Введение к работе
Актуальность теми. Во многих областях науки и техники, в теории динамических систем, теории дифференциальных игр и т.д. возникают разнообразные задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями. Эти задачи, в силу установленной Л.Ф. Филипповым в 60-е годы связи между дифференциальными включениями и управляемыми системами, приводят к необходимости изучения вопросов существования и свойств решении дифференциальных включений на замкнутых множествах (так называемых, вычшваюцих релений).
Проблема существования выживающих решений впервые рассматривалась M.ifugumo в 1942 году для дифференциальных уравнений, а в работах G.Haddad, J,-і'. Aubin и др. для дифференциальных вклто -пений с выпуклой правой частью. Однако, в связи с приложениями к оптимальному управлении, особое значение имеют решения дифферен -циального ыипэчения с невыпуклой правой частью, а такие соотношения медду семейством всех решений и множеством траекторий ьключе-ння с "овыпуклениои" правой частью.
Представляется актуальным изучение выживающих решений диф'.е-і'счцн.ічмі:.>г гглопан'ііі (эволюционных включении с линейным неогра -ii"'.ic:v.m>\i an;.'pa'rcj;o;i) и бесконечномерной банаховом пространстве , поико,йы;;>' к такім вилачекпям сводятся различные управляемые сие -темы, списипаемке уравнениями в частных производных.
Большой интерес представляет также задача выживаемости для дифференциально-операторных уравнений, частными случаями которых являются некоторые виды интегро-дифференциальных уравнение, диф -ференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и т.д., широко используемых в практике.
Целью работы является исследование вопросов существования решений некоторых классов дифференциальных включений с невыпуклой
правой частью на замкнутых подмножествах банахова пространства и изучение качественных свойств семейства выживающих траекторий.
Методы исследования. Используется общая теория дифференци -альных уравнений, методы теории многозначных отображений, теории меры, а также современные методы функционального анализа.
Научная новизна. В работе установлена непрерывная версия теоремы А.А.Ляпунова о выпуклости образа векторной мери со зна -чениями в банаховоы пространстве; доказаны теоремы о существовании общих непрерывных селекторов у конечного числа многозначных отображений со значениями в пространстве суммируемых функций; впервые применён метод непрерывных селекторов к исследованию решений дифференциальных включений на замкнутых множествах, с по -мощью которого, в частности, доказано существование радения за -дачи Кояш и периодического решения; установлены такие свойства семейства выживающих траекторий, как полунепрерывная снизу зависимость от начальных условий и параметров, плотность и граничность в множестве решений включения с "овыпукленной" правой частью; обобщена на случай бесконечномерного банахова пространства тео -рема о существовании решения дифференциального включения с лип -шицевой правой частью, выживающего на компактном множестве и непрерывно зависящего от начальных условий.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер. Они могут быть использованы при дальнейшем развитии теории дифференциальных включений на замкнутых множествах,при решении задач оптимального управления с фазовыми ограничениями, при математическом моделировании эколого-око-номическкх и других процессов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной школе "Актуальные проблемы вычислительной математики и математической физики" (Ногинский научный центр АН СССР, Черноголовка, 1988); XI конференции молодых учёных механико-мате -ыатического факультета МГУ (Москва, 1989); Международной школе "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Иркутск, 1989); Мини --семестре "Дифференциальные включения и их приложения" (Меядуна -родный центр им. С.Банаха, Варшава, Польша, 1989); XXI региональной молодежной школе-конференции ИМИ УрО АН СССР (Свердловск,1990); на семинарах международной школы 3I3SA (Триест, Италия, 1991); семинаре профессора В.М.Тихомирова (Москва, МГУ, 1991), а также на конференциях и семинарах ИрБЦ СО АН СССР.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ.
Структура и объём работы. Диссертация изложена на 117 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав, за -ключения, комментариев и списка литературы, включающего 125 нал -менований.