Задача с начальными условиями для эволюционных линейных дифференциально-разностных уравнений Йаакбариех Амир

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Дифференциально-разностные уравнения (дру) с отклонением пространственного аргумента .

1.1. Задача Коши для параболического дифференциально разностных уравнений с отклонением пространственного

аргумента 31

1.2. Полугруппы операторов, порождаемых параболическими ДРУ с отклонением пространственного аргумента 34

1.3. Задача Коши для гиперболического дифференциально-разностных уравнений с отклонением пространственного аргумента 36

1.4. Полугруппы операторов, порождаемых гиперболическими ДРУ с отклонением пространственного аргумента 44

Глава 2. Дифференциально-разностные уравнения (дру) с отклонением временного аргумента .

2.1. О постановке задачи с начальными условиями

для ДРУ 48

2.2. Параболические ДРУ с отклонением временного аргумента 53

2.3. Гиперболические ДРУ с отклонением временного аргумента 65

2.4. Весовое пространство корректности задачи с начальными условиями для ДРУ с отклонением временного аргумента и нарушение существования или единственности ее решения

2.5. Сочетание отклонений пространственного и временного аргументов 95

Глава 3. Представление решения задачи коши для дру континуальными интегралами .

3.1. Формулы Фейнмана для решений здачи Коши для параболического ДРУ с отклонением пространственного аргумента 98

3.2. Заключение 109

Список литературы

• Полугруппы операторов, порождаемых параболическими ДРУ с отклонением пространственного аргумента
• Задача Коши для гиперболического дифференциально-разностных уравнений с отклонением пространственного аргумента
• Гиперболические ДРУ с отклонением временного аргумента
• Формулы Фейнмана для решений здачи Коши для параболического ДРУ с отклонением пространственного аргумента

Введение к работе

Актуальность темы

В диссертации проводятся исследования дифференциально-разностных эволюционных уравнений. Изучаются условия корректной разрешимости начально-краевых задач, в которых дифференциально-разностный оператор (действующий в пространстве числовых функций, заданных на прямом произведении временной полуоси на координатное пространство R^d) содержит как отклонение пространственных переменных, так и отклонение временной переменной (причем может иметь как запаздывание, так и опережение временного аргумента).

В случае оператора со сдвигами лишь пространственного аргумента или операторов без запаздывания начальными условиями задачи Копій являются предельные значения неизвестной функции (для уравнения параболического типа) или предельные значения функции и ее производной по временной переменной (для гиперболического уравнения) в пространстве, соответствующем постановке задачи Копій.

В случае операторов с запаздыванием временного аргумента начальные данные задаются как значения неизвестной функции на промежутке запаздывания, причем выбор функционального пространства для начальных значений входит в постановку задачи с начальным условием.

Корректная разрешимость начально-краевых задач для эволюционных уравнений с запаздыванием временного аргумента и с отклонениями пространственных переменных является актуальной проблемой теории дифференциальных уравнений (см. ¹ , ² , ³, ⁴ ,

⁵)-

В работах ⁶, ⁷ исследованы корректная разрешимость и свойства решений задачи

с начальными данными для параболического уравнения с отклоняющимся аргументом нейтрального типа, а в статье⁸ исследованы аналогичные вопросы для гиперболических уравнений с отклоняющимся временным аргументом.

В монографии А.Л. Скубачевского ⁹ исследовано нарушение гладкости решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений за счет влияния сдвигов пространственного аргумента, выводящих за пределы области или на ее границу (См. также обзор ¹⁰). Подобный эффект нарушения гладкости решенияпараболического

¹А.М. Зверкин, Г.А. Каменский, СВ. Норкин, Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. 1962. Т. 17. УМН. № 2ю С. 77-164.

²А.Д. Мышкис. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения. Современная математика. Фундаментальные направления. 2003. Т. 4. С. 5-120.

³>. С. Рабинович. О дифференциально-разностных уравнениях в полупространстве // Дифф. ур-я. 1980. Т. 16. № 11. С. 2030-2038.

⁴А.Л. Скубачевский, Р.В. Шамин. Смешанная задача для параболического дифференциально-разностноо уравнения. Математические заметки. 1999. Т. 66, № 1. С. 145-153.

⁵В.В. Власов, Д.А. Медведев. Функционально-дифференциальные уравнения и связанные с ними вопросы спектральной теории. Современная математика. Фундаментальные направления. 2008. Т. 30, С. 3-173.

⁶В.В. Власов, В.Ж. Сакбаев. О корректной разрешимости в шкале пространств Соболева некоторых дифференциально-разностных уравнений. Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 9. С. 1194-1202.

⁷ В.В. Власов, В.Ж. Сакбаев. О корректной разрешимости векторных дифференциально-разностных уравнений в пространствах Соболева. Математические заметки. Т. 68, № 6. С. 939-942.

⁸В.В. Власов, К.А. Шматов. Труды МИАН им. В.А. Стеклова. 2001.

⁹ A.L. Skubachevskii, Elliptic functional differential equations and applications, Birkhauser, 1997.

¹⁰Л. E. Россовский, А. Л. Скубачевский. Разрешимость и регулярность решений некоторых классов эллиптических функционально-дифференциальных уравнений. Итоги науки и техн. Сер. Соврем, мат. и ее прил. Темат. обз., 66 (1999), 114-192

дифференциально-разностнаго уравнения исследован в работе ¹¹. В работе ¹² изучаются свойства эллиптических дифференциально-разностных операторов со сдвигами пространственных аргументов в ограниченных областях.

В работе ¹³ установлена теорема существования и единственности решения задачи Копій для неоднородного параболического дифференциально-разностного уравнения с отклонениями пространственных переменных и найдено интегральное представление решения с помощью фундаментального решения задачи. Исследованию корректной разрешимости параболических функционально-дифференциальных уравнений, свойствам стабилизации их решений и влиянию сингулярности коэффициентов уравнения на свойства решения задачи посвящена монографиия ¹⁴.

В работах А.Д. Мышкиса, Г. А. Каменского, Л.Э. Эльсгольца (см. ¹⁵, ¹⁶ и цитируемую там литературу) исследуются свойства решений функционально-дифференциальных уравнений со сдвигами временного аргумента. Определен класс функциональных пространств ограниченного экспоненциального роста, в которых сформулирована постановка задач с начальными условиями и найдены достаточные и необходимые условия ее корректной разрешимости.

В работах B.C. Рабиновича ¹⁷ , ¹⁸ исследован широкий класс параболических дифференциально-разностных уравнений с переменными коэффициентами в полупространстве. Свойства обратимости и нетеровости таких дифференциально-разностных операторов и свойство корректной разрешимости задачи Копій для таких уравнений изучались в пространствах Соболева-Слободецкого с экспоненциальным весом по временной переменной. Спецификой рассматримаевых в указанных работах дифференциально-разностных уравнений является их запаздывающий тип и, как следствие, свойство корректности задач Копій в пространствах Соболева с экспоненциальным весом e~^pt, t > 0, при достаточно больших р.

В диссертационной работе показано, что такое свойство присуще параболическим дифференциальным уравнениям в полупространстве именно запаздывающего типа. В случае же уравнений с запаздыванием и опережением в полупространстве множество показателей экспоненциального веса р, в весовых пространствах с которым имеет место корректность задачи Копій, представляет собой ограниченный промежуток или пустое множество.

В диссертации исследуются задачи с начальными данными для дифференциально-разностных уравнений, сочетающих отклонения по пространственным переменным с отклонениями временной переменной. Рассматриваются дифференциалльно-разностные

¹¹ А. М. Селицкий, А. Л. Скубачевский, "Вторая краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения", Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 26, Изд-во Моск. ун-та, М., 2007, 324—347

¹²Разрешимость эллиптических функционально-дифференциальных уравнений со сжатием аргументов в весовых пространствах Л. В. Бородулина, Л. Е. Россовский Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 26 (2007), 39—57

¹³А.В. Муравник. О задаче Коши для некоторых неоднородных дифференциально-разностных параболических уравнений. Математические заметки. 2003. Т. 74. No 4. С. 538-548.

¹⁴А. Б. Муравник, "Функционально-дифференциальные параболические уравнения: интегральные представления и качественные свойства решений задачи Коши", Уравнения в частных производных, СМФН, 52, РУДН, М., 2014, 3—141

¹⁵ А.Д. Мыгикис. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения. Современная математика. Фундаментальные направления. 2003. Т. 4. С. 5-120.

¹⁶В.В. Власов, Д.А. Медведев. Функционально-дифференциальные уравнения и связанные с ними вопросы спектральной теории. Современная математика. Фундаментальные направления. 2008. Т. 30, С. 3-173.

¹⁷B.C. Рабинович. О дифференциально-разностных уравнениях в полупространстве // Дифф. ур-я. 1980. Т. 16. № 11. С. 2030-2038.

¹⁸B.C. Рабинович О задаче Коши для параболических дифференциально-разностных операторов с переменными коэффициентами // Дифф. ур-я. 1983. Т. 19. № 6. С. 1032-1038.

уравнения вида

—u(t) = Au(t), t >0, (1)

в которых неизвестная функция и является определена на временной полуоси (h, +00) (здесь h < 0 и в случае h < 0 интервал (h, 0) - промежуток запаздывания) и принимает значения в банаховом пространстве X числовых функций на координатном пространстве R^d (например X = Li(R^d), или X = W^R⁴)), а оператор Л является дифференциально-разностным оператором в пространстве таких отображений полуоси (h, +00) в банахово пространство X, содержащем сдвиги по пространственным и по временной переменным (класс рассматриваемых операторов описывается ниже).

Параметр h < 0 имеет смысл максимального запаздывания по временной переменной. В случае отсутствия запаздывания по времени параметр h = 0 и дифференциальное уравнение (1) снабжается начальным условием - предельным значением неизвестной функции и при t —> +0:

и(+0) = и₀, Щ Є X. (2)

При наличии запаздывания h < 0 и дифференциальное уравнение (1) дополнено начальным условием - заданием неизвестной функции и на промежутке запаздывания:

и\(н,о) = Ф- (3)

Изучаются постановки задачи Копій (1), (2) и задачи с начальными условиями (1), (3). Установлены достаточные условия корректной разрешимости и, при некоторых дополнительных предположениях, необходимые условия.

Основным модельным объектом исследования диссертации является дифференциально-разностное уравнение вида

d ^N

—u{t) = Cu{t) + ^2(a_ku(t + h_k) + c_kCu{t + h_k)) + f(t), t > 0.

fc=i

Изучается задача найти решение указанного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

u{t) = ф(г), t Є [h,0].

Здесь h = h\ < I12 < < hjy - заданный конечный набор вещественных отклонений временного аргумента, причем h < 0, а величина Л-дг может быть как отрицательной, так и положительной.

Коэффициенты ai,..., ajv, Ci,..., Cjv являются вещественными числами. Функции / и ф, заданные на промежутках R₊ = (0,+оо) и [h,0] соответственно, принимают значения в некотором гильбертовом пространстве И числвых функций на координатном пространстве R^d, d Є N (например, Ті = L₂(R^d), или Ті = Wl{R^d)).

Оператор С является дифференциальным оператором или дифференциально-разностным оператором в пространстве И. Относительно оператора С, действующего по пространственным переменным, будем предполагать самосопряженность и полуограниченность. Модельным примером такого оператора С является следующий:

Cv{x) = Av(x) + a(v(x — г) + v(x + г)) + cA(v(x — г) + v(x + г)), х Є R^d,

где а, с Є R, г Є R^d - параметры, А - оператор Лапласа в пространстве L2(R^d) с

областью определения W%(R^d).

Подчеркнем, что поскольку величина h^ может быть положительна, то будет исследована задача не только с запаздывающим, но и с опережающим аргументом, корректность которой установить более затруднительно из-за того, что спектр дифференциально-разностного оператора с запаздыванием, в отличие от оператора с

опережением, не заполняет некоторую правую полуплоскость комплексной плоскости. Отчасти поэтому дифференциально-разностные уравнения с опережающим аргументом изучены в меньшей мере, чем уравнения с запаздыванием.

Исследования уравнений с опережением, проводимые в диссертации, являются про-

должением исследовании статьи.

Сама постановка исследуемой в диссертации задачи с начальными условиями для ДРУ опережающего типа является новой в то смысле, что для поиска неизвестной функции, удовлетворяющей ДРУ на положительной полуоси, задаются значения неизвестной функции на отрезке, длина которого равна величине наибольшего запаздывания в дифференциально-разностном выражении. Установлено, что при выборе подходящего пространства решений ДРУ (пространства Соболева с экспоненциальным весом W^A—h, +00), то есть при выборе подходящих условий на скорость экспоненциального роста решения) и при условии достаточной малости коэффициентов при слагаемых с опережением, задача с начальными условиями имеет единственное решение в подходящем функциональном пространстве при любом выборе условия из пространства начальных данных И^₂¹([— h, 0]).

Следует отметить, что постановка задачи с начальными условиями для ДРУ различных типов исследовалась в работе²¹ (см. также монографию ²²). В указанных работах предложена классификация ДРУ на уравнения запаздывающего, нейтрального и опережающего типов. В этих же работах установлены следующие свойства задач с начальными условиями для ДРУ этих типов:

1. решения ДРУ запаздывающего типа имеют гладкость, нарастающую с ростом аргумента решения;

2. решения ДРУ нейтрального типа сохраняют гладкость;

3. решения ДРУ опережающего типа имеют убывающую гладкость.

Последнее свойство служит одной из причин нарушения корректности задач с начальными условиями для ДРУ опережающего типа на полуоси: для существования классического (непрерывно дифференцируемого) решения такой задачи требуется его бесконечная гладкость, а для корректной разрешимости этой же задачи на конечном отрезке требуется его достаточно высокая гладкость в совокупности с выполнением условий согласования.

Возникают вопросы - имеется ли у заданного ДРУ с опережением такой запас бесконечно дифференцируемых решений, который, во-первых, достаточно полон для того, чтобы аппроксимировать произвольные начальные данные в подходящей топологии, и, во-вторых, не переполнен для того, чтобыне нарушалась единственность решения. И,

¹⁹В.В. Власов, А.Д. Медведев. Функционально-дифференциальные уравнения в пространствах Соболева и связанные с ними вопросы спектральной теории. СМФН, Т. 30 (2008), с. 3—173.

²⁰ В. В. Власов, В.Ж. Са/кбаев. О разрешимости одного класса функционально-дифференциальных уравнений с опере
жающим аргументом в гильбертовом пространстве. Некоторые проблемы фундаметнальной и прикладной математики.
М.: МФТИ. 1997. С. 72-823.

²¹ A.M. Зверкин, Г.А. Каменский, СВ. Норкин, Л.Э. Элъсголъц. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся
аргументом. 1962. Т. 17. УМН. № 2. С. 77-164.

²²Г.А. Каменский, А.Л. Субачевский. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. М.: Изд. МАИ. 1992.

наконец, какова та топология, в которой непрерывно преобразование сдвига начального условия вдоль решения.

Есть основания полагать, что в диссертации найдены ответы на эти вопросы. Проиллюстрируем это на примере модельного обыкновенного дифференциально-разностного уравнения опережающего типа

и'it) = au{t) + bu(t -h) + cu{t + h),t>0, (4)

где h > 0, a,b,c Є R, а и : (—h, +00) —> R - неизвестная функция.

Следует подчеркнуть различие в постановках задачи с начальными условиями для ДРУ (4) опережающего типа, рассматриваемых в диссертации и в монографии²³ , (см. также работу²⁴ ).

В указанной монографии рассматривается задача определить функцию на некотором конечном промежутке (—h,T) или бесконечной полуоси (—h, +00), которая удовлетворяет ДРУ (4) на этом промежутке, сужение которой на промежуток (—h, К) совпадает с заданной на этом промежутке функцией (начальным условием):

u{t) = (t), t Є (-h,h). (5)

В диссертации, следуя подходу работы²⁵ к изучению корректной разрешимости ФДУ, ставится задача определить функцию на бесконечной полуоси (—h, +00), которая удовлетворяет ДРУ (4) на этом промежутке, сужение которой на промежуток (—h, 0) совпадает с заданной на этом промежутке функцией (начальным условием):

u(t) = (6)

Заметим, что при малом изменении коэффициентов, т.е. при рассмотрении ДРУ с малым параметром б > 0:

и'it) = au{t) + bu(t -h) + cu{t + h) + e[u'(t + h) + u'(t -h)],t>0. (7)

происходит изменение типа ДРУ при б = 0 такое дифференциально-разностное уравнение принадлежит к опережающему типу, а при б > 0 - к нейтральному типу.

Различие в постановах задачи приводит к различию в условиях ее корректной разрешимости.

Так, для корректной разрешимости задачи (4), (5) на интервале (0,Т) с некоторым Т = 2Nh, N Є N, в классе непрерывно дифференцируемых функций требуется достаточная гладность начального условия ф Є C^N+l([—h, h]) и выполнение ряда (а именно, N) условий согласования.

Для корректной разрешимости задачи (4), (5) на интервале (0, +оо) в пространстве Соболева с экспоненциальным весом W\ Л—Уь_} +оо) с некоторым "у — а при произвольном начальном условии <р Є Wl((—h, 0)) как достаточным, так и необходимым условием является малость коэффициентов бис.

Начальные данные при этом задаются на вдвое меньшем интервале, но кроме того,

²³Г.А. Каменский, А.Л. Субачевский. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. М.: Изд. МАИ. 1992.

²⁴А.М. Зверкин, Г.А. Каменский, СВ. Норкин, Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. 1962. Т. 17. УМН. № 2. С. 77-164.

²⁵В.В. Власов, А.Д. Медведев. Функционально-дифференциальные уравнения в пространствах Соболева и связанные с ними вопросы спектральной теории. СМФН, Т. 30 (2008), с. 3—173.

рассматриваются только решения, удовлетворяющие условию ограниченного роста на бесконечности вида принадлежности решения пространству W^¹ (—Л.,+оо). Это избавляет от необходимости накладывать условия согласования. При этом проблема неединственности решения задачи на конечном промежутке остается так как в случае конечного промежутка условие принадлежности решения пространству W\ Л—Уь_} +оо) не накладывает никаких ограничений.

Заметим, что "малые"возмущения коэффициентов уравнения, превращающие уравнение опережающего типа (1) в уравнение запаздывающего типа (4), существенно изменяют корректную постановку задачи с начальными условиями: при каждом б ф О ДРУ (4) является уравнением нейтрального типа и, согласно работам²⁶, ²⁷ для него корректной является постановка с заданием произвольных начальных условий из пространства W\{\—h_} h]). Но при б = 0 и достаточно малых коэффициентах Ь, с согласно результатам диссертации корректной постановкой задачи для уравнения (4) является постановка с заданием произвольных начальных условий из пространства И^₂¹([— h, 0]), тогда как при задании начальных условий из пространства И^₂¹([— h, h]) требуется учитывать условия согласования. Таким образом, для уравнений нейтрального или запаздывающего типов вида (4) для определения единственного решения задачи из пространства Соболева с весом необходимо и достаточно задавать начальные условия на отрезке [—h,h], а в случае уравнения опережающего типа - на отрезке [—h, 0].

В третьей главе диссертации для полугрупп, порождаемых дифференциально-разностным уравнением параболического типа, получена аппроксимация с помощью формул Фейнмана.

Формулами Фейнмана называют представление полугруппы Шредингера ехр(—Н), t > 0, или группы Шредингера ехр(гН), t Є R, с помощью пределов конеч-нократных интегралов по декартовым степеням конфигурационного пространства (при стремлении к бесконечности кратности) классической гамильтоновой системы, при квантовании которой получается оператор Гамильтона Н (здесь Н - самосопряженный оператор, сопоставленный функции Гамильтона H(p,q), (p,q) Є R² классической системы; в частности, Н может быть псевдодифференциальным оператором, символом которого является функция Гамильтона Н).

Представление группы е^_гШ, t Є R, или полугруппы е~*^н, t > 0, Шредингера в виде предела конечнократных интегралов по декартовым степеням конфигурационного или фазового пространства впервые было предложено Р. Фейнманом в 1948 году. Математически строгое обоснование применимости подхода Фейнмана было впервые получено Э. Нельсоном в 1964 году с помощью формулы Троттера.

В работах О.Г. Смолянова (см. ²⁸, ²⁹) получены представления формулами Фейнмана различных полугрупп, порождаемых эволюционными уравнениями математической физики. В диссертационной работе подход формул Фейнмана впервые применен к аппроксимации полугрупп, порожденных дифференциально-разностными уравнениями.

Поскольку формулы Фейнмана определяют аппроксимации марковского случайного

²⁶В.В. Власов, А.Д. Медведев. Функционально-дифференциальные уравнения в пространствах Соболева и связанные с ними вопросы спектральной теории. СМФН, Т. 30 (2008), с. 3—173.

²⁷ В.В. Власов, В.Ж. Са/кбаев. О разрешимости одного класса функционально-дифференциально уравнений с опере
жающим аргументом в гильбертовом пространстве. Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики.
М.: МФТИ. 1997. С. 72-82.

²⁸ O.G.Smolyanov, A.G.Tokarev, A.Truman. Hamiltonian Feynman path integrals via the Chernoff formula J.Math.Phys.,
43:10, (2002), 5161-5171.

²⁹O.G. Smolyanov, H. Weizsacker, O. Wittih. Chernoff's theorem and discrete time approximations of Brownian motion on manifolds. Potential Anal. 2007. 26. P. 1-29.

процесса, математическими ожиданиями функционалов от которого являются решения задачи Копій, то аппроксимация формулами Фейнмана полугруппы операторов, порожденной задачей Копій для уравнения теплопроводности с отклоняющимся аргументом, позволяет не только выразить решение задачи Копій с помощью конструктивных алгоритмов, но и исследовать вероятностную структуру явлений отклонения аргументы в уравнении теплопроводности.

Цель работы

Целью работы является исследование задачи с начальными условиями для дифференциально-разностных уравнений отклонением как пространственных, так и временных переменных.

4. Существование и единственность решений задачи Копій для дифференциально-разностного уравнения параболического типа с отклонением пространственных и вре-меных переменных.

5. Существование и единственность решений задачи Копій для дифференциально-разностного уравнения гиперболического типа с отклонением пространственных и вре-меных переменных.

6. Аппроксимация формулами Фейнмана полугрупп, порождаемых задачей Копій для параболического дифференциально-разностного уравнения с отклонением пространственных переменных.

Методика исследования

В работе используются методы теории линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, методы спектрального анализа линейных операторов, теория однопараметрических полугрупп линейных операторов и их аппроксимаций.

Основные положения, выносимые на защиту.

7. В терминах полуограниченности дифференциально-разностного оператора установлены достаточные условия корректной разрешимости задачи Копій для параболических и гиперболических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами пространственной переменной. Получены явные формулы, представляющие решение задачи Копій.

8. Найдены условия на коэффициенты дифференциально-разностного оператора и на параметры функционального пространства, достаточные для корректной разрешимости задачи с начальными данными для дифференциально-разностного уравнения опережающего типа в весовых пространствах Соболева с экспоненциальным весом.

9. В терминах спектра оператора получены условия, необходимые для корректной разрешимости. Показано, как изменение весового параметра пространства Соболева приводит к либо к нарушению единственности решения задачи с начальными данными, либо к нарушению существования ее решения.

10. Получены представления полугруппы преобразований пространства начальных данных задачи Копій для параболического дифференциально-разностного уравнения со сдвигами пространственных переменных посредством формул Фейнмана.

Научная новизна

1. Получен единый подход к исследованию корректности задачи Копій для

дифференциально-разностных уравнений параболического и гиперболического типов со сдвигами пространственных переменных.

2. Получены условия на параметр весового пространства Соболева (на показатель экспоненты весовой функции), достаточные для корректной разрешимости в этом пространстве задачи с начальными условиями как для параболического, так и для гиперболического дифференциально-разностного уравнения с опережением.

3. Установлены причины нарушения корректности задачи с начальными условиями при расширении или сужении весового пространства Соболева при изменении показателя экспоненты весовой функии.

4. Найдены аппроксимации посредством формул Фейнмана полугрупп, порождаемых задачей Копій для дифференциально-разностного уравнения параболического типа.

Теоретическая значимость.

Результаты работы имеют теоретическое значение. Методы и результаты работы, кроме самостоятельного интереса с точки зрения теории дифференциально-разностных операторов, могут иметь применения в теории управления, в теории усреднения дифференциальных уравнений (в которой возникают дифференциально-разностные операторы³⁰) и физике пористых сред.

Апробация диссертационной работы.

Основные результаты диссертации и отдельные ее части докладывались на научных семинарах:

На семинаре по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством профессора А.Л. Скубачевского, 1 апреля 2014, 11 ноября 2014 (РУДН).

На семинаре по спектральной теории дифференциальных операторов под руководством академика РАН, профессора В. А. Садовничего, 29 октября 2014 (МГУ).

На научном семинаре кафедры математического моделирования НИУ "МЭИ"под руководством профессора А. А. Амосова и профессора Ю. А. Дубинского, 18 марта 2015.

На семинаре квантовой математической физики под руководством чл.-корр. РАН профессора И. В. Воловича, 25 марта 2015 (МИАН им .В. А. Стеклова).

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 13 работах, из них 4 статьи в научных журналах и 9 тезисов докладов на научных и международных конференциях. Все результаты, опубликованные в совместных работах и выносимые на защиту, получены лично автором.

Структура диссертации.