Задачи с начальными условиями для дифференциально-разностных уравнений с опережением Акбари Фаллахи Арезу

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Задача с начальными условиями для дифференциально-разностного уравнения (дру) первого порядка .

1.1. Дифференциально-разностное уравнение с опережением и запаздыванием. 27

1.2. Дифференциально-разностное уравнение с опережением без запаздывания. 38

1.3 Предельный переход при стремлении к нулю отклонений аргумента . 44

Глава 2. Задача с начальными условиями для дифференциально-разностного уравнения (дру) второго порядка .

2.1. Дифференциально-разностное уравнение с опережением и запаздыванием. 51

2.2. Предельный переход при стремлении к нулю величин отклонения аргумента . 69

2.3. Дифференциально-разностного уравнения без запаздывания 74

Глава 3. Гиперболические дифференциально-разностные уравнения с отклонением временного аргумента .

3.1. Постановка задачи с начальными условиями в пространстве Соболева с экспоненциальным весом. 93

3.2. Достаточные условия корректной разрешимости. 105

3.3. Необходимые условия корректной разрешимости 112

3.4. Предельный переход при стремлении к нулю величин отклонения аргумента. 117

Заключение.

4.1. Заключение 122

Литература

• Дифференциально-разностное уравнение с опережением без запаздывания.
• Предельный переход при стремлении к нулю отклонений аргумента
• Предельный переход при стремлении к нулю величин отклонения аргумента
• Необходимые условия корректной разрешимости

Введение к работе

Актуальность темы исследования.

Дифференциально-разностные и функционально-дифференциальные уравнения возникают в ряде задач математической физики и в задачах теории управления [¹, ², ³]. Весьма актуальным является вопрос о выборе функционального пространства для решения и вопрос о выборе совокупности условий на поведение решения на границе области определения, при которых решение ДРУ существует, единственно и непрерывно зависит от параметров задачи и параметров начально-краевых условий [⁴ ,⁵].

В первых систематических исследованиях линейных ДРУ с отклонящимся аргументом была предложена классификация ДРУ на заваздывающие, нейтральные и опре-жающие. Важным вопросом, затрагиваемым в работах [⁶,⁷, ⁸,⁹], является изучение зависимости условий, накладываемых на искомую функцию, удовлетворяющую ДРУ, и позволяющих выделить среди таких функций единственную, от типа ДРУ и параметров задачи. Задачей с начальными условиями для ДРУ на полуоси называется задача определения такой функции на промежутке, содержащем рассматриваемую полуось, которая удовлетворяет ДРУ почти всюду на рассматриваемой полуоси и, помимо того, удовлетворяет некоторым дополнительным условиям – таким, как:

1. функция (и, быть может, некоторые ее производные) имеет заданное предельное значение в конечной граничной точке полуоси,

2. функция принимает заданные значения на промежутке, содержащем конечную граничную точку полуоси и зависящем от параметров отклонения аргументов,

3. асимптотическое поведение функции при приближении к бесконечности по полуоси имеет ограничение на рост типа принадлежности весовому пространству Соболева с экспоненциальным весом.

Эти условия, накладываемые на поведение неизвестной функции в окрестности конечной граничной точки полуоси, будем называть начальными. Условием на решение ДРУ, затрагивающим его поведение на правой границе полупрямой, состоит в принадлежности решения весовому пространству Соболева с экспоненциальным весом [¹⁰,¹¹]. В зависимости от типа рассматриваемого ДРУ начальные условия для искомой функ-¹А.Д. Мышкис, Л.Э. Эльсгольц. Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. УМН. 1967. Т. 22. № 2(134). С. 21–57

²Wheeler J.A., Feynman R.P. Classical electrodynamics in terms of direct interparticle action. Rev. Mod. Phys. 1949. V. 21. № 3. P. 425-433.

³Г.А. Каменский, А.Л. Субачевский. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. М.: Изд. МАИ. 1992.

⁴В.В. Власов, К.И. Шматов. Корректная разрешимость уравнений гиперболического типа с последействием в гильбертовом пространстов.труды математического института им. В.А.Стеклова, 2003. т.243, с. 127-137.

⁵Г.А. Каменский, А.Л. Субачевский. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. М.: Изд. МАИ. 1992.)

⁶Д.А. Декерт, Д. Дюр, Н. Фона, Уравнения с запаздывающим аргументом типа Уилера–Фейнмана, СМФН, 2013, том 47, 46–59.

⁷Ж.Л. Лионс, Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения: Пер. с фр. М.мир, 1971.

⁸Л. В. Бородулина, Л. Е. Россовский. Разрешимость эллиптических функционально-дифференциальных уравнений со сжатием аргументов в весовых пространствах. Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 26 (2007), 39–57.

⁹Йаакбариех. А, Сакбаев В.Ж. Корректность задачи с начальными условиями для параболических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами временного аргумента. Известия вузов, 2015. № 4, С. 17-25.

¹⁰В.В. Власов, В.Ж. Сакбаев. О корректной разрешимости в шкале пространств Соболева некоторых дифференциально-разностных уравнений. Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 9. С. 1194-1202.

¹¹В.В. Власов, Д.А. Медведев. Функционально-дифференциальные уравнения и связанные с ними вопросы спектральной теории. Современная математика. Фундаментальные направления. 2008. Т. 30,С. 3-173.

ции могут быть выбраны выбраны различными способами [¹², ¹³, ¹⁴] в виде условий 1) или 2).

Поиск условий на рост искомой функции, выделяющие единственое решение среди функций, удовлетворяющих дифференциальному или дифференциально-разностному уравнению, является, начиная с работ А.Н. Тихонова [¹⁵], одной из основных проблем современной теории краевых задач.

Поиск корректной постановки задачи для нелинейного ОДУ с условиями на асимптотику роста решения на границе области определения проведен в работах Л.Д. Куд-рявцева.[¹⁶].

Применительно к линейным ДРУ запаздывающего и нейтрального типов эффективным средством описания таких условий является условие принадлежности решения к весовому пространству Соболева с экспоненциальным весом [¹⁷]. Корректная разрешимость начально-краевых задач для эволюционных уравнений с запаздыванием временного аргумента систематически исследована в работах [¹⁸, ¹⁹, ²⁰].

В работах [²¹,²²] исследованы корректная разрешимость и свойства решений задачи с начальными данными для параболического уравнения с отклоняющимся аргументом нейтрального типа, а в статье [²³] исследованы аналогичные вопросы для гиперболических уравнений с отклоняющимся временным аргументом.

В монографии А.Л. Скубачевского [²⁴] исследовано нарушение гладкости решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений за счет влияния сдвигов пространственного аргумента, выводящих за пределы области или на ее границу (См. также обзор [²⁵]). Подобный эффект нарушения гладкости решенияпараболического дифференциально-разностнаго уравнения исследован в работе [²⁶]. В работе [²⁷] изучаются свойства эллиптических дифференциально-разностных операторов со сдвигами пространственных аргументов в ограниченных областях.

¹²А.М. Зверкин, Г.А. Каменский, С.Б. Норкин, Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. 1962. Т. 17. УМН. № 2. С. 77-164.

¹³Г.А. Каменский, А.Л. Субачевский. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. М.: Изд. МАИ. 1992.

¹⁴Йаакбариех. А, Сакбаев В.Ж. Представление формулами Фейнмана полугрупп, порожденных параболическими дифференциально-разностными операторами.ТРУДЫ МФТИ, 2012. Т. 4, № 4, С. 113-119.

¹⁵A. Tichonoff. Theoremes d’unicite pour l’equation de la chaleur. Мат. Сборник. 1935. Т. 42, № 2. С. 199-216.

¹⁶Л.Д. Кудрявцев. О лагранжевой асимптотике решений неоднородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений Матем. сб., 2006, том 197, № 9, С. 91–102.

¹⁷В.В. Власов, Д.А. Медведев. Функционально-дифференциальные уравнения и связанные с ними вопросы спектральной теории. Современная математика. Фундаментальные направления. 2008. Т. 30,С. 3-173

¹⁸А.Д. Мышкис. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения. Современная математика. Фундаментальные направления. 2003. Т. 4. С. 5-120.

¹⁹А.Л. Скубачевский, Р.В. Шамин. Смешанная задача для параболического дифференциально-разностноо уравнения. Математические заметки. 1999. Т. 66, № 1. С. 145-153.

²⁰В.В. Власов, Д.А. Медведев. Функционально-дифференциальные уравнения и связанные с ними вопросы спектральной теории. Современная математика. Фундаментальные направления. 2008. Т. 30,С. 3-173.

²¹В.В. Власов, В.Ж. Сакбаев. О корректной разрешимости векторных дифференциально-разностных уравнений в пространствах Соболева. Математические заметки. Т. 68, № 6. С. 939-942.

²²В.В. Власов, В.Ж. Сакбаев. О корректной разрешимости в шкале пространств Соболева некоторых дифференциально-разностных уравнений. Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 9. С. 1194-1202.

²³В.В. Власов, К.И. Шматов. Корректная разрешимость уравнений гиперболического типа с последействием в гильбертовом пространстов.труды математического института им. В.А.Стеклова, 2003. т.243, с. 127-137.

²⁴ A.L. Skubachevskii, Elliptic functional differential equations and applications, Birkhauser, 1997.

²⁵Л. Е. Россовский, А. Л. Скубачевский. Разрешимость и регулярность решений некоторых классов эллиптических функционально-дифференциальных уравнений , Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 66 (1999), 114–192

²⁶А. М. Селицкий, А. Л. Скубачевский, Вторая краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения, Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 26, Изд-во Моск. ун-та, М., 2007, 324–347

²⁷Л. В. Бородулина, Л. Е. Россовский. Разрешимость эллиптических функционально-дифференциальных уравнений со сжатием аргументов в весовых пространствах. Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 26 (2007), 39–57

Объект исследования

Диссертационная работа посвящена исследованию задач с начальными условиями для дифференциально-разностных уравнений на полупрямой или на полупространстве для комплекснозначных функций и для векторнозначных функций со значениями в гильбертовом пространстве.

Рассматриваются линейные дифференциально-разностные уравнения на полупрямой для функции одной переменной, связывающие значения ее производной первого (или порядка к) в произвольной точке t полупрямой со значениями искомой функции (или ее млаадших производных) в конечной совокупности точек полупрямой, полученных из точки t с помощью операций сдвига на фиксированную вещественную величину отклонение аргумента.

—u(t) = Au(t) + Du(t — h) + Cu(t + r) = /(), t > 0. (1)

Здесь r,h - положительные числа, и : [— h, +00) —їЕ- искомое отображение полуоси [—h,-\-oo) в некоторое гильбертово пространство Е, f : [0,+оо) —їЕ- заданное отображение, А, В, С - заданные линейные оператоы в пространстве Е (возможно, неограниченные).

В зависимости от знака отклонения аргумента подразделяются, согласно предложенной в работах [²⁸,²⁹] на запаздывания (значения отклонений аргумента отрицательны) и опережения (значения отклонений аргумента положительны).

Соответственно, дифференциально разностные уравнения для функции одной переменной на полуоси подразделяются на ДРУ порядка fc и на уравнения запаздывающего, опережающего и опережающе-запаздывающего типов. ДРУ нейтрального типа называют такие уравнения, которые связывают значения старших производных неизвестной функции в различных точках рассматриваемой полуоси, но такие уравнения в диссертации исследоваться не будут.

Цель диссертационной работы

Ставится задача найти набор условий на отображение и : [—1г,—їЕ), при выполнении которых найдется единственное отображение и : [—1г,—їЕ), удовлетворяющии в определенном смысле ДРУ (1). Следуя подходу работ Власова [³⁰,³¹,³²]в диссертации рассматриваются отображения и из класса Соболева W₂^fc₇([— h, +00), Е) с экспоненциальным весом е⁷* при некотором 7 Є R. Принадлежность отображения к указанному классу Соболева накладывает условия на его гладкость и на его асимптотическое поведение при t —> +00, то есть накладывает условие на бесконечно удаленной границе области определения искомого отображения.

Для ДРУ (1) в правой #-полуокрестности граничной точки —h области определения

A.M. Зверкин, Г.Л. Каменский, СБ. Норкин, Л.Э. Элъсголъц. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. 1962. Т. 17. УМН. № 2ю С. 77-164.

А.Д. Мышкис. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения. Современная математика. Фундаментальные направления. 2003. Т. 4. С. 5-120.

В.В. Власов, Д.А. Медведев. Функционально-дифференциальные уравнения и связанные с ними вопросы спектральной теории. Современная математика. Фундаментальные направления. 2008. Т. 30,С. 3-173.

В.В. Власов, К.И. Шматов. Корректная разрешимость уравнений гиперболического типа с последействием в гильбертовом пространстов.труды математического института им. В.А.Стеклова, 2003. т.243, с. 127-137.

В.В. Власов, В.Ж. Сакбаев. О корректной разрешимости в шкале пространств Соболева некоторых дифференциально-разностных уравнений. Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 9. С. 1194-1202.

искомого отображения при некотором 8 > 0 ставится граничное условие вида

" | [—/г,—h-\-S] т'} V /?

где ip - заданное отображение промежутка [—h,—h-\-8] в пространство Е. Степень разработанности исследования

Ранее в работах [³³,³⁴] рассматривалась постановка задачи (1),(2) при 8 = h+т и было выявлено счетное множество условий согласования для разрешимости такой задачи, а в работах [³⁵, ³⁶] рассматривалась постановка задачи (1),(2) при 8 = h и было определено условие на параметри 7 веса пространства Соболева, при выполнении которого задача (1),(2) является корректной.

Основы теория функционально-дифференциальных уравнений были во многом сформированы в работах [³⁷, ³⁸] в которых была предложена классификация таких уравнений на уравнения запаздывающего, нейтрального и опережающего типов.

Теория функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего и нейтрального типов в дальнейшем получила развитие с привлечением методов спектральной теории оператором и функциональных пространств в работах [³⁹,⁴⁰].

Функционально-дифференциальные уравнения опережающего типа изучены в значительно меньшей мере, чем функционально-дифференциальные уравнения запаздывающего и нейтрального типов [ ⁴¹].

Во многом это связано с некорректностью постановки задачи с начальным условием на промежутке отклонения аргумента в таких уравнениях, требующей от начального условия и правой части уравнения выполнения бесконечного множества условий согласования [⁴²].

Как было показано в работе [⁴³] , для корректности постановки задачи с начальными данными следует задать начальные условия лишь на части промежутка отклонения аргумена - на промежутке запаздывания аргумента (—h,0). Там же получены условия на коэффициенты уравнения (1.1) и параметры весового пространства Соболева, достаточные для корректной разрешимости задачи с начальными условиями в такой модифицированной постановке.

³³А.М. Зверкин, Г.А. Каменский, С.Б. Норкин, Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. 1962. Т. 17. УМН. № 2. С. 77-164.

³⁴Г.А. Каменский, А.Л. Субачевский. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. М.: Изд. МАИ. 1992.

³⁵В.В. Власов, В.Ж. Сакбаев. О корректной разрешимости в шкале пространств Соболева некоторых дифференциально-разностных уравнений. Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 9. С. 1194-1202.

³⁶Йаакбариех. А, Сакбаев В.Ж. Представление формулами Фейнмана полугрупп, порожденных параболическими дифференциально-разностными операторами.ТРУДЫ МФТИ, 2012. Т. 4, № 4, С. 113-119.

³⁷А.М. Зверкин, Г.А. Каменский, С.Б. Норкин, Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. 1962. Т. 17. УМН. № 2ю С. 77-164.

³⁸А.Д. Мышкис, Л.Э. Эльсгольц. Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. УМН. 1967. Т. 22. № 2(134). С. 21–57

³⁹В.В. Власов, Д.А. Медведев. Функционально-дифференциальные уравнения и связанные с ними вопросы спектральной теории. Современная математика. Фундаментальные направления. 2008. Т. 30,С. 3-173.

⁴⁰В.С. Рабинович. О задаче Коши для параболических дифференциально-разностных операторов с переменными коэффициентами. Дифф. ур-я. 1983. Т. 19. № 6. С. 1032–1038.

⁴¹А.Д. Мышкис. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения. Современная математика. Фундаментальные направления. 2003. Т. 4. С. 5-120.

⁴²Г.А. Каменский, А.Л. Субачевский. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. М.: Изд. МАИ. 1992.

⁴³Йаакбариех. А, Сакбаев В.Ж. Корректность задачи с начальными условиями для параболических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами временного аргумента. Известия вузов, 2015. № 4, С. 17-25.

В работе [⁴⁴] было установлено, что ДРУ опережающего типа допускают корректную постановку задачи с началными уловиями. В настоящей диссертационной работе, являющейся продолжением исследований [⁴⁵,⁴⁶] и [⁴⁷], получены достаточные условия корректной разрешимости задачи (1),(2) - указаны условия на весовую функцию шкалы весовых пространств Соболева, при которых задача (1),(2) имеет единственное решение в весовом пространстве, причем норма решения допускает оценку через норму неоднородного слагаемого / уравнения (1) и норму начального условия ip из (2). В работе показано, к каким нарушениям корректности задачи (1),(2) приводит нарушение условия на вес.

В терминах спектра оператора задачи показано, что в случае весовых пространств Соболева со слишком быстро убывающим весом задача (1),(2) имеет в пространстве Соболева более одного решения. Наоборот, если весовая функция убывает слишком медленно, то в соответствующем пространстве Соболева может не найтись решения задачи (1),(2). В этом полученный результат аналогичен результату работы А.Н. Тихонова[⁴⁸], в которой для шкалы функциональных пространств найдена граница корректной разрешимости задачи Коши для уравнения теплопроводности и установлено нарушение единственности решения задачи Коши в более широких пространствах шкалы.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Определить условия на коэффициенты дифференциально-разностного оператора
и функциональное пространство Соболева с экспоненциальным весом, достаточные для
корректной разрешимости задачи с начальными условиями для ДРУ первого и второго
порядков опережающего типа.

2. В терминах корней характеристического многочлена, соответствующего
дифференциально-разностному оператору, определить условия на показатель экспо
ненциального веса пространства Соболева, необходимые для корректной разрешимости
задачи с начальными условиями для ДРУ опережающего типа.

3. Определить зависимость пространства начальных данных задачи с начальными условиями для ДРУ опережающего типа без запаздывания, допускающей корректную разрешимость в пространстве Соболева с экспоненциальным весом, от расположения корней характеристического многочлена.

4. Доказать сходимость решений корректных задач с начальными условиями для ДРУ с переменными отклонениями аргумента на величины h (запаздывание) и г (опережение) к решению задачи Коши для ОДУ при стремлении к нулю параметров отклонения аргумента.

Научная новизна

Все полученные в диссертации результаты являются новыми. Наиболее значимые из них:

1. Получены условия на коэффициенты дифференциально-разностного оператора и

Иаакбариех. Л, Сакбаев В.Ж. Представление формулами Фейнмана полугрупп, порожденных параболическими дифференциально-разностными операторами.ТРУДЫ МФТИ, 2012. Т. 4, № 4, С. 113-119.

В.В. Власов, В.Ж. Сакбаев. О корректной разрешимости в шкале пространств Соболева некоторых дифференциально-разностных уравнений. Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 9. С. 1194-1202.

В.В. Власов, В.Ж. Сакбаев. О разрешимости одного класса функционально-дифференциальных уравнений с опережающим аргументом в гильбертовом пространстве. Некоторые проблемы фундаметнальной и прикладной математики. М.: МФТИ. 1997. С. 72-823.

Иаакбариех. Л, Сакбаев В.Ж. Представление формулами Фейнмана полугрупп, порожденных параболическими дифференциально-разностными операторами.ТРУДЫ МФТИ, 2012. Т. 4, № 4, С. 113-119.

A. Tichonoff. Theoremes d’unicite pour l’equation de la chaleur. Мат. Сборник. 1935. Т. 42, № 2. С. 199-216.

функциональное пространство Соболева с экспоненциальным весом, достаточные для корректной разрешимости задачи с начальными условиями для ДРУ первого и второго порядков опережающего типа относительно числовой или векторной неизвестной функции.

2. Определены условия на показатель экспоненциального веса пространства Соболева, выраженные в терминах корней характеристического многочлена, соответствующего дифференциально-разностному оператору, необходимые для корректной разрешимости задачи с начальными условиями для ДРУ опережающего типа.

3. Для некоторых специальных постановок задачи с начальными условиями для ДРУ второго порядка опережающего типа без запаздывания установлена зависимость размерности пространства начальных данных, при которых задача имеет единственное решение в пространстве Соболева с экспоненциальным весом, от величины коэффициентов при слагаемом с опережающим аргументом.

4. Доказана сходимость решений корректных задач с начальными условиями для
ДРУ с фиксированной начальной функцией и переменными отклонениями аргумента
на величины h (запаздывание) и (опережение) к решению задачи Коши для ОДУ при
стремлении к нулю параметров отклонения аргумента.

Теоретическая и практическая значимость.

Результаты диссертации развивают теорию линейных дифференциально-разностных уравнений и могут быть применены в исследованиях задач оптимального управления.

Методы диссертационного исследования.

В диссертации используются методы теории линейных дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений, методы спектрального анализа линейных операторов, методы теории однопараметрических полугрупп линейных операторов.

На защиту выносятся следующие положения диссертации:

1. Получены условия на коэффициенты дифференциально-разностного оператора и функциональное пространство Соболева с экспоненциальным весом, достаточные для корректной разрешимости задачи с начальными условиями для ДРУ первого и второго порядков опережающего типа относительно числовой или векторной неизвестной функции.

2. Определены условия на показатель экспоненциального веса пространства Соболева, выраженные в терминах корней характеристического многочлена, соответствующего дифференциально-разностному оператору, необходимые для корректной разрешимости задачи с начальными условиями для ДРУ опережающего типа.

3. Для некоторых специальных постановок задачи с начальными условиями для ДРУ второго порядка опережающего типа без запаздывания установлена зависимость размерности пространства начальных данных, при которых задача имеет единственное решение в пространстве Соболева с экспоненциальным весом, от величины коэффициентов при слагаемом с опережающим аргументом.

4. Доказана сходимость решений корректных задач с начальными условиями для
ДРУ с фиксированной начальной функцией и переменными отклонениями аргумента
на величины h (запаздывание) и (опережение) к решению задачи Коши для ОДУ при
стремлении к нулю параметров отклонения аргумента.

–8–

Достоверность.

Полученных результатов обеспечивается строгими математическими доказательствами. Результаты находятся в русле современных исследований, проводимых другими авторами.

Апробация диссертационной работы.

Основные результаты диссертации и отдельные ее части докладывались на научных семинарах:

На семинаре по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством профессора А.Л. Скубачевского, 17 мая 2016 года. И 14 апреля 2017 года (РУДН).

На семинаре по спектральной теории дифференциальных операторов под руководством академика РАН, профессора В. А. Садовничего, 16 ноября 2016 года (МГУ).

На научном семинаре кафедры математического моделирования НИУ "МЭИ"под руководством профессора А.А. Амосова и профессора Ю. А. Дубинского, 7 декабря 2016 года.

На семинаре кафедры математического анализаим. М.В. Ломоносов (МГУ) под руководством профессора Прилепко Алексей Иванович, 23 марта 2017 года.

На семинаре кафедры прикладной математики под руководством профессора Б.Ю. Стренина и доц. А.Ю. Савина, 6 апреля 2017 года (РУДН).

Структура диссертации.

Дифференциально-разностное уравнение с опережением без запаздывания.

В этой главе исследуются, вопросы постановки и корректной разрешимости задачи с начальными условиями для модельного дифференциально-разностного уравнения первого порядка вида Ut(t) = Ju{t) + f(t), t 0, (1.1.1) где - разностный оператор, действующий в линейном пространстве функций и : R — С по следующему правилу Ju{t) = au(t) + bu(t — h) + cu(t + т). (1.1.2) В равенстве (1.1.2) коэффициенты a b c- вещественные числа, h,r -параметры запаздывания и отклонения аргумента - причем h 0, г 0. Ставится задача определить функцию и : [—/г, +оо) — С, которая в интервале (0, +оо) удовлетворяет уравнению (1.1.1) , а на отрезке [—/г,0] удовлетворяет начальному условию u\[-hfi]=(p, (1.1.3) где cp(t) - начальная функция, заданная на промежутке [—/г, 0]. Замечание 1.1. 1. В случае уравнения с запаздыванием без опережения (с = 0) задача (1.1.1) - (1.1.3) подробно исследована в ряде работ (см. [13], [24],[10]). 2. В случае наличия как запаздывания, так и опережения (be ф 0) задача (1.1.1) - (1.1.3) исследовалась в работах [8],[16], в которых - 27 были определены достаточные и необходимые условия корректности. Рассматриваемая постановка задачи отличается областью задания начальной функции от рассмотренной в статье [13], в которой установлено отсутствие коррекности задачи отыскания решения уравнения (1.1.1) - (1.1.2), сужение которого на промежуток [—/г, г] совпадает с заданной функцией ф : [—/г, г] — С. 3. В случае отсутствия запаздывния (Ь = 0) начальное условие (1.1.3) следует понимать как одноточечное:

В такой постановке уравнение с опережением без запаздывания рассматривается впервые. Определение 1.1. Решением задачи Коши (1.1.1), (1.1.3) будем называть функцию и Є И/217((—/i, +оо)), которая удовлетворяет уравнению (1.1.1) почти всюду на интервале (0, +оо) и начальному условию (1.1.3) тождественно на интервале (—/г, 0). Достаточные условия корректной разрешимости. Согласно теореме вложения (см. [21] гл. I, а также [7]), справедливо следующее утверждение:

Лемма 1.1. Если и Є W iifl b)), то существует единственная функция й Є С([ 2, Ъ\), которая почти всюду на (а,Ь) совпадает с произвольным представителем класса эквивалентности и, причем существует постоянная К 0 такая, что для любого и Є W iia, b)) справедливо неравенство \\й\\с([аД) ІМІИ ІЇа )) . Лемма 1.2. Функция и Є И/217((—h, +оо)) является решением задачи Коши (1.1.1) - (1.1.3) тогда и только тогда, когда функция v(t) = ехр(— jt)u(t), t Є (—/г, +оо) - 28 принадлежит пространству W\{{—h} +00)) и является решением функционально - дифференциального уравнения vt{t) + jv(t) = Jyv(t) + fj{t), t 0, (1.1.4) где /7 = e f и Jyv(t) = av(t) + be 1 (v(t — h)} + ce1Tv{t + r), є(0,+00), (1.1.5) удовлетворяющим начальному условию v [_/j;o]= e_7V t Є [—/г,0]. (1.1.6) В соответствии с замечанием 1.1, если Ъ = 0, то в условии (1.1.6) полагается h = 0. Заметим, что / Є L2j7(i?+) тогда и только тогда, когда /7 Є L/2(R+), причем Положим v(t) = w(t) + g(t), где g(t) = (p(t) при t Є [—/г, 0] и g() = (/?(—0)e_"2, t 0. Тогда g() Є И/21((—/І, +oo)), справедлива оценка ЦдЦи ґґ- +оо)) ClMlw ff- O)) (1.1.7) и, как нетрудно проверить с помощью непосредственной подстановки, следующее утверждение. Лемма 1.3. Функция v Є И/21((—h, +00)) является решением задачи Коши (1.1.4)- (1.1.6) тогда и только тогда, когда функция w(t) = v(t) — g{t), t Є (—h, +00), удовлетворяет условию w(t) = 0, t Є [—/г,0], а ее сужение W\R+ принадлежит пространству W {R+) и является решением задачи Коши d —w{t)+ w{t) = Jc1w{t) + FJt)) t Є (0, +оо) (1.1.8) at - 29 lim \w(t)\ = 0, (1.1.9) где функция F = (f + J g — jg г9)\и+ (1.1.10) at принадлежит пространству L2(R+) и допускает оценку ІМІжкс-м)) + \\f\\b2,7(R+))- (1.1.11) Доказательство. Равенство (1.1.8) следует из равенства (1.1.4) и подстановки v = w + g, из определения функции g следует равенство w(t) = 0, t Є (—/і,0), и поэтому в силу леммы 2.1 справедливо равенство (1.1.9). Заметим, что поскольку /7 Є ((/і, +оо)) и g Є И/21(( +))? то 7 2((0,+оо)). В силу определения функций /7 и g и неравенства (1.1.7) выполняется оценка (1.1.11).

Предельный переход при стремлении к нулю отклонений аргумента

Здесь коэффициенты 6, с - вещественные числа, a,h,r - положительные постоянные, / - заданная числовая функция на интервале (О, +оо), а и - неизвестная числовая функция, областью определения которой является промежуток (—/г,+оо).

Областью определения оператора «5f, действующего в гильбертовом пространстве L2;7((—/і, +оо)), является гильбертово пространство D(Jz ) = W2 ((—h, +00)) (см. [7],[11]), на котором оператор определен согласно формуле (2.1.6).

Ставится задача определить функцию и : (/г, +оо) — Л, которая в области (0, +оо) удовлетворяет уравнению (2.1.5) почти всюду, а на отрезке [—/г, 0] удовлетворяет начальному условию где cp(t) - начальное значение функции и, заданное на множестве [—/г,0]. При этом предполагается, что функция ср удовлетворяет условию (р Є И/((—/г,0)).

Случай наличия слагаемых с опережением аргумента отличается от случай отсутствия опережения тем, что не для каждого опретора вида (2.1.6) найдется такой параметр 7 Д, что задача (2.1.5)–(2.1.7) корректно разрешима в пространстве И7! , а если множество значений весового параметра 7, при котором задача (2.1.5)- (2.1.7) корректно разешима, ограничено.

Определение 2.2. Решением задачи Коши (2.1.5)–(2.1.7) будем называть функцию и Є И7! ((—/і, +оо)), которая удовлетворяет уравнению (2.1.5) на интервале (0, +оо) и начальному условию (2.1.7) на интервале (—/г,0). Согласно теореме о следах (см. [21] гл. I, а также [7]), справедливо следующее утверждение:

Лемма 2.1. Если І Є N и и Є W), {{a b)), то существует и{а + 0) Є С такое, что lim \u(t) — и(а + 0)1 =0. Наоборот, если щ Є С, то существует функция и Є W), {{a b)) такая, что lim \u(t) — щ\ =0. При этом справедливо неравенство в котором постоянная С не зависит от и Є W ((a, b)). Лемма 2.2. Если функция и Є И7! ((/і,+оо)) является решением задачи Коши (2.1.5)-(2.1.7) то предел м(+0) Є С функции и при t — +0 и пределщ(+0) Є С ее приизводнойи приt — +0 удовлетворяют равенствам м(+0) = (/?(—0) и щ(+0) = cpt(—0). В связи с утверждением леммы 2.2 всюду далее мы предполагаем, что задача Коши (2.1.5)–(2.1.7) исследуется при следующих предположениях /?(—0) Є С и cpft(—0) Є С. Как нетрудно проверить с помощью непосредственной подстановки, справедливо следующее утверждение.

Лемма 2.3. Функция и Є И7! ((/г,+оо)) является решением задачи Коши (2.1.5)-(2.1.7) тогда и только тогда, когда функция v(t) = ехр(—jt)u(t), t Є (/г, +оо) принадлежит пространству W((/i,+оо)) и является решением функционально-дифференциального уравнения Vtt(t) + 2 УІ(І) +7 v(t) = Jyv(t) + /7(), t 0, (2.1.8) - 55 где /7 = е lff и - разностный оператор, действующий по правилу Jyv(t) = —a v(t) + be 1 v(t — h) + ceITv{t + r) — ov(t), t Є (0, +oo), (2.1.9) удовлетворяющим начальному условию v [_/j;o]= e_7V t Є (—h,0). (2.1.10) Заметим, что / Є L2j7(i?+) тогда и только тогда, когда /7 Є L,2(R+), причем /7ІІ- 2(Д+) II/ \\L2,-y(R+) Лемма 2.4. Для любых щ Є С, щ Є С существует функция г] Є W22((0,+оо)) такая, что d , m+v) = 7о; —т]{+0) = 7i, причем справедлива оценка ll7?llwr2((o,+oo)) — МІ оІ + ІШІ]- (2.1.11) Доказательство. Положим _t 2 a 2 ?]() = е 2 [cos(ai)?7o + о. sin(at)77i], t 0. (2.1.12) Тогда функция ц удовлетворяет требуемым начальным условиям. При этом +00 +00 22 f 2 м2 f - 2"2 2 ,о IIа llz, ((О+ОО) = Iа W)l dt \е 2 a cos{at)r]o\ dt+ a е 2 asin(at)?7i dt а [к\\щ\ + к2\Т}і\ J, о + 2 +00 2 2М где к\ = j e_t cos2{t)dt и к2 = j e_t smt2 t2dt. о о Таким образом, ц є L,2(R+) и Ы\ь2(к+) с[\г)о\ + 77i]. Функция г] обладает обобщенной производной второго порядка по t. Оценка нормы функции d2 2 2 - 2 2 -1 —:Г]и) = —а г)ш + а е 2 (t a )[cos{at)r]o + a siniatwu — at1 Jl 2 2to e 2 [cos(a/:)77i — asin(at)r]o], t Є Л+, в пространстве L2(R+), производимая, как и выше, позволяет утверждать существование такой постоянной с 0, что d2 /Г at1 Лемма доказана. Следствие 2.2. Пусть / 0. Для любых щ Є С, г]\ Є С существует функция г] Є И/2+ ((0, +оо)) такая, что d т)(+0) = 1]о] —г](+0) = 7i, at причем справедлива оценка ll7?llwr2+ ((o+oo)) — Ml ol + i]- (2.1.13) Следствие 2.3. Если ір Є W(R+), то существует функция г] Є Wf O,+оо)) такая, что d и т}(+0) = (/?(—0); —т+О) = (л(—0) — 7 (—0), at причем справедлива оценка ll7?llwr2((o,+oo)) ІМІи 2((-/і,о))- (2.1.14) - 57 Положим v(t) = w(t) + g(t), где g(t) = (p(t) при (t) Є (—/г,0) и g{t)=Tj{t), є(0,+00). (2.1.15) Тогда если (p Є Wf ((—/І, 0)), то #() Є W((— +))? справедлива оценка ІМІи 2((-/і,+оо)) — СМІ 2((-/і,о)) (2.1.16) и, как нетрудно проверить с помощью непосредственной подстановки, следующее утверждение.

Лемма 2.5. Пусть выполнено условие /7 Є L,2(R+), а функция ср принадлежит пространству И/((— ,0)).

Функция v Є И/((—/г,+оо)) является решением задачи Коши (2.1.8), (2.1.10) тогда и только тогда, когда функция w(t) = v(t) — g{t), t Є (—/г,+oo), удовлетворяет условию w(t) = 0, t Є (—/г, 0), а ее сужение W\R+ принадлежит пространству W22(R+) и является решением задачи Коши д2 д о — wU) + 27тг"УЛ) + 7 = ywU) + F (t), at1 at t Є (0, +oo), (2.1.17) lim \wAt)\ = 0, lim \w(t)\ = 0 (2.1.18) где функция try = (j7 — 7 g — 27—g + J g 9#) Д+ (2.1.19) от от принадлежит пространству L2(R+) и допускает оценку ІМІи - о)) + /іи2,7(д+))- (2.1.20)

Доказательство. Пусть функция g определяется условиями (2.1.10) и (2.1.15). Пусть функция v является решением задачи (2.1.8) - 58 (2.1.10), а функция w определяется равенством w = v — g. Тогда равенства (2.1.17) и (2.1.19) следуют из равенства (2.1.8), равенств (2.1.15) и подстановки v = w + д. Из определения функции д следует равенство w(t) = 0, t Є (—/і,0), и поэтому в силу леммы 3.8 справедливо равенство (2.1.18). Заметим, что поскольку /7 Є L,2((—h, +оо)) и g Є И/22((—/і,+оо)), то в силу (2.1.19) и следствия 2.5 выполняется условие F7 Є L2((0,+oo)) и неравенство (2.1.20).

Наоборот, если функция W\R+ является решением задачи Коши (2.1.17) - (2.1.19), и равна нулю на (—/г,0), то определенная равенством v = w + д функция является решением задачи Коши (2.1.8) -(2.1.10). В силу определения функций /7 и д и неравенства (2.1.16) выпоняется оценка - 7ІІ 2(Д+) — мІІ/\\L2(R+) W PWwf((—/i,o) Оценим величину і 7ь2(д+). Заметим, что поскольку II б? II d2 для любого и Є W22(R+), то первые три слагаемых F7 из (2.1.19) лежат в пространстве L2(R+) и для них справедлива оценка (2.1.20). Докажем, что оценке (2.1.19) удовлетворяет и сумма { ц — лО)

Предельный переход при стремлении к нулю величин отклонения аргумента

Исследуем корректность задачи (2.3.1)–(2.3.2)–(2.3.3) при нарушении условия(2.3.12) на коэффициенты уравнения. Предположим, что выполняется условие Ь а2 0; и при этом величина h 0 мала настолько (см. лемму 2.1), что уравнение (2.3.4) имеет три различных вещественных корня жі,Ж2,Жз таких, что Х\ 0 Х2 Хз и для любого невещественного корня Xj уравнения(2.3.4) выполняется условие ReAj Х і. Ибо, согласно лемме 2.13, x i = л/Ъ — а2 + о(1) при h — 0, а для любого невещественного корня Xj уравнения (2.3.4) его вещественная часть Re(Aj) является бесконечно большой величиной при h — 0 (см. лемму 2.14).

Лемма 2.15. Если х Є R и 7 %, то для любой функции z Є L2:1(R-\-) функция w{t) = / ex" s z(s)ds, t 0, о принадлежит пространству W2l (R+), причем линейный оператор A : L2 (R+) — И/27(Д+), действующий по правилу Az = w, ограничен и выполнены неравенства ШЬ2і7(Д+) — II \\L2,-y(R+)i 7 — X К Wo1 (Ri) — \\Lo (R+) 2,-y +/ 7 — ж 7 Доказательство леммы 2.15 можно найти в работе [15]. Для каждого z Є L2:1(R-\-) и СІ,С2 Є C определим функцию t u(t) = C\eXlt + c2eX2t + і (ех -я) _ eX2 )z{q)dq. (2.3.14) X\ — X2 0 - 83 То есть u(t) = U\{t) + V,2{t), t О, где t . f 1 T /,_cl . щи) = cie1 + eu z{q)dq X\ — X2 X\ — X l 0 и t U At) = C26 — gx2 b z{q)dq. X\ — X2 Лемма 2.16. Если x\,x i Є R, x\ X2 и 7 2, то для любой функции z Є L2:1(R-\-) функция t ои j ) ( р 1\у $) р 1\ \ О"1 ( Q\fl Q t " О X2 — X\ 5—5 принадлежит пространству W22 (R+), причем линейный оператор Л : Ь2Л(Я+) — И7! (R+), действующий по правилу Az = v, ограничен и выполнены неравенства Заметим, что t II II II - ,, I, 1 // C-r _лЛґт _ Л C-r _,vW_0U 7 II U U? (Д+) = Є 7 "У Lofi?, ) = (Є1 7Д J-el X 7Д J)z(s)(is Lofi?,) ,7V У + X2_ Xl Определим функцию p() = e(x2"7)t - e(xi"7)t, 0. Продолжим функции z, v и g нулем на отрицательную полуось до функций Z, V и G соответственно, и применим к продолженным функциям преобразование Фурье. Поскольку х\ — 7 0 и Х2 — 7 0, то - 84 функция Vy(t) = е 7ty(), t Є R, т.е. t І/уШ = (e 7Д —e 7Л )z(s)(is t 0 V m = 0 0 X2 — X\ представляет собой свертку функции Z Є L,2(R) с функцией G Є L/2(R), определяемой равенством G() = е Ж2 7" — е Ж1 7", t 0; G() = 0, t 0. Поэтому для преобразования Фурье функции V Є L,2(R) получим 11 1 ч / ч F(Ky)() = ( ) (0 = Ж2 — Жі 7 х2 + я 7 х1 + s 1 (г — жі + 7)( ж2 + 7) Следовательно, 1 1 Г Ьг-у — Slip /. , ч /. . г L2. ЦЬо -у 7 \7 - 21 єд (г, хл + 7Аг х2 + 7J 17 — жіД7 — ж2) Аналогично можно показать, что d2 t;2 \\Гїо y\\Lo (R) — \\ \\L2 -у Slip ,. \ /. J. _ «t єД (Ч — жі + 7A s — ж2 + 7) с II 11- 2,7 z(4), «5 Є it. (7 — Xi)(j — X2) Поскольку v(0) = 0 и v (0) = 0, то d2 d2 d 2T/ T7o \\L-) (R+) — 7,o 7 Lo ,(Д) r - 7 7 7 L? ,(Д) r 7 7 L? ,(Д) dV 7 acz at n и существует С 0 такое, что (і2 С L2,7(i?+) / - xi)h -ж2) 2л(Д+) Из этих оценок следуют утверждения леммы. - 85 Следствие 2.9. При произвольном z Є L2;7 и сі,С2 Є С функция (2.3.14) принадлежит пространству Wf 7, причем существует такая константа С О, что ll llw СПсіІ + с2 + ll llZ/2ті (2.3.15) II І І 2,7 LІ І І І І І / J Тогда для произвольной функции и Є W22 (R+), представленной в виде (2.3.14), имеют место равенства t Mt = x\C\e л + ж2с2е 2 + (x\e u 9j - ж2е 2l })z{q)dq. X\ — X2 0 (2.3.16) Utt = a iti ) + x2U2(t) + z(). (2.3.17) u(t + h) = e x ui(t) + e 2 U2\t)-\ (e u + _ex2 -i-ra q))z(q)dq. X\ — X2 t (2.3.18) Лемма 2.17. Пусть X\,x i Є R, x\ ж2. Тогда существует такое 7 0 и такое С 0, что для любого j j и любого g Є L2j7(i?+) уравнение t t 9 / 1 „. с+_0ч , ч 7 of 1 „. с+_ N , ч у p lv У\П\ПП —I— Т р 1\Ь У \ П\ П П-Х Х\ — X l Х\ — Х і о о z(t) = g(t), t 0, (2.3.19) относительно неизвестной функции z имеет единственное решение z Є L2;7(i?+), причем \\Z\\L2,-y(R+) — lli/L2,7( Й Действительно, уравнение (2.3.19) представляет собой операторное уравнение (I + Ai + A2)z = g, - 86 где в силу леммы 2.15 операторы Аі,А2 Є B(L2:1(R-\-)) допускают оценку .... j W- -j \\B(Ln (R-L)) — і J 1,Z. ,7 1- ry _ X. Тогда утверждение леммы 2.17 справедливо, если о 2 п 2 Zjdjl Li.b2 \- 1 7 — Х\ 7 х2 Из леммы 2.17 и равества (2.3.17) следует утверждение Следствие 2.10. Пусть Ь а2 и пусть х\,Х2 Є R, х\ Х2 - два наименьших корня уравнения (2.3.10). Тогда существует такое 7 0 и такое С 0, что для любого 7 7 и любого и Є Wf (Д+) существуют единственные функция z Є IJ2:1(R-\-) и константы Сі, С2 Є С такие, что функция и представима в виде (2.3.14), причем сі + \с2\ + Иь2і7(д+) C\\u\\W2 R+).

Действилельно, если и Є H/7(R+), то положим д = и", тогда д Є

Тогда применяя к функции д лемму 2.17 получаем утверждение следствия 2.10. Поскольку Жі,Ж2 – корни уравнения (2.3.4), то с учетом равенств (2.3.16)–(2.3.18) и следствия 2.10 уравнение (2.3.1) эквивалентно уравненнию t+h 1 f . „. U,h_n\ „. (+,h_n\s / Ч , п, ч У і + \ 1л (р іуьх ь ц) р 2\іу\іь ц) \ у (гч\ А ГІ __ / (-j- \ -j- \ Г) (2 3 20) Х\ — Х2 t а начальные условия (2.3.4) - системе уравнений ty? = С\ + С25 = xlC\ + 2С2 - 87 которая имеет единственное решение. Поэтому задача (2.3.1)– (2.3.2)– (2.3.3) эквивалентна операторному уравнению z — Bz = /, (2.3.21) где Bz{t) = b X\ — X2 t+h [ p l\ i Q) рЖіХЬ гГЬ Q)\ y(fi\Afi t 0. Следовательно, Bz() = b X\ — X l / жцп. q) px2\h )\y//j і іЛПл t Q При этом, как и в доказательстве леммы 2.16, # (Bz)7() = pXiih л 1 (7-жі+г)/і Q _ e(7 a;2+ C) N\ _ ( (1-е 7 — x\ + i X l — X\ 7 — Ж2 + i ))m (2.3.22) Заметим, что в выражении (2.3.22) от параметра 7 зависят только величины Xi, Х2. Поскольку (см. лемму 2.13) при h — 0 величины Жі, Х2 имеют конечные пределы — у/Ъ — а2, л/& — а2, то при фиксированном л/6 — а2 справедлива оценка еж2/г sup (1 _ e(7- 2+»0 ) = o(h) при /г — 0. Аналогично, sup I єД 7 xi + s (1 _е(7- і+»0Ь) = Q при /і — 0. Тогда при фиксированном 7 л/b — а2 имеет место асимптотика при h — 0 нормы оператора B_g(2 (д+)) = 0(/г) при /г — 0. - 88 Следовательно, для каждого 7 У/Ь — а2 существует такое ho О, что при всех h Є (0, ho) выполняется условие II - B(L2 7(Д_-)) " - - - Лемма 2.18. Для каждого 7 v Ъ — а2 существует такое ho О, что если h Є (0, ho), то при всех f Є L2j7(i?+) уравнение (2.3.21) имеет единственное решение z Є L2j7(i?+), причем справедлива оценка \\Z\\L2 (R+) с(т? )II/IIL2 (Д+) с константой С(7, h), не зависящей от выбора f Є L2j7(i?+). Из леммы 2.16 - 2.18 следует утверждение:

Необходимые условия корректной разрешимости

Действительно, предположим, что существует / Є N и корень jj уравнения (2.3.4), соответствующего корню S/. Выберем числа «і, /Зі таким образом, что а /Зі /а:і /3. Тогда в силу теоремы 3.2 задача (3.3.1)–(3.3.3) для однородного уравнения (2.3.1) имеет решение из пространства W7 ((/І, +00), А2) не при всех начальных данных из пространства W iih, 0], А3) если 7 (ск, /5i); и имеет более одного решения из пространства W7((/i, +оо), А2), если 7 Є (аь/3). Получается противоречие с утверждением теоремы 3.2.

Замечание 3.4. Полученный результат об указании класса весовых пространств Соболева, в которых задача с начальными данными (3.3.1)–(3.3.3) корректно разрешима, подобен результатам А.Н. Тихонова о функциональном классе однозначной разрешимости уравнения теплопроводности. Действительно, согласно результатам (см.[35]), при любом значении Т 0 задача Коши для уравнения теплопроводности с непрерывным ограниченным начальным условием имеет единственное решение в пространстве функций и : [О, Т] х R — R, для которых конечна величина sup(e x sup \u(t,x)\). хєН є[0,Т] В тоже время, при любом є 0 указанная задача Коши имеет более одного решения в классе функций, для которых sup(e x2+e sup \u(t,x)\). жЄІ? є[0,Т] Так и задача (3.3.1)–(3.3.3) с начальным условием для однородного уравнения (3.3.1) имеет единственное решение в пространстве И/227((/І,+оо), А2) при 7 {&-,$), но если 7 Ь /3, то решение задачи с начальным условием не единственно, а если 7 о, а, то решение задачи с начальным условием существует не при всех начальных данных.

С помощью леммы 1.8 главы 1 исследуется дифференциально-разностное уравнение опережающего типа в котором присутствуют как члены с опережением аргумента, так и члены с запаздыванием: N Utt(t) = —A u(t) + У [aku(t + hk) + CkAu(t + hk)] — k=i 7oit(), t 0. (3.4.1) Ставится вопрос о предельном поведении решений рассматриваемого ДРУ при (hi,..., /гдг) — (0,..., 0).

Как установлено выше в теореме 3.2, уравнение (3.4.1) допускает корректную постановку задачи с начальными данными, в которой ищется в пространстве Соболева с экспненциальным весом И/227((—h, +оо),А2), а начальные данные ф Є W([—h,0],А3) для решения задаются на промежетке запаздывания [—/і, 0] (здесь h = — min{/ii,..., /ІДГ} 0): u(t) = ф{Ь), t Є [—h,0]. (3.4.2)

Решением задачи (3.4.1)-(3.4.2) называется функция и Є И/227(—h, +оо), удовлетворяющая уравнению (3.4.1) почти всюду и начальному условию (3.4.2) тождественно.

Предположим, что при некотором ho 0 на отрезке [—/го,0] задана некоторая функция фо Є W([— о?0],). Тогда при произвольных (hi,..., /гдг) Є Л таких, что /ij Є [—ho, ho] при всех j є {1,...,N}, рассматривается задача (3.4.1) - (3.4.2) с начальным условием фи = фо\[-ь,,о]. В предположении, что при всех (hi,..., /гдг) Є (—ho, ho)N выполняются условия теоремы 3.2, исследуется сходимость - 117 при (hi,..., /ідг) —(0,..., О) семейства решений указанных задач (3.4.1) - (3.4.2). В доказательстве теоремы 3.2 установлено (см. (2.1.16)), что задача (3.4.1)-(3.4.2) эквивалентна уравнению (I — K7;h)z = Fj, (3.4.3) для неизвестной функции z Є L/2(R+,J4?1), где -/{tj = j( )e + ( 7# 1 9 тг 9 27тг#) д+5 at1 at I - тождественный оператор в пространстве Jf = L2(R+,J4?1), функция д определена равенством (см. (3.1.14)) и оператор К7 h в пространстве L2(R+,J4?1) определяется равенством (см.(3.2.9)). N K hZ(t) = le7 kakSh, CV Z)(t) + Ci-e7 fcAST(V Z)(/:)l — 7oV Z. Ь / _j L A; V /A / /J /u / A;=l (3.4.4) Лемма 3.11. Семейство операторов S , h Є R, сходится в сильной операторной топологии пространства B(L2(R+,J4?1)) к оператору I при h — 0. Утверждение следует из теоремы о непрерывности в среднем функции из пространства L2(R+,J4?1)) и непрерывности интеграла Лебега. Следствие 3.9. Семейство операторов К7 h, h є RN, сходится в сильной операторной топологии пространства B(L2(R+,J4?1)) к опе N ратору К7;0 = 2 (а/Д + с&А) при (hi,.., hjy) — (0,..., 0).

Напомним, что при каждом 7 0 и для любых h Є RN по начальным данным задачи (2.1.1) - (2.1.3) равенством (1.1.10) определяется функция F7jh.

Лемма 3.12. Пусть фо Є W([— о, 0], А3). Тогда если f Є L2 (R+,J 1) при некотором 7 0, то существует F7;0 Є - 118 L/2(R+,J4?1) такое, что 11ЇЇ1 \\ґ -f h,T " 7і ІІЬ2(Д+, 1) (/і,т)— (0,0) В силу равенства (1.1.10) от от2 Е [ш,е7 kShl,q(t) + Che1 kShl,A}q(t)1 t Є iL_, где g(t) = 4 o(t) при Є [—/io,0] и g{t) = e [cos(A/:)0o(—0) + A sin(A)((/ 0(—0) — 7 / o(—0))] при 0. Поэтому в силу леммы 3.12 справедливо равенство lim F7jh - Flj0\\L2 i) = 0, (/і,т)— (0,0) где 7о = А — 7 5v) —ди) — 7T 9\t) + (— А + lafcl + с&А )g. at at1 2-— A;=l Напомним, что достаточное условие корректной разрешимости задачи (2.1.1) - (2.1.3) определяется функцией (см. (2.1.1)) бо (7), 7 0 Пусть 0о W Kt- о, 0], А3)), / Є L2j7o(i?+, 1) и при произвольных h Є (—ho,ho)N и при 7 Є (аіР) выполнено условие х (7) 1 теоремы 3.2. Обозначим через и единственное решение задачи (2.1.1) - (2.1.3) из пространства Wf ((—/І,+ОО),А2), а через и0 - решение задачи Коши для операторного дифференциального уравнения N Utt(t) = (—А — 7о1 + / (&A;I + CkA))u{t) + f(t), t 0, (3.4.5) /г=1 - 119 it(+0) = фо(—0), Mt(+0) = ф о(—0). (3.4.6) Лемма 3.13 Функция и0 Є H/7(R+, А2) является решением за дачи Коши для операторного дифференциального уравнения (3.4.5)-(3.4.6) тогда и только тогда, когда существует функция ZQ Є L2(R+,J 1) является решением уравнения (I — K7;0)Z = Fli0. При этом щ = e7t[g + V7Zo]. Теорема 3.4. Пусть существует такое а, что и;(7 ) 1. Тогда существует такое є 0, что ш{ ) 5 1 для любых h Є Оє(0) в Л и 7 Є Оє(7о). При этом для любого 7 є(То) выполняется равенство: Hm Wh()U+ — о( ) W2 ((0,+oo),A2) = 0. (h)— (0) 7 Действительно, из непрерывности функции си в точке (7о, 0) следует существование таких 5 = (1 + х (7о)) (0,1) и є 0, о которых говорится в утверждении теоремы. Поэтому для любого 7 Є С (7о) условие К7ДТ 1 выполняется при всех любого h такого, что Ьдлг