Введение к работе
В диссертации изложены методы решения ряда граничных задач типа Трикоми для систеш дифференциальных уравнений смешанного типа
Ы^'М^-ЦИЧ Vy = dU+iV, \4\twlLH + V^~CU~ + dlr'/W где a-u.('x,yj, = 6fx.,4).c-C(x,y),d=d(x,n)~ заданные функции, а также определены условия существования хотя бы обобщённых решений таких задач для некоторых частных случаев системы (I). Актуальность темы. Теория уравнений и систем смешанного типа, зародившаяся в трудах Ф.Трикоми и С.Геллерсгвдта, в настоящее время является важнейшим разделом теории уравнений с частными производными. Решение её проблем имеет не только большое чисто теоретическое значение, но и находит глубокие приложения во многих областях естествознания. Впервые, щж^ладной характер задач теории уравнений и систем смешанного типа установили в своих ра- ботах отечественные математики - О.И. Франкль и И.Н. Векуа (околозвуковая газовая динамика, теория бесконечно малых изгибаний поверхностей, безмоментная теория оболочек с кривизной переменного знака). Сейчас, вопросы данной теории привлекай внимание многих исследователей. Достаточно подробная библиография по уравнениям и системам смешанного типа содержится в монографиях А.В.Бз-цадзе *' и М.М.Смирнова *'. Успех решения граничных задач для систем уравнений смешанного типа связан с развитием теории как эллиптических, так и гиперболических систем. 3 этой связи следует отметить работы А.В.Бн-цадзе, О.Ы.Теута, С.А.Терсенова, Р.М.Ганеева и др. авторов, которые, используя метод интегральных уравнений, редуцируют исходную граничнув задачу к эквивалентному ей особое интегральному урав-нениЕ» Необходимо особо выделить методы, развитые в работах -^Вкцадзе А.З. Некоторые классы уравнений в частных производных. - U.г Наука. Гл. ред. физ.-маг. лит., 1981. - 448с. 2'Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. - М.: Наука. Гл. ред. Jns.-MaT. лит., 1970. - 295с. И.Н.Векуа ', а также математический аппарат, разработанный для исследования вырождающихся систем Т.В.Чекмарёвым '. За семь десятилетий, прошедшие с момента появления исследований Ф.Трикоми, математики различным образом обобщали полученные им результаты. Так, например, А.В.Бицадзе ' отмечал, что безусловно представляет научный интерес изучение следующего обобщения задачи Трикоми: " в смешанной области , ограниченной в эллиптической части полуплоскости дугой Жордана Є , а в гиперболической части полуплоскости характеристиками АС и СВ сисгеш ^yz'n*iu.x~v!)=CLU.^iv, Uy+irx=cu + dV ), найти решение и.(я.,ц) и v(x,a) этой системы по граничному условию oLu-^V" у на 5" и на АС, где < , f> и % - заданные функции". В данной диссертации сделана попытка отыскания общего метода редукции этой задачи к обычной задаче Трикоми. Цель работы - исследование вопросов разрешимости следующих краевых задач: задачи Трикоми для системы (I) с обобщёнными граничными условиями, где на кривой в эллиптической части полуплоскости и на характеристике заданы линейные комбинации искомых функций; задачи Трикоми для неоднородной системы Лаврантьева-Би- ^'Векуа И.Н. Новые метода решения эллиптических уравнений. - М. -Л.: Гоствхиздат, 1949. Венуа И.Н. Обобщённые аналитические функции / Под ред. О.А.Олейник и Б.В.Шабата -М.: Наука. Гл. ред.- физ.-мат. лит., 1988. - 512с. ^Чекмарёв Т.В. Основные граничные задачи для некоторых систем уравнений гиперболического, эллиптического и смешанного типов /Горьковск. политехи, шм. - Горький, 1985. - 155с. - Деп. в ВИНИТИ 23.01.85, № 1999-85. Чекмарёв Т.В. Основные граничные задачи для некоторых систем уравнений гиперболического, эллиптического и смешанного типов /Горьковск. политехи, ин-т. - Горький, 1985. - 165с. - Деп. в ВИНИТИ 23.01.85, » 2000-85. 'Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. - М.: Изд-во АН СССР, 1959. - 163с. падзе LLX - <ЬШЧ Vs = Є(л.,у) , Lly + 1ГЛ - A(X,y) (2) в смешанных областях, эллиптическая часть которых представляет собой полуплоскость У>0 или полукруг а.г+и1< R1-, у у-0 , а гиперболическая - характеристический треугольник; 3) задачи Трикоми для неоднородной модельной- системы урав ' 1э\1' \ЛЛ- ьал.ЧЩ ~(х,ч), lnlZt/UyrV}c=AU.v)/ff соластью эллиптичности которой является полуплоскость; 4) задачи Тривога для системы (I) при \/=0 в областях спе Методы исследования. При изучении задачи Трикоми с обобщёнными граничными условиями применяются метода теории аналитических функций. В частности, используется метод построения регуля-ризупщаго множителя, разработанный при решении краевой' задачи Гильберта для многосвязной области в-монографии Ф.Д.Гахоза . Основным приёмом исследования задачи Трикоми в областях специальных видов является её редукция к сингулярным интегральным уравнениям с ядром Коши. При этом широко применяется математический аппарат, развитый в работах Т.В.Чекмарёва. Автор также полу^-чает некоторые результаты, опираясь на метода общей теории дифференциальных уравнений, линейной алгебры, теории рядов. Научная новизна. К числу новых в диссертации относятся следующие результаты: . I. Получение общего метода редукции обобщённой задачи Трикоми для система (I) к обычной задаче Трикоми. Получение, непрерывного во всей замкнутой области, резе-Екя задачи Трикоми для неоднородной системы Лаврентьева-Бкцадзе (2) в смешанных областях, эллиптическая часть которых представляет собой полуплоскость и полукруг. Получение решения задачи Трикоми для неоднородной модель- ' ной системы уравнений (3), областью эллиптичности которой являет- Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - W.: Фнзыатгжз, 1963. -639с. ся полуплоскость. Построение формального решения задачи Трикоми для обобщённой модельной системы (І) в виде сумм рядов, члены которых являются решением соответствующих краевых задач в смешанных областях, указанных в пункте 2. Установление "'условий существования обобщённого решения задачи Трикоми для системы (I) при ^= О в смешанных областях специального вида для следующих частных случаев: а = І- с -d = = 0 (ч<о); а = -с, S=d=ofy Теоретическая и практическая пенность. С достаточным основанием можно утверждать, что проведённые в настоящей работе исследования представляют определённый теоретический интерес, поскольку проблема Трикоми для обобщённых модельных систем уравнений далеко не исчерпана. Полученные в работе явные формулы решения задачи Трикоми для некоторых частных систем уравнений могут найти применение при решении прикладных задач в газовой динамике, в теории,изгибания поверхностей и в других областях науки и техники. Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на международной научной конференции: "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции", проводившейся на базе Самарского государственного педагогического института с 24 до 31 мая 1992г.; на семинаре по краевым задачам в Казанском государственном университете в 1993г. (руководитель - профессор В.Й.2егалов); на семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа в Нижегородском государственном ущгаерснтете (руководитель - профессор М.В.Долов); а также на семинарах по уравнениям в частных производных при кафедре "ЕЪсшая математика" в Нижегородском техническом университете (Горьковском политехническом институте) в 1990-1993 гг. Публикации. По результатам исследований опубликовано 4 работы. Объём и структура работы. Диссертация изложена на 123 страницах машинописного текста и состоит: из введения, трёх глав, двух приложений и библиографического списка, содержащего 58 наименований.
нений !
циальных видов, указанных в пункте 2).