194]. Для исследования закритического поведение неконсервативных автономных и неавтономных систем Лейпхольцем [177] был разработан энергетический подход.
Рассмотрение границ устойчивости прямолинейных трубопроводов при различных граничных условиях можно найти в работах [43, 88, 99, 113, 155, 183, 185–187, 193, 197].
В ряде работ исследовано влияние диссипации энергии на колебания [86, 87, 94, 149, 161, 164, 185–187, 193]. Так, в работах [86, 161, 164, 185–187, 193] уравнения движения содержат слагаемые, учитывающие рассеяние энергии в материале трубы согласно гипотезе Кельвина–Фохта, а в работах [161, 185–187, 193] учтены силы внешнего вязкого рассеяния энергии, пропорциональные скорости движения точек трубы. Имеются работы, посвященные параметрическим колебаниям прямых трубопроводов, однако рассмотрение этой проблемы не входит в тематику данной работы [86, 149, 161, 164, 175, 185–187, 193]. В качестве обзора публикаций, посвященных данной тематике, также можно выделить работы А.П. Ковревского [93, 95, 96], В.Ф. Овчинникова и Л.В. Смирнова [117–120], П.Д. Доценко [44–46], В.П. Катаева [89] и других авторов [98, 108, 111, 137, 140, 153]. Явлению флаттера в гидроупугих системах, проявляющегося в случаях обтекания упругой конструкции потоком жидкости, посвящена работа А.С. Вольмира [30]. Общая теория по динамики гидроупругих систем представлена в книге Ильгамова [58]. Последние результаты в данной области отражены в работах [4, 5, 23–26, 49, 50, 121, 127].
Значительный практический интерес представляет проблема вынужденных колебаний трубопровода с жидкостью. Источником вынужденной силы может служить нестационарный поток жидкости, проявляющийся в случае криволинейных труб. Исследование динамики пространственного многоопорного трубопровода приводит к необходимости использования сложной математической модели. Для таких трубопроводов продольные, крутильные и поперечные деформации связаны, вектор перемещения имеет четыре компоненты и порядок матрично-операторного уравнения [27], описывающего колебания рассматриваемой как криволинейный стержень оболочки трубопровода, имеет двенадцатый порядок по координате, отсчитываемой вдоль продольной оси [41]. Исследование устойчивости стационарного состояния и свободных колебаний в этом случае проводится численными методами. Обзор работ, посвященных проблеме взаимодействия стационарного одномерного потока транспортируемой жидкости и оболочки и устойчивости, не является необходимым для обоснования цели приводимых в диссертации исследований. Можно, однако, сослаться на анализ проблемы и выводы, приведенные в монографии [41], в которой на основании обзора известных и полученных с использованием программного комплекса RANT [126] результатов представлен анализ динамических свойств системы криволинейный трубопровод– жидкость. Основной вывод состоит в том, что соответствующие границе устойчивости критические значения давления и скорости потока жидкости являются весьма значительными и в реальных условиях не достигаются [41]. В связи с этим при исследовании колебаний и устойчивости достаточно широкого класса задач трубопровод рассматривают как стержень.
Исследование устойчивости с использованием двухмодового приближения
Первое слагаемое в правой части выражения (2.11) свидетельствует о потерях энергии, вызываемых влиянием вязкого трения. Второе слагаемое учитывает влияние приложенных сил. Если силы не зависят от деформации, т.е. от то при рассмотрении собственных свойств и, в частности, устойчивости это слагаемое следует опустить. Если же эти силы имеют составляющую, которая выражается через деформацию и ее производные, то необходимо рассмотрение более сложной задачи с учетом физической природы этой силы.
Основной интерес представляет соответствующее консольному закреплению третье слагаемое, отличное от нуля при /? = 1, то есть когда сила следящая, появляется еще одна неконсервативная сила. Следует отметить, что при исследовании устойчивости это приводит к рассмотрению несамосопряженной проблемы собственных значений, и строгое математическое обоснование обычно используемых в этом случае методов исследования отсутствует [12, 97, 112].
Внутренние потери в материале, учитываемые по гипотезе Кельвина-Фохта [135], приводят к появлению дополнительных слагаемых в уравнении (2.7) и в физических краевых условиях, а в выражении (2.11) появляется слагаемое вида -/jEl\\ 2 \ dx, где /л - коэффициент внутреннего трения. 0удх 8tJ В случае шарнирного закрепления стержня в правой части выражения (2.11) остается только первое слагаемое. В этом случае трение на границу устойчивости не влияет, что соответствует так называемому консервативному характеру потери устойчивости. Рассмотрим задачи нахождения границы устойчивости и поведение рассматриваемых конструкций вблизи этой границы.
Рассмотрим условия потери устойчивости шарнирно закрепленного стержня, деформация которого описывается уравнением (2.7) и краевыми условиями (2.9) при отсутствии поперечных сил (F(x,t)= 0). Представив решение в виде y(x,t) = Y(x)T(t), получим две задачи. Первая задача, называемая проблемой собственных значений, сводится к нахождению собственных значений и форм:
Для нахождения коэффициентов С, (/ = 1,4) выражения (2.16) используем краевые условия (2.13). Приравнивая к нулю детерминант системы соответствующих линейных алгебраических уравнений, после преобразований получим характеристическое уравнение sin( y) = 0, решение которого д2 =—,j = 1,2 Окончательное выражение для собственных значений и соответствующих мод деформации имеет вид: ( Л4 ( Л2 Ы\Ш\ -РрЧ Л, = 1 , j=1,2 т 7,(л) = С, sinful, j=1,2 С ростом сжимающей нагрузки P первая смена знака собственных значений Лjимеет место при j=1. В этом случае из уравнения (2.14) следует, что решение y(x,t) = ZK sin— апериодически растет, то есть стержень теряет устойчивость при ( Л2 При переходе границы устойчивости, когда Р Ркр, стержень начинает апериодически деформироваться по первой моде и величина деформации растет до бесконечности. В этом случае переходит через начало координат один корень характеристического уравнения:
При этом потенциальная энергия уже не имеет минимума, соответствующего устойчивому состоянию равновесия недеформируемого стержня. Выражение для величины критической нагрузки может быть получено без рассмотрения движения чисто статическим подходом в виде обнаружения появления смежных форм равновесия, либо анализом изменения потенциальной энергии. Первый подход использовал Эйлер [146] в качестве иллюстрации созданного им вариационного исчисления, а второй метод, предложенный Лагранжем, часто называют энергетическим [32].
Анализ возникающего при потере устойчивости роста деформации приводит к необходимости уточнения модели (2.7), справедливой только при малых деформациях. 2.3. Исследование поведения сжатого стержня после потери устойчивости при шарнирном закреплении концов
Потеря устойчивости в случае шарнирного закрепления концов стержня при Р Ркр, когда потери устойчивости по второй моде (j=2) нет, проявляется в виде изгиба стержня по первой моде деформации (рис. 2.1). При этом из-за изгиба появляется сила Р1, компенсирующая нагрузку. Для учета этой силы коэффициент перед2 в уравнении (2.7) следует заменить на Р-Р1.
Исследование влияния потока жидкости на устойчивость шарнирно закрепленного трубопровода
Исследование проведено с помощью разработанного численного алгоритма. Для определения границ устойчивости с малым шагом производится увеличение значения параметра нагрузки при фиксированных значениях параметров трения от нуля до тех пор, пока не нарушится выполнение условия (2.42).
В случае отсутствия внешнего и внутреннего трения коэффициенты е1 и е3 в характеристическом уравнении (2.41), как и в случае предыдущего подхода, равны нулю. В результате получаем биквадратное уравнение: 4 + — (c11+c22)w2 +2 2(с11с22-с12с21) = 0. В этом случае также при использовании критерия Рауса-Гурвица обращаются в нули и детерминанты (2.42), и необходима проверка с помощью расчетов при малом и в пределе стремящемся к нулю внешнем трении. Полученные результаты исследования представлены в 2.4.3.
Ниже приведена таблица (табл. 2.5), позволяющая сравнить результаты исследования границы устойчивости консольно закрепленного стержня со следящей силой на свободном конце при трех подходах в следующих случаях: отсутствие внешнего и внутреннего трения, наличие только внешнего трения, наличие только внутреннего трения, наличие внешнего и внутреннего трения. Табл. 2. Решение сиспользованиемпроцедуры методаБубнова–Галеркина припомощи функцийКрылова в качествебазисных функций Решение прииспользованииполиномов в качествебазисных функций Решение сиспользованиемразработанногоалгоритма безограничения числабазисных функций
Применение обычно используемых в подобных задачах приближенного подхода, ограничивающегося использованием небольшого числа функций сравнения, как это было сделано выше, требует анализа сходимости метода, которая для этого случая строго не доказана [12]. Однако представленные в табл. 2.5 результаты исследований предложенных подходов хорошо согласуются между собой, что свидетельствует о справедливости утверждения В.В. Болотина, что формы потери устойчивости в несамосопряженных задачах могут быть удачно аппроксимированы при помощи линейной комбинации небольшого числа первых форм собственных колебаний, а примеров, когда это не так, не имеется.
Как показывают приведенные выше результаты исследования, анализ этого случая требует учета взаимодействия, по крайней мере, двух форм деформации. Математическим признаком потери устойчивости является смена знака действительной части двух корней характеристического уравнения. При этом возникают нарастающие колебания и рассмотрение характеристик этих колебаний требует учета ограничивающих колебания нелинейных факторов. Согласно общим представлениям теории динамических систем [36], в этом случае возникают автоколебания. Потеря устойчивости состояния равновесия, соответствующего недеформированному стержню, сопровождается рождением предельного цикла, однако учет взаимодействия форм деформации требует рассмотрения эволюции структуры, по меньшей мере, четырехмерного фазового пространства, что довольно затруднительно. Для доказательства возникновения автоколебаний и определения параметров соответствующего предельного цикла было использовано представление в виде комбинации нормальных форм [1]. Это позволяет свести задачу к анализу уже двухмерного фазового пространства. Остановимся кратко на демонстрации этой методики и полученных в рассматриваемом случае результатах.
В закритической области параметра нагрузки Ъ Ъ , когда наблюдается рост отклонений стержня, в математической модели динамики стержня необходимо, как уже отмечено, учесть нелинейные эффекты. При 5 = у = 0 уравнение системы (2.23) можно записать в виде системы:
В этих выражениях v(tp, т) - скорость точек оси стержня, ф(у, v, tp) - нелинейная функция относительно своих аргументов. Структура этой функции определяется учитываемыми в модели нелинейными эффектами. К таким эффектам можно отнести нелинейное вязкое трение, геометрические нелинейности, которые следует учитывать при колебаниях стержней с большой амплитудой, нелинейность упругих сил при деформации стержня.
Из решения линейного варианта задачи (2.23) при отсутствии трения следует, что при Ъ Ъ два корня характеристического уравнения задачи переходят в правую полуплоскость, что соответствует возникновению колебаний с нарастающей амплитудой по неустойчивой форме колебаний. Именно эта форма колебаний определяет дальнейшее поведение системы, все остальные движения с течением времени затухнут. В соответствии с терминологией [1] эта форма называется активной пространственной модой. Использование идеи метода центральных многообразий [1] дает возможность в закритической области параметра нагрузки исследование распределенной системы (2.43) свести к анализу обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (в общем случае, нелинейного). Следуя [1], в дальнейшем получено обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее движение стержня в закритической области с учетом нелинейных эффектов.
Вынужденные колебания трубопровода при заданных гидродинамических силах, приложенных в узлах стыковки прямолинейных участков
Трубопровод с движущейся жидкостью является одним из распространенных элементов конструкций, и от его функционирования в значительной мере зависит надежность и эффективная работа объектов и систем, содержащих трубопроводные системы. Для решения задач, встающих при проектировании трубопроводов, а иногда и при идентификации причин их недопустимой работы и даже разрушения, имеются соответствующие программные комплексы и методы расчета поведения трубопроводов при возникающих при эксплуатации возмущениях. Примером может служить разработанный, используемый и развивающийся программный комплекс RANT, предназначенный для расчета трубопроводов на статическую прочность, вибропрочность и сейсмические воздействия [19, 126,]. Важным видом таких воздействий являются гидродинамические силы со стороны потока транспортируемой среды (см., например, [40, 41]). Рассмотрим связь действующих на трубопровод гидродинамических сил при стационарной и нестационарной составляющих скорости и давления транспортируемого потока жидкости, предполагаемого одномерным. В общем случае взаимодействие трубопровода с внутренним потоком жидкости носит двухсторонний характер: пульсации внутреннего потока жидкости вызывают динамические деформации трубопровода, а динамические деформации трубопровода могут стать причиной пульсаций потока в гидросистеме, частью которой является трубопровод. Все эти особенности учитываются в соответствующих достаточно сложных математических моделях. Однако имеется целый ряд прикладных задач, решение которых с достаточной для практики точностью можно построить в приближении заданного поля, то есть пренебречь одной из указанных связей. Например, в [147] рассмотрена задача возбуждения пульсаций давления в гидросистеме, вызванных заданным движением криволинейного трубопровода без нарушения его конфигурации и целостности (например, при сейсмических и ударных воздействиях). Хотя возникающий при этом уровень пульсаций давления не представляет непосредственной опасности для прочности трубопровода, однако может вызвать несанкционированное срабатывание систем автоматики, повлиять на работу оборудования, находящегося на значительном расстоянии от источника возмущения.
Рассматриваемым в данной главе важным классом задач является анализ поведения трубопроводных систем при наличии возмущений в виде пульсаций давления в гидросистеме, обусловленных волновым процессом в одномерном внутреннем потоке. Часто встречающимся видом таких возмущений является гидравлический удар, вызываемый работой запорно-регулирующих устройств и другими причинами. Рассматривается задача динамики криволинейного трубопровода при наличии в гидросистеме пульсаций давления, возникающих при гидравлическом ударе. Можно указать два механизма воздействия пульсаций внутреннего потока жидкости на напряженно-деформированное состояние (НДС) трубы.
Во-первых, это окружные деформации оболочки трубы, обусловленные действием внутреннего давления, а также возникающие в соответствии с эффектом Пуассона продольные деформации трубы. Эти процессы деформации характеризуются временами порядка 10-3 с, и для оценки их влияния на поведение трубопроводов используется квазистатический подход. При этом уровень возникающих напряжений в оболочке трубы оценивается величиной [41]: P D 2-h где P - действующее внутреннее давление, D, h - диаметр и толщина стенки трубы. Во-вторых, за счет пульсаций давления P и скорости потока жидкости V на участках трубопровода с ненулевой кривизной оси возникают нестационарные поперечные к оси трубы силы, которые могут возбудить поперечные колебания трубопровода. Частоты пульсаций параметров внутреннего потока могут оказаться близкими к одной из собственных частот колебаний трубопровода, в результате чего могут реализоваться опасные резонансные колебания. Действующая в местах изгиба трубопровода поперечная сила оценивается величиной R = 2-(P + p-V 2 )-S-sm\-\, (4.1) где S - площадь внутреннего сечения трубы, р - плотность жидкости, а - угол гиба трубы. Существенный вклад скорости потока жидкости в выражение силы (4.1) реализуется только в особых аварийных режимах нагружения, связанных, например, с разрывом трубопровода. Для большинства режимов эксплуатации, в том числе и рассматриваемого в работе случая гидравлического удара, сила определяется нестационарным внутренним давлением (P»p-V2) [41].
В общем случае рассматриваемого как пространственно изогнутый стержень трубопровода изменение давления вызывает напряженно-деформируемое состояние, обусловленное взаимодействием изгибных в двух плоскостях, продольных и крутильных деформаций. Для подобных исследований разработан универсальный программный комплекс RANT, учитывающий этот фактор [126].
В качестве причины волнового процесса в трубопроводных системах указывается изменение гидравлических характеристик, а сам процесс называется гидравлическим ударом. Это изменение вызывается работой запорно-регулирующих устройств, изменением режимов работы гидромашин, входящих в состав гидросистем. Можно также указать некоторые более редко рассматриваемые причины возникновения таких процессов. Это турбулентность и образование вихрей, когда в гидросистеме возбуждаются собственные одномерные колебания давления и скорости перекачиваемой жидкости. В литературе рассматриваются также случаи возбуждения пульсаций давления и скорости в потоке при движении трубопровода без нарушения его конфигурации и целостности, например, при сейсмических и ударных воздействиях [147]. Еще одним источником возбуждения волнового процесса является разгерметизация находящейся под давлением гидросистемы.
В большинстве практически наблюдаемых и обсуждаемых в литературе случаев в качестве причины значительных деформаций и разрушения трубопровода указывается резкое локальное повышение давления, и под термином «гидравлический удар» часто подразумевается скачок давления, который может быть оценен по формуле Жуковского [9, 51]. Такая консервативная оценка давления справедлива для быстрой, а в пределе для мгновенной остановки потока: P-P0 =pV0с, где P0 и P - давление жидкости до и после удара, V0 - скорость жидкости до удара, ри с - плотность и скорость звука в жидкости. Например, при с = 10 3 м с ,V0 = 10 м с и р = 10 3 кг м 3 имеем P - P0 = 10МПа.
Однако важным для оценки опасности гидравлического удара для трубопровода является не только быстрое повышение давления, но указанный выше и неизбежно возникающий в содержащей трубопровод гидросистеме волновой процесс. В качестве примера исследования влияния такого процесса на трубопровод можно указать на приведенный в монографии [40] результат решения задачи идентификации причины опасных колебаний паропровода на одном из блоков АЭС. Причиной колебаний оказался акустико-механический резонанс, при котором возбуждение обусловленных сжимаемостью собственных колебаний среды в паровом тракте привели к резонансным колебаниям оболочки паропровода. Существенную роль сыграли благоприятные условия перекачки энергии акустических колебаний в механические. В другом случае взаимодействие волнового процесса в гидросистеме с управляемым потоком обратным клапаном привело к жесткому возбуждению автоколебаний клапана при периодически повторяющемся гидравлическом ударе [35, 41]. При этом наблюдались значительные колебания трубопровода.
В обоих указанных исследованиях расчеты волновых процессов в состоящей из системы трубопроводов гидросистеме проводились численно с использованием математической модели, описывающей динамику одномерного напорного течения вязкой сжимаемой жидкости с использованием метода характеристик [9, 148].