Вырожденные линейные эволюционные уравнения с интегральными возмущениями Борель Лидия Викторовна

Содержание к диссертации

Введение

1 Вырожденные линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах 26

1.1 Относительные резольвенты 26

1.2 Относительно р-радиальные операторы 28

1.3 Относительно сг-ограниченные операторы 34

2 Нагруженные линейные эволюционные уравнения с вырожденным оператором при производной 38

2.1 Нагруженные уравнения в банаховом пространстве 38

2.2 Нагруженное псевдопараболическое уравнение 45

2.3 Некоторые частные случаи и обобщения 49

2.4 Алгебро-интегро-дифференциальная система уравнений с частными производными 52

2.5 Вырожденная система интегро-дифференциальных уравнений функций одной переменной 55

3 Исследование вырожденных эволюционных уравнений с памятью методами теории полугрупп операторов 58

3.1 Невырожденное уравнение с памятью 58

3.2 Вырожденное уравнение с памятью 65

3.3 Случай (L, p-ограниченного оператора 71

3.4 Система гравитационно-гироскопических волн в приближении Буссинеска 77

3.5 Интегро-дифференциальная система уравнений Осколкова 79

3.6 Линеаризованная система уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта высокого порядка 82

3.7 Система интегро-дифференциальных уравнений с частными производными 87

Заключение 89

Обозначения и соглашения

Список литературы

• Относительно р-радиальные операторы
• Некоторые частные случаи и обобщения
• Вырожденная система интегро-дифференциальных уравнений функций одной переменной
• Линеаризованная система уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта высокого порядка

Введение к работе

Актуальность темы исследования. Начально-краевые задачи для уравнений в частных производных, моделирующих различные процессы в естественных, технических и других науках, удобно исследовать в рамках начальных задач для эволюционных уравнений в банаховых пространствах. Некоторые начально-краевые задачи редуцируются к уравнениям первого порядка с вырожденным оператором при производной, в дальнейшем называемым вырожденными эволюционными уравнениями. При этом нередко возникают модели, описываемые эволюционными интегро-дифференциальными уравнениями с интегралами различных типов или, другими словами, эволюционными уравнениями с интегральными возмущениями. При этом интегралы Вольтер-ра, например, описывают процессы с памятью, такие, как термомеханическое поведение полимеров, вязкоупругих жидкостей, и др. Интегралы Фредгольма встречаются в так называемых нагруженных уравнениях, содержащих помимо дифференциальной части некоторый функционал от искомой функции в виде, например, интеграла от решения по некоторому подмножеству меньшей меры. Такие уравнения возникают при поиске приближенных решений дифференциальных уравнений, при математическом моделировании нелокальных, в том числе фрактальных процессов и явлений, например, в математической биологии, в теории тепломассопереноса в составных средах с фрактальной организацией, в экономике.

Степень разработанности темы исследования. В диссертации использовались полученные в работах В.Е. Федорова результаты теории вырожденных полугрупп операторов, в частности вид решения линейного дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве, оператор при производной в котором вырожден, т. е. имеет нетривиальное ядро (далее — вырожденное эволюционное уравнение). Вопросы существования вырожденных полугрупп различных классов гладкости, разрешающих однородное линейное вырожденное эволюционное уравнение, при различных условиях на операторы в уравнении рассматривались ранее в работах А. Г. Руткаса, A. Favini и A. Yagi, Г. А. Свиридюка, И. В. Мельниковой.

В работах В. Е. Федорова и О. А. Стахеевой исследованы вопросы однозначной разрешимости невырожденных и вырожденных эволюционных уравнений с интегральным оператором памяти в случае, когда соответствующее однородное уравнение обладает аналитической в секторе разрешающей полугруппой.

Отметим также близкие по предмету исследования работы В. Е. Федорова и Е. А. Омельченко, в которых вырожденные эволюционные уравнения с запаздыванием на конечном промежутке исследуются методами теории полугрупп операторов и с помощью теоремы о неподвижной точке.

Среди многочисленных методов исследования вырожденных эволюционных уравнений отметим также используемый Н. А. Сидоровым и представителями его школы метод, предполагающий фредгольмовость оператора при производной в вырожденном эволюционном уравнении и существование его полного жорданова набора. В работах М. В. Фалалеева и С. С. Орлова этот метод получил свое развитие при исследовании интегро-дифференциальных

уравнений с памятью. М. В. Фалалеевым исследована разрешимость в смысле обобщенных и классических решений вырожденных эволюционных уравнений с памятью первого порядка в банаховых пространствах методами теории фундаментальных оператор-функций вырожденных интегро-дифференциальных операторов. М. В. Фалалеев и С. С. Орлов исследовали интегро-дифферен-циальные уравнения высокого порядка с эффектами памяти и вырожденным оператором при старшей производной в случаях интегральных ядер специального вида. При этом предполагается выполненным условие фредгольмовости оператора при старшей производной, либо спектральной ограниченности пучка операторов из уравнения.

Цели и задачи. Целью данной работы является установление условий однозначной разрешимости начальных задач для вырожденных эволюционных уравнений в банаховых пространствах с интегральными возмущениями двух видов — для уравнений с памятью и для нагруженных уравнений. Полученные общие результаты используются для доказательства существования единственного решения различных начально-краевых задач для не разрешимых относительно производной по времени уравнений и систем уравнений в частных производных с интегральным оператором памяти и с оператором Фредгольма по временной переменной — нагруженных уравнений.

Научная новизна. Нагруженные уравнения для вырожденных эволюционных уравнений, по-видимому, ранее не исследовались. Уравнения с памятью для вырожденных эволюционных уравнений в отличие от работ М. В. Фа-лалеева с С. С. Орловым и В. Е. Федорова с О. А. Стахеевой исследуются при более общих условиях на операторы в уравнении — в диссертационной работе не предполагается фредгольмовость оператора при производной. При этом, вообще говоря, накладывается лишь условие существования сильно непрерывной разрешающей полугруппы соответствующего вырожденного однородного уравнения, а не аналитической группы или полугруппы, как в работах других авторов. Кроме того, для уравнений с памятью исследовался, по-видимому, не использовавшийся ранее в общей постановке метод исследования невырожденного уравнения путем его сведения к системе двух невозмущенных уравнений в более широком пространстве с последующим применением результатов классической теории полугрупп.

Теоретическая и практическая значимость работы. Первичным теоретически значимым результатом при исследовании новых задач является установление условий их однозначной разрешимости, именно этому посвящена данная работа. Кроме того, исследуемые в диссертационной работе начальные задачи для вырожденных эволюционных уравнений в банаховых пространствах с интегральными возмущениями имеют интерпретации, важные с практической точки зрения. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть практически использованы при исследовании прикладных задач, описывающих конкретные физические процессы и явления.

Методология и методы исследования. Методами теории вырожденных полугрупп операторов вырожденное линейное эволюционное уравнение с памятью в банаховом пространстве сведено к системе двух уравнений, одно из которых разрешено относительно производной, а другое имеет при производ-

ной нилыготентный оператор. Задача с заданной историей для разрешенного относительно производной уравнения с памятью редуцирована к задаче Копій для стационарной системы уравнений в более широком пространстве. Это позволило получить методами класической теории полугрупп операторов условия существования единственного решения задачи, в том числе решения повышенной гладкости. В итоге была исследована однозначная разрешимость задачи с заданной историей для вырожденного линейного эволюционного уравнения с памятью при некоторых ограничениях на ядро интегрального оператора памяти. Кроме того, была исследована аналогичная задача с условием типа обобщенного условия Шоуолтера-Сидорова на историю системы при условии независимости интегрального ядра от элементов подпространства вырождения для рассматриваемого уравнения.

При исследовании нагруженных вырожденных эволюционных уравнений использовалась теорема о сжимающем отображении. Для построения сжимающего оператора использовался вид решения неоднородного линейного вырожденного эволюционного уравнения. Это позволило получить теоремы об однозначной разрешимости задач Коши и Шоуолтера-Сидорова без привлечения дополнительных ограничений на ядро интегрального оператора.

Абстрактные результаты использованы при исследовании начально-краевых задач для линеаризованных интегро-дифференциальных систем уравнений Осколкова, описывающих динамику жидкости Кельвина-Фойгта нулевого, а также высокого (второго и выше) порядка в смысле реологического соотношения, для интегро-дифференциальных систем уравнений внутренних и гравитационно-гироскопических волн в приближении Буссинеска, для алгебро-интегро-дифференциальной системы уравнений с частными производными, для вырожденной системы интегро-дифференциальных уравнений функций одной переменной, для нагруженных псевдопараболических уравнений, возникающих в теории фильтрации.

Положения выносимые на защиту

1. Получены теоремы о существовании и единственности решения задач с заданной историей для вырожденных эволюционных уравнений с памятью, в случае, когда однородная часть уравнения обладает сильно непрерывной разрешающей полугруппой или аналитической разрешающей группой операторов.

2. Найдены условия однозначной разрешимости начально-краевых задач для интегро-дифференциальных систем уравнений Осколкова, моделирующих динамику вякоупругой жидкости Кельвина-Фойгта нулевого и высокого порядка, для систем внутренних и гравитационно-гироскопических волн в приближении Буссинеска, для алгебро-интегро-дифференциальной системы уравнений.

3. Сформулированы и доказаны теоремы о существовании единственного решения начальных задач Коши и Шоуолтера-Сидорова для вырожденного эволюционного уравнения, нагруженного интегральным (в смысле Римана-Стилтьеса) оператором типа Фредгольма.

4. Исследованы вопросы однозначной разрешимости начально-краевых за-

дач для класса нагруженных псевдопараболических уравнений, включающего некоторые уравнения теории фильтрации, для нагруженных алгебро-дифференциальных систем уравнений для функций одной переменной и для функций нескольких переменных.

Степень достоверности и апробация результатов. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры математического анализа Челябинского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., проф. В. Е. Федоров), на конференциях: Международная конференция «Физико-математические науки и образование», Магнитогорский государственный университет, г. Магнитогорск, 2012 г.; Международная конференция «Нелинейные уравнения и комплексный анализ», Институт математики с вычислительным центром Уфимского центра РАН, оз. Банное, Башкортостан, 2013 г., 2014 г.; Международная конференция «Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна», Воронежский государственный университет, г. Воронеж, 2014 г.; Международная конференция «Mathematical and Computational Modelling in Science and Technology», Izmir University, Измир, Турция, 2015 г.; M еж ду народная конференция «Актуальные проблемы теории уравнений в частных производных», посвященная памяти А. В. Бицадзе, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, г. Москва, 2016 г.

Все результаты диссертации получены лично автором. В совместных работах с В. Е. Фёдоровым научному руководителю принадлежат постановка задачи и общее руководство.

Работа поддержана грантом Фонда поддержки молодых ученых Челябинского государственного университета (2015 г.), грантом № 14.Z50.31.0020 Правительства Российской Федерации.

Относительно р-радиальные операторы

Замечание 1.2.3. Определяемые аналогичным образом фазовое пространство и разрешающая полугруппа уравнения (1.2.2) в силу леммы 1.2.2 совпадают с фазовым пространством и разрешающей полугруппой для уравнения (1.2.1).

Замечание 1.2.4. Если it и 2J — рефлексивные банаховы пространства, то все предыдущие утверждения параграфа, использующие условие сильной (Ь,р)-радиальности оператора М, при замене его на условие (L, -радиальности оператора М остаются в силе, кроме утверждения (iii) теоремы 1.2.1 об операторе Lj . В этом случае можно утверждать лишь, что существует оператор L\x Є C/(2J1;it1) [32].

Лемма 1.2.3. Пусть оператор Н Є С(іі) нильпотентен степени не больше р, функция g Є Cp+1([0,T];it). Тогда существует единственное решение и Є Cl([0}T];ii) уравнения Hu(t) = u(t)+g(t), Є[0,Т], (1.2.4) p причем u(t) = — J2 Hlg(l\t). 1=0 Теорема 1.2.4. Пусть оператор M сильно (Ь,р)-радиален, функция g Є C QO,!1]; ) такова, что {I - Q)g Є Ср+1([0,Т]; 2J). Тогда (і) если щ Є DM и выполняется условие (I - Р)щ = -J2 HkM0-\(I - Q)gf\0), (1.2.5) k=0 то существует единственное решение и Є Cl([0}T];ii) П C([0,T];DM) задачи Коши и(0) = щ для уравнения Lu{t) = Mu{t)+g{t), te[0,T\, (1.2.6) при этом 1 р u(t) = U(t)u0 + J U{s)L lQg{t - s)ds - HkMQ l{{I - Q)g){k)(t); (1.2.7) о k= (ii) если начальное значение щ Є DMX, то существует единственное решение и Є С1([0,Т];іі) П С([0,Т]; DM) обобщенной задачи Шоуолтера Сидорова Ри(0) = щ для уравнения (1.2.6), при этом решение имеет вид (1.2.7). Замечание 1.2.5. Используя изложенные выше результаты, уравнение (1.2.6) мы можем представить в виде системы двух уравнений v(t) = L M it) + L lQg{t), (1.2.8) Hw{t) = w{t) + M0 l{I - Q)g{t) (1.2.9) на подпространствах it1 и it0 соответственно. Здесь v(t) = Pu(t), w(t) = (I — P)u(t). В представленном в теореме 1.2.4 решении уравнения (1.2.6) первые два слагаемых разрешают уравнение (1.2.8), а оставшаяся сумма — уравнение (1.2.9) (в силу леммы 1.2.3).

Лемма 1.2.4. Пусть оператор Н Є С(іі) нилъпотентен степени не больше р, функция д Є Ср([0,Т];ІІ). Тогда существует единственное решение (и Є C([0,T];il), для которого Ни Є Cl([0}T];ii)) уравнения jtHu(t) = u(t)+g(t)} te[0,T\, (1.2.10) р причем u(t) = — J2 Hlg(l\t). 1=0 Доказательство. Как и при доказательстве леммы 1.2.2, действуя на обе части рассматриваемого уравнения оператором DH, получим равенства {DHfu{t) = DHu{t) + DHg{t) = u{t) + g{t) + DHg{t). При этом левая часть равенства определена в силу того, что определена его правая часть. Продолжая процесс, получим {DH)p+lu{t) = Dp+lHp+lu{t) = u{t)+g{t)+DHg{t) + - - + {DHfg{t) = 0. Замечание 1.2.6. Как видно из лемм 1.2.3, 1.2.4, для разрешимости уравнения (1.2.10) можно требовать меньшей гладкости от правой части д, чем в случае уравнения (1.2.4). Замечание 1.2.7. Нетрудно заметить, что требования на гладкость функции g можно ослабить еще сильнее, потребовав вместо условияg Є Ср([0, Т]; it) лишь выполнения условий Hkg Є Ck([0,T]]ii) при k = 0,1,.. . ,р. Теорема 1.2.5. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, функция g : [0,Т] - 2J такова, что Qg Є С М; 2J); {I - Q)g Є С"([0,Т];Ш). Тогда (і) еслищ Є DM и выполняется условие (1.2.5), то существует единственное решение задачи Коши и(0) = щ для уравнения d —bu,(t) = Mu(t)+g(t), te[0,T\, (1.2.11) при этом оно имеет вид (1.2.7); (ii) если щ Є DMX, fno существует единственное решение обобщенной задачи Шоуолтера-Сидорова Ри(0) = щ для уравнения (1.2.11), при этом решение имеет вид (1.2.7). Замечание 1.2.8. Отличие этой теоремы от теоремы 1.2.4 лишь в меньших требованиях на гладкость функции (/ — Q)g, следует оно из того, что уравнение (1.2.11) на подпространстве it редуцируется не к уравнению (1.2.9), а к уравнению jHw(t) = w(t) + Mo1 (I - Q)g(t) (1.2.12) (см. замечание 1.2.6). На подпространстве же it дифференцируемость функций Ри и Ь\Ри равносильны в силу гомеоморфности оператора L\ : it1 — 23і. 1.3. Относительно сг-ограниченные операторы Доказательства результатов данного параграфа можно найти в [19,51]. Оператор М называется (L, а)-ограниченным, если За 0 V/i Є С (/І а) (це /(М)), т. е. L-спектр оператора М о (М) является ограниченным множеством. Возьмем (L, (т)-ограниченный оператор М, выберем в комплексной плоскости С замкнутый контур 7 = {/ІЄ С : \ц\ = R а}. (1.3.1) Тогда имеют смысл следующие интегралы, как интегралы от аналитических функций по замкнутому контуру: Р = J Д(М)ф, Q = -J bj:(M)dfi. (1.3.2) 7 7 Нетрудно проверить, что операторы Р Є (it), Q Є (23) являются проекторами. Положим it0 = kerP, it1 = imP, 23 = keiQ, 231 = imQ. Тогда it = it0 0 it1, 2J = 2J 0 2J1. Через L/; (M&) обозначим сужение оператора L (M) на itfc (DMfc = % nitfc), к = 0,1.

Теорема 1.3.1. Пусть оператор М (L, а)-ограничен. Тогда (i) ЬкєС(іік;Юк),к = 0,1; (ii) Mo Є C/(it;2J), МІ є Ціі1; 1); (iii) существуют операторы L\l Є С(Ю1;ІІ1), M0_1 Є (2J;it).

При условии (L, (т)-ограниченности оператора М согласно теореме 1.3.1 существует оператор Н = М0 LQ Є (it). (L, т)-ограниченный оператор М назовем (L,p)-ограниченным при р Є No, если Нр ф О, а 77р+1 = О. Если такого р Є No не существует, назовем его (L, оо)-ограниченным.

Теорема 1.3.2. (і) Пусть оператор М (L,0)-ограничен. Тогда оператор L не имеет М-присоединенных векторов, ker L = it0, imL = 2J1; (ii) пусть оператор М (L,p)-ограничен, р Є N. Тогда длина любой цепочки М-присоединенных векторов оператора L ограничена числом р, цепочка длины р при этом существует, и М-корневой линеал оператора L совпадает с подпространством ; (iii) пусть оператор М (L, оо)-ограничен. Тогда М-корневой линеал оператора L содержится в it0. Отображение U(-) : Ж. — (il) называется группой разрешающих операторов (или просто разрешающей группой) уравнения (1.2.1), если (i) U(s)U(t) = U(s + t) для любых s,fGl; (ii) при любом Mo Є it вектор-функция u(t) = U(t)uo есть решение уравнения (1.2.1); (iii) imU(0) = V, где V — фазовое пространство уравнения (1.2.1). Разрешающая группа называется аналитической, если она допускает аналитическое продолжение во всю комплексную плоскость С с сохранением свойства (і). Теорема 1.3.3. Пусть оператор М (L}p)-ограничен. Тогда существует аналитическая разрешающая группа {U(t) Є С(іі) : t Є Ж} уравнения (1.2.1), причем U(t) = -J RL M)e d 7 где замкнутый контуру удовлетворяет условию (1.3.1).

Замечание 1.3.1. Можно показать, что (L, -ограниченный оператор является сильно (Ь,р)-радиальным. Поэтому, в частности, при условии (L,p)-ограниченности оператора М множества решений уравнений (1.2.1) и (1.2.2), а также их фазовые пространства и разрешающие группы совпадают (см. предыдущий параграф). Отсюда же, из теорем 1.2.4, 1.2.5, а также из ограниченности оператора М\ согласно теореме 1.3.1 (ii) вытекают следующие утверждения.

Некоторые частные случаи и обобщения

Пусть В и С — квадратные матрицы порядка d Є N, rang = k, k Є {0,1,..., d — 1}, K(t, s) — квадратная матрица порядка d Є N, зависящая от двух параметров t,s Є [0,Т]. Рассмотрим задачу Коши и(0)=щ (2.5.1) для алгебро-дифференциальной системы уравнений для функций одной переменной т Bu{t) = Cu{t) + / K{t,s)u{s)dfj,{s), t Є [0,T], (2.5.2) о где u(t) = col(ui(t),u2(t),... ,Ud(t)), щ = со1(мю,М20,--- о), M : [0,T] - M — функция ограниченной вариации. Задача (2.5.1), (2.5.2) совпадает с задачей (2.1.1), (2.1.2), если положить it = Ю = M.d, а действие операторов L, М и /С(, s) отождествить с действием матриц В, Си i (, s) соответственно. Лемма 2.5.1. [51, с. 122]. Пусть существует такое а Є С, что det(aB — С) = 0. Тогда оператор М сильно (L, р)-радиален при некотором р Є {0,..., і— 1}. Для данного случая (см. [51, с. 89-90]) проектор Р может быть вычислен по формуле p=hj{XB-crlBdX с помощью теории вычетов. В условиях леммы 2.5.1 из теоремы 2.1.1 следует, что если начальное значение щ Є imP, /С Є СР+1 ([0,Т] х [0,T];Mdxd), F(T) 1, то существует единственное решение задачи (2.5.1), (2.5.2). Рассмотрим для определенности при d = 3 задачу (2.5.3) иг(0)=иг, і = 1,2,3, з т ui(t)=ui(t) + J2fkii(t,s)ui(s)dii(s), te [0,Т]; г=1 О 3 Т (2.5.4) u3{t) = u2{t) + J2 f k2i{t,s)ui{s)dti{s), te [0,T]; i=l 0 3 T 0 = u3(t) + Efk3i(t,s)ui(s)dti(s), te [0,T], i=l 0 близкую по форме к задаче (2.4.1)-(2.4.3). Поэтому оператор / сильно (L, 1)-радиален с константами а = 1, К = 1, К{Т) = ет, it0 = 2J0 = {0} х R х К, Я1 = 2J1 = К х {0} х {0}, Ь 1 = І, С\ = ho = h\ = 1. Утверждение 2.5.1. Пусть Що GR, i = 1,2,3, /і: [0,7і] — К. — функция ограниченной вариации, k{j Є С2 ([0,Т] х [0,Т];К), i, j = 1,2,3, kij{0,s) = 0, - (0,s) = 0, 5Є[0,Т]: (2.5.5) дпЬ 1-3 1. (t,s) Vniu) У max max dV t,s&[0,T\i,j=l,2,3 n=\) Тогда существует единственное решение щ,щ, Щ Є С1 ([О, Т]; Ж) задачи (2.5.3), (2.5.4).

Для задачи с условием Шоуолтера-Сидорова Ри(0) = щ аналогичное утверждение справедливо и без условий (2.5.5). 3. Исследование вырожденных эволюционных уравнений с памятью методами теории полугрупп операторов

Через DM, как и ранее, обозначается область определения оператора М Є C/(it;2J). Снабженное нормой графика -_ом = Ня+М- это множество является банаховым пространством в силу замкнутости М.

Обозначим также Ш+ = {х Є R : х 0}, Ж+ = {0} U К+, М_ = {х Є R : х 0}, !_ = {0} U М_, 7г(М+;И) - множество функций h : R+ - it, для которых несобственный интеграл Римана L \\h(t)\\udt сходится. Через CQ(R+;H) обозначим банахово пространство к раз непрерывно дифференцируемых и ограниченных на Ш+ вместе с к первыми производными функций, удовлетворяющих равенствам и" (0) = 0, / = 0,1,..., к, с нормой

Таким образом, задача (3.1.1) для уравнения (3.1.2) сведена к задаче Коши и(0) =м_(0), v(0,s) = / u-(r)dr, s 0, для системы уравнений (3.1.3), (3.1.4), которую можно записать в виде неоднородного уравнения w (t) = Bw(t) +g(t) с постоянным оператором В в пространстве 2ЇЇ = ІІ х Co(K+;it). Здесь ю=С) НО в Сй (зл-5) при этом Аг : C0(M+;it) - it, А2 : C0(M+;it) - С0(!+;Я), J : И - Co(l+;it) действуют по правилам +00 Ai2 = - / /C (s)z(s)ds, (A2z)(s) = -z (s), (Jz)(s) = z,s 0. Лемма 3.1.1. J Є (it;C0(M+;it)); J(H;Co(i+;H)) = 1-Доказательство. При z Є it имеем II J llc70(R+;H) = SUP ll( )(s)llii = ІНІЙ- D s 0 Лемма 3.1.2. Пусть /С Є C(!+;(il)), /С, /С Є ft(K+;(il)). Тогда Ах є (C0(I+;it);it). Доказательство. Для z Є Со(К+;ІІ) + 00 ЦЛі Ци SUPZ(T)H / \\K!{s)\\cmds. П т 0 J О Полугруппу операторов {/() Є (it) : t 0} будем называть сжимающей, ЄСЛИ /()(іі) 1 для всех 0. Лемма 3.1.3. Оператор А2 Є C/(Co(K+;it)) с областью определения DA2 = Cd(M+;it) порождает сжимающую (Со)-непрерывную полугруппу операторов. Доказательство. При /І 0 и z2 Є Co(K+;il) уравнение (pi — A2)z\ = z2 относительно Z\ Є Co(M+;it) представляет собой дифференциальное уравнение fiz\ + z[ = z2. Соответствующее однородное уравнение fiz\ + z[ = 0 имеет общее решение Z\(s) = Ce_MS, поэтому решение неоднородного уравнения будем искать в виде Z\(s) = C(s)e s. Подставив его в исходное уравнение, получим равенство Cf(s)e s = z2, поэтому S S C(s) = Ci+ f z2(r)e dr, zi(s) = СіЄ- + J e T-s)z2(r)dr. о 0 Поскольку z\ Є DA2, TO Z\(0) = 0 и C\ = 0. Таким образом, s l(pI-A2)-lz2}(s) = J e - z2(r)dT, \(liI-A2ylz2\ С0(К+;Я) sup s -AT s) z2(r)dr и sup / e - \\z2{r)\\udT s /i Р2ІІс0(М+;Я) 1 Получаем /І \\(jll - A2) І(СГ0(1+;ІІ)) Таким образом, оператор А2 является генератором сжимающей (Со)-непре-рывной полугруппы операторов.

Замечание 3.1.1. Именно ради этой леммы выбрано и в дальнейшем используется пространство Co(IR+;il) непрерывных и ограниченных функций, удовлетворяющих условию 2(0) = 0.

Теорема 3.1.1. Пусть оператор А порождает (Со) -непрерывную полугруппу операторов в ІІ, /С Є С(Ш+; C(il)), /С, /С Є 7Z(R+; (il)). Тогда определенный в (3.1.5) оператор В с областью определения DB = DA Х С (Ш+;И) порождает (Со)-непрерывную полугруппу операторов вії х Со(К+;ІІ). Доказательство. Имеем В = BQ + В\: где Оператор Во Є С/(Я х Со(К+;ІІ)) порождает (Со)-непрерывную полугруп пу операторов в пространстве it х Co(K+;it), поскольку операторы А и А і являются генераторами (Со)-непрерывных полугрупп на пространствах it и Co(K+;it) соответственно. Оператор В\ непрерывен на пространстве it х Co(K+;it) в силу лемм 3.1.1, 3.1.2, поэтому по теореме 2.1 [6] оператор В = Во + В\ Є C/(it х Co(K+;it)) является генератором (Со)-непрерывной полу группы на пространстве it х Co(K+;it).

Вырожденная система интегро-дифференциальных уравнений функций одной переменной

Действительно, если v — достаточно гладкая функция, то из Пг = 0 следует равенство (3.5.4). В общем случае в силу (3.5.5) v является пределом в смысле L.2 гладких функций, удовлетворяющих условию (3.5.4).

Обозначим через А = Sdiag{A,..., А} оператор А Є С1(Ша) с областью определения Ш . Известно, что этот оператор имеет вещественный, отрицательный, дискретный, конечнократный спектр т(А), сгущающийся только на — оо [8]. Пусть v Є Н1, тогда формулой Dw = и Aw — (v- V)w — (w V)v зададим оператор D Є /Z(IHI ; IL2).

Учитывая уравнение (3.5.5), положим f I-XA 0\ /ED 0\ /Ч / K(s)A О \ V -хПА О у V nD 7 У V K{s)TlA О у при s 0. Поскольку функция г задает градиент давления, то она ищется как функция от t со значениями в подпространстве градиентных функций Шп. Теорема 3.5.1. Пусть х + 0, х"1 ф a {A), v. Є Co(!_;]Hg) Г\П(и.;ШІ), К Є С(!+;К), К, К Є 7г(М+;М). Тогда задача (3.5.1)-(3.5.3), (3.5.5) имеет единственное решение v Є Сп(Ш+] Ш2а) П С(К; Eg), г Є С(1+; Щ. Доказательство. В работе [5] показано, что в условиях данной теоремы оператор М сильно (L, 0)-радиален, при этом Р=( V Q=( Следовательно, условие (3.5.1) представляет собой обобщенное условие Шо-уолтера-Сидорова и kerP = it0 С ker/C(s) при всех s 0. По теореме 3.2.3 получим требуемое. При этом от функции г не требуется дифференцируе-мость по определению решения, поскольку она попадает в ядро оператора L. Замечание 3.5.1. В случае жидкостей Олдройта ненулевого порядка (система (0.25) в [15]) предложенный подход приводит к уравнению (3.1.2) с оператором М, который не является (L, т)-ограниченным или сильно (L,p)-радиальным. 3.6. Линеаризованная система уравнений движения жидкостей Кельвина—Фойгта высокого порядка Рассмотрим начально-краевую задачу y(x,t) = y-(x,t), z(x,t) = z-(x,t), (x,t) Є Q xR_, (3.6.1) y{x,t) = 0, z{x,t) = 0, {x,t)edQxR+, (3.6.2) для линеаризованной системы уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта порядка 2, 3, ... (система (0.55) в [15]) (1 - хДМж, t) = vAy(x, t)-(y- V)y{X) t)-{y V)y{X) t)+ +Az(x,t) -r(x,t)+ g(x,t), (x,t) єПхШ+, (3.6.3) t zt(x,t) = ay(x,t) + pz(x,t) + / K(t- s)z(x,s)ds, (x,t) eQxR+, (3.6.4) — 00 V у = 0, V z = 0, (x,t)eQxW+. (3.6.5)

Здесь Q С №. — ограниченная область с гладкой границей dQ, постоянные X, v,a,/3 Є Ш, заданы функции у_, z_, у, К. Функция у = {yi,y2, ,ш) соответствует стационарному решению системы, параметр \ характеризует упругие свойства жидкости, v - ее вязкие свойства. Вектор-функции у = (уі, у2, , yd) (вектор скорости жидкости), z = (zi,Z2,...,Zd) (свертка по временной переменной скорости и некоторой весовой функции), а также г = (гі,Г2,. .. if d) (градиент давления) неизвестны. Как в прежнем параграфе, определим заданные на Н операторы А Є С1(Ша), Aw = Aw, и D є (M2;L2), DW = vAw - (у V)w - (w V)y при заданном у Є EI . Учитывая уравнения (3.6.5) и тот факт, что градиент давления г ищется как функция от t со значениями в подпространстве градиентных функций Е , положим Я = (хі,х(, 2J = L2 х Ш2а = Ша х Нэт х И. (3.6.6)

Здесь также используется тот факт, что при фиксированном t все слагаемые в уравнении (3.6.4) являются элементами Е1 . Тогда операторы, задающие систему (3.6.1)—(3.6.5) в виде уравнения (3.2.2), имеют вид поэтому (/ — XiJ A) l Є /2(Но-; Н2). Оценим константу См = sup ,, д ч2 при достаточно больших /І. ЕСЛИ % 0, ТО В силу отрицательности спектра сг{А) Си не превосходит максимума значений функции h ix) = (1 + х2){1 — Хцх) 2 в точке 0 и на — оо: См тах{1,х 2} С (є) = тах{1,(х — є) 2} при некотором малом є 0. В случае же X 0 имеем х1 + (і + ад 2х4 С а С (Є) + є, d=mi\\k-xl\ \x -X В этом случае взят максимум значений функции h(x) = (1 + х2){1 — Хх) 2 в точках х 1 ± d с поправкой на то, что Хц " Х-Таким образом, обратный оператор „ = (/- хИ - м-1 )-1 = (/ - хИГ1 (і - D(I - хИ)"1) существует и непрерывно действует из Ша в Н2 при достаточно большом /i, в том числе при условии /І С(є)Е)І(]н[2.]д[(7). При таких /І Є С цЬ-М ( ц{1 - ХА) - Y.D 0 -А \ -/іХПД-ILD / -ПА -а/ 0 (p-(3)I ) \ ( \ М " м(м-/3) (pL-M)-1 п(М-/3)(МХА+Д)+аАд ПАДМ[М(/-ХА)-1]Д]+(МХА+Д)ДМА М /х(/х-/3) о I V г , /х(/х-/3) D p(I-xA)-ED Отсюда видно, что при достаточно больших /І оператор (pL — M) : 2J — it непрерывен, что означает (L, -ограниченность оператора М. При г Є На и достаточно больших /І \{I-X,A)-lv-{I-XA)-lv\ Н X/A)2(l - хА/

Поэтому условие im/C(s) С it1 в данной ситуации означает, что &2« = к:ц = 0, і = 1,2,3, условие ker/C(s) D it0 — что ку2 = з = 0, j = 1,2,3. Именно эти два случая позволяют исследовать результаты, полученные в 3.2. По теореме 3.2.1 сразу получим следующий результат.

Линеаризованная система уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта высокого порядка

Отметим лишь, что (Л — А) о Є it1, так как (I — Р)(А — A)ZQ = 0. Поэтому и предположения теоремы 2.1.2 намо = (Л —А) о из условия (2.1.4) выполняются.

Заметим, что в конкретных задачах общее для уравнений рассмотренного типа достаточное условие однозначной разрешимости F(T) 1, и тем более условие F(T) 1, не является необходимым и может быть ослаблено. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующий пример. Пусть d = 1, Q = (0,7г), Л = —1, /3 = 2, рассмотрим частный случай задачи (2.2.2), (2.2.6), (2.2.7) z(x,0) + zxx(x,0) - zo(x) - z0xx(x,0) = 0, жє(0,7г), (2.3.8) z{0,t) = zxx(0,t) = z(n,t) = zxx(7r,t) = 0, t Є [0,T], (2.3.9) Zt\Xі Ъ) ZfxxyXj l) ZxxyXj l) ZZxxxxyXj T )-\ k + 2ci(t)z(x,ti), (x,t) Є (0,тг) x [0,T], (2.3.10) 1=1 Q(0) = 0 при / = 1,..., /о- Тогда (см. [37]) Ато = —m2, ipm = sinmrr при т Є N, г -iir-inii - Уї+ _УЇ7 -1 - b! У\\(Ь2(0,п);Щ(0,п)) «Up 2_л - -, V2 тг)) ho=\\M0 (I - Q)\\c(L2(0,n);H20(0 a = sup = —12, K(T) = К = sup 1 mz — 1 m2-2m4 _ _,_ _ L л/Ї7] л/Ї7 m=2,3,. Доказать существование решения задачи (2.3.8)—(2.3.10) по аналогии с теоремой 2.1.2 можно с помощью оператора 0 0 0 р 1=1 1=1 1=1 о 1=1 Здесь учитывается, что р = 0. Условие того, что Фі является сжимающим в C1([0,T];L/2(Q)), будет иметь вид F(T) = y (dK(T)ti + ho) (max Q( ) + max \ф)\ ] = Л/і7 л/ї\ ( , , ,, , ,, ,Д , = / Л wfi + r max \Ф)\ + max \Ф)\ l Можно заметить, что в данной ситуации удобно считать, что функция /І постоянна, за исключением конечного числа /о единичных скачков и величина F(T) определена в замечании 2.1.2 для случая монотонной функции/І. При этом k(t, ti) = Ci(t) при / = 1,.. . , /о- В то же время F(T) = — ( max к\ф)\ + max к\ф)\) + 9 \te[0,T},l=l,...,l0 t[0,T\,l=l,...,l0 J лДіо max \ф)\ + max \Ф)\ J (T), З \іє[0,Т],/=1,...,/0 є[0,Г],/=1,...,/о / если, например, 1$ 2 и не все с/ одинаковы. В случае задачи (2.3.8), (2.3.9) для простейшего уравнения вида (2.3.10) -уравнения -zt{x,t) - ztxx{x,t) = zxx{x,t) -2zxxxx{x,t) +cz{x,l), {x,t) Є (0,7г) x [0,1], (2.3.11) имеем F(T) = \c\ (у + з ) Поэтому при \с\ 9\ р- по теореме 2.1.2 гарантированно существует единственное решение задачи (2.3.8), (2.3.9), (2.3.11) на отрезке [0,1]. Замечание 2.3.1. Таким же образом, как исследована начально-краевая задача для уравнения Дзекцера, могут быть исследованы начально-краевые задачи вида

Оператор A\ Є Cl(L/2(Q)) с областью определения DAX = ЩгвЛО) [25], действующий как A\U = Аи для и Є DAV пусть является самосопряженным и имеет ограниченный справа спектр а{А\). Через R в (2.3.14) обозначен тождественный оператор в случае условия Копій и Рп{А) для задания условия Шоуолтера-Сидорова, K.(t,s) — одно из семейств интегральных операторов, рассмотренных в этом параграфе. Положив и потребовав условия отсутствия общих корней у многочленов Рп и Qm среди собственных значений оператора А\, а также выполнения одного из условий п т, либо (—l)m_nRe( iTO/cn), получим согласно результатам [37] сильную (L, 0)-радиальность оператора М. Тогда нетрудно получить результаты, аналогичные теоремам 2.2.1, 2.2.2.

Алгебро-интегро-дифференциальная система уравнений с частными производными Рассмотрим начально-краевую задачу 2і (ж, 0) = 2іо (ж), хеП, (2.4.1) Zi(x,t) = 0, (x,t) Є дП х [0,Т], і = 1,2,3, (2.4.2) для модельной интегро-дифференциальной системы уравнений 3 Т zu(x,t) = Az\(x,t) + J2 J hi(t, s)zi(x, s)d/i(s), (x,t) Є Q x [0,T], i=l 0 3 T 2&(M) = Az2(x,t) + J2fk2i{t,s)zi(x,s)dii(s), (x,t) Є ft x [0,T], i=l 0 3 T 0 = Az3(a;,i) + J2fk3i{t,s)zi{x,s)dii{s), {x,t) еПх [0,T]. i=l 0 (2.4.3) Здесь Q С №. - ограниченная область с гладкой границей dQ, заданы функции г10:П R, kji : [0,Т] х [0,Т] - К, i,j = 1,2,3. Положим Я02( ) = {v Є Я2( ) : ф) = 0, ж Є Ш}, it = 2J = (L2( ))3, DM=(Hi(tt)j L I I 0 o\ 0 0/ у о о о у м / л о о \ о л о о о л / V JC(t,s) kn{t,s) ku{t,s) ku(t,s) k2i{t,s) k22{t,s) k2a{t,s) \ hi{t,s) fa2{t,s) k&{t,s) J при t,s Є [0,T]. Тогда u(t) = со1(і(-,),2(-,),з(-,)). В работе [17] показана сильная (L, 1)-радиальность оператора М в данной ситуации и найдены подпространства

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Здесь Щ(0,ж) = {v є Ь2(0,7г) : v(0) = V(TT) = 0}. Возьмем в предыдущей теореме d = 1, Q = (0,7г), Т = 1, /І = 0 на [0,1), /І(1) = 1, kij(t,s) = h(t) при ( ,s) Є [0,1] х [0,1]. Тогда VjQi) = 1, Лі = -1 и по теореме 2.4.1 получим требуемое. П Аналогичным образом нетрудно получить результат о разрешимости задачи (2.4.2), (2.4.3) с начальными условиями Копій Zi(x,0) = zi0(x), хЄІЇ, і = 1,2,3. (2.4.4) Теорема 2.4.2. Пусть zi0 Є Н$(П), і = 1, 2,3, /І : [0,Т] - К - функция ограниченной вариации, k,j Є С2 ([0,Т] х [0,Т];М), i,j = 1,2,3, %(0,s) = О, (0,в) = 0длявє[0,Г], ( 2 2 2 I, n=0 n=0 n=0 Тогда задача (2.4.2)-(2.4.4) имеет единственное решение z1)z2,z3GC1([0,T];L2(Q))nC([0,T]; (l])). 1. 2.5. Вырожденная система интегро-дифференциальных уравнений функций одной переменной Пусть В и С — квадратные матрицы порядка d Є N, rang = k, k Є {0,1,..., d — 1}, K(t, s) — квадратная матрица порядка d Є N, зависящая от двух параметров t,s Є [0,Т]. Рассмотрим задачу Коши и(0)=щ (2.5.1) для алгебро-дифференциальной системы уравнений для функций одной переменной т Bu{t) = Cu{t) + / K{t,s)u{s)dfj,{s), t Є [0,T], (2.5.2) о где u(t) = col(ui(t),u2(t),... ,Ud(t)), щ = со1(мю,М20,--- о), M : [0,T] - M — функция ограниченной вариации. Задача (2.5.1), (2.5.2) совпадает с задачей (2.1.1), (2.1.2), если положить it = Ю = M.d, а действие операторов L, М и /С(, s) отождествить с действием матриц В, Си i (, s) соответственно.