Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Задачи типа копти для гиперболического уравнения эйлера-пуассона-дарбу 37
1.1 Задачи типа Коши для гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с одной сингулярной линией
1.2 Задачи типа коши для гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с двумя сингулярными линиями 53
1.3 Интегральные представления и формулы обращения для гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с двумя сингулярными линиями в случаях
1.3.1 Постановка граничных задач 71
1.3.2 Формулы обращения в других случаях 75
ГЛАВА 2. Гралчные задачи для уравнении вбісших порядков с одной сингулярной линией 82
2.1 Модельное гиперболическое уравнение четвёртого порядка с одной сингулярной линией 82
2.2 Модельное гиперболическое уравнение - го порядка с одной сингулярной линией 89
2.3 Граничные задачи типа Коши-Рикье для уравнений
ГЛАВА 3. Задача типа коши с вбісшими производными для гиперболического уравнения эйлера-пуассона-дарбу с одной сингулярной линией
3.1 Случай, когда корни характеристического уравнения вещественные и разные
3.2 Случай, когда корни характеристического уравнения чисто мнимые .
3.3 Случай, когда корни характеристического уравнения комплексные и разные
ГЛАВА 4. Задача типа коши с высшими производными для гиперболического уравнения эйлера-пуассона-дарбу с двумя сингулярными линиями
4.1 Случай, когда корни характеристического уравнения вещественные и разные .
4.2 Случай, когда корни характеристического уравнения чисто мнимые .
4.3 Случай, когда корни характеристического уравнения 133
комплексные и разные .
Список литературы
- Задачи типа коши для гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с двумя сингулярными линиями
- Модельное гиперболическое уравнение - го порядка с одной сингулярной линией
- Случай, когда корни характеристического уравнения чисто мнимые
- Случай, когда корни характеристического уравнения чисто мнимые
Задачи типа коши для гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с двумя сингулярными линиями
Вторая глава посвящена выяснению постановки корректных краевых задач типа Рикье и Коши с дифференциальным оператором . В области рассмотрим гиперболическое уравнение четвртого порядка вида: ( ) ( ) где ju = constant. Параграф 2.1 посвящен исследованию задач типа Кощи для гиперболического уравнения четвёртого порядка (10) в области . Через ( ) обозначим класс функций, имеющих впроизводные четвёртого порядка, причём ( ) { ) и { ) Задача N10. Требуется найти решение уравнения (10) из класса ( ) ПРИ по граничным условиям: ( ) ( ) ( ( )) ( ) где {), ( )_ заданные функции точек {у ) Задача N11 . Требуется найти решение уравнения (10) из класса ( ), ПРИ по граничным условиям: ( ) ( ) ( ) ( ) где -— {x) ( ) В дальнейшем через ( ) обозначим класс функций ( ) п\) , для которого { ) 00, Задача Nn. Требуется найти решение уравнения (10) из класса ( ) , по граничным условиям 00, ( ) (( ) ) где -—00, 00 - заданные функции точек вещественной оси Теорема 2.1. Пусть в задаче Ыю функции ( ) и ( )для всех имеют непрерывные производные четвёртого порядка. Тогда задача NJO имеет единственное решение, которое даётся формулой:
Теорема 2.2. Пусть в условиях задачи {x) ( ) задача имеет единственное решение, которое дается формулой: Тогда ( ) ХФ) ( Р), гдеИр{) у ( ) ?оо Г а значения функций ( ) и ( ) определяются из равенств ]], ( ) [0 )00 ( ) ( )] } где lf] \( ) ( ) Теорема 2.3. Пусть в условиях задачи ( ) ( ) . Тогда задача имеет единственное решение, которое выражается формулой {х) О) ( ) где функции ( ) и ( ) определяются из формул: Го ( ) — ;i( ) {00 /1( ) (АОО з/цС) ]!, [ [/IICWHWI У ( ) ( ) ( ) (0 ( )( )о ) В параграфе 2.2 исследуются модельное гиперболическое уравнение порядка с одной сингулярной линией вида:
В дальнейшим через ( )обозначим класс функций ( производные - го порядка в , причм (11) ) имеющих { ( ) ) Задача N13. Требуется найти решение уравнения (11) из класса ( ), по граничным условиям ( ) при {x ) ( ) {{ ) {x) ( ) где ( ) {x) ( )- заданные функции точек {у ). Задача N14 . Требуется найти решение уравнения (11) из класса ), при ( ), по граничным условиям: ( ) ( ) {{y) ( ) где -— 00, 00 ( )- заданные функции точек . Основным результатом этого параграфа являются следующее утверждение: Теорема 2.4. Пусть в задаче N13 заданные функции {x) ( ) ( ) имеют непрерывные производные 2m-го порядка для всех . Тогда задача имеет единственное решение, которое выражается формулой: {х) Fm( ) fF OO Fm( )] [ ( ) F2( )], где Fk( ) [ ( ). Теорема 2.5. Пусть в задаче N14 заданные функции ( ) имеют непрерывные производные 2m-го порядка. Тогда задача N14 имеет единственное решение, которое выражается формулой {х) Yi) где функции Дх) определяются из формулы ( ) iV (yg( ) где - известные постоянные, g00 определяется формулой: g0o (W ( ) Параграф 2.3 посвящн исследованию задач типа Коши-Рикье для уравнений высших порядков с оператором Э.П.Д. . Через ( ) обозначим класс функций ( ) ( ) для которых (J)) ( ) Задача N15. Требуется найти решение дифференциального уравнения (11) из класса ( ), при ( ), по граничным условиям: ( ) ( ) . ( ) ( )J ((j) ( )(p( )) ( ) где ( ) заданные непрерывные функции точек Задача N16. Требуется найти решение дифференциального уравнения (11) из класса ( ), при ( ), по граничным условиям: ( ) ( )((O) ( ) . ( )) ( )(( )) ( ) ( ) , . / , где ( ) заданные постоянные. заданные непрерывные функции точек
Пусть в задаче N15 функции ( ) удовлетворяют условию ( ) ( )( ) и являются чтными по . Тогда однородная задача N15 имеет два линейно-независимых решения, а неоднородная задача всегда разрешим, его общее решение содержит две произвольные постоянные и датся формулой:
Пусть в условиях задачи N16 ( ) т\) ( ). Тогда задача N16 имеет единственное решение, которое выражается формулой: f fOOl ( І){ [(0]I Третья глава посвящена исследованию задач типа Коши с дифференциальным оператором -— для уравнения (1). В зависимости от корней соответствующего характеристического уравнения получены утверждения, в случаях, когда корни уравнения являются вещественными и разными, чисто мнимыми и комплексно-сопряжнными. Задача N17. Требуется найти решение уравнения (1) из класса {Е) по граничному условию: [ф) ] РУ] [ф) ] ] ( ) ( ) где -— ( )-заданные постоянные, ( )- заданная функция. Теорема 3.1. Пусть в уравнении (\) \х) {х) ( ) ( ) (12) коэффициенты ( ) такие, что корни характеристического уравнения п-) (13) - вещественные и различные, функция ( ) Sn ( ). Тогда задача всегда разрешима, общее решение содержит произвольных постоянных и выражается формулой: Х )
Теорема 3.2: Пусть в уравнении (12) коэффициенты такие, что корни характеристического уравнения (13) -мнимые, ( ) функция ( ) ( ) Тогда задача всегда разрешима, е общее решение содержит произвольных постоянных и выражается формулой:
Модельное гиперболическое уравнение - го порядка с одной сингулярной линией
Через обозначим прямоугольник }, {у }, {х {( ) }, В области рассмотрим гиперболическое уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу с двумя сингулярными линиями вида: О) ( ) где Как известно из [8], [42]-[46] решение уравнения (1.2.1) из класса ( ) при и из класса ( ) при - - выражается формулой: ( ) K) ( ) [( )] ( О ( ( )] )] О) ( ) где РО - произвольная функция одной переменной [х( ) ( )]. Проблеме исследования уравнения (1.2.1), и связанных с ним граничных задач, посвящено большое количество работ [14], [41]. В дальнейшем через - обозначим область ( ) +, а через и вещественную и мнимую ось +, +, . Уравнение (1.2.1) рассмотрим в области . Непосредственной проверкой можно убедиться, что интегральное уравнение (1.2.2) остатся в силе и в области . При этом ( ) - произвольная функция переменного , так, что интеграл в правой части (1.2.2) сходится.
В данном параграфе исследуется следующая задача типа Коши: Задача N3. Требуется найти решение уравнения (1.2.1) из класса ( ) при из класса ( ) при , по граничным условиям: заданная постоянная. Решение задачи N3. Используя интегральное представление (1.2.2) и условие (1.2.3), после некоторых преобразований получим заданная функция точек (1.2.3) } ( 0] )-сводится ( ) ( ) ( ), ( Таким образом, решение задачи интегрального уравнения вида ( ) ( ( )] ) ( ) ( ) ( ) к решению одномерного ( ) Способы нахождения решения подобных интегральных уравнений хорошо разработаны в [4] - [9]. 1.2.1. Случай Используя методику, разработанную в [18], обращаем интегральное уравнение (1.2.4) при , после совершая замену ( ) , приходим к решению интегрального уравнения ЛУУ
Разбивая отрезок интегрирования [-у, у] на два отрезка [0,у] и [-у,0], далее во втором интеграле, совершая замену , приходим к равенству: о ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) где ( ) ( ) Полученное уравнение является уравнением типа Абеля, решение которого, согласно [18], выражается формулой
Так как в интегральном представлении (1.2.2) функция ( ) является чтной функцией, поэтому из условия ( ) ( ) вытекает, что . Далее, используя второе условие из (1.2.3), получим . Таким образом, неизвестная функция ( ) находится по формуле: ( )- ( ) ( ) ( ) где 0) J? ( ) ( ) ( ) Легко можно видеть, что функция ( ) обладает свойством ( ) ( ). Принимая во внимание данное свойство, и условие ( ) ( ), легко можно видеть, что ( ) будет чтной функцией. Подставляя найденное значение ( ) в формулу (1.2.2), находим решение поставленной задачи при . Для изучения свойств полученного решения, в формуле (1.2.8) совершая замену , представим его в виде: ( ) ( ) ( ) где ( ) ( ) Отсюда вытекает, что ( ) Итак, доказана Теорема 1.5. Пусть в уравнении (1.2.1) и в условиях задачи ( ) чтная функция и ( ) ( ) . Тогда задача имеет единственное решение, которое выражается формулой: ( ) ( ) ( ) [ф ( )]( ) 0Г ( 0( ( )] 0] g[x( ) где g( ) ( ) 1.2.2. Случай В случае уравнение (1.2.4) примет вид: [T( )] )] ( ) ( O( ) Вводя замену переменной интегрального уравнения ( ) приходим к решению следующего о ) 0) ( )G ( ) ( ) где ( ) ( ) ( ) ( ) \у\ ( ) ( ) Дифференцируя выражение (1.2.9) ( ) раз и каждый раз разделив на у приходим к решению интегрального уравнения с ) ( ) о )0 )( ) ( ) ) где -— Дифференцируя выражение (1.2.10) ещ раз, и обе стороны полученного равенства разделив на ( ) находим решение уравнения (1.2.9) в данном случае в виде: ( ) о ) )0 )г[ф) ( )1 Далее, вместо функции ( ) подставляя е значение, получим ( ) ( ) ( ) [( ) , ( )] ( ) ( ) Так как в левой части (1.2.11) функция ( ) является чтной функцией, поэтому из данного равенства следует, что ( ) также должна быть чтной функцией. Как и раньше предположим, что функция ( ) обладает свойством ( ) ( ). Тогда из (1.2.11) находим ( ) ( ) ( ) {( ) , ( )} ( ) Используя условие чтности, проинтегрируем полученное равенство, и для функции ( ) будем иметь: ( ) ( ) ( ) ( ) , ( )- ( ) ( ) Из формулы (1.2.12) следует, что если ( ) чтная функция, тогда ( ) тоже будет чтной функцией. Легко можно видеть, что если ( ) ( )( ) тогда под интегральное выражение в правой части формулы (1.2.12) будет непрерывной функцией. Таким образом, доказана Теорема 1.6. Пусть в уравнении (1.2.1) - целое положительное и в задаче ( ) ( )( ) и является чтной функцией. Тогда задача имеет единственное решение, которое выражается формулой (1.2.2), где ( ) определятся формулой (1.2.12). 1.2.3. Случай Повторяя схему нахождения решений пункта 1.2.2, находим решение уравнения (1.2.4) в виде ( ) ( ) ( ) 0( ) , - ( )1 ( ) Как и в пункте 1.2.2 для того, чтобы в (1.2.13) правая часть была чтной функцией необходимо, чтобы ( ) была чтной функцией. Тогда решение задачи сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения вида ( ) ( ) ( ) {( )[ ( ) j Отсюда с учтом чтности функции ( ) находим: ( ) ( ) ( ) г . ( )[\\ g( )] ( ) Непосредственной проверкой, легко можно видеть, что если g ( ) ( ), тогда в (1.2.14) подынтегральная функция будет непрерывной функцией. Подставляя значение ( ) в интегральное представление (1.2.2), получим решение задачи в данном случае. Теорема 1.7. Пусть в уравнении (1.2.1) - целое положительное и в условиях задачи ( ) ( ), и чтная функция. Тогда задача имеет единственное решение, которое датся формулой (1.2.2), где ( ) определяется по формуле (1.2.14).
Случай, когда корни характеристического уравнения чисто мнимые
В области рассмотрим уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу с одной сингулярной линией вида (1.1.1). В дальнейшем будем пользоваться утверждением [8], [10], [12]: любое решение уравнения (1.1.1) из класса ( ) при и из класса ( ) при представимо в виде (1.1.2). Заметим, что если произвольная функция ( ) дифференцируема конечное число раз по переменной , тогда как следует из интегрального представления (1.1.2), решение дифференциального уравнения (1.1.1) также будет дифференцируемо конечное число раз.
Проблеме исследования граничных задач для уравнения (1.1.1) посвящены работы [1-4], [8-12]. Проблеме исследования граничных задач с высшими производными для эллиптических уравнений посвящена монография академика И.Н. Векуа [3]. Целью настоящей работы является выяснение постановки краевых задач с высшими производными и их исследование для уравнения (1.1.1). В дальнейшем через обозначим полуплоскость ( ) +, через обозначим + Интегральное представление (1.1.2) остается в силе и в области Задача N17. Требуется найти решение уравнения (1.1.1) из класса ( ), по граничному условию [( ) ] 0( ) 1 0( ) 1 [ ] ( ) ( ) ( ) где ( ) - заданные постоянные, ( ) - заданная функция. В дальнейшем будем пользоваться следующими свойствами интегрального оператора ( ) 101 (ф) ) ( ( ) i{f) ( ) ( )( ) 0 )0 ( ( ) ) )0 )Q ) ( ) (ф) ) )0 ( )( ) ) ( ) если ( ) ( ). Используя интегральное представление (1.1.2), его свойства (3.2) и граничное условие (3.1) для определения неизвестной функции ( ) получим обыкновенное дифференциальное уравнение ( )- го порядка: ( )( ) ( )( ) )0 ) ( ) О )0 ) ( ) O )0 ( оо ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Умножая обе стороны равенства (3.3) на ( )( ) ( ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ), получим ) ( )( ) Введм следующее обозначение: ( ) ( )0 ) О ) ( ) О )0 ) О ) ( ) ) O)0 ) ( ) Тогда решение задачи сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения -го порядка специального вида, с постоянными коэффициентами: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) (3.4) 102
Сначала находим решение дифференциального уравнения (3.4). Как следует из теории обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, прежде находим общее решение однородного уравнения: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) (3.5) Решение уравнения (3.5) будем искать в виде ( ) . (3.6) Отсюда, вычисляя все производные и подставляя их в уравнение (3.5) для нахождения , получим алгебраическое уравнение вида ( ) (3.7) т.е. алгебраическое уравнение порядка с чтными степенями. 3.1 СЛУЧАЙ, КОГДА КОРНИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ И РАЗНЫЕ Пусть корни уравнения (3.7) являются вещественными и разными. Тогда общее решение однородного уравнения, согласно общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений [13], выражается формулой ( ) ( ) где произвольные постоянные. Решение неоднородного уравнения (3.4), используя метод вариации произвольных постоянных, будем искать в виде: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) где ( ) ( ) ( ) - новые неизвестные функции. Используя обычную схему для определения неизвестных функций ( )( ) получим линейную алгебраическую систему уравнений: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 103 Для нахождения решения системы (3.1.3), вычислим е определитель: ( ) Х где Теперь вычислим значения ( ) ( ) ( ) Для ( ) имеем: ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) Х Щх Ч) ЧМ где 104 Для известных значений равенства и значение функции ( ) определяетсяиз ( ) ( ) ( ) Аналогичным образом, имеем: ( ) ( ) ( ) X ( ) где \ ( ) ( ) у ( ) ( ) и т.д., ( ) ( ) X ( ) ( ) где Отсюда функции ( )( ( ) ( ) Подставляя значения ( )( задачи в этом случае: ) находятся из следующих равенств: ( ) ( ) ) в равенство (3.1.2), находим решение ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) где ( ) произвольные постоянные. Подставляя в равенство (3.1.4) вместо функции ( ) е значение, получим 106 ( ) О ) ( ) - x {) Продолжим значение функции ( ) для полагая ( ) ( ), когда и ( ) когда . Итак, доказано утверждение: Теорема 3.1. Пусть в уравнении (3.4) коэффициенты ( ) такие, что корни характеристического уравнения (3.7) - вещественные и разные, функция ( ) ( ). Тогда задача всегда разрешима, е общее решение содержит произвольных постоянных и выражается формулой: г [х( )]1 ( ) Л ± / \ \( ) ( ) І [( )]i 4 У( ) т f [Х ( \ Ч 1Ш) [( (ff) [ О]1 ( ))]
Пусть в уравнении (3.4) постоянные ( ) такие, что корни характеристического уравнения (3.7) мнимые, то есть ( ). Тогда общее решение однородного уравнения (3.5) выражается формулой: ( ) Согласно методу вариации произвольных постоянных общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде: ( ) ( ) ( ) ( ) (3.2.1) где ( )( ) произвольные неизвестные функции
Случай, когда корни характеристического уравнения чисто мнимые
Пусть уравнение (4.8) имеет комплексных и разных корней, которые соответственно обозначим через ( ) . Тогда, согласно общей теории дифференциальных уравнений [13], общее решение однородного уравнения (4.7) выражается формулой ( ) (4.3.1) Так как требуется нахождение чтного решения обыкновенного дифференциального уравнения (4.7), то для удовлетворения условия чтности функции ip) необходимо соответствующие постоянные подчинить определенным условиям. Например, когда и соответствующие постоянные связаны между собой в виде: (4.3.2) ) решение вида (4.3.1) можно представить в виде: {х) или {х) где ( ) произвольные постоянные.
Следовательно, если соответствующие постоянные связаны между собой в виде (4.3.2), решение вида (4.3.3) будет чтным.
Решение неоднородного уравнения (4.4), используя метод вариации произвольных постоянных, будем искать в виде: {х) {) {) {x) ( ) {x) ( ) (4.3.4) 133 где ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - новые неизвестные функции, далее для определения неизвестных функций ( ) ( )( ) получим линейную алгебраическую систему уравнений вида:
Используя полученные значения ( ) и ( ) , вычислим значение ( ) , из равенства: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E ( ) ( ) где 135 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) и.т.д., ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) где ( ) ( )( ) Соответственно функции ( ) ( )( ( )( ) ) определяются из следующих равенств: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Подставляя полученные значения ( ) ( ) ( находим решение задачи : ) в решение (4.3.4), ( ) [ ] 136 ( )П ix) \) ( ) (О ( ) ix) ) ( ) ( ( ) Искомая функция, в силу свойства интегрального оператора , является чтной функцией, это справедливо, в случае, когда произвольные постоянные и корни характеристического уравнения связаны между собой при помощи равенств (4.3.2). Для проверки выполнения данного условия решение (4.3.5) представим в виде: ( ) Y\
Очевидно, что решение будет чтным, если выполняются условие ( ) ( ), (4.3.2) и следующие условия разрешимости:
Следовательно, доказано утверждение: Теорема 4.3. Пусть в уравнении (4.7) коэффициенты ( )такие, что корни характеристического уравнения (4.8) комплексные и разные () , ( ) причм корни между собой связаны равенствами ( ) Также функция ( ) ( ) чтная, постоянные в (4.1.2) связаны между собой равенствам и ( ) Тогда задача всегда разрешима, е общее решение содержит произвольных постоянных, которое выражается формулой (1.2.2), где ( ) определяется из формулы (4.3.7). Замечание (4.4.1): Задачу вида задачи N18 также можно исследовать, в случае когда в условии (4.2) вместо дифференциального оператора -— задатся дифференциальный оператор -— при . Замечание (4.4.2): Также ставятся и исследуются задачи типа N18 с дифференциальными операторами , на и соответственно.