Возмущение и устойчивость моделей авторезонанса Султанов Оскар Анварович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Функции Ляпунова для систем близких к гамильтоновым 17

1.1. Постановка задачи 17

1.2. Теорема об устойчивости 19

1.3. Теорема о неустойчивости 25

1.4. Примеры 27

Глава 2. Возмущения начальных данных 33

2.1. Постановка задачи 33

2.2. Система уравнений главного резонанса 34

2.3. Система параметрического авторезонанса 40

Глава 3. Детерминированные возмущения 45

3.1. Постановка задачи 45

3.2. Классы возмущений 46

3.3. Система уравнений главного резонанса 49

3.4. Система параметрического авторезонанса 55

3.5. Устойчивость в системах близких к гамильтоновым 61

3.6. Постоянно действующие возмущения, ограниченные в среднем 64

3.7. Устойчивость на асимптотически большом промежутке времени 70

Глава 4. Случайные возмущения 76

4.1. Постановка задачи 76

4.2. Классы возмущений 77

4.3. Общие системы 78

4.4. Система уравнений главного резонанса 83

4.5. Система параметрического авторезонанса 87

4.6. Примеры допустимых возмущений 90

Заключение 92

Список литературы 93

• Теорема о неустойчивости
• Система уравнений главного резонанса
• Система параметрического авторезонанса
• Система параметрического авторезонанса

Введение к работе

Актуальность темы исследования. В современной математической физике исследование многих физических явлений приводит к математическим моделям, записанным в форме систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В настоящей работе исследуются математические модели, которые описывают начальный этап захвата нелинейных осциллирующих систем в авторезонанс. Авторезонансом называется явление значительного роста амплитуды или энергии нелинейного осциллятора под действием малой медленно меняющейся накачки. Считается, что впервые такое явление было открыто Векслером и МакМилланом в задачах по ускорению релятивистских частиц. Затем было обнаружено, что авторезонанс проявляется в большом круге явлений, в динамике которых ключевое место занимают нелинейные осцилляции и волны^{1 2}. В последнее время явление авторезонанса стало предметом строгих математических исследований, в рамках которых анализируются системы нелинейных дифференциальных уравнений. На этом пути важные результаты содержатся в работах А.И.Нейштадта, Л.Фридлянда, Б.Меерсона, А.Г.Шагалова, ЛА.Калякина, МА.Шамсутдинова, О.М.Киселева. В рамках таких исследований основными объектами выступают системы главного и параметрического авторезонансов:

-j- - г² + Хт ат

Ъ cos^; (1]

— = sin ф, г ат

dr _; (Ц) ₂

г sin^, — г +\r = bcosib. (2)

ат ат

Здесь А, Ъ = const ф 0, искомые функции г(т) и ф(т) соответствуют амплитуде и сдвигу фазы гармонических колебаний. Интерес представляют решения с неограниченно растущей амплитудой г(т) —> оо при т —> оо, которые связывают с явлением захвата в авторезонанс.

Широкий спектр приложений приводит к необходимости изучать поведение решений под действием возмущений различных типов. Основной целью ра-

¹ Fajans J., Friedland L. Am. J. Phys. 2001. Vol. 69. P. 1096-1102.

² Golovanivsky K.S. Phys. Scr. 1980. Vol. 22. P. 126-133.

боты является исследование устойчивости резонансных решений по Ляпунову и при постоянно действующих возмущениях.

Рассматриваемые уравнения возникают при усреднении нелинейных одно-частотных колебаний с малой внешней либо параметрической накачкой. Простейший пример дает уравнение нелинейного маятника:

d х

—w + йІП X = Є COS l>t, 0 < « 1.

Известно, что при є = 0 система описывает колебания с частотой а;, зависящей от фазовой траектории. Поэтому накачка с постоянной частотой v = си не приводит к значительному росту возмущенных колебаний. В этом случае амплитуда изменяется на величину порядка 0(л/є). Такое явление, связанное с понятием нелинейного резонанса, исследовалось в работах Б.В.Чирикова, Г.М.Заславского, Р.З.Сагдеева и др. Оказывается, что значительный рост амплитуды колебаний возможен при медленной деформации частоты накачки, например, v = си — at, 0 < а <С 1. Тогда при определенных начальных условиях |ж(0)| + |ж(0)| <С 1 имеет место захват в авторезонанс, который проявляется в том, что энергия системы возрастает до величин порядка 0(1) на временах t = є~¹. Для асимптотического описания таких решений воспользуемся методом двух-масштабных разложений. Введем медленное время г = є²/³/4, тогда подстановка асимптотического анзатца:

x(t; є) = 2є^1/3г(т) cos (ut - at² - ф(т)) + 0(є^2/3)

в уравнение нелинейного маятника и усреднение по быстрой переменной приводит в главном члене асимптотики к соответствующей задаче Коши для системы (1) с коэффициентами А = 8ає~⁴'^:і и Ъ = 1. Аналогично нелинейные системы с переменной параметрической накачкой приводят к модели (2).

Качественные свойства решений систем дифференциальных уравнений (1) и (2) активно исследовались в последние десятилетия³. Тем не менее, проблема

³ Калякин Л.А. Успехи мат. наук. 2008. Т. 63, вып. 5. С. 3-72.

устойчивости авторезонанса, как правило, оставалась в стороне от рассмотрения. Исключение составляют ⁴ и ⁵, где обсуждаются некоторые частные вопросы, связанные с устойчивостью. Однако математически строгий и полный анализ не проводился. При этом считается, что физически реализуемым процессам соответствуют именно устойчивые решения.

Одной из причин, по которой результатов об устойчивости авторезонанса почти не было, по-видимому, является отсутствие явных формул для точных решений. Более того, известно, что рассматриваемые системы не интегрируемы. В таких случаях при исследовании устойчивости иногда прибегают к анализу численных расчетов. Но такой нестрогий подход зачастую может ввести в заблуждение и привести к неверным выводам. В данной работе устойчивость исследуется на основе асимптотики решений на бесконечности с использованием прямого метода Ляпунова. Такой подход позволяет, с одной стороны, получить строгие результаты, а с другой - обойти проблему неинтегрируемости уравнений и отсутствия явных формул.

Заметим, что для анализа моделей авторезонанса и других похожих систем в теории колебаний активно используется метод адиабатических приближений, основанный на наличии малого параметра. В рассматриваемых уравнениях таким параметром может служить множитель А. Однако в настоящей работе наличие малого параметра в системах не предполагается и не используется.

Цели и задачи диссертационной работы. Целью данной работы является исследование устойчивости неограниченно растущих решений нелинейных неавтономных систем дифференциальных уравнений (1) и (2) относительно возмущений начальных данных и при постоянно действующих возмущениях.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер и могут быть использованы при исследовании нелинейных колебаний

⁴ Калякин Л.А. Диффер. уравнения. 2004. Т. 40, № 6. С. 731-739.

⁵ Киселев О.М. Лекции по теории нелинейных колебаний. Баш. гос. ун-т. Уфа. 2006. С. 131.

и устойчивости решений различных систем дифференциальных уравнений.

Методология и методы исследования. В работе применяются методы общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений и методы теории устойчивости. Результаты численных расчетов приводятся в качестве иллюстраций к полученным утверждениям.

Положения, выносимые на защиту:

1. Исследована устойчивость равновесия для класса неавтономных систем двух дифференциальных уравнений близких к гамильтоновым в критическом случае пары мнимых собственных значений матрицы предельной линеаризованной системы. Предложен способ построения функций Ляпунова для систем такого вида, конструкцию которой можно использовать для анализа устойчивости в более сложных и общих ситуациях.

2. Решена задача об устойчивости по Ляпунову для неограниченно растущих решений моделей авторезонанса. Получены условия на коэффициенты уравнений (1) и (2), при которых гарантируется асимптотическая устойчивость и неустойчивость решений со степенной асимптотикой.

3. Исследовано влияние постоянно действующих детерминированных возмущений на устойчивость моделей авторезонанса. Описаны классы допустимых возмущений, при которых сохраняется устойчивость резонансных решений.

4. Решена задача об устойчивости моделей авторезонанса по вероятности. Описаны классы случайных возмущений, при которых имеет место сильная устойчивость резонансных решений.

Апробация работы. Результаты работы обсуждались на семинаре лаборатории природных катастроф ИПМех РАН (Москва, 2013), на семинаре «Нелинейный анализ» факультета математики Потсдамского университета (Потсдам, 2014), на семинаре «Анализ, стохастика и математическая физика» факультета математики Хемницкого технического университета (Хемниц, 2014), на семинаре лаборатории теории нелинейных явлений ИФМ УрО РАН (Екатеринбург, 2014), на общегородских семинарах им. A.M. Ильина по дифференциальным

уравнениям математической физики ИМВЦ УНЦ РАН (Уфа, 2009-2015); на международных конференциях «Нелинейные уравнения и комплексный анализ» (оз. Банное, 2010, 2013, 2014), на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Москва, МГУ, 2011), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2012), на международной школе-семинаре «Взаимодействие математики и физики: новые перспективы» (Москва, МИАН, 2012), на международной конференции «Динамика, бифуркации и странные аттракторы» (Нижний-Новгород, ННГУ 2013), на международной конференции «Days On Diffraction» (Санкт-Петербург, ПОМИ РАН, 2014), на VII международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (DFDE) (Москва, РУДН, 2014), на конференции «Chaotic Modeling and Simulation» (Лиссабон, 2014), на всероссийской школе-семинаре по проблемам физики конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 2014).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 7 печатных работах в рецензируемых журналах из списка ВАК [1-7].

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором. Из совместных работ [2, 4] автору принадлежат доказательства основных утверждений об устойчивости решений модельных уравнений.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации составляет 100 страниц. Библиография включает 80 наименований.

Теорема о неустойчивости

И задача заключается в определении условий на функции Р, Q, при которых устойчивость равновесия сохраняется. При этом необходимо учитывать, что в качестве возмущений могут выступать как детерминированные, так и случайные функции. В третьей главе исследуется устойчивость моделей авторезонанса относительно детерминированных возмущений с помощью функций Ляпунова, построенных для невозмущенных систем.

При анализе случайных возмущений модельных уравнений оказываются не применимы известные результаты из теории устойчивости, которые опираются на свойство диссипативности уравнений [50]. Действительно, при иссле 14 довании решений с растущей амплитудой для уравнений (6), (7) дело сводится к анализу устойчивости положения равновесия (0;0) в системах вида (8). Однако поскольку исходные уравнения имеют решения двух типов (с ограниченной и неограниченной амплитудой), то соответствующие преобразованные системы наряду с неподвижной точкой будут иметь решения, уходящие на бесконечность. Такие системы не обладают свойством диссипативности. С другой стороны, воспользоваться недавними результатами об устойчивости для недис-сипативных систем [57, 58] тоже напрямую не удается из-за специфики уравнений. В четвертой главе для одного специального класса уравнений проводится анализ устойчивости равновесия относительно случайных возмущений. Предлагаемый подход основан на существовании локальной функции Ляпунова для невозмущенной системы. Полученные результаты для общих уравнений затем применяются при исследовании моделей авторезонанса. Положения, выносимые на защиту: 1. Исследована устойчивость равновесия для класса неавтономных систем двух дифференциальных уравнений близких к гамильтоновым в критическом случае пары мнимых собственных значений матрицы предельной линеаризованной системы. Предложен способ построения функций Ляпунова для систем такого вида, конструкцию которой можно использовать для анализа устойчивости в более сложных и общих ситуациях. 2. Решена задача об устойчивости по Ляпунову неограниченно растущих решений моделей авторезонанса. Получены условия на коэффициенты уравнений (3) и (4), при которых гарантируется асимптотическая устойчивость и неустойчивость решений со степенной асимптотикой. 3. Исследовано влияние постоянно действующих детерминированных возмущений на устойчивость моделей авторезонанса. Описаны классы допустимых возмущений, при которых сохраняется устойчивость резонансных решений. 4. Решена задача об устойчивости моделей авторезонанса по вероятности относительно постоянно действующих случайных возмущений. Описаны клас 15 сы случайных возмущений, при которых имеет место сильная устойчивость растущих решений. Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер и могут быть использованы при исследовании нелинейных колебаний и устойчивости решений различных систем дифференциальных уравнений.

Методология и методы исследования. В работе применяются методы общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений и методы теории устойчивости. Результаты численных расчетов приводятся в качестве иллюстраций к полученным утверждениям.

Апробация работы. Результаты работы обсуждались на семинаре лаборатории природных катастроф ИПМех РАН (Москва, 2013), на семинаре «Нелинейный анализ» факультета математики Потсдамского университета (Потсдам, 2014), на семинаре «Анализ, стохастика и математическая физика» факультета математики Хемницкого технического университета (Хемниц, 2014), на семинаре лаборатории теории нелинейных явлений ИФМ УрО РАН (Екатеринбург, 2014), на общегородских семинарах им. A.M. Ильина по дифференциальным уравнениям математической физики ИМВЦ УНЦ РАН (Уфа, 2009-2015); на международных конференциях «Нелинейные уравнения и комплексный анализ» (оз. Банное, 2010, 2013, 2014), на всероссийской конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2011), на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Москва, МГУ, 2011), на всероссийской конференции «Асимптотические методы теории дифференциальных уравнений» (оз. Еловое, 2011), на международной конференции «Спектральная теория операторов и ее приложения» (Уфа, БашГУ, 2011), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2012), на международной школе-семинаре «Взаимодействие математики и физики: новые перспективы» (Москва, МИАН, 2012), на международной конференции «Динамика, бифуркации и странные аттракторы» (Нижний-Новгород, ННГУ 2013), на международной конференции «Days On Diffraction» (Санкт-Петербург, ПОМИ РАН, 2014), на VII международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (DFDE) (Москва, РУДЫ, 2014), на конференции «Chaotic Modeling and Simulation» (Лиссабон, 2014), на всероссийской школе-семинаре по проблемам физики конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 2014).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 7 печатных работах в рецензируемых журналах [33, 59-64].

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором. Из совместных работ [33, 59] автору принадлежат доказательства основных утверждений об устойчивости решений для модельных уравнений.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации составляет 100 страниц. Библиография включает 80 наименований.

Благодарности. Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю профессору Калякину Леониду Анатольевичу за постановку задачи, внимание к работе и ценные критические замечания.

Система уравнений главного резонанса

Такие уравнения возникают при усреднении нелинейных одночастотных колебаний с малой переменной накачкой [24]. В частности, (2.1) появляется в тех случаях, когда накачка является внешней по отношению к системе, а параметрическое возмущение приводит, соответственно, к системе (2.2). Параметры Л, Ъ 0 связаны с частотой и амплитудой накачки. Неизвестные функции г(т),ф(т) интерпретируются как амплитуда и сдвиг фазы гармонических колебаний. Интерес представляют решения с неограниченно растущей амплитудой г{т) л/Лг при Известно, что они описывают начальный этап захвата в авторезонанс [23]. В данном разделе ставится вопрос об устойчивости таких решений по Ляпунову, относительно возмущений начальных данных.

Заметим, что для рассматриваемых уравнений нет явных формул для точных решений. Тем не менее, для частных резонансных решений можно построить асимптотику на бесконечности по г в виде степенных рядов:

Постоянные коэффициенты Г&, ipk определяются из рекуррентных формул, которые появляются после подстановки рядов в уравнения и приравнивания выражений при одинаковых степенях т. На этом пути определяются два решения, отличия в которых связаны с выбором одного из двух (по модулю 2-7г) корней уравнения: sin / = 0. Строгое обоснование асимптотик в виде степенных рядов с постоянными коэффициентами следует из [39]. Из теорем о глобальном существовании решений моделей авторезонанса [40] следует, что эти степенные решения можно продолжить на всю ось г GR. УСТОЙЧИВОСТЬ таких решений по Ляпунову анализируется в настоящей главе. Важно иметь в виду, что помимо этих частных решений модельные системы имеют двухпараметрическое семейство растущих решений, в асимптотике которых содержатся осциллирующие коэффициенты [23].

Система (2.1) имеет пару решений с асимптотикой (2.3). Решение с фо = 0 оказывается неустойчивым, что следует из анализа собственных чисел матрицы линеаризованной на решении RO(T), О(Т) системы.

Для другого решения с фо = 7Г собственные числа линеаризованной системы являются чисто мнимыми. Следовательно, для анализа устойчивости необходимо учитывать нелинейные члены. Предлагается исследовать устойчивость этого решения с помощью второго метода Ляпунова. Для доказательства устойчивости нам понадобятся только несколько главных членов асимптотики решения на бесконечности: Теорема 3. Если в системе уравнений (2.1) коэффициент Ь 1/2; то решение RO(T), О(Т) С асимптотикой (2.4) асимптотически устойчиво. ЕслиЬ 1/2; то это решение неустойчиво.

Доказательство. Обычно в подобных ситуациях, удобно выделить рассматриваемое решение, сделав сдвиг г = RQ + R(t), ф = Фо + (t), и перейти к задаче об устойчивости положения равновесия (0,0) в соответствующей системе уравнений для R(t): Ф(). Нетрудно проверить, что в главных членах асимптотики при t — оо такая система представляет собой математический маятник с переменным коэффициентом. Для дальнейшего анализа выгодно перейти к более привычной форме уравнений с постоянными коэффициентами в главном члене асимптотики. Для этого сделаем замену переменных:

Конструкция функции Ляпунова основана на исследовании асимптотики правых частей уравнений (2.6) в окрестности равновесия (при р = л/R2 + Ф2 — 0) и на бесконечности (при t — оо). Все приводимые ниже асимптотические оценки вида 0(ра), либо 0(t P), (а, /3 = const 0) являются равномерными по переменным Л, Ф, г в области

Такие функции (остатки) можно сделать сколь угодно малыми в T (po,to) при подходящем выборе границ ро, о- Малость остатков обеспечивает основную цель в конструкции функции Ляпунова - знакопостоянство полной производной вдоль траекторий системы (2.6). Учитывая соотношения нетрудно выписать асимптотику частных производных гамильтониана: дц,Н = яіпФ + 0{р2)0{Г2/ь) + 0{р)0{Г1)] dRH = R + 0(р2)0(Г3/5) + 0{р)0(Г1). В негамильтоновой части выделим линейное по Ф слагаемое, полагая: F{R,4l,t) = A{R,t)4l + B{R,4l,t), F(R, Ф, ) = аГ3/5(1 - cos Ф) - 7 _1Ф + 0(р)0(Г6/5). Видно, что в возмущении главный член асимптотики по времени с множителем -3/5 у5ывает медленнее, чем линейная часть. Тем не менее, в случае 7 ф 0 свойства устойчивости определяются линейным слагаемым, которое играет роль диссипации в системе (2.6).

Так как величина а может быть сколь угодно мала, то выбор одного из двух неравенств определяется знаком величины 7- Таким образом, производная dV/dt оказывается знакопостоянной в области Р(ро,о) Асимптотические свойства самой функции V(R, Ф,) определяются структурой гамильтониана, в котором можно выделить квадратичную форму в качестве главного члена: H(R ,t) = B + p2[0(p) + 0(t-2/% р О, - оо. Отсюда нетрудно понять, что гамильтониан оценивается квадратичной формой снизу и сверху. Заметим, что добавки Vi(R, Ф,) и V -R, Ф,) стремятся к нулю при Поэтому для функции V справедливы оценки: для любого а 0 существуют константы ро, to 0 такие, что в области Р(ро,то) справедливы неравенства:

Таким образом, функция V(R, ,t) является положительно определенной в области T (po,to)- С учетом знакопостоянства производной отсюда вытекает утверждение об устойчивости положения равновесия для системы (2.6) при 7 0. После этого устойчивость решения Ro{t): Фо() следует из формул замены (2.5).

Система (2.2) также имеет пару решений с асимптотикой (2.3), отличие которых связано с выбором корня уравнения: sin / = 0. Решение с фо = 0 оказывается неустойчивым, что следует из анализа собственных чисел матрицы

1 Схема доказательства неустойчивости была предложена Л.А.Калякиным. линеаризованной системы. Для другого корня фо = тт матрица линеаризованной системы имеет чисто мнимые собственные значения. Исследуем устойчивость этого решения с помощью построения функции Ляпунова.

Система параметрического авторезонанса

Правые части уравнений непрерывно зависят от параметра /І 0, который связан с постоянно действующими возмущениями. Если /І = 0, то система считается невозмущенной. Предполагается, что невозмущенная система имеет тривиальное решение х = 0, у = 0, которое является неподвижной точкой типа центр общего положения для укороченной системы (F = 0). Это означает, что гамильтониан H(x,y,t;0) содержит положительно определенную квадратичную форму в асимптотике при г = ух2 +у2—) 0и/;—) оо. Будем считать, что возмущенный гамильтониан системы имеет вид: Здесь 7 = const 7 0, показатели К,}ІУ}Ш 0. Ставится вопрос об устойчивости тривиального решения невозмущенной системы (/І = 0) относительно постоянно действующих возмущений. Заметим, что наличие тривиального решения в возмущенной системе (/І 0) здесь не предполагается. Справедливо следующее утверждение:

Теорема 9. Пусть система (3.21) обладает свойствами (3.22); (3.23); и в негамильтоновой части (3.24) линейное слагаемое является главным членом асимптотики по времени, так что к, v 0, ш 0. Если остатки в асимптотике гамильтониана убывают достаточно быстро: a + l v,(3 + l v, то решение х = 0, у = 0 невозмущенной системы устойчиво относительно постоянно действующих возмущений при 7 0. Доказательство. Построим функцию Ляпунова для полной системы в виде гамильтониана с добавкой: определена в области R(6i,ro,to) = D(ro,o) \ D(6i,to) с 5\ = л/2цт/(1 — а). Производная гамильтониана Я(ж,г/, ;/І), вычисленная вдоль траекторий системы (3.21), имеет вид:

Следовательно, траектории системы (3.21), выпущенные из круга г Se: оста ются в є-окрестности равновесия х = 0, у = 0. Это и означает устойчивость нулевого решения. 3.6. Постоянно действующие возмущения, ограниченные в среднем При исследовании устойчивости решений систем (3.1), (3.2) и других похожих уравнений относительно возмущений, ограниченных в среднем, можно выделить общую часть, которую удобно излагать отдельно. Затем утверждения об устойчивости моделей авторезонанса получаются в результате применения общей теории к конкретным системам.

Эти неравенства выполняются равномерно в области D(ro, о) = {(х, т) Є WLn+l : х ro,t to} при некоторых константах 0 а 1, 0 А, В, С, го,о оо. Специфика рассматриваемой задачи заключается в наличии убывающего множителя t a в оценке (3.26). Функции Ляпунова, обладающие такими свойствами, возникают при исследовании устойчивости авторезонанса относительно возмущений начальных данных [33, 59].

Вектор-функции f(x,) соответствуют возмущениям. Предполагается, что для системы (3.27) выполнены условия теоремы существования решения на полуоси. Ставится вопрос о выделении класса функций f(x,), при котором тривиальное решение невозмущенной системы (3.25) остается устойчивым. Будем рассматривать класс возмущений, в котором для каждой функции f(x,) найдется хотя бы одна мажоранта S(t) такая, что

Такой класс функций обозначим через J\fa. Для каждого 0 определим класс Меа как подмножество функций из ЛГа, для которых S(t) для всех t to. Похожие возмущения малые в среднем рассматривались в [76, 77] для систем общего вида. Другой класс, состоящий из интегрируемых на полуоси функций, был исследован в [78]. Однако, все эти результаты непосредственно здесь неприменимы из-за специфики рассматриваемых систем.

Приведем определение устойчивости тривиального решения системы (3.25) относительно постоянно действующих возмущений.

Определение 4. Тривиальное решение х() = 0 системы (3.25) устойчиво относительно постоянно действующих возмущений N , если

Обычно устойчивость при постоянно действующих возмущениях является следствием равномерной асимптотической устойчивости. Например, в [44] было показано, что для устойчивости достаточно найти функцию Ляпунова с отрицательно определенной полной производной. В нашем случае это соответствует условию а = 0. Оказывается, что похожий результат можно получить и при а 0.

Следует отметить, что в рассматриваемых уравнениях (3.25) с функцией Ляпунова типа (3.26) можно сделать замену г = r(t) такую, что в новых переменных (х,т) оценка для производной функции V примет вид dV/dr — х2. Так, например, в случае а = 1 замена следующая: г = Int. После этого для преобразованной системы можно применить известные результаты об устойчивости в среднем [44], где рассматривались возмущения f(x,r) S(r) с функцией S (T), обладающей свойством (3.8). Однако в исходных переменных (х,) такой класс возмущений деформируется и становится неудобным для практического использования. Например, при а = 1 для возмущений появляется следующее ограничение: f(x,) t l S(\nt). По этой причине, здесь мы фактически воспроизводим результат [44] с условиями на производную в форме (3.26).

Система параметрического авторезонанса

Исследование устойчивости растущих решений разбивается на несколько этапов. Сначала указывается функция Ляпунова для невозмущенных уравнений (2.6) и устанавливается устойчивость тривиального решения при постоянно действующих случайных возмущениях. При этом возникают ограничения на возмущения Р и Q. Эти ограничения определяют класс возмущений 9JT, при котором гарантируется устойчивость растущих решений в системе (3.1).

Следующее утверждение устанавливает устойчивость тривиального решения невозмущенной системы (2.6) относительно постоянно действующих случайных возмущений:

Лемма 3. Пусть в системе (2.6) коэффициент Ь 1/2. Тогда У 0 тривиальное решение R(t) = 0; Ф() = 0 системы (2.6) устойчиво по вероятности относительно постоянно действующих случайных возмущений УХ.

В качестве М обозначим максимальное из двух множителей перед t lS(t;co) в последних неравенствах. Лемма доказана. Замечание. Если в последнем утверждении в качестве S(t; со) положить функцию, обладающую свойством (4.9), то (P,Q) Є УХ. Для системы (3.1) справедливо утверждение: Теорема 15. Пусть в системе (3.1) коэффициент Ь 1/2. Тогда У 0 решение Ro(r), О(Т) С асимптотикой (2.4) устойчиво (сильно) по вероятности относительно постоянно действующих случайных возмущений (, г), () Є

Доказательство. Определим to = max{ti,t2}, t\ определяется в лемме 3, а 2 - в лемме 4. Тогда из приведенных выше рассуждений следует, что существует функция Ляпунова W, которая обладает свойством (4.7) в области T (po,to). При этом из свойств класса 9JT и из леммы 4 следует, что (Р, Q) Є УХ при всех (R, Ф,) Є T (po,to), UJ Є Г2. Следовательно, тривиальное решение системы (2.6) устойчиво по теореме 14. После этого устойчивость решения До(т), ФоС?") Доказательство. Доказательство следует из теоремы 14 и леммы 5. Для фик сированного значения а = о"о, 0 о"о min(l;/3) определяются величины Ро = Pa, t\ = ta и функция W(R, ,t) = 2V(R, f,t)/(l — 7о), удовлетворяю щая оценкам (4.7) в области D(po,i) с параметрами Л = (1 + то)/(1 — со), ІЗ = 2Л, 7 = (/3 — 00)/(1 — со)- Отсюда и из теоремы 14 следует устойчивость решения. В следующем утверждении описываются ограничения на функции , 77, , при которых (Р, Q) Є 91.

В работе рассмотрены системы модельных дифференциальных уравнений, которые возникают при описании начального этапа захвата нелинейных колебательных систем в авторезонанс. Исследована устойчивость резонансных решений по Ляпунову и при постоянно действующих возмущениях. Выявлены условия на параметры уравнений, при которых имеет место асимптотическая устойчивость резонансных решений со степенной асимптотикой на бесконечности по времени. Описаны классы допустимых детерминированных и случайных возмущений, при наличии которых в уравнениях сохраняются решения с растущей амплитудой. Наличие устойчивых резонансных решений указывает на корректность математических моделей и на физическую наблюдаемость соответствующих решений.

При доказательстве основных утверждений активно используется прямой метод Ляпунова, в основе которого лежит построение функции Ляпунова. В работе предложен способ построения таких функций для класса систем нелинейных дифференциальных уравнений в критическом случае пары мнимых собственных значений матрицы предельной линеаризованной системы. Для таких систем доказано, что при исследовании устойчивости решающую роль играют убывающие со временем коэффициенты при линейных диссипативных членах. Основу предложенной конструкции функций Ляпунова составляет гамильтониан системы и малые затухающие добавки.

Остается открытым вопрос о влиянии белого шума на устойчивость моделей авторезонанса. В этом случае возмущенные системы необходимо рассматривать в форме стохастических дифференциальных уравнений Ито или Стратано-вича. Эта тема требует особого внимания и будет обсуждаться в последующих работах.