Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор литературы и постановка задачи 7
1.1. Вибрации, возбуждаемые движением метропоездов. Анализ факторов, влияющих на виброактивность трасс метрополитена 7
1.1.1. Распространение вибраций по грунту 10
1.2. Методы прогнозирования уровней вибрации от линии метрополитена 11
1.2.1. Метод Унгара и Бендера 11
1.2.2. Метод расчета, разработанный компаниями WIA и LTI 12
1.2.3. Отечественный метод расчета 13
1.3. Анализ существующих методов борьбы с вибрацией трасс метрополитена 16
1.3.1. Экранирование 22
1.4. Подходы к задаче определения параметров вязкоупругих неоднородных сред 23
1.4.1. Сейсмическая томография на временных задержках 23
1.4.2. Томография на поверхностных волнах 24
1.4.3. Томография неоднородных вязкоупругих сред 25
1.5. Выводы 29
Глава 2. Методика натурных исследований вибрации, возбуждаемой поездами метрополитена и процедура камеральной обработки результатов 31
2.1. Методика натурных исследований 31
2.2. Процедура камеральной обработки результатов измерений 32
2.3. Результаты измерений вибрации в перегонных тоннелях метрополитена 33
2.4. Результаты измерений вибрации на станциях метрополитена 42
2.5. Выводы 45
Глава 3. Математические модели возбуждения вибрации обделки тоннеля и распространения колебаний в грунте 46
3.1. Механическая модель 46
3.2. Формулировка математической модели колебаний обделки. Модовая структура акустического поля, возбуждаемого колебаниями цилиндрической обделки тоннеля метрополитена в грунте 48
3.3. Моделирование распространения упругой волны в грунте 63
3.4. Моделирование волны Релея в приповерхностном слое грунта 65
3.5. Изолирующие свойства вертикальной стенки 67
3.6. Компьютерное моделирование 68
3.7. Результаты расчетов распространения упругих волн в грунте и эффективности виброизолирующих экранов 69
3.8. Выводы 93
Глава 4. Математические модели возбуждения вибрации конструктивных элементов протяженных подземных объектов метрополитена 95
4.1. Общие положения 95
4.2. Конструкции станций, тупиков, СТП и камер съезда метрополитена 98
4.2.1. Путь и контактный рельс 99
4.3. Разработка методики расчета уровня вибрации 99
4.3.1. Метод бесконечной в длину плиты 99
4.3.2. Метод плиты конечных размеров 102
4.3.3. Процедура интегрирования в пределах октавной полосы 103
4.4. Излучение упругих волн в грунт, вызванное колебаниями упругой пластины 104
4.4.1. Формулировка математической модели колебаний площадки . 104
4.4.2. Модель распространения упругих волн в грунте 106
4.5. Расчет типовых конструкций подземных сооружений метрополитена 113
4.5.1. Расчет станций 113
4.5.2. Расчет камер съезда 116
4.5.3. Расчет СТП 117
4.6. Расчет и прогнозирование виброакустической обстановки внутри подземных объектов метрополитена 119
4.6.1. Расчет уровня вибрации на платформах нижнего и верхнего ярусов двухъярусной станции 120
4.6.2. Модель бесконечной плиты 121
4.6.3. Расчет с учетом активной реакции грунта 128
І4.6.4. Расчет по модели конечной прямоугольной плиты 128
4.7. Расчет уровня вибрации на несущих плитах подземных объектов метрополитена 132
4.8. Расчет уровня вибрации на поверхность грунта вблизи подземных сооружений метрополитена 139
4.9. Выводы 141
Глава 5. Распространение упругих волн в грунте с вертикальной стратификацией (случай приповерхностного волновода) 143
5.1. Постановка задачи 143
5.2. Расчет вибрации в стратифицированном грунте, возбуждаемой проходящим составом 146
5.3. Выводы 148
Глава 6. Расчет виброизоляционной конструкции пути метрополитена 150
6.1. Формулировка модели 150
6.2. Результаты расчетов 154
6.2.1. Возможные технические реализации 156
6.3. Выводы 161
Глава 7. Разработка методики определения физико-механических свойств грунтов 163
7.1. Общие положения 163
7.2. Проведение измерений 166
7.3. Вычисление коэффициента затухания а(со). Задача параметрической идентификации 169
7.4. Расчет уровней вибрации на поверхности грунта 172
7.5. Постановка задачи по экспериментальному определению механических свойств грунтов 175
7.6. Процедура оценки упругих динамических, массовых и диссипативных параметров грунта 180
7.7. Рекомендации по проведению измерений. Основные задачи определения акустических параметров грунта 185
7.8. Выводы 187
Глава 8. Оценка вибрации в помещениях жилых и общественных зданий от движения поездов метрополитена 190
8.1. Анализ состояния вопроса в области нормирования, измерения и оценки вибрации 190
8.1.1. Нормирование вибрации 190
8.1.1.1.Отечественная практика 190
8.1.1.2. Международный опыт 196
8.1.1.3. Немецкий стандарт DIN 4150, часть 2 200
8.1.2. Измерение и оценка вибрации 202
8.1.2.1. Аппаратура 202
8.1.2.2. Условия и правила проведения измерений 204
8.1.2.3. Обработка и оценка результатов измерений 206
8.2. Рекомендации по оценке вибрации в помещениях жилых и
общественных зданий от движения поездов метрополитена 208
8.2.1. Характеристика вибрационного процесса, выбор
контролируемого параметра вибрации и нормативных значений . 208
8.2.2. Требования к аппаратуре, условиям и правилам проведения измерений 211
8.2.3. Обработка результатов измерений 212
8.2.4. Оценка вибрационного воздействия 213
8.3. Выводы 215
Заключение 218
Основные выводы по диссертации
- Методы прогнозирования уровней вибрации от линии метрополитена
- Процедура камеральной обработки результатов измерений
- Моделирование распространения упругой волны в грунте
- Процедура интегрирования в пределах октавной полосы
Введение к работе
Увеличение провозной способности транспорта в современных крупных городах невозможно без развития наиболее совершенного вида массового транспорта - метрополитена. Однако требования к условиям проживания населения вблизи магистралей приводят к необходимости учитывать возможные воздействия поездов на окружающую среду.
Известно, что линии метрополитена, особенно мелкого заложения, являются источником повышенной вибрации зданий, расположенных в зоне их влияния [84]. В связи с этим возникает ряд экологических проблем. Первая задача прогнозирования уровней вибрации в жилой застройке, прилегающей к проектируемым и строящимся линиям. Другой, не менее важной задачей является оценка эффективности различных мероприятий по защите зданий и сооружений как от проектируемых, так и существующих линий метрополитена. Важность этих задач определяется как масштабами развития сети линий метрополитена в городе Москве, так и высоким уровнем материальных и финансовых затрат на реализацию мероприятий по защите зданий от вибрации. Ошибки в прогнозировании ожидаемых уровней вибрации и оценке эффективности виброзащитных мероприятий и конструкций могут привести к значительным материальным и финансовым потерям.
Для прогнозирования уровней вибрации в зоне, прилегающей к линиям метрополитена, а также для оценки эффективности мероприятий по виброизоляции зданий необходимо создание надежной методики расчета вибрационного поля, порождаемого поездами метрополитена.
Методы прогнозирования уровней вибрации от линии метрополитена
В свое время была сделана попытка прогнозирования уровней вибраций в зоне, прилегающей к линиям метрополитена и в нашей стране. Была создана методика расчета вибрационного поля, порождаемого поездами метрополитена, для оценки эффективности мероприятий по виброизоляции зданий. При этом необходимо были разработаны ведомственные строительные нормы: "Прогнозирование уровней вибрации грунта от движения метропоездов и расчет виброзащитных строительных устройств" [6]. Ведомственные строительные нормы регламентируют методы оценки и прогнозирования уровней вибрации, возникающих при движении поездов метрополитена, а также способы защиты от вибрации жилой застройки и предназначаются для применения при проектировании и эксплуатации линий метрополитена, расположенных в селитебной зоне. Нормы содержат методы оценки уровней вибрации обделок тоннелей, ожидаемых уровней вибрации поверхности фунта, эффективности виброзащитных строительных устройств. Кроме того, в Приложениях к Нормам приводятся справочные материалы по свойствам различных грунтов и виброзащитным устройствам, алгоритм вычисления коэффициентов передачи колебаний от тоннельной обделки на поверхность грунта и эффективности экранирующих стенок в грунте, порядок вычисления среднеквадратичной величины вибросмещения поверхности грунта, алгоритм вычисления эффективности виброзащитных устройств в основании пути.
Основанием инженерного расчета среднеквадратичной величины вибросмещения поверхности грунта является метод конечных элементов, при этом принимается, что состояние среды достаточно полно описывается двумерной схемой.
Следует отметить достоинства предложенных "Норм": - обширный справочный материал по свойствам грунта; - волновой подход к описанию передачи вибрации от обделки к поверхности грунта; - указание на возможность применения различных виброзащитных устройств, в том числе экранов.
Между тем, принятая в "Нормах" двумерная схема вызывает возражения. Локальность приложения силы в точке контакта колесной пары с рельсом вызывает колебания обделки, как трубы в упругой среде, что приводит к возникновению в грунте системы волн, распространяющихся под углом к оси тоннеля. Задача определения коэффициентов передачи от обделки к поверхности грунта в принципе может быть решена при помощи метода конечных элементов, однако, в связи со сказанным выше, конечные элементы должны быть трехмерными и элементы матрицы передачи должны учитывать набеги фаз на средней частоте диапазона для продольной и сдвиговой волн, соответственные коэффициенты потерь и учитывать направления распространения волн. Следовательно, необходимая расчетная схема значительно сложнее предлагаемой в "Нормах". Подчеркнем важность учета нестационарного характера нагружения обделки.
Вызывает возражение указание на то, что расстояние в 40 метров является достаточной гарантией выполнения санитарных норм, поскольку в условиях неоднородного грунта может реализовываться волноводное распространение, а наличие поверхности приведет к появлению волны Релея, обладающей малым пространственным затуханием.
На верхней границе диапазона частот длина волны для насыпных грунтов, часто встречающихся в черте города, сравнима или значительно меньше, чем характерный размер обделки, поэтому выбор размера конечного элемента равным размеру обделки приведет к значительным погрешностям. Нормы изложены таким образом, что неясно, учтено ли отражение волн от поверхности грунта и возникающая при этом поверхностная волна Релея. Предложенная авторами расчетная схема могла бы претендовать на некую правомерность при наличии надежного экспериментального подтверждения, которое отсутствует. Учитывая высокие требования, предъявляемые к точности прогноза значений виброперемещения на поверхности грунта, а также оценке эффективности мероприятий по виброзащите, расчетная схема, принятая в Нормах, не может считаться удовлетворительной и требует коренной переработки. Необходим учет локального характера нагружения тоннеля, порождающего изгибные волны в нем, трехмерного характера поля вибраций в грунте, достоверные оценки эффективности защиты зданий экранами и другими средствами.
Настоящая работа выполнена с целью создания более совершенных методик прогнозирования уровней вибрации в жилой застройке, прилегающей к проектируемым и строящимся линиям метрополитена и оценки эффективности мероприятий по вибро- и звукоизоляции зданий и сооружений. Основными задачами данной работы являются: - выявление факторов, определяющих виброизлучение при движении поездов метрополитена;
Процедура камеральной обработки результатов измерений
Характерным для всех представленных спектров является наличие максимума в диапазоне частот 40-50 Гц.
По результатам натурных измерений уровней виброускорений на лотковой части обделки тоннеля были построены гистограммы распределения уровней виброускорения в 1/3-октавных полосах частот в диапазоне 20 - 80 Гц. Результаты представлены на рис. 2.7 - 2.12. Ансамбль усреднения составил 21 единицу.
Эти данные были использованы при определении исходных уровней виброускорения для различных типов обделки тоннелей в различных геологического залегания расчетным путем.
Характер распределений, представленных на гистограммах, свидетельствует, что максимально достигаемая точность расчета прогнозируемых уровней вибрации составляет +5 дБ. Причиной установленного разброса измеренных данных является вариация скоростей движения составов, различная изношенность колесных пар, степень загрузки метропоездов и другие факторы.
Вторая серия измерений проводилась на платформе станции метро "Подбельского" и на поверхности грунта в районе этой станции.
Станция сооружена на глубине 12 м от поверхности. Лотковая часть в районе станции расположена в водонасыщенных песках. Выше по разрезу в уровне 2.0 м от лотковой части тоннеля расположены моренные суглинки четвертичного периода толщиной слоя 4.0-6.0 м и далее насыпные грунты 1.5-3.0 м. Ниже лотка залегают водонасыщенные пески и супеси четвертичного возраста.
Конструкция перегонного тоннеля - цельносекционная железобетонная обделка.
Проводились измерения уровней виброускорения, возбуждаемых на поверхности грунта при прохождении поездов метрополитена. Регистрация уровней осуществлялась в точках поверхности грунта, удаленных от проекции оси тоннеля на 0, 10 и 20 м. Результаты измерений и расчетные данные для двух частотных диапазонов в октавах 31 и 63 Гц представлены на рис. 2.13 -2.14.
На тех же рисунках представлены результаты расчетов по методике Унгара -Бендера [142] и по разработанной в рамках настоящей работы методике с учетом поверхностной волны Релея.
Из приведенного ниже рисунка следует, что учет поверхностных волн становится принципиальным для линий мелкого заложения (при расстоянии от перекрытия тоннеля до поверхности грунта меньшем глубины экспоненциального спадания поверхностной волны). Для типичных городских условий эта величина составляет 10 - 20 м. Для линий глубокого заложения влиянием поверхностных волн можно пренебречь.
Анализ результатов, представленных на рисунках 2.13-2.14 показывает, что традиционный подход к моделированию вибрационного поля в окрестности трасс метрополитена мелкого заложения дает существенно заниженные результаты для уровней вибрации, что может приводить к неадекватным конструктивным решениям при проектировании новых линий метрополитена и следовательно, к значительным материальным и финансовым потерям. Учет волны Релея позволяет значительно лучше прогнозировать уровни вибрации в зоне, прилегающей к линиям метрополитена.
При разработке надежной методики прогнозирования уровней вибрации проводились натурные исследования виброакустической обстановки на ряде существующих станций различной конструкции. Целью этих исследований являлось следующее: расширение статистической базы определения натурных уровней виброускорения на станциях различной конструкции, используемых в качестве исходных для разработанных расчетных моделей; определение различных виброакустических характеристик существующих станций метрополитена, например, таких как общее звукопоглощение, резонансные частоты конструкций, коэффициенты затухания; проверка адекватности разработанных расчетных моделей задачам прогнозирования уровней вибрации на станциях метрополитена различной конструкции; проверка адекватности разработанных расчетных моделей задачам прогнозирования передачи вибрации на поверхность грунта.
Измерения уровней виброускорения проводились в следующих условиях: на въезде на станцию "Пражская"; на въезде на станцию "Бибирево"; Измерения виброускорений на платформе станции "Бибирево" проводилось одновременно с измерениями уровней шума.
Результаты представлены на рисунках 2.15 - 2.16 (приведены значения уровней вертикальной и горизонтальной составляющих виброускорения в октавных полосах частот). Точка измерения располагалась на лотковой части обделки.
1. Для проверки развиваемых теоретических концепций проведен ряд измерений уровней колебаний обделок перегонных тоннелей, а также несущих оснований на въездах станций.
2. Найдены типичные спектрограммы составляющих виброускорения на стенке тоннеля и у лотка на въездах на станции. Данные представлены в третьоктавных полосах и в полосах с разрешением по частоте, равным 1/21 октавы.
3. Характерным для всех представленных спектров является наличие максимума в диапазоне частот 40 - 50 Гц (для тоннелей).
4. Полученные данные были использованы при определении исходных уровней виброускорения в расчетных моделях для различных типов обделки тоннелей при различных типах грунта.
5. Анализ результатов, представленных на рисунках 2.13 - 2.14 показывает, что традиционный подход к моделированию (без учета всех типов волн, складывающих вибрационное поле в окрестности трасс метрополитена) дает существенно заниженные результаты для уровней вибрации, что может приводить к неадекватным конструктивным решениям при проектировании новых линий метрополитена и следовательно, к значительным материальным и финансовым потерям. Учет волны Релея позволяет значительно лучше прогнозировать уровни вибрации в зоне, прилегающей к линиям метрополитена.
Моделирование распространения упругой волны в грунте
На частотах от 10 до 60 Гц при кх =0.1 превалирует первая акустическая мода (превышение на 2 - 7 дБ по сравнению с остальными модами), на частоте около 110 Гц превышение первой моды составляет 20 дБ, на частотах 2 Гц и на частотах от 100 до ПО Гц преобладают моды 0 и 2 . Увеличивается также вклад моды 2 на самых малых расстояниях от оболочки (рис. 3.7). При кх = 1 возбуждаются, главным образом, моды 0 и 2, исключение составляют частоты 60 и 140 Гц, где преобладает мода 1, на малых частотах (меньше 50 Гц) и на частотах больше 150 Гц вклад всех трех мод примерно одинаков. Зависимости ,( ),(/ = 1,2) при двух значениях частот (31.5 и 63 Гц) представлены на рис. 3.6 и 3.7 (г =10 м). Зависимости имеют по три минимума и три максимума (корни алгебраического уравнения третьей степени относительно кх при фиксированном значении управляющего параметра со). Один из максимумов не выражен на рис. 3.7. Это объясняется тем, что точный резонанс в системе невозможен вследствие излучения и наличия мнимостей в матрице системы (3.10). При кх 0.2 имеем преобладание первой моды на частотах 31.5 Гц и 63 Гц. На интервале 0.5 кх 1 главной является первая мода.
Зависимости L((r),(/ = 1,2) , г - расстояние от оси оболочки, приведены на рис. 3.7 для частоты 31.5 Гц и .=0.1. Видно, что относительный вклад различных мод не зависит от расстояния г при больших г ситуация изменяется на малых расстояниях, это объясняется тем, что функции Ганкеля разного порядка имеют различную скорость роста при г — 0 (см. (3.11)). На малых расстояниях повышается роль моды 2 и понижается роль моды 0.
Анализ системы (3.10) показывает, что структура акустического поля в фиксированной точке пространства, возбуждаемого внешней сосредоточенной силой на внутренней стороне обделки, сильно зависит от выбора определяющих параметров и прежде всего от значения частоты / и продольного волнового числа кх. При значениях кх ЪЛ и/ 50 главной является первая мода колебаний, так уже на частоте 63 Гц необходим учет второй моды. При значениях кх больше 0.5 преобладающими модами являются моды с номерами 0 и 2 и на некоторых частотах необходим также учет первой моды. Зависимость структуры поля от расстояния проявляется лишь на расстояниях /% на которых справедливо неравенство
Значения продольного волнового числа, превышающие 0.5, приводят к тому, что в практически важных частотных диапазонах и при реалистичных значениях скорости звука в грунте акустическое поле выражается через модифицированные функции Ганкеля, экспоненциально спадающие с расстоянием, что приводит к очень низким величинам колебаний в звуковой волне для всех номеров мод. Поэтому практический интерес представляет диапазон кх 0.5.
В статье [26] рассматривалось распространение только продольных волн в среде (случай грунта с малой сдвиговой упругостью). Результаты проведенного анализа можно перенести на случай твердой среды, если учесть, что по порядку величины отношение поперечной к продольной составляющей в суммарном поле равно отношению ct/c, где с - скорость продольных волн, а с/ - скорость поперечных волн в среде. Условие ct/c«\ достаточно хорошо выполняется для большинства грунтов тогда как для жидкости с,/с=0. Для случая С,/СФО В статье осуществлен учет сдвиговой упругости при вычислении реакции со стороны внешней среды на обделку. Условие с, 1с«\ наряду с последним обстоятельством является достаточным условием для переноса результатов расчета на случай обделки в реальном грунте.
Здесь не учитываются поверхностные волны Рэлея, так как считается, что внешняя среда безгранична.
На первый взгляд может показаться странным, что при некоторых значениях определяющих параметров главный вклад вносит мода с номером 2. Это является результатом, во-первых того, что не учитывается затухание (высокие моды затухают сильнее) и, во-вторых выбором внешней силы в виде 5-функции (это приводит к равномерному азимутальному спектру колебаний обделки). Выбор внешней силы в виде функции с конечным носителем приводит к довольно быстрому спаданию амплитуд с ростом номера моды. Таким образом, при решении прикладных задач необходим более тонкий учет распределения давления на внутренней стороне обделки.
Подобный учет производится одним из следующих способов. Во-первых, произвольное динамическое давление на внутренней поверхности обделки р( р) можно разложить в ряд Фурье [64]. Найденные по стандартной методике коэффициенты разложения надо подставить в (3.10) и решить полученную систему.
Второй способ учета произвольного распределения давления на внутренней стороне обделки состоит в использовании функции Грина задачи. Последняя находится, если (3.6) переписать в виде p0 = d((p-\\f)exp(ikxx-i(ot), тогда, если решение (3.4.) с заданным таким образом давлением р0,записать в виде Р Pi{ ?,4i)exp(ikxx-i(ut), решение (3.4) для произвольного распределения р0( р) записывается в виде интеграла Таким образом, результаты, полученные в данном параграфе, можно обобщить на случай произвольного распределения динамического давления по внутреннему периметру обделки.
Пусть колебания обделки возбуждают чисто продольную упругую волну в грунте. Если принять модель грунта в виде твердого тела, то при отражении от границ (свободной поверхности в данном случае) происходит частичная трансформация исходной волны в поперечную и поверхностную волну Рэлея [43]. Если задаются модуль Юнга и коэффициент Пуассона для грунта, то скорости распространения продольных и поперечных волн равны соответственно [15]
Процедура интегрирования в пределах октавной полосы
Строительные конструкции рассчитываются на нагрузки и воздействия в соответствии с действующими нормативными документами, как находящиеся и работающие в контакте с окружающим грунтом.
Типы конструкций назначаются с учетом гидрогеологических и инженерно-геологических условий строительства, принятых способов строительства, глубины заложения и климатических условий района строительства. Конструкции сооружений приняты с учетом широкого применения строительных конструкций и изделий, выпускаемых промышленностью, с использованием разработанных ранее типовых, повторно применяемых и индивидуальных проектов.
Конструкции сооружений закрытого способа работ приняты, в основном, сборными из железобетонных блоков и чугунных тюбингов. Монолитный бетон и железобетон применяются в ограниченных объемах, главным образом, в лотковых частях конструкций, в сопряжениях тоннелей, на участках переменного сечения и в сооружениях с большим количеством технологических проемов.
Конструкции сооружений открытого способа работ приняты из сборного железобетона, а их гидроизоляция - оклеечной, из двух слоев гидростеклоизола с защитным армированным слоем цементно-песчанного раствора.
Внутренние конструкции станций (платформа, тоннель, и платформенные стены) предусматриваются из сборного, а на отдельных ограниченных участках - из монолитного железобетона. Длина станционных платформ определена с учетом размещения десятивагонных составов (с допуском на точность остановки поезда), сходных устройств, обзорных зеркал, проходов к торцевым выходам с платформы, а также площадок для размещения уборочных механизмов.
В методике учитываются типовые железобетонные конструкции заводского изготовления из тяжелого бетона классов по прочности ВЗО и В25, внутренние конструкции - В25 и В15 . Монолитные конструкции обыкновенно выполняются из тяжелых бетонов классов по прочности В15 - В25. Для армирования сборных и монолитных конструкций применяется сталь класса АШ; All; AI. Строительные конструкции рассчитаны по предельным состояниям на действие постоянных и временных нагрузок, а также нагрузок, предусмотренных СНиП II-11-77.
Рассматриваемые конструкции станций, тупиков, СТП, камер съездов приводятся в приложении 4. В связи со значительной боковой нагрузкой иногда предусматривается применение "стены в грунте", учитываемой в совместной работе со сборно-монолитными железобетонными стеновыми элементами. Для предстанционных сооружений принята аналогичная станции совместная схема работы конструкций и ограждающих стен в грунте.
В конструкциях верхнего строения главных путей предусмотрены рельсы типа Р65, промежуточные скрепления раздельного типа, деревянные шпалы и путевой бетонный слой. На путях со смотровыми каналами применяются рельсы типа Р50, промежуточные скрепления нераздельного типа, деревянные шпалы-коротыши и путевой бетонный слой. Рельсы главных путей свариваются электроконтактным способом в петли длиной до 300 м. Изолирующие стыки приняты клееболтового типа. Контактный рельс закрывается защитным коробом из стеклопластика.
Для расчета уровня вибрации на протяженных элементах конструкции подземных объектов метрополитена в качестве первого приближения можно использовать модель, приведенную на рис. 4.1. Реальная конструкция заменяется конструкцией, состоящей из набора упругих плоских плит с заданными связями между ними. Оценки показывают, что для приведенных типов конструкций в средней части сечения станции (ряды колонн заменяются эквивалентными по упругим свойствам стенами, рис. 4.1) и ее боковых стенок можно пренебречь вертикальным перемещением концов плит. Таким образом, условия на концах запишутся в виде (при х=0 и x=L):
Здесь 7]s\\y - коэффициент потерь на концах и коэффициент податливости сочленений, часто второе условие в (4.1) можно заменить на более простое условие жесткой заделки = 0, т. е. положить TJS = у = 0. Будем также считать, что все стены опираются на упругий грунт (с потерями) с известными свойствами. Запишем уравнения колебаний основания АВ или DC, вызванных воздействием на него движущегося поезда в виде [43]: 52) В правой части f0 = (F/h)S \єхр(ікуу - і t) - вынуждающее воздействие на \ L J плиту и fj = (A. + 2p)ikzC, - реакция со стороны внешней среды. Здесь X и ц. - первый и второй коэффициенты Ламе, кг - волновое число, уходящей в окружающую среду волны, р - масса бетона на единицу площади, включая путевой бетон, А -оператор Лапласа, h - толщина плиты. В выражении для /0 имеем: F - давление, L=/18, со- циклическая частота, к - продольное волновое число.
