Содержание к диссертации
Введение
1 Задача Вентцеля для уравнения Лапласа и Гельмгольца 32
1.1 Постановка задачи. Теоремы единственности 33
1.2 Свойства повторных потенциалов 37
1.3 Сведение задач Вентцеля к интегральным уравнениям и их исследование : 42
1.4 Некоторые обобщения 48
2 Квазилинейная двухфазная задача Вентцеля 51
2.1 Постановка задачи. Формулировка теорем существования . 54
2.2 Локальные оценки максимума Александровского типа для решения линейной двухфазной задачи Вентцеля 57
2.3 Разрешимость линейной двухфазной задачи Вентцеля 69
2.4 Гельдеровские оценки 80
2.4.1 Оценки неотрицательных решений двухфазной задачи Вентцеля вблизи пленки 80
2.4.2 Оценка константы Гельдера для решения квазилинейной двухфазной задачи 87
2.4.3 Оценка константы Гельдера с большим показателем для решения линейного уравнения . 91
2.5 Оценка градиента решения квазилинейной двухфазной задачи Вентцеля 94
2.6 Разрешимость квазилинейной двухфазной задачи Вентцеля 102
3 Квазилинейная задача Дирихле в областях с гладкими замкнутыми ребрами произвольной коразмерности 105
3.1 Постановка задачи 108
3.2 Вспомогательные оценки интегральных операторов 111
3.2.1 Оценки в пространствах Ls,r,{a) Ш
3.2.2 Оценки в пространствах jf/s>r,(a) 115
3.3 Оценки решения задач Дирихле и Неймана для уравнения теплопроводности в клине 118
3.3.1 Оценки решения задачи Дирихле 121
3.3.2 Оценки решения задачи Неймана при т > 2 124
3.3.3 Оценки решения задачи Неймана в двугранном угле 132
3.3.4 Задачи в полупространстве 136
3.4 Локальные оценки максимума Александровского типа через весовые нормы правой части 139
3.4.1 Вспомогательные леммы о линейных операторах 139
3.4.2 Условные оценки в весовых пространствах 141
3.4.3 Вывод основной оценки 143
3.4.4 Оценки в анизотропных пространствах 145
3.5 Разрешимость линейной параболической задачи 147
3.6 Гёльдеровские оценки решения квазилинейной задачи 153
3.7 Оценки градиента решения 161
3.8 Оценки решения в окрестности ребра 166
3.9 Доказательство теоремы существования 172
4 Квазилинейная двухфазная задача Вентцеля в трансверсальном случае 175
4.1 Постановка задачи 177
4.2 Вспомогательная задача Дирихле в весовых пространствах 181
4.2.1 Постановка задачи 181
4.2.2 Оценки максимума 183
4.2.3 Гёльдеровские оценки 186
4.2.4 Оценки градиента на границе 188
4.2.5 Оценки градиента вблизи границы 193
4.2.6 Разрешимость линейной и квазилинейной задач Дирихле 197
4.3 Разрешимость линейной эллиптической задачи 199
4.4 Разрешимость квазилинейной эллиптической задачи 208
5 Задача Вентцеля для полностью нелинейных эллиптических уравнений 217
5.1 Постановка задачи 219
5.2 Оценки градиента решения 221
5.3 Оценки вторых производных 233
5.4 Разрешимость нелинейной задачи Вентцеля 243
6 Вырожденная задача Вентцеля для квазилинейных эллиптических уравнений 247
6.1 Постановка задачи 249
6.2 Гельдеровские оценки 251
6.3 Оценки градиента решения 258
6.4 Оценки вторых производных 274
6.5 Разрешимость вырожденной задачи Вентцеля 283
Приложения 285
- Свойства повторных потенциалов
- Разрешимость линейной двухфазной задачи Вентцеля
- Вспомогательные оценки интегральных операторов
- Оценки решения задачи Неймана в двугранном угле
Введение к работе
Разрешимость краевых задач для квазилинейных уравнений с частными производными недивергеного вида, а также для полностью нелинейных уравнений, интенсивно изучается в последние 25 лет. Такие задачи для эллиптических и параболических уравнений второго порядка описывают, в частности, стационарные и нестационарные процессы диффузии.
К настоящему времени получены достаточно полные результаты, касающиеся разрешимости в гладких областях задачи Дирихле, а также задачи с наклонной производной (описывающей диффузию в области с отражением от границы). Обзор этих результатов, а также обширную библиографию можно найти, например, в работах [ЛУ4], [LiT] и в монографиях [ГТ], [Li2].
В 1959 году А.Д. Вентцель [В] ввел (для эллиптических уравнений) новый класс граничных условий, задаваемых интегро-дифференциальными операторами второго порядка (см. также [IW], [W]). С вероятностной точки зрения, условия Вентцеля представляют собой наиболее общие краевые условия, включающие как частные случаи условия Дирихле, Неймана, условие с наклонной производной и смешанные условия. Отметим также, что задачи с условиями Вентцелевского типа возникают во многих областях науки и техники. Среди них задачи гидродинамики, электродинамики и теории упругости, инженерные задачи нефтедобычи и некоторые вопросы финансовой математики (см. [CM], [Kol], [Ко2], [Le], [МНП], [NPi], [SV], [Sh], [Ш, Гл.УШ]).
В диссертации изучается задача Вентцеля для эллиптических и параболических уравнений второго порядка. При этом рассматривается класс граничных условий, содержащих производные второго порядка по касательным переменным, но не содержащих интегрального члена. Отметим, что линейные задачи с интегральными членами в граничных условиях изучались А.Л. Скубачевским и его учениками (см. [ГС] и цитированную там литературу).
С точки зрения теории диффузионных процессов, рассмотренные задачи описывают процесс, включающий диффузию вдоль границы и отражение от границы. Такая ситуация возникает, когда граница области покрыта тонким слоем ("пленкой") из материала, имеющего высокую проводимость.
В первой главе диссертации изучается задача Вентцеля для уравнений Лапласа и Гельмгольца
Д« + А = 0 в а , ч
(0-1)
Au-a- + /3k2u = f на Е
(здесь Е = Ш Є С2, к 0; в случае внешней области на и накладываются стандартные условия на бесконечности).
Поскольку для задачи (0.1) легко получаются коэрцитивные оценки в пространствах Гельдера (см., например, [Кр2, §5.5]), то разрешимость этой задачи для гельдеровых / следует из общей эллиптической теории. Желание получить классическое решение при непрерывных граничных данных приводит к идее использования интегральных уравнений теории потенциала. Для этого вводится понятие повторных потенциалов простого и двойного слоя
V&jbW = VkHx) = 1УйУ)Оф - У) dZy,
Е
Vі С 8
S
где Gk(x) - фундаментальное решение оператора — (Д+&2), удовлетворяющее условию излучения на бесконечности.
В §1.1 дается постановка внутренней и внешней задач Вентцеля и доказываются теоремы единственности для них, а также выводятся необходимые условия разрешимости.
В §1.2 изучаются свойства повторных потенциалов.
Лемма 1.2.1. Пусть Є С2. Если \і Є С(Е); то повторный потенциал WJL имеет правильную внутреннюю и внешнюю нормальную производную, причем
\ Х / i.e
f где &ІІЄ - операторы со слабой особенностью на .
Теорема 1.2.4. Пусть Е Є С2, \і Є С(Е). ТЬгЭа повторный потенциал VL, имеет вторую правильную внутреннюю и внешнюю нормальную производную, причем
( ) = ) + (6 )( ), Є,
/ г ,е
где 6f}; 6І2) - операторы со слабой особенностью.
В качестве следствия доказывается теорема, усиливающая классический результат A.M. Ляпунова.
Теорема 1.2.2. Пусть Е Є С2. Потенциал двойного слоя WQ имеет правильную нормальную производную тогда и только тогда, когда существует функция v Є (), такая, что fi = VQ\ В §1.3 внешняя и внутренняя задачи Вентцеля сводятся к интегральным уравнениям, после чего доказываются теоремы об их разрешимости, аналогичные теоремам о разрешимости задач Дирихле и Неймана.
Теорема 1.3.3. Если к2 не принадлежит спектру внутренней задачи Вентцеля (Vi), то решение задачи (Vi) существует и единственно для любой f Є С(Е).
Если к2 принадлежит спектру задачи (Vi), и {vp}, р = 1,... , - соответствующие решения однородной задачи, то задача (Vi) разрешима тогда и только тогда, когда выполнены условия Js fvp dY, = 0, р = 1,..., L
В обоих случаях решение задачи (Vi) представимо в виде повторного потенциала Ун с непрерывной плотностью.
щ
Теорема 1.3.4. Решение внешней задачи Вентцеля (Ve) существует и единственно для любой f Є С(Т), за исключением случая п = 2, к — 0. В этом случае задача (Ve) разрешима тогда и только тогда, когда выполнено условие /s / dH = 0.
«
В §1.4 результаты §1.2 обобщаются на случай повторных потенциалов про- # извольного порядка.
Теорема 1.4.1. Пусть І Є N, Е Є С1 при четном І, Е Є С1+є при нечетном І, є є]0,1[, и \і Є С(Е). Тогда повторный потенциал простого слоя порядка I имеет на Е правильную нормальную производную порядка I, причем
аУ( »1 ( ) = (±1) . + (б2/0( ), €,
где &\1)е - компактные операторы в С(Е).
Теорема 1.4.1 позволяет использовать повторные потенциалы при решении краевых задач для уравнений Лапласа и Гельмгольца, в которых старший член оператора в граничном условии имеет вид . Такие краевые условия встречаются, например, в задачах акустики.
«г В главах 2 и 4 изучается квазилинейная двухфазная задача Вентцеля для эллиптических и параболических уравнений. Такая задача описывает ситуацию, когда пленка Е разделяет область О, на две части. Условие на пленке при этом задается квазилинейным уравнением второго порядка (соответственно эллиптическим или параболическим) по касательным переменным. Главные члены граничного оператора, как и в однофазной задаче, описывают диффузию вдоль пленки, а члены первого порядка образуют оператор "скачка" поперек пленки
ди 3u = bzt[i](x,t,u,D u + n{x)- lim — (х + є • п(ж);)) —
ди — 6S[2] (x, t, u, D u + n(x) • lim -{x + є • n(x); t))
(здесь и далее р обозначает проекцию вектора р на касательную плоскость к Е) и описывают взаимодействие пленки с подобластями 0№ и 0№.
Во второй главе разбирается случай Е П «9Q = 0. Следует отметить, что в случае &s,[2] = 0 (т.е. когда пленка не взаимодействует с внешней областью fi№), можно сначала найти решение однофазной задачи Вентцеля в С1 \ а затем решить задачу Дирихле в Q\2\ используя в качестве граничного условия на Е след функции, полученной на первом этапе. Точно так же любая однофазная задача Вентцеля в ПШ может быть рассмотрена как двухфазная, если ввести фиктивную область П и положить ЬЕ,[2] = 0. В связи с этим в главе 2 изложение ведется только для двухфазной задачи.
Исследование однофазной задачи Вентцеля для эллиптических уравнений общего вида было начато в работах N.S. Trudinger a и его ученика Y.Luo. В работах [Lol], [Lo2], [LoTl] была доказана классическая разрешимость этой задачи при условии линейного роста функции, задающей граничный оператор, по компонентам Du. Соответствующие результаты для параболических уравнений, а также разрешимость задачи в пространствах Соболева, были получены в работах Д.Е. Апушкинской и автора [An], [АНІ], [АН2], [AN3]. Для решений из соболевских пространств функции, входящие в уравнение, могут содержать также особенности по независимым переменным, суммируемые в достаточно высокой степени. Эти результаты вошли в кандидатскую диссертацию Д.Е. Апушкинской.
Заметим, что результаты главы 2 даже для однофазной задачи сильнее упомянутых выше, поскольку граничное условие может иметь квадратичный рост по касательным компонентам Du. Двухфазная задача Вентцеля ранее не рассматривалась.
В §2.1 дается постановка параболической двухфазной задачи Вентцеля и формулируются теоремы существования в пространствах Соболева и Гельде-ра.
В цилиндре Q = Пх]0,Т[ рассмотрим начально-краевую задачу
dtu — alL{x, t, и, DujDiDjU + ащ(х, t, и, Du) = 0 в Q h\ h = 1,2, dtu-c%(x,t,u,D u)D?D?u + az(x1t,u,D u)+3u = 0 на ET = 2x]0,T[,
u\ffQ = 0. (0.2)
Будем предполагать, что уравнения в (0.2) равномерно параболические, т.е. (ам) и (а ) - симметричные матрицы, и неравенства
И12 4( ) _1іеі2, (до)
ИГ2 4 . ) W
(ВО)
(у = const 0) справедливы при всех значениях аргументов и при всех ЄКП.
Предположим также, что функции ащ, ау, удовлетворяют неравенствам
\ащ(х,і,х,р)\ іі\р\2 Л-Ьщ(х,і)\р\ + Ф\х,і), (Al)
\az{x,t,z,p )\ /ХРЧ2 + Е(М)И + ФЕОМ). (Bl)
где /і — const 0.
Далее, коэффициенты afjL aQ имеют первые Соболевские производные по
х, z, р, и выполнены следующие неравенства:
М
i + bl dafh](x,t,z,p)
dp
М
:
dag(z,,,p )
9р і + Ь Г
\Шг {х,і,г,р)\ \р\ + Ф (х,і), \D 4fat,zlP )\ №\ + S f(x,t).
(А2-В2)
где введено обозначение V = р • + .
Наконец, функции &Е,[/ф входящие в определение оператора Z, имеют первые соболевские производные по р, и выполнены следующие неравенства:
(J0)
п(ж) bz(x,t);
Q dbm(x,t,z,p)
""" #р
bE,wfe , p) Мж.ОИ + Ф о:, ). (Л)
Теорема 2.1.1. Пусть п q оо, и выполнены следующие условия:
(і) Е и dfl - поверхности класса Wq+2, Е П дО, = 0;
(ii) выполнены условия (АО), (А1), (А2), (ВО), (Bl), (В2), (JO), (Л);
(ІІІ) Ъщ, ФМ, Ф?1 є V2(QW), ЬЕ, Ф2, Ф? є VI(ST);
(iv) функции ащ(-,г,р) непрерывны по (z,p) как элементы пространства Lq+2(Qf®), о функции a%(-,z,p ), bz,[h](;z,p) непрерывны по (z,p) как элементы пространства Ьд+і(Т,т).
Тогда задача (0.2) имеет решение
и є vg2( 2) = W 2(QW и QW) п ;\(ЕГ) п с(й).
Теорема 2.1.2. Пусть выполнены следующие условия:
(і) Е и dQ - поверхности класса С2+7, 7 Є]0,1[, Е П дО, = 0;
(ii) выполнены условия (АО), (А2), (ВО), (В2), (J0), а также следующие структурные ограничения:
\a[h]{x,t,z,p)\ :Mp\2 + l); (АГ)
\az(x,t,zy)\ }i(\p \2 + iy, (ВГ)
ЬВД(М, ,Р) МЬ1 + У; (Л )
(ІІІ) Ф[А1 Є Lg+2(Q ), Ф? Є VI(ST);
(iv) функции гіщ, ащ, aQ, as, Ъ щ удовлетворяют условию Гелъдера с показателем 7 по переменным х, z, р и с показателем j/2 по переменной
t;
(v) выполнены условия согласования:
ащ(х,0,0,0) = аЕ{х,0,0,0), х Є Е; а[2](х,0,0,0) = 0, хЄ дП.
Тогда задача (0.2) имеет решение и Є
Отметим, что структурные условия теорем 2.1.1 и 2.1.2 являются естественными и соответствуют структурным условиям, накладываемым в теоремах о разрешимости задачи Дирихле (см. [ЛУ4]).
§2.2 посвящен получению локальных оценок максимума Александровского типа для решений линейной двухфазной задачи Вентцеля в невырожденном и вырожденном случаях. Такие оценки являются фундаментом для получения всех априорных оценок, необходимых для доказательства теорем существования решения краевых задач для уравнений недивергентной структуры. Для получения этих оценок проводится тонкий анализ отображения Лежандра, порожденного выпукло-монотонной оболочкой решения.
В §2.3 получена глобальная оценка максимума решения линейной двухфазной задачи Вентцеля. Далее в случае Е Г) д1 = 0 устанавливаются коэрцитивные оценки решений этой задачи в пространствах Соболева и Гельдера и доказываются теоремы существования.
Пусть С - линейные равномерно параболические операторы в Q : C[h]u = dtu - o!- h](x, t)DiDjU + b\h](x, t)D{u + №(x, t)u,
4) = ИІ2 fe W Wer.
Пусть В - линейный равномерно параболический оператор на пленке Е : Ви = dtu - ag(rc} t)D D u + Ь {х, t)D u + cs(z, t)u,
4 = 4, ИП2 4&Q Itl2 v r
Пусть, наконец, J - оператор "скачка" на Е :
ди ди
Ju = bE[1]{x,t) • lim —{x + є • n{x);t) - bE[2](x,t) • lim —(x + є • n(x);), 1 J -»—о on — +o on
Теорема 2.3.4. 1. Пусть n q со, E и дО, - поверхности класса W%+2, Е П дії = 0. Пусть
aU-;t)eC(№), ag(-;t)GC(E)
%
равномерно по t Є [О, Т],
/И, b\h], № є L QN), /s, 6гЕ, cs, ЬЕІ[Л] Є Lg+1(Sr). Го2(9а начально-краевая задача
(0.3)
Би + Ju = /s на Еу, wd g = О,
имеет единственное решение и Є Vg]_2(Q).
2. Пусть Е w Г2 - поверхности класса С2+1 , 7 є]0,1[, Е П 9П = 0. Пусть коэффициенты и правые части уравнений (0.3) принадлеоюат &(Ф), С (ф) и Сч(Щ, соответственно.
Если вдобавок выполнены условия согласования
/Ю = /Е на Ех{0}, /[2] = 0 на дП х {0},
то начально-краевая задача (0.3) имеет единственное решение и Є CS+7(Q).
В §2.4 получены гельдеровские оценки для решений квазилинейной двух-фазной задачи. При этом применяется классический метод Н.В. Крылова - М.В. Сафонова ([КС]; см. также [ЛУЗ], где этот метод распространен на уравнения с суммируемыми особенностями). Однако для двухфазной задачи Вентцеля пришлось сконструировать новые барьерные функции (Леммы 2.4.1 и 2.4.2). В п.2.4.3 получены также вспомогательные локальные оценки констант Гельдера с повышенным показателем для решений линейных уравнений, используемые в следующем параграфе.
В §2.5 устанавливаются оценки градиента решения квазилинейной двухфазной задачи. Ключевую роль здесь играет следующая техническая лемма.
Лемма 2.5.1. Пусть непрерывная функция ip : [0;R] —» Ш+ удовлетворяет условию
где а - полоснсителъная константа, а Т - возрастающая функция своих
аргументов.
Тогда существует положительная константа / R, зависящая толь ко от а и свойств функции Т, такая, что
(р(р) Ро а при любых р PQ.
В Теореме 2.5.2 оценка max gjj сводится к Лемме 2.5.1 методом мас «.
штабирования с использованием известных результатов О.А. Ладыженской - Н.Н. Уральцевой о внутренних оценках градиента (см. [ЛУ4]), а также теоремы о продолжении функций из анизотропных гельдеровских классов ([АН1, лемма 6.1]). После получения этой оценки уравнение на пленке можно считать полностью автономным, и оценка гельдеровской нормы Du в Q получается стандартным способом.
В §2.6 получены глобальные оценки максимума для решения квазилинейной двухфазной задачи, после чего Теоремы 2.1.1 и 2.1.2 доказываются по стандартной схеме применением теоремы Лерэ - Шаудера.
В Приложение А вынесены результаты для эллиптических уравнений, соответствующие теоремам из §§2.1-2.6. При этом обсуждаются лишь теоремы, имеющие существенные отличия от параболических. В частности, следующая теорема дает достаточные условия единственности решения линейной задачи.
•
Теорема А.6. Пусть Е є W%, и выполнены условия
b\h]eLn(nW), 6гЕ 6 Ln_!(S), Ьвд(аО О, S, c[h] 0 в П[н], СЕ (ж) )со на S, с0 = const 0. Тогда однородная задача
fh]{x)DiD3u + b\h](x)Diu + cW{x)u = 0 в Ф, -c D u + b D u + csix + Ju O на ,
и\ея = ° имеет в W%(QW U П ) П W _1(E) П C(Q) только тривиальное решение.
В главе 3 рассматривается задача Дирихле для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений в областях с гладкими замкнутыми ребрами произвольной коразмерности. Хотя эта задача является модельной по отношению к задаче, изучаемой в главе 4, но она представляет также значительный самостоятельный интерес.
В отличие от гладких областей, в которых, как уже упоминалось, эта задача хорошо изучена, почти все публикации, посвященные задачам в областях с особенностями, касаются исключительно линейных уравнений. Для квазилинейных недивергентных уравнений в эллиптическом случае ранее были известны лишь результаты М.В. Борсука ([Бої], [Бо2]), который рассматривал только коническую особенность. Результаты главы 3 являются новыми даже в этом случае, ибо структурные условия, налагаемые здесь на члены младших порядков, как будет указано ниже, менее ограничительны, чем соответствующие условия из [Бо2].
Примерно в то же время, что и результаты главы 3, были опубликованы работы М.И. Плеши (ученика М.В. Борсука) [Пл1]-[ПлЗ], который рассмотрел эллиптическую задачу в области с ребром коразмерности 2 (особенность типа двугранного угла). Следует отметить, что наши результаты о разрешимости сильнее результатов Плеши, ибо его оценки, как и оценки Борсука, основаны на обычном принципе максимума А.Д. Александрова, который в случае ребра применим, только если угол при ребре "достаточно острый" (см. Замечание С.З). Кроме того, наши структурные условия на члены младших порядков и здесь менее ограничительны, чем соответствующие условия из [Пл1]-[ПлЗ].
В §3.1 дается постановка задачи Дирихле для квазилинейной параболической задачи и формулируется теорема существования решения в пространствах Кондратьева.
Предположим, что на ЭГ2 выделено {п — т)-мерное подмногообразие без края S ("ребро"), такое, что в окрестности каждой точки х° Є S область П
диффеоморфна "острому" клину
/Ст( ) С Kmfi, в , (0.4)
причем в можно выбрать не зависящим от х°.
Если т = п, то S будет не ребром, а конической точкой. При этом клин Km(G) вырождается в конус Km(G). Этот случай не исключается из рассмотрения.
Обозначим через d(x) расстояние от точки х до ребра S и введем шкалу весовых пространств LS)(a)(Q) с нормой
Введем также пространства Кондратьева W JQ) с нормой
lM wJ}e)(Q) = ИдМк(а),а + iD(Du)i8t{a)iQ + \\и • (d(x))-2\l {a) Q. В цилиндре Q рассмотрим начально-краевую задачу
dtu — ач (ж, t, и, Du)DiDjU + а(х, t, и, Du) = 0,
u\ffQ = 0. (0.5)
Определим в (#, v) как решение уравнения
ctg(S) = i/-ctg(0), 0Є]О,[, (0.6)
где v - константа эллиптичности из (АО), а в - параметр из (0.4).
Пусть Л(т, в) - первое собственное число задачи Дирихле для оператора Бельтрами на сферической "шапочке" G-§ = Kmg-D Sm:
-kv = kv в ( v\dG = 0.
Обозначим через и) положительный корень уравнения
и2 + (га - 2)ш - А = 0
(заметим, что из условия в 7г/2 вытекает и 1) и положим
Г n-m+2 \ д = шах п, — г—- 2 .
Теорема 3.1.1. Пусть выполнены следующие условия:
•
(і) q Q, а Є (ii) an Є W2q+4a);
n m л 1 n + 2 q + 2 q + (iii) функции a (x,t,z,p) ua(x,t,z,p) удовлетворяют условиям (АО), (Al), (A2);
(iv) 6, Ф Є L,+2)(Q)(Q); Фх Є L,1+2)(ai)(Q); a1+ 1 - ±;
(v) функции ali(x,t:z,p) непрерывны no t;
(vi) функция a(-,z,p) непрерывна no (z,p) как элемент пространства
Lg+2,(Q)(Q) 21
Тогда задача (0.5) имеет решение и G W 2 (а)((2) Заметим, что если линейная теория эллиптических задач в областях с ребрами построена в достаточной общности для всех пространств, которые обычно используются при изучении квазилинейных уравнений (Hk, Lp, С7; г см., например, монографию [НП] и статьи [МШ], [МП2], [MR]), то соответ ствующая параболическая теория еще далека от завершения. Наиболее разработана теория для гильбертовых пространств (можно отметить, например, серию работ [КМ1], [КМ2], [Кзі], [Кз2], в которых рассмотрены задачи в областях с коническими точками). Что касается пространств Lp и Гельдера, то лишь в работах В.А. Солонникова [Со2] и [So3] были получены коэрцитивные оценки решений задач Дирихле и Неймана для уравнения теплопроводности в двугранном угле. В связи с этим два параграфа главы 3 посвящены выводу коэрцитивных оценок в анизотропных весовых пространствах для решения задач Дирихле и Неймана для уравнения теплопроводности в клине с ребром произвольной коразмерности (при этом не предполагается, что клин
K m(G) - ОСТРЫЙ).
В §3.2 получены оценки некоторых интегральных операторов в пространствах Ь5)Г)(а) и 1/5)Г)(а). При этом использована стандартная интерполяционная техника и некоторые идеи из работы [So3].
•
•
В §3.3 доказываются следующие теоремы:
Теорема 3.3.1. Пусть Ах - первое собственное число задачи Дирихле для оператора Белътрами в области G:
AU = AVU в G, U\dG = 0.
Обозначим шх положительный корень уравнения
ш2 + (т - 2) • и - Av = 0.
Пусть 5, г Є ]1,+оо[, а показатель а удовлетворяет неравенствам
т т
2 cuj) а т hш-р.
s s
Тогда для решения задачи Дирихле для уравнения теплопроводности в
клине K,m{G) выполнены оценки
\\dtu\\s,r,{a) + \\D(Du)\\s {a) + \\и • М"-2ЦГ(а) С /U,r,(«),
llW fa) + P(to)lr,(a) + llU к Г21 г,(а) С / Г(а).
Теорема 3.3.2. Пусть А// - первое ненулевое собственное число задачи Неймана для оператора Бельтрами в области G:
дЫ
= 0.
дв
-AU = AMU в G,
дп Обозначим шм положительный корень уравнения
u2 + (m-2)-(j-Atf = 0.
Пусть 5, г Є ]1,+оо[, а показатель а удовлетворяет неравенствам
о т • г гї-i т 2 тт-іцдл 2 а т .
8 s
Тогда для решения задачи Неймана для уравнения теплопроводности в клине JCm(G) выполнены оценки
\\9tU\\Str,(a) + \\D(Du)\\S)rj{a) С /e r (a),
ИЭД1 (а) + \\D(Du)\\:,i{a) С / Гі(в).
Ключевым в доказательстве является такое наблюдение:
Теорема 3.3.4. Пусть О = П х П", П С Жт, П" С Еп_т. Пусть Ор(х ,у ,) - функция Грина задачи Дирихле для оператора теплопроводности в области 0 ; a Gp(x", у", t) - функция Грина задачи Дирихле для оператора теплопроводности в области О.".
+ Тогда функция Грина задачи Дирихле для оператора теплопроводности
в области О задается формулой
& ( , у, t) = Q v{x\ у , t) GUx", у\ t).
Аналогично, функции Грина задач Неймана для операторов теплопровод- 4 пости в областях О, О! и Q" связаны формулой
дя{х, у, t) = G M(x\ у , t) • Q {x\ у", t).
С помощью этой теоремы и известных оценок В.А. Козлова для функции Грина краевых задач в конусе ([Кз1]) доказательство Теоремы 3.3.1 сводится
к оценкам, полученным в предыдущем параграфе. Для доказательства Те оремы 3.3.2 при т 2 предварительно выделяется и оценивается отдельно оператор, порождаемый главным членом асимптотики функции Грина. При т = 2 этот метод не проходит, поэтому доказательство здесь использует оценки функции Грина в двугранном угле, полученные В.А. Солонниковым
« ([Со2]). В п.3.3.4 получены весовые коэрцитивные оценки в полупространстве
(формально это соответствует т = 1).
Как уже упоминалось, фундаментом априорных оценок, необходимых для доказательства теорем существования решения краевых задач для недивер ш гентных квазилинейных уравнений, служат оценки максимума Александров ского типа. Однако если граница области содержит ребро, то, как следует из линейной теории, "правильными" пространствами для правой части уравнения являются весовые пространства Ls ay Локальные оценки максимума решения через нормы правой части в этих пространствах устанавливаются
• в §3.4. Такие оценки позволяют более точно учесть геометрию области, что
видно из сравнения наших результатов (для эллиптических уравнений) с результатами М.И. Плеши.
Принципиальная схема получения таких оценок была разработана автором в [Н] на основе идеи "условных" оценок, предложенной Н.В. Крыловым ([Kpl]). Сначала доказываются "условные" оценки в крайних пространствах шкалы, затем с помощью интерполяции получаются "условные" оценки во всей шкале, и, наконец, вспомогательная функция В оценивается через себя саму, что позволяет свести "условные" оценки к "безусловным". Таким образом получается следующая теорема:
Теорема 3.4.6. Пусть О, С К,т,в{Щ (условие в 7г/2 не накладывается,), п до оо; п #1 со. Пусть С - линейный равномерно параболический оператор в Q
Си = dtu - aij(x, t)DiDjU + b{(x, t)Dtu
с константой параболичности v. Если Ъг Є Lqi+lM_n±L\(Q), то для всех функций и Є W п_п±м(б); таких, что и\я,а 0, выполнена оценка
и N33(n,m) • Л (и)+до+1 (1_М«, где Л зависит только от п, т, и, q\, R и bgi+1 п n±i_sAu.
Далее, если НЬЦоо д щ , т0 длЯ вСЄХ ФуНЩий U Є Wgu 1)(1 n+i)(Q),
таких, что u\g,Q 0, выполнена оценка
и N35(n, т, v, q0) • R"o+i . \\(Cu)+\\qQt{ctQUu.
В п.3.4.4 получены аналогичные оценки через нормы правой части в анизотропных ВеСОВЫХ Пространствах -/s,r,(a:) и - s,r,(a) •
Заметим, что, в отличие от пространств L5)r, широко используемых для изучения параболических задач в областях с гладкими границами (см., например, [МС]), анизотропные пространства Д,)Г, в которых функция суммируется сначала по t, а потом по х, до сих пор не применялись, во всяком
•
т случае, коэрцитивных оценок в этой шкале в литературе найти не удалось.
По-видимому, это связано с тем, что задачи для параболических уравнений принято рассматривать как динамические системы, что возможно лишь в шкале Ls r., и вторая шкала просто не попала в поле зрения исследователей щ как "неестественная". Однако оценки тепловых потенциалов в этой шкале
« . получаются так же, как и в первой (Лемма 3.3.3). Важно отметить, что при
оценке максимума Александровского типа через анизотропные нормы правой части всегда используется более сильная из двух норм, и шкала -s,r,(a) (ПРИ s г) возникает естественным образом.
В §3.5 доказывается теорема существования для линейной задачи в про странствах Кондратьева, а также выводится глобальная оценка максимума решения. При этом условие остроты клина Km{G) не накладывается.
В §3.6 получены гельдеровские оценки для решений квазилинейной задачи (также без условия остроты клина JCm(G)). Для этого конструируется новая барьерная функция (Лемма 3.6.1), после чего сшиваются оценки в окрестно-сти ребра с известными оценками из [ЛУЗ].
В §3.7 выводится локальная оценка гёльдеровской нормы градиента решения в окрестности ребра. Острота клина JCm(G) по-прежнему не предполагается, однако требуется выполнение оценки
\u(x)\ C(d(x))l+ , $ 0 (0 7)
Вывод оценки использует хорошо известную идею масштабирования (так называемый метод слоев Кондратьева) и локальные оценки градиента решений в гладких областях ([ЛУ4], [ЛУ5]).
В §3.8 устанавливается оценка (0.7) в предположении, что /Ст - острый клин. Для этого строится специальная барьерная функция (Лемма 3.8.1), а затем применяется итерационный метод, предложенный О.А. Ладыженской и Н.Н. Уральцевой ([ЛУ5]) для оценки градиента решения на границе области.
В §3.9 получены глобальные оценки максимума для решения квазилиней ной задачи, после чего Теорема 3.1.1 доказывается по стандартной схеме.
В Приложении В собраны результаты, касающиеся априорных оценок и теорем существования решения задачи (0.5) в анизотропных пространствах Кондратьева. Поскольку все основные идеи доказательств в этом случае со храняются, то приведены только формулировки и краткие указания к дока- зательствам.
В Приложении С формулируются результаты для стационарной задачи, аналогичной задаче (0.5). При этом обсуждаются лишь теоремы, имеющие существенные отличия от параболических. Как отмечается в Замечании С.З, в случае конической точки (га = п) при 2 — ш можно получить все апри- " орные оценки через обычные (невесовые) нормы функций 6, Ф, Фі. Именно
это было сделано в работах [Бої], [Бо2]. При этом накладывалось условие Ь, Ф Є Loo,(i-e)) более ограничительное, чем условие (v) Теоремы С.6.
В четвертой главе изучается квазилинейная двухфазная задача Вентцеля в случае, когда пленка Е и внешняя граница д1 пересекаются трансверсаль- но. Это означает, что части области ПШ и ПИ имеют на границе ребро. Поскольку естественными функциональными пространствами для задач в областях с ребрами являются пространства Кондратьева, то уравнение на пленке также следует решать в весовых пространствах с весом, равным некоторой степени расстояния во внутренней метрике пленки от точки до ребра.
В §4.1 дается постановка эллиптической двухфазной задачи и формулируется теорема существования решения в составных пространствах Кондратьева.
Предположим, что S = Е П dfl есть (п — 2)-мерное подмногообразие без края, причем в окрестности каждой точки х° Є S касательные плоскости к Е и к dVt пересекаются под углом 2$(я°), и 7г/2 — $(х°) 9 7г/2.
Обозначим d(x) расстояние от точки х до подмногообразия S, a d{x) -расстояние во внутренней метрике многообразия Е от точки х є S до под • многообразия S. Введем следующие шкалы пространств:
Ь (а)(П) - весовые пространства с нормой • Щ да), где
\Mq,(a),n = \\(d(x))a u\\q n; Lgi(a)(E) - весовые пространства с нормой • д)(а)д], где
Mq,(a)$ = \\(d(x))au\\q#
Wqfa)(ty множество функций в Q, имеющих конечную полунорму [D(-Dtt)Ig,(a),n; аналогично, W S) - множество функций на Е, имеющих конечную полунорму D (D iOg (a),E.
Отметим, что полунормы l\D(Du)\lq a) и \\D (D u)\\qi(a)tY, являются нормами, если и обращаются в нуль на сЮ и S, соответственно.
Введем еще пространство
У в)(П) = {« Є W,2,(v)(fil4 UО») Л У .Ца,0(Т) ПС(Щ : и\да = о} . Рассмотрим двухфазную эллиптическую задачу
— а1щ(х, и, Du)DiDjU + ащ(х, и, Du) = О в Qr\
— а2(ж, w, Du)DiDjU + ащ(х, и, Du) = 0 в Qp\
— a%li{x u,D u)DlD jUJraYl{x u D u)-\-Zu = Q на E,
и\ва = 0, (0.8)
где Z обозначает стационарный оператор "скачка".
Определим в = 9{6,v) как решение уравнения (0.6), где z/ - константа эллиптичности из (АО), а в - параметр трансверсальности, и положим
п-2
g = max \ п, _ . Теорема 4.1.1. Пусть выполнены следующие условия: (i)f q co, max{-i,2-f-§} a l-f; (ii) ЯДОєУї(в)пріі/і = 1,2;
(iii) для всех возмоэюных решений v№ Є Vj?,а)( ), т Є [0,1], семейства задач
S
т(—агщ{х, и, DujDiDjU + ащ{х, и, Du)) -(1-т)Ди = 0 в «М,
т{-а%{х,«, D u)D?DjU + аЕ(ж, и, u) + ) - (1 - г) Агг = 0 на Е,
«ап = 0, справедлива оценка \\U T \\Q Мо/
(iv) при г Мо выполнены условия1 (АО), (Al), (А2), (ВО), (Bl), (В2), (JO), (Л);
(v) Ьщ, ФИ Є 4(e)(fi[ft]), /i = l, 2; fc, ФЕ Є Le_lf(eg0(E);
(vi) фИ Є Lft (ei)(nW), Л = 1,2, Ф? Є Ьй_1(аій0(Е); а1+ 1 - J;
(vii) функции ащ(-,г,р), h = 1,2, непрерывны no (z,p) как элементы пространств Lg (a)(f2 ); а функции Ь щ{-,г,р)} h = 1,2, и a%(-,z,p ) непрерывны по (z,p) как элементы пространства 1Ц_;цад/)(Е).
Тогда задача (0.8) имеет решение и Є Vjwa)( ) В §4.2 изучается разрешимость вспомогательной задачи Дирихле в весовых пространствах, которая используется затем для решения уравнения на Е. Результаты этого параграфа в основном соответствуют результатам о разрешимости в обычных пространствах Соболева (см. [ЛУ4]). Для получения априорных оценок используется новая версия принципа максимума Александрова (п.4.2.2), разработанный в [АН2] метод получения оценок градиента для уравнений с "составной" правой частью и младшими коэффициентами (п.4.2.4), а также метод масштабирования (п.4.2.5).
§4.3 посвящен разрешимости линейной двухфазной задачи. Ключевую роль здесь играет лемма о продолжении функций из весовых пространств.
1 Все функции, входящие в эти условия, не зависят от переменной t.
Лемма 4.3.1. Пусть 1 - J - а+ О, и дП є W(a); h = 1,2. Тогда существует оператор продолжения
Ф : ,,( (2)-. ,,,(014),
4,
такой, что
\\D{D hu) lqt{a)m С(/і]р ( )9_1)И0іЕ,
причем константа Сщ зависит только от q, а. и от свойств д&№.
Пусть D-h - линейные равномерно эллиптические операторы в fih\ В -линейный равномерно эллиптический оператор на пленке Е:
С[% = -JfcWDiDjU + b\h](x)DiU, Ви = -c?i(x)DlD u + ЩхЩи.
a J - оператор "скачка"2 на Е.
Теорема 4.3.3. Пусть q и в - константы, введенные выше. Пусть выполнены условия (i)-(ii) Теоремы 4-1-1 Предположим еще, что
4J є с(ад, /w b[ft] є к(а)(ії% h -1,2,
а%1 Є C(E), /E, bs, ЬЕ,[І], &E,[2] Є L,_lt(a9/)(S).
Тогда задача
Wu = f[h] в fiW, Л = 1,2, /Згг + J"u = /s на E, ап = 0,
однозначно разрешима в пространстве 2 ,аЛО), при условии, что соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение.
Единственность решения однородной задачи установлена в Теореме 4.3.4 при дополнительном условии локальной ограниченности коэффициентов ЬЛ1, Коэффициенты fcS[ft] не зависят от переменной t.
•
•
&, s,[/i]. Вопрос о возможности замены этого условия на естественное условие (4.3.24) в общем случае остается открытым.
В §4.4 на основе полученных ранее оценок решений модельных задач выводятся априорные оценки градиента решения и доказывается Теорема 4.1.1.
В Приложении D рассмотрена соответствующая параболическая задача. Большинство утверждений здесь доказываются вполне аналогично стационарным аналогам, поэтому для них даются только краткие пояснения. Подробно доказывается лишь анизотропная лемма о продолжении.
Лемма D.5 (4.3.1 ). Пусть показатели q, q, г, г, а и а удовлетворяют условиям
, п 2 л , п-1 2 _
1 а+ 0; 1 - а+ 0;
q г q г
„ , \ п п-1 2 2 _ , .
q д, г г, (а-а)+ — + - - -; q r, (0.9)
q q г г
и пусть Ш Є Vg2)(a); /І = 1,2.
Тогда существует оператор продолжения
такой, что
Ши\1 ат С щ1и\\щ ту
где константы С щ определяются q, q, г, г, а, а и свойствами dw1 .
Если последнее неравенство в (0.9) заменить на г q, то справедливо утверждение, получающееся заменой пространств W на W.
В главе 5 рассматривается полностью нелинейная задача Вентцеля для эллиптических уравнений
F(x,u,Du,D2u) = 0 в П, К ; (0.10)
-Gi(x,u,D u,(D )2u) + G2(x,u,Du) = 0 на Ш. В §5.1 дается постановка задачи и формулируется теорема существования.
Будем предполагать, что уравнения в (0.10) равномерно эллиптические, т.е. неравенства
«( . "- Ifl2 VfeR», (FO)
"Iff ( glf ( ,( ) І КГ Vf Є К""1, (GO/1)
{у = const 0) выполнены при всех значениях аргументов.
Далее, функции F и G\ подчинены Бернштейновским условиям роста (здесь ц и 7Г - некоторые положительные константы)
\F(x,z,p,r)\ / (! + Н2 + И), і(я, ,Р ,г ) тг • (1 + р 2 + г ),
(F1-G1/1) вогнуты по вторым производным:
0, § 0, (F2-G2/1)
и удовлетворяют естественным структурным ограничениям на первые и вторые производные.
Аналогично, функция G% подчинена условиям
dG2&Z p) .n(s) 0, С?2(з,г,р) тг • (1 + И),
/a2G2 \ (G0/2-G2/2)
2n,n) 0,
\ др2 і
и удовлетворяет естественным структурным ограничениям на первые и вторые производные.
Как известно, при доказательстве разрешимости полностью нелинейных уравнений условие (F2) в общем случае опустить нельзя. Вопрос о необходи мости условия выпуклости функции G2 по нормальной компоненте Du пока остается открытым.
Теорема 5.1.1. Пусть выполнены следующие условия:
т (і) дП GW ,n q со;
(ii) F Є Wljoc(Q x Ш x W1 x Sn), Gi Є WlM(dQ xRx W1 1 x S""1), Gi Є Wi,Zoc(an x Ж x Шп);
(iii) для всеж возможных решений г№ Є V (0); г Є [0,1], семейства задач
TF(X,U,DU,D2U) + (1)AU = 0 в а,
I r[-G1{x,u,D u,(D )2u) + G2(x,u,Du)] +
+ (1)(-AU + U) =0 на дП, справедлива оценка \\W \\Q = MQ;
(iv) при \z\ М0 выполнены условия (F0)-(F3), (G0/1,2)-(G3/1,2).
Тогда задача (0.10) имеет решение и Є V (O).
В §5.2 получены оценки градиента решения. При этом для вывода вспомогательных оценок (Леммы 5.2.1 и 5.2.2) применяется модификация методов [LiT] и [ЛУ1, Гл.VI]. В частности, при выводе гельдеровских оценок потребовалось ввести дополнительную барьерную функцию для подавления членов, содержащих еще не оцененную нормальную производную. Далее, как и в Теореме 2.5.2, используется метод масштабирования и Лемма 2.5.1.
В §5.3 установлены приграничные оценки вторых производных решения. При этом используется модификация идеи [Т], а также граничные оценки градиента из [АН2].
В §5.4 доказывается Теорема 5.1.1, а также обсуждаются условия на F, G\ и С?2 при которых выполнено условие (iii).
В последней, шестой главе исследуется вырожденная задача Вентцеля для квазилинейных эллиптических уравнений. В §6.1 дается постановка задачи и формулируется теорема существования.
Рассмотрим краевую задачу
[w] = -aij{x, и, Du)DiDjU + а{х, и, Du) = О в О, (0.11)
Щи] = в(х) \-as (x, и, D u)D sD mu + аф, и, D u)] +
+ 6s(rc,u, Du) = 0 на dfl.
Мы считаем, что граничное уравнение в (0.11) является равномерно вырождающимся условием Вентцеля, т.е. функция в допускает полное вырождение, в то время как оператор в квадратных скобках равномерно эллиптичен по касательным переменным. С точки зрения теории диффузионных процессов, такая задача описывает ситуацию, когда толщина пленки может обращаться в нуль на некотором подмножестве dfl.
Отметим, что в работах [Lo2], [LoT2] предлагалось рассматривать другие типы вырождения граничных условий. Однако доказательство гельдеровости решения в [Lo2] и вывод оценок градиента в [LoT2] содержат существенные пробелы. Подчеркнем, что наша техника отличается от [Lo2], [LoT2].
Предположим, что
0 0, 0 Є Wl(dQ). (Т)
Пусть (а13 ) и (аР) - симметричные матрицы, удовлетворяющие условиям3 (АО), (ВО). Пусть выполнены Бернштейновские условия роста
\а(х, z,p)\ ! •(! + М2) Ы ,р ) тг - (1 + И2)- (А1-В1)
Предположим, кроме того, что член & представляет собой производную по некасательному к 0Q, векторному полю, т.е.
дь р) • п(х) к Мх,2,р)К х-1 • (1 + Ы) (ВО -ВГ)
(здесь х = const 0).
Наконец, все функции, входящие в уравнения (0.11), имеют вторые обобщенные производные по своим аргументам и удовлетворяют некоторым естественным структурным ограничениям.
Теорема 6.1.1. Пусть выполнены следующие условия:
(і) дй eW ,n q оо;
3 Функции, входящие в эти условия, не зависят от переменной t.
(ii) для всех возможных решений г/[т] Є Vq(dQ) задач
т[и] -(1- т)Аи = 0 в Q, r г
те 0;1
тЗД + (1-т)(-Ди + и) = 0 на 9П,
справедлива оценка i[T]n MQ; (iii) выполнены условия (АО), (А1), (А2), (Т), (ВО), (В1); (В2); (iv) в условии (А2) Ф Є Ln(Q).
Тогда задача (0.11) имеет хотя бы одно решение и Є C2{Vt).
В §6.2 получены приграничные гельдеровские оценки решений. При этом на функцию 0 накладывается лишь условие липшицевости. Сначала устанавливается оценка неотрицательного решения в окрестности точки вырождения граничного условия (Лемма 6.2.1), далее (Теорема 6.2.3) эта оценка сшивается с известными оценками для невырожденной задачи. Отметим, что аналогичным путем можно получить гельдеровскую оценку для решений параболической равномерно вырождающейся задачи Вентцеля.
В §6.3 получены оценки градиента решения при условии \/0 є W dQ). Отметим, что метод, примененный в главах 2 и 5, не применим в случае вырожденного граничного условия. В связи с этим для оценки максимума модуля касательного градиента (Теоремы 6.3.1 и 6.3.1 ) применяется модификация метода [LiT]. Для получения гельдеровской оценки касательного градиента (Теоремы 6.3.2 и 6.3.2 ) модифицируется метод [ЛУ1, Гл.VI]. Именно, аналогично §5.2, вводятся дополнительные барьерные функции для подавления членов, содержащих еще не оцененную нормальную производную, и сшиваются оценки вблизи и вдали от точек вырождения граничного условия. После этого оценка полного градиента следует из результатов G. Lieberman a ([Lil]). Отметим также, что аналогичным способом можно получить оценку градиента решения полностью нелинейной задачи.
В отличие от невырожденной квазилинейной задачи, при наличии вырождения требуются еще оценки вторых производных, которые выводятся в §6.4. Идея этого вывода похожа на доказательства из §5.3, но, с одной стороны, линейность задачи по вторым производным дает возможность получить двустороннюю оценку (6.4.16), а с другой - здесь вновь приходится сшивать оценки около точек вырождения с оценками для невырожденной задачи.
Наконец, в §6.5 доказывается Теорема 6.1.1, а также обсуждаются условия на функции, входящие в (0.11), при которых выполнено условие (ii).
Результаты работы докладывались на международном семинаре "Days of Diffraction" (СПб, 1998), на международных конференциях по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 1999 и 2002), на международном симпозиуме, посвященном 150-летию со дня рождения СВ. Ковалевской (СПб, 2000), на школе-семинаре EVEQ-2000 (Прага), на III Европейском Математическом Конгрессе (Барселона, 2000), на международных конференциях "Differential Equations and Related Topics", посвященных И.Г. Петровскому (Москва, 2001 и 2004), на международной конференции EQUADIFF-2001 (Прага), на XIV Всероссийской математической школе "Понтрягинские чтения" (Воронеж, 2003), на международной конференции "Nonlinear Partial Differential Equations" (Алушта, 2003). Кроме того, результаты неоднократно докладывались на семинаре имени В.И. Смирнова (ПОМИ РАН; руководители - О.А. Ладыженская, М.Ш. Бирман и Н.Н. Уральцева) и на семинаре по нелинейным дифференциальным уравнениям (МГУ; руководители - Е.М. Ландис и В.А. Кондратьев).
Основное содержание диссертации отражено в работах [1-17].
В начале каждой главы приводится отдельный список обозначений. Параграфы имеют двойную, а пункты - тройную нумерацию. Формулы и теоремы имеют тройную нумерацию, сквозную в пределах параграфа. При ссылке на формулу или теорему из той же главы даются две последние цифры ее номера, при ссылке на другую главу - полный номер.
Свойства повторных потенциалов
Так как оба слагаемых в правой части (2.2) имеют правильную внутреннюю нормальную производную, то существует и правильная внутренняя нормальная производная повторного потенциала WQQ: где последнее слагаемое представляет оператор со слабой особенностью. Вычисление для внешней области проводятся аналогично. Теорема 1.2.2. Пусть Е Є С2. Потенциал двойного слоя WQ имеет правильную нормальную производную тогда и только тогда, когда существует функция v Є С (Ті), такая, что до = Vjf Е. Доказательство. Первая часть утверждения доказана в Лемме 2.1. Докажем вторую. Пусть WQ имеет правильную внутреннюю нормальную производную (по теореме Ляпунова ([Ля]) это равносильно тому, что WQ имеет правильную внешнюю нормальную производную). Тогда WQ является решением следующей задачи Неймана: Поэтому WQ fi представим в виде потенциала простого слоя, т.е. существует такая функция v\ Є C(S), что Wfi = VQ1 В fit-. Аналогично, существует такая функция Є С(Е), что WQ = VQ2 В Qe Ф (при п = 2 для доказательства нужно дополнительно учесть, что WQ(X) — 0 при \х\ — со). Следовательно, } Заметим, что достаточные условия существования правильной нормаль ной производной у потенциала двойного слоя получены A.M. Ляпуновым [Ля]. (если х — х, то все производные понимаются в смысле прямого значения). Тогда: 1) F(x, х) непрерывна на Е; 2) справедливо соотношение где #(rr) - средняя кривизна поверхности Е в точке х относительно внешней нормали. Доказательство. Будем считать, что 5 0. Случай 5 0 рассматривается аналогично. Выражение (2.3) можно переписать в виде Таким образом, при х = х интеграл в (2.5) имеет слабую особенность, и потому F(x,x) непрерывна на Е. Утверждение 1) доказано. Для вычисления скачка (2.4) достаточно исследовать где и = ЕП B{x) (интеграл по T\u непрерывен при 5 = 0). Из (2.6) получаем Известно (см. [БЗ, 15]), что где Л(х) - матрица оператора Вайнгартена поверхности Е. Из (2.7) с учетом (2.8) получаем причем ([М, гл.14]) интеграл по ие от последних двух слагаемых равномерно сходится в точке х и потому непрерывен при 5 = 0. Переходя к интегрированию по касательной плоскости и отбрасывая непрерывные при 5 = 0 слагаемые, приходим к интегралу W-И п f (-4W где и е - проекция и на касательную плоскость к поверхности Е в точке х. Замена переменной в интеграле (2.9) z = v p и предельный переход при 5 — 0 дают интеграл Пользуясь тем, что собственные числа матрицы — Л{х) есть главные кривизны поверхности Е в точке х относительно нормали пж, вычисляем и утверждение 2) доказано. Теорема 1.2.4. Пусть Е Є С2, fi Є С(Е). Тогда повторный потенциал V{L имеет вторую правильную внутреннюю и внешнюю нормальную производную, причем где б{2), 6І2) - операторы со слабой особенностью. Доказательство.
Запишем вторую производную повторного потенциала в виде Леммы 2.3 и 2.1 показывают, что первое и второе слагаемое имеют пределы при х = х ± 5пх, 5 — О, и справедлива формула (2.10). Следствие 1.2.5. Пусть п = 2, Е - замкнутый С2-гладкий контур. Тогда повторный логарифмический потенциал отображает С() на С2(Е). Это следует из Теоремы 2.4 и того факта, что для функции, гармонической в плоской области, существование второй нормальной и второй касательной производной равносильны. Утверждение следствия любопытно тем, что образ С(Е) при действии логарифмического потенциала не содержит С1(Е) и не содержится в нем. Будем искать решения задач (Vi) и (Ve) в виде повторных потенциалов где \і Є С(Е). Поскольку и автоматически является решением уравнения (1.1), граничные условия (1.2), (1.3) можно переписать в виде где q = + OL для задачи (V ) и g = = - а для задачи (Уе). Подставляя в равенство (3.2) представление (3.1) и учитывая Теорему 2.4, получим интегральное уравнение на Е относительно неизвестной функции /і: Здесь T(f) и Т(е) - операторы со слабой особенностью. Поэтому все решения ц Є 1 2(Е) уравнений (3.3$), (З.Зе) непрерывны на Е. Лемма 1.3.1. Пусть Е Є С2, /І Є С(); функция и определена формулой (3.1), ии = 0 вЖп. 1. "сли п 3их=0, то fi = 0 на Е. 2. Если п 2, и к О не является собственным числом задачи Дирихле то \i = О на S. Доказательство. Поскольку й = 0в IRn, то 1. Если п 3, то в силу (3.5) потенциал VQ решает внутреннюю и внешнюю однородные задачи Дирихле для уравнения Лапласа. По теореме единственности для этих задач VQ = 0 в Rn, и потому, аналогично (3.5), /z = 0 на Е. 2. При О потенциал V решает внутреннюю и внешнюю однородные задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца (независимо от размерности п). По теореме единственности для внешней задачи Дирихле V = 0 в Ое. Ввиду условия на к также V% = О в Пг-, и, аналогично (3.5), // = 0 на Е. П Пусть п 3. Рассмотрим вначале задачу (Vi). Если есть решение однородного уравнения (З.Зг-), то функция и, определяемая формулой (3.1) при я = О, решает однородную задачу (Vi). Рассмотрим два случая. a) Пусть к2 ф и. Тогда и = О в Пг-. Поэтому функция и является решением однородной внешней задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца. По теореме единственности для этой задачи ([С, п.131]) щ = 0в Qe. По Лемме 3.1, часть 1, /і = 0 на Е. Итак, при к2 . а однородное уравнение (З.Зг) имеет только тривиальное решение. Следовательно, уравнение (З.Зг), а вместе с ним и задача (Vi), при к2 ф а разрешимы для любой / Є С(Е). b) Пусть к2 Є о. Тогда функция V есть решение однородной задачи (Vi) и по Лемме 1.2 представима в виде линейной комбинации {vp}, р — 1,...,1 Пусть fii,..., fij - базис Кег(-//4 + 5Г(і)). Докажем, что п , ..., 1 .
Разрешимость линейной двухфазной задачи Вентцеля
Пусть (лл) - линейные параболические операторы: Пусть В - линейный параболический оператор на пленке: Пусть, наконец, J" - оператор "скачка": дії дії Ju = bSl(m)(z, ) Дт -Q {X + є n(x);t) - b t{ex)(x, t) lim — x + є п(ж); t), Рассмотрим решения задачи удовлетворяющие начально-краевому условию Теорема 2.3.1. Пусть Е Є W%+1. Предположим, что функция и Є су -І выполнена оценка supu+ C5 {supu+ + H/ Hn-fLSM + H/i lln+LfiC-) + где C5 зависит только от n, v, T, diam CI, свойств поверхности E; величии И /лИи-ц лл), ІІ ЕІІП.ЕТ? и от модулей интегральной непрерывности функций Ьг,щ, с_ в пространстве Ln+i(Q hh ) и функций 6S, с%-, Ъщщ в пространстве Ьп(Т т) Замечание 2.6. Условие Е Є W +1 позволяет распрямить поверхность Е в окрестности произвольной точки х Є Е. Радиус такой окрестности R полностью определяется свойствами Е. Поэтому можно выбрать R не зависящим от х Е. Легко проверить, что в новых координатах сохраняются все условия, наложенные на коэффициенты C hh\ В, J и на правые части уравнений (3.1)-(3.3). "Новые" константы при этом полностью определяются "старыми" константами и свойствами Е. Будем считать, что в результате такого распрямления функции f n\ f переходят в /Ш и /И, а операторы (гп\ &ех\ В, J принимают вид L \ lP\ Б, J, соответственно (здесь Z/W, l№\ Б, J такие же, как в 2.2, с сгщ = 1, тг = 1). Однако мы сохраним обозначения для и в QR,T Доказательство. Разобьем цилиндр Q. на В частей (2щ = 2х]7\_і, Т [, То = 0, Tk = f, 1 к t. Значение I определим позже. Рассмотрим для начала цилиндр Q и предположим, что и достигает положительного максимума на Е в точке (x;t). Ввиду замечания 2.6 мы можем распрямить Е в окрестности точки х, перенеся х в начало координат и рассмотрим в новых координатах цилиндр QR,TI С Q{I}- Согласно тому же замечанию, задача (3.1)-(3.3) в QR принимает вид Более того, 6Г,[1] О, Ьг [2] 0, на Гад. Введем срезающую функцию = (х), такую, что Рассмотрим функцию где положительный параметр н\ будет определен позже. Прямым вычислением получаем №(X, t) = cW(sf ) + -LJ U "2 LL- Далее, определив линейный параболический оператор В: В = Применяя Теорему 2.1 к функции г; — sup g т;+ в цилиндре QR , получим оценку . sup.«+ Си/" {([%)+п+1ат + (32Ч+„+1вй }+ Уя.Ті 1 где Сі и Сг - константы из Теоремы 2.1, & N\ = v + - max{Ci, С2}. Теперь легко видеть, что можно выбрать параметр к\ так, что N, {Ц(с1Ч + xi)-\\n+UQmTi + \\021 + "O-IU.c + Ш + )-11-, .,,} «= , и xi будет определяться лишь величинами, приведенными в условии теоремы. Тогда (3.6) принимает вид где и X2 выбрано так, чтобы выполнялось неравенство ЛІІКсР» + )-n+1,aw + ЛГ«(с « + «s)-IUlie8? J. Так же, как и хі, значение Х2 определяется известными величинами. Теперь подставим мажоранту для supST и+ из (3.7) в правую часть (3.8) и (2.9).
Поскольку sup /g и+ s\xpd„QU+, и получим sup u+ ie( i+ )TiSupu+ + 2eX2Tl {supu+ + 2(1 + iV2eXlTl)supu+(-,0)+ Выбирая В (и, следовательно, Ті) так, что S-Xl+x Tl , мы приходим к оценке где І\Г5 = 16eX2Tl(l + e"lTl)[N2 + max{l, JV3,N4}]. Теперь рассмотрим цилиндр Q{2}- Повторяя те же рассуждения, получаем Оценка (3.10) позволяет переписать последнее неравенство в виде SUpU+ N5(N5 + l){supu+ + /+n)n+l,QM + 11/+ lln+l,Q(-) + /Е+П,ЕТ}. Q{2) d Q Аналогично, для к = 3,..., ї получаем supи+ N5(N5 +1) (814)11+ + ll/I L+i.aM + l/fIUi,Q(e ) + /Е+П,ЯГ}. Q{k} d Q Полагая С5 = N5(N5 + I) -1, получим (3.5). П Замечание 2.7. Очевидно, что оценка supu_ С ъ {supu_ + /l! n)n+1)QM + \\1{-х)\\п+Ше ) + H/s-lksr} (2.3.5 ) Q d Q получается так же, как (3.5). Здесь С 5 определяется почти теми же величи + нами, что и Сб. Следует только заменить с+ (х, t) и ср -(х, t) на с_\х, t) и сг,-(#,), соответственно. Теорема 2.3.2. Пусть Е и 9Г2 - поверхности класса W +2, Е П 9Г2 = 0. Предположим, что функция и Є Vq!f.2(Q) является решением задачи (3.1) (3.4) Если вдобавок равномерно no t [0, T], /(W, Им)І c w є Lg+2(Q(Wi)), /Б, ЙІ, QE, 6E(jn), 6E)(ex) Є L,+1(ET), mo зависит только от п, v, q, Т, сІіат(П)., свойств Е w сЮ, dist{E, 50}, величин b(M)g+2,Q fcfcb lc(ftA)?+2,Q(fcfc); ИЬУІв+І.Ет, CSg+l,Sr ll&S,(Wi)ІІ9+1,ЕГ и от модулей непрерывности коэффициентов аХм(-;) u a -ji). Доказательство. Рассмотрим уравнение (3.3) как автономное параболическое уравнение на Еу, переписав его в виде Известно, что для любого решения (3.12), удовлетворяющего нулевым начальным условиям, выполнена оценка (для непрерывных коэффициентов аг-1 см., например, [ЛСУ, Гл.IV, 10]; случай разрывных по t коэффициентов рассмотрен в работе [КгЗ]). Здесь 7V6 определяется n, q, &ЕІІд+і,ЕТ csg+i,Er и мажорантой модуля непрерывности коэффициентов а (;). Пользуясь определением оператора "скачка" J, можно переписать последнее неравенство в таком виде: + ЬЕ,(т)1в+1,Ег jDuQ(,n) + &Е,(е:с) Н-1,Ет 11 41 Q(e )}- (2.3.13) Используя теорему о продолжении ([АН1, теорема 6.1]), распространим функцию U\Y,T В цилиндры Q(m) и Q(ex с выполнением соотношений ІІ п)ІІ (Є(-)) 7ІІ«Іий\(Ег), %=,0 = 0 в fiC»), (2.3.14) №{ex)\\w%2(QW) 7ІНІи#і(Ег) й(еж)Ь"2и{п(-)х{0}} = 0, (2.3.15) где через и и v,(ex) обозначены соответствующие продолженные функции, а N7 = Nj(n, g, Е, dist{E, дЩ) - константа из теоремы 6.1 [АН1]. Из (3.1)-(3.2) и (3.4) следует, что функции у щ = и — u hh являются решениями следующих начально-краевых задач: Оценки для решений этих задач дают IMIH$,(QW) Л ЧіІ/(лл)іич-2,а мЧ-[ (л/1)т 24І2(а( ))ч- д+2,аслм} (2.3.16) (для непрерывных коэффициентов агз см., например, [ЛСУ, Гл.IV, 9]; случай разрывных по t коэффициентов рассмотрен в [КгЗ, Кг4]). Здесь Щ ОПреДеЛЯЮТСЯ П, q, СВОЙСТВаМИ Е, Величинами &(M)g+2,Q№ ), 11с 11д+2,д(лл) и мажорантой модуля непрерывности коэффициентов fihh\( ]t), а Щ , вдобавок, еще и свойствами сЮ.
Вспомогательные оценки интегральных операторов
Замечание 3.4. При т = 2 это утверждение доказано в [So3]. Доказательство. Выберем числа / и / так, что (такой выбор (3\ и / возможен ввиду условий (2.2)). Рассмотрим произвольную функцию h Є Ls и оценим функцию 65/г с помощью (2.1) и неравенства Гельдера: В последнем интеграле сделаем замену х — у = z\/t — г и, интегрируя по у" (если п т), оценим его через интеграл t ехр(--ф 2)ж " +а-2 8У - г уТ ТИ-&-) dz dt В силу (2.4) показатель особенности в точке ж меньше т. Поэтому внутренний интеграл сходится, причем из соображений однородности видно, что В полученном интеграле сделаем подстановку — г = 5 и оценим его через интеграл по полуоси, который сходится, так как ввиду (2.4) скорость убывания подынтегральной функции на бесконечности больше единицы. При этом из соображений однородности Д с a/2 2s . Подставляя это неравенство в оценку (2.5), получаем В последнем интеграле сделаем замену у — х = zy/t — т и, интегрируя по х" (если п га), оценим его через интеграл h _ (y -A/ 7 + 2/l + VF=7)(ft+ft)8 В силу (2.4) показатель особенности в точке у меньше га. Поэтому внутренний интеграл сходится, причем из соображений однородности В полученном интеграле сделаем подстановку t — т = s и оценим его через интеграл по полуоси, который сходится на бесконечности ввиду (2.4). Из соображений однородности її с. Лемма доказана. Замечание 3.5. Утверждение леммы остается справедливым при s = 1 и при s = со. Доказательство при этом претерпит лишь минимальные изменения. Лемма 3.2.2. В условиях Леммы 2.1 оператор (5 с ядром (2.3) ограничен в пространстве Ls OQ. Доказательство. Рассмотрим произвольную функцию h Є LSt0Q и оценим функцию 0/i с помощью неравенства (2.5): (показатели / и / выбраны из условий (2.4)). Подставив в это неравенство оценку для Д, полученную в предыдущей лемме, получим Последний интеграл оценивается так же, как Д и, таким образом, ограни чен при всех у. Лемма доказана. Теорема 3.2.3. В условиях Леммы 2.1 оператор 0 ограничен в пространстве LStr при всех г Є ]1, +оо[. Доказательство. При г s утверждение теоремы следует из Лемм 2.1, 2.2 и обобщенной теоремы Рисса - Торина ([Тб, теорема 1 п. 1.18.7]). При г s рассмотрим сопряженный оператор 0 , ядро которого имеет вид где а = 2 — а. Заметим, что функция G(y,x,t) удовлетворяет неравенству (2.1) с "рокировкой" показателей ш\ и о . Далее, показатель а удовлетворяет условию (2.2) с заменой s на s и ш\ на UJI. Дословным повторением доказа тельств Лемм 2.1 и 2.2 получаем, что оператор 0 ограничен в пространствах Lsi и LS )0O. Из первой части теоремы видно, что он ограничен в пространстве Lsi,ri. Поэтому оператор 0 ограничен в пространстве Ls r.
Предложение 3.2.4. Пусть оператор 65 при некотором s Є ]1,+оо[ удовлетворяет двум условиям: 1. Для любой функции h справедлива оценка 2. Для любой функции h, носитель которой содержится в слое \т — т\ 5, причем f h(y, т) dr 0, справедлива оценка / где константа с\ не зависит от 5 и т. Тогда для любого г Є ]1, s[ справедлива оценка где константа cs зависит только от s, г, с\ ис\. Доказательство. Это утверждение - частный случай теоремы 3.8 [БИН]. Лемма 3.2.5. Пусть т 1, и для функции Q(x, у, і) при t 0 выполнена оценка ТЪгда npw выполнении неравенств (2.2) интегральный оператор 65 с ядром удовлетворяет второму условию Предложения 2.4 Замечание 3.6. При р = О формула (2.8) совпадает с (2.3). Доказательство. Ввиду тождества J h(y, г) dr = 0 имеем t !,,а [G(xt y,t-r)- G(x, у, t - r)J . h(y, т) dy dr. Оценим выражение в квадратных скобках при \т — т\ 5 по формуле конечных приращений с учетом оценки (2.7): Выберем числа / и / так, что Тогда в силу неравенства Гельдера В последнем интеграле сделаем замену х — у = zyt — r и, интегрируя по у" (если п га), оценим его через интеграл В силу (2.9) показатель особенности в точке х меньше га. Поэтому интеграл сходится, причем из соображений однородности Подставим это неравенство в оценку для (&h)(x, t). Тогда выражение в левой части (2.6) можно оценить, используя неравенства Минковского и Гель-дера (с учетом того, что Pi + / 0): последнем интеграле замену у — х = гл/t — т и интегрируя по ж" (если п т), оценим его через интеграл _[ 0О Ввиду (2.2) показатель особенности во внутреннем интеграле в точке у меньше т. Поэтому интеграл сходится, причем из соображений однородности Теорема 3.2.6. Пусть выполнены условия Леммы 2.1 и Леммы 2.5 при /9 = 0. Тогда оператор 65 ограничен в пространстве Ls r при всех г Є ]1, +оо[. Доказательство. При г = s утверждение теоремы доказано в Лемме 2.1. При г s утверждение следует из Лемм 2.1, 2.5 и Предложения 2.4. При г s следует, как и в Теореме 2.3, перейти к сопряженному оператору.
Оценки решения задачи Неймана в двугранном угле
Схема из п.3.2 не проходит в случае т = 2, так как асимптотическое разложение В.А. Козлова ([Кз1]) для задачи Неймана в этом случае не имеет места. Поскольку, как указывалось в Замечании 3.9, оценка из Теоремы 2.2 при т = 2, 5 = г уже получена в [So3], в этом пункте метод [So3] будет распространен на анизотропные пространства. ядро t -DiDjQj (x, y,t — r) представлено в виде суммы трех слагаемых: (3.3.24), Функция Q(x, у,і),в зависимости от положения точки у, есть либо (х — у, ), либо сумма двух функций той же структуры. Ограниченность в Ls сингулярных интегральных операторов с ядрами вида DiDj(x,y,t — т) хорошо известна (см., например, [Сої]). Для остальных слагаемых ограниченность соответствующих операторов в Ls устанавливается в [So3] с использованием оценок, полученных в [Со2]. K (x,y,t) діКМ(х,у,і) (3.3.25) (3.3.26) Для дальнейшего потребуются следующие из этих оценок (см. [Со2, теоремы 3.1, 3.2] и доказательство теоремы 1.1 Предложение 3.3.12. Пусть т = 2, и для функции K (x,y,t) при х, у Є /Cm, t 0 выполнена оценка (3.25) с некоторым ш Є [0, 2[. Тогда при любом s Є ]1, +оо[ интегральный оператор К№ с ядром ограничен в пространстве Ls, если показатель а удовлетворяет неравен Далее, пусть для функции K 2\x,y,t) при х,у Є /Cm, t 0 выполнена оценка (3.27). Тогда для любого s Є ]1, +оо[ интегральный оператор К№ с ядром 2.2 и 2.1 [So3]. П Лемма 3.3.13. В условиях Предложения 3.12 операторы К№ и К№ с ядрами (3.29) и (3.31) ограничены в пространстве LSfOQ. Доказательство. Для произвольной функции h Є L5)0O оценим функцию с помощью (3.25): Лемма 3.3.14. Пусть т = 2, s Є ]1,+оо[. Пусть при х,у Є /Cm, О для функции K \x,y,t) выполнена оценка (3.26) при некотором ш Є [0,2[, а для функции K (x,y:t) - оценка (3.28). Пусть, далее, показатель а удовлетворяет неравенствам (3.30). Тогда операторы с ядрами (3.29) и (3.31) удовлетворяют второму условию Предложения 2.4 Доказательство аналогично Лемме 2.5. Рассмотрим функцию h с носителем в слое \т — т д, такую, что f h(y, т) dr = 0. Тогда t (JC h)(x,t) =// [К{1\х, V,t-r)- К П(х,у,t - г0)] %,г) dy dr. о Km Формула конечных приращений с учетом (3.26) показывает, что в пространствах Ls r и L5)T. при всех г Є ]1,+оо[. Для этого воспользуемся представлением (3.24).
Операторы с ядрами DiDjQ(x:y,t — т) ограничены в LStr (теорема 2.1 [МС]) и в Ь3іГ (Лемма 3.3). Д любом s Є ]1, +оо[ интегральный оператор К№ с ядром ограничен в пространстве Ls, если показатель а удовлетворяет неравен Далее, пусть для функции K 2\x,y,t) при х,у Є /Cm, t 0 выполнена оценка (3.27). Тогда для любого s Є ]1, +оо[ интегральный оператор К№ с ядром 2.2 и 2.1 [So3]. П Лемма 3.3.13. В условиях Предложения 3.12 операторы К№ и К№ с ядрами (3.29) и (3.31) ограничены в пространстве LSfOQ. Доказательство. Для произвольной функции h Є L5)0O оценим функцию с помощью (3.25): Лемма 3.3.14. Пусть т = 2, s Є ]1,+оо[. Пусть при х,у Є /Cm, О для функции K \x,y,t) выполнена оценка (3.26) при некотором ш Є [0,2[, а для функции K (x,y:t) - оценка (3.28). Пусть, далее, показатель а удовлетворяет неравенствам (3.30). Тогда операторы с ядрами (3.29) и (3.31) удовлетворяют второму условию Предложения 2.4 Доказательство аналогично Лемме 2.5. Рассмотрим функцию h с носителем в слое \т — т д, такую, что f h(y, т) dr = 0. Тогда t (JC h)(x,t) =// [К{1\х, V,t-r)- К П(х,у,t - г0)] %,г) dy dr. о Km Формула конечных приращений с учетом (3.26) показывает, что в пространствах Ls r и L5)T. при всех г Є ]1,+оо[. Для этого воспользуемся представлением (3.24). Операторы с ядрами DiDjQ(x:y,t — т) ограничены в LStr (теорема 2.1 [МС]) и в Ь3іГ (Лемма 3.3). Далее, ограниченность операторов К№ и К№ в LStT доказывается аналогично Теореме 2.3 с помощью Предложения 3.12 и Леммы 3.13, а их ограниченность в LSjr - аналогично Теореме 2.6 с помощью Предложения 3.12 и Леммы 3.14. Оценка оставшегося (первого) слагаемого в (3.3 ) и в (3.4 ) следует из урав Задачи Дирихле и Неймана в полупространстве можно рассматривать как задачи вида (3.1), (3.1 ) в вырожденном случае m = 1, Km = Е+. Ввиду того, что функции Грина для этих задач выписываются в явном виде, а идеи не отличаются от случая m 1, здесь будут даны лишь наброски доказательств основных утверждений. Функция Грина задачи Неймана в R+ имеет вид Предложение 3.3.15. При О х 2у справедлива оценка Доказательство. Проверяется элементарными методами. Введем функции G и так же, как в п.3.2 (с заменой множителя 5m/G на 2) и определим u(x,t) формулой (3.17). Лемма 3.3.16. Пусть алее, ограниченность операторов К№ и К№ в LStT доказывается аналогично Теореме 2.3 с помощью Предложения 3.12 и Леммы 3.13, а их ограниченность в LSjr - аналогично Теореме 2.6 с помощью Предложения 3.12 и Леммы 3.14. Оценка оставшегося (первого) слагаемого в (3.3 ) и в (3.4 ) следует из урав Задачи Дирихле и Неймана в полупространстве можно рассматривать как задачи вида (3.1), (3.1 ) в вырожденном случае m = 1, Km = Е+. Ввиду того, что функции Грина для этих задач выписываются в явном виде, а идеи не отличаются от случая m 1, здесь будут даны лишь наброски доказательств основных утверждений. Функция Грина задачи Неймана в R+ имеет вид Предложение 3.3.15. При О х 2у справедлива оценка Доказательство. Проверяется элементарными методами. Введем функции G и так же, как в п.3.2 (с заменой множителя 5m/G на 2) и определим u(x,t) формулой (3.17). Лемма 3.3.16. Пусть т = 1, и показатель а удовлетворяет неравенствам Тогда при всех г Є ]1,+оо[ для решения задачи (3.1 ) выполнены оценки (3.15), (3.16). Доказательство аналогично Теореме 3.11. Вместо оценок из [Кз1] при этом используются неравенства из Предложения 3.15. Из этих неравенств видно (с учетом симметрии функции Грина и формулы (3.12)), что функция GM — {G + G ) удовлетворяет условиям Лемм 2.1 и 2.5 (с р = 0) при uj\ = 2, и)2 = 1. Поэтому из Теорем 2.3 и 2.6 следует утверждение леммы. Для задачи Дирихле в Ш+ функция Грина имеет вид
