Введение к работе
Актуальность темы. Основы теории разрешимости задач для вырождающихся дифференциальных уравнений и систем были заложены в фундаментальных работах М.В.Келдыша, Ф.Трикоми, С.Г.Михлина, А.В.Бицадзе, О.А.Олейник, Т.В.Вентцель. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах А.М.Ильина, А.С.Калашникова, О.А.Олей-ник, М.И.Вишика, В.В.Грушина, В.П.Глушко. Подробная библиография работ указанного цикла имеется в обзорах О.А.Олейник и Е.В.Радке-вича, В.П.Глушко и Ю.Б.Савченко, в монографиях М.М.Смирнова, С.А.Терсенова.
При изучении вырождающихся уравнений потребовалось ввести специальные классы пространств функций с весовыми производными. Различные свойства весовых пространств функций теоремы вложения, теоремы о следах и др. устанавливались в работах Л.Д.Кудрявцева, Л.Н.Слободецкого, С.В.Успенского, И.А.йшрияноЕа, И.А.Киприянова и Б.М.Богачева, Анузе, Т.Волша, А.Куфнера, А.С.Фохта.
Весовые пространства типа Соболева-Слободецкого-Аронштайна при р>-2 рассматривались В.П.Глушко и С.Я.Львиным, В.П.Глушко и М.И.Богатовым. Случай произвольного р > 1 изучался в работах П.И.Лизоркина, М.Отелбаева, В.П.Глушко. Весовые пространства основных и обобщенных функций были введены В.П.Глушко.
Интерес к изучению эволюционных уравнений, содержащих дифференциальный оператор, вырождающийся по пространственным переменным, возрос после того, как было установлено, что они описывают неко-рые диффузионные процессы. Среди работ этого направления укажем работу Брезиса, Розенкранца и Зингера. В настоящее время интенсивно развивается исследование начальных и начально-краевых задач для нерегулярных параболических уравнений. Отметим здесь работы А.С.Калашникова, М.И.Матийчука, С.Д.Эйдельмана и А.П.Малицкой,
СД.Ивасишена и Л.Н.Андросовой, В.В.Городецкого, И.В.Іитарюка и В.П.Лавренчука, Б.В.Базалия и Е.П.Дегтярева.
В диссертационной работе исследуются начально-краевая задача и задача Коши для нерегулярного уравнения теплопроводности при слабом выровдении по пространственной переменной, а также функцио' нальные пространства, связанные с этими задачами. Введены и изучены весовые пространства основных и обобщенных функций, весовые пространства типа Соболева-Слободецкого, построенные как на основі пространств L р , р>1 , так и на основе пространств Гельдера. Изучены эквивалентные нормы в этих пространствах.
Эти исследования, связанные с обобщением и развитием результатов В.П.Глушко, позволяют установить точные в смысле принадлежности пространству условия разрешимости начально-краевой задачи и задачи Коши.
Цель работы. Построение и исследование весовых пространств основных и обобщенных функций при слабом вырождении весовой функции. Введение весовых пространств на основе пространств Гельдера С и на основе пространств Соболева-Слободецкого W^ . Изучение эквивалентных норм в этих пространствах. Исследование разрешимости начально-краевой задачи для нерегулярного уравнения теплопроводности в весовых пространствах Гельдера и Соболева-Слободецкого, Исследование разрешиюсти задачи Коши для нерегулярного уравнения теплопроводности в весовых пространствах Гельдера. Доказательство гладкости решений начальных и начально-краевых задач для нерегулярного уравнения теплопроводности в терминах пространств Гельдера и Соболева-Слободецкого.
Методика исследования. В работе используются методы теории обобщенных функций, функционального анализа и уравнений в частных производных, теории пространств типа Соболева-Слободецкого. При построении весовых пространств и доказательстве эквивалентности
норы были использованы методы, развитые В.П.Глушко для случая "сильного" вырождения весовой функции. При оценках тепловых потенциалов была использована методика, изложенная в известной монографии О.А.Ладыженской, В.А.Солонникова, Н.Н.Уральцевой.3^
Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Все полученные в диссертации результаты являются новыми. Наиболее важные из них:
построены и исследованы пространства основных и обобщенных функций в случае слабого вырождения весовой функции, изучен ряд непрерывных операций в этих пространствах;
введены новые классы весовых пространств типа Гельдера и Соболева-Слободецкого;
доказаны новые теоремы о гомеоморфизмах весовых преобразований в пространствах Гельдера и.Соболева-Слободецкого и на этой основе новые теоремы об эквивалентных нормах в весовых пространствах; '
доказаны теоремы существования и единственности, а также
о гладкости решений начально-краевых задач и задачи Кошт для нерегулярного уравнения теплопроводности в терминах пространств Гельдера и Соболева-Слободецкого.
Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут найти применение в общей теории уравнений в частных производных, а также при исследовании конкретных задач для дифференциальных уравнений с существенно переменными коэффициентами.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на ХУ
я) О.А.Ладыженская, В.А.Солонников, Н.Н.Уральцева. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа-. - М.: Наука, 1967. - 736 с.
Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах в г.Ульяновске (1990 г.), на Воронежских зимних математических школах (1991, 1993, 1994 гг), на Воронежской научной конференции "Понтрягикские чтения-ІУ" (1993 г), на международной конференции в г. Севастополе (1993 г), на семинарах проф. В.ЇЇ.Глушісо в Воронежском госуниверситете.
Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [1-9]. Из совместных работ с В.П.Глушко в диссертацию вошли результаты, полученные лично автором.
Структура и объем работы. Диссертация содержит 125 страниц машинописного текста и состоит из введения, четырех глав и списка литературы, включающего 59 наименований.