Содержание к диссертации
Введение
1 Постановка задачи 26
1.1 Уравнения линейной теории упругости 26
1.2 Матричные обозначения 28
1.3 Локально периодическая пластина 31
2 Построение формальной асимптотики 33
2.1 Выбор асимптотических анзацев и вывод предельной задачи 33
2.2 Результирующая задача 41
3 Обоснование асимптотики 50
3.1 Асимптотическое приближение 50
3.2 Вычисление и оценивание невязок 56
3.3 Теорема об асимптотике 61
4 Весовое анизотропное неравенство Корна 64
4.1 Периодическая пластина и вспомогательные конструкции. 64
4.2 Неравенство Корна на периодической пластине 66
4.3 Неравенство Корна для локально периодической пластины. 74
4.4 Асимптотическая точность анизотропного неравенства Корна для пластины 75
Список литературы 80
- Матричные обозначения
- Результирующая задача
- Теорема об асимптотике
- Неравенство Корна для локально периодической пластины.
Введение к работе
Настоящая работа посвящена построению и обоснованию асимптотики решения смешанной краевой задачи линейной теории упругости для тонкой локально периодической композитной пластины произвольной геометрии с произвольной анизотропией упругих свойств. С этой целью доказывается весовое анизотропное неравенство Корна на тонкой локально периодической пластине.
В главе 1 диссертации вводятся основные понятия теории упругости и матричные обозначения, упрощающие запись уравнения. Вводится локально периодическая пластина Пд, толщина которой имеет порядок малого параметра h 0. Ставится задача о дефомации тонкой анизотропной пластины Qh с защемленной боковой поверхностью 1\.
Анизотропными называются пластинки, у которых сопротивление механическим воздействиям различно для разных направлений. Примерами таких пластин являются фанерные и кварцевые пластинки, а также гофрированные и армированные пластины и т.д.
Теории упругости анизотропных тел посвящены монографии С.Г. Лех-ницкого [118]-[120]. Вывод основных соотношений теории упругости и решения некоторых частных задач, в том числе о чистом изгибе пластинок, можно найти в книге СП. Тимошенко и Дж. Гудьера [202]. Там же даны приближенные и экспериментальные методы решения задач теории упругости.
В книгах А.И. Лурье [126], [127] приведены основы нелинейной теории упругости и даны библиографические указания, полезные при изучении теории упругости.
В книге Г. Фикеры [208] изложены математические основы теории упругости.
Теории упругости анизотропных пластин посвящена книга С.Г. Лехницко-го [118]. В ней приведены решения плоской задачи для различных областей. В главах, посвященных теории изгиба анизотропных пластинок, рассмотрены изгибы разными видами нагрузок пластинок с опертыми сторонами, а также пластинки, усиленной паралельными ребрами жесткости, пластины, ослабленной круговым отверстием, и т.д. В книге даны основы теории устойчивости пластинок и разобраны различные задачи, посвященные данному вопросу.
При изучении задачи теории упругости часто используются матричные обозначения, введенные С.Г. Лехницким (см. [118]) и переработанные С.А. Назаровым в статьях ([153], [154] и др.). Наиболее подробное определение матричных обозначений и примеры их использования для исследования асимптотики решений задачи теории упругости различных тонких областей можно найти в книге С.А. Назарова [161].
В [161] также приводится обширная библиография по теории пластин и стержней, освещается история их развития.
У истоков теории пластин и стержней стоят работы великих математиков. Изучением деформации стержней занимались Я. Бернулли (1695), Л. Эйлер (1744), Д. Бернулли (1751). Уравнение изгиба пластины было получено С. Жермен (1814), а Г. Кирхгоф (1851) и А. Сен-Венан (1855) окончательно сформулировали идею понижения размерности.
Изучением деформаций анизотропных пластинок, приводящих к искривлению срединной поверхности, занимается теория изгиба, которая берет начало в работах Геринга [248], Буссинеска [225] и Губера [251]-[253]. Изучению уравнений теории изгиба для анизотропных пластинок посвящены работы С.Г. Лехницкого [121], [122]. Случай изотропных пластинок рассматривается в книгах Б.Г. Галеркина [25] и СП. Тимошенко [203]. В статьях М.М. Фридмана [209]-[213] были получены решения задач об изгибе различных изотропных пластинок, в частности для пластинок с отверстиями и с изотропными включениями из другого материала. В статье А.И. Лурье [128], посвященной изгибу произвольно нагруженной круглой пластинки, впервые было использовано комплексное представление прогиба, которое применялось во многих последующих работах (см. также [129]).
Многие формулы и уравнения теории изгиба для различных ортотроп-ных пластинок, усиленных ребрами жесткости, гофрированных, слоистых и т.п., были получены при изучении задач, возникающих в прикладных научных исследованиях для авиационной промышленности (см, например, статьи [180], [182] и книгу [101]).
Теории пластин и оболочек посвящены также монографии [2], [3], [32], [130], [165].
В книге Тимошенко и Войноровского-Кригера [201] основное внимание уделяется решению конкретных задач об упругих деформациях пластинок и оболочек. Авторы различают тонкие пластинки, подвергающиеся малым, в сравнении с толщиной пластинки, прогибам, и тонкие пластинки, подвергающиеся большим прогибам. Чтобы вычислить напряжение для любой точки пластинки первого типа необходимо решить дифференциальное уравнение в частных производных, которое вместе с граничными условиями определяет прогиб пластинки, являющийся функцией двух координат в ее плоскости. Для таких пластинок разных геометрических форм рассмотрены изгибы по цилиндрической поверхности, чистый изгиб, симметричный изгиб, поперечные нагрузки, различные условия опирання по краям; также описывается изгиб анизотропной пластинки.
При изучении пластинок второго типа, когда прогибы не малы, учитывается, что изгиб пластинки сопровождается деформированием срединной плоскости и возникающими в ней (срединной плоскости) напряжениями, которыми нельзя пренебречь. Так возникают нелинейные уравнениия и решение задач затрудняется. В монографии разобраны случаи больших прогибов равномерно напряженных, круглых, свободно опертых и защемленных по контуру пластинок, а также нагруженной в центре круглой пластины, равномерно нагруженной прямоугольной пластины и прямоугольной свободно опертой пластины.
На практике часто встречаются задачи, содержащие малый параметр, например, когда нужно изучить свойства и поведение тел, изготовленных из композиционных материалов, тел с трещинами или перфорацией, тонких тел и прочее. Уравнения, описывающие подобные ситуации, часто громоздки и непосредственно вычислить их решения очень сложно, поэтому возникла необходимость получения приближенных решений таких задач. Так появились различные асимптотические методы решения задач, возникающих в различных областях, в том числе в теории упругости.
Одними из первых работ, посвященных изучению и применению асимпто-тичеких методов в теории упругости являются статьи Фридрихса и Стокера [244], Келлера и Раиса [254], Фридрихса и Дресслера [243], А.Л. Гольденвейзера [30], [31], Бромберга [226], Райсснера [275], Файфа [240] и др.
Общие принципы и понятия асимптотичеких методов решения краевых задач приведены в монографиях [14], [108], [164], [167] и статьях [5], [9], [214], [241]. В статье М.И. Вишика и Л.А. Люстерника [16] введен метод изучения асимптотики решения эллиптических краевых задач с малым параметром при старших производных в областях с гладкой границей. Далее этот метод успешно применялся во многих разделах механики.
В основе метода Вишика-Люстерника лежит идея пограничных поправок и идея регулирующего растяжения, т.е. введения местной ситемы координат в окрестности границы, в которой одна координата-быстрая. Этот метод применим в случаях вырождения эллиптического уравнения в эллиптическое, вырождения эллиптического уравнения второго порядка в гипербо лическое уравнение, взаимных вырождений однохарактеристических и эллиптических уравнений, краевых задач с большими коэффициентами в подобласти (задач с барьером, краевых задач с бесконечно узкими барьерами, задач с быстро осциллирующими граничными условиями и быстро осциллирующими правыми частями). Разработке метода для этих задач посвящены статьи [17]-[20].
Дальнейшему развитию и применению метода Вишика-Люстерника к эллиптическим уравнениям посвящены статьи О.А. Олейник [168], Н.А. Ивановой [85], Экхауза и Егера [239] и др. Гиперболические уравнения изучались Су Юй-ченом [200], М.Г. Джавадовым [39] и др. Случай, когда граничные условия зависят от малого параметра, расматривался в работах Н.М. Леон-тович [124] и А.Л. Гольденвейзера [28], а в работе А.Л. Гольденвейзера [29] рассмотрен случай дифференциальных уравнений с малой правой частью.
В задачах для уравнений с частными производными возможны особые случаи, когда, например, при вырождении некоторой задачи А в задачу AQ теряется часть граничных условий, заданных на куске границы, являющемся характеристической поверхностью для вырожденного уравнения. Тогда функции погранслоя определяются уравнениями с частными производными. Так в статьях Г.А. Тирского и В.А. Треногина [204], [205] изучаются задачи, в которых функция погранслоя является решением краевой задачи для параболического уравнения. В работе М.Г. Джавадова [41] при изучении краевой задачи для эллиптических уравнений в тонких областях возникает эллиптический погранслой. Смешанная задача для квазилинейного гиперболического уравнения с гиперболическим погранслоем рассмотрена В.А. Треногиным в [206].
В статье Е.Ф. Мищенко и Л.С. Понтрягина [141] в связи с задачами, описывающими релаксационные колебания, возникает внутренний погранслой. Иногда явление внутреннего погранслоя можно узучать, поместив в точку разрыва решения вырожденной задачи задачу Коши с начальным скачком. Задачи Коши с разрывными начальными условиями рассматривались в работах О.А. Олейник [169]-[171], Н.С. Бахвалова [10], С.Н. Кружкова [111].
Результаты приложения метода Вишика-Люстерника к задаче теории упругости также приведены в статьях Л.С. Срубщика и В.Л. Юдовича [193]-[199], изучавших асимптотическое поведение пластин.
В статье В.А. Треногина [207] метод Вишика-Люстерника применяется для получения результатов для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, содержащих малый параметр при старших производных. Там же приводится обширная библиография, относящаяся к развитию и приме нению метода Вишика-Люстерника в разных областях механики.
Метод Вишика-Люстерника применим также для краевых задач с локальными особенностями границы области. Так в работах [12], [13] и др. приводятся исследования асимптотики решения задачи Дирихле для оператора eV — к2І в прямоугольнике и параллелепипеде. Дифференциальное уравнение второго порядка на многообразии с n-мерными углами изучено С.А. Назаровым в [144], а в [145] и [146] получена асимптотика решений эллиптических задач с параметром, вырождающихся в эллиптическую задачу меньшего порядка в области с конической точкой.
Эллиптические краевые задачи в областях с коническими точками исследованы в работах [104], [135] и [136]. Исследованию решений задач в конусах с неоднородными дифференциальными операторами посвящены статьи [6], [7] и [146].
В статьях [37], [88], [116], [117] используется метод согласования асимптотических разложений для получения асимптотических представлений решений уравнений с малым параметром при старших производных. Методу согласования асимптотических разложений посвящена книга A.M. Ильина [87]. Сборники статей [42], [137], [178] содержат работы, посвященные применению этого метода. Упомянем здесь также статьи Гадылынина P.P. [21]-[23], Ильина A.M. и Гадыльшина P.P. [24].
Рассмотрение пограничных слоев для задач в тонких областях приводит к эллиптическим краевым задачам в цилиндрических областях. Изучению таких задач посвящены статьи С. Агмона, Л. Ниренберга [222] и Л. Дуглиса [221], В.А. Кондратьева [104], В.Г. Мазьи, Б.А. Пламеневского [135], [136] и О.А. Олейник, Г.А. Иосифьяна [99], [100].
Исследования краевых задач в областях с малыми отверстиями и тонкими вырезами проводятся в работах A.M. Ильина [89], [90], [91], Н.Н. Лебедева, И.П. Скальской [115], Дж.Ф. Джира, Дж.Б. Келлера [246], [247].
Разработка и применение асимптотических методов в теории изгиба тонких пластин и оболочек проводилась в работах А.Л. Гольденвейзера [32] -[36], К.О. Фридрихса, Р.Ф. Дресслера [214], [243], Д. Моргенштерна [266], Б.А. Шойхета [216], [217], С.А. Назарова [154], [156] - [161] и др. Задача деформации стержней изучалась в статьях В.В. Понятовского [177], С.А. Назарова [153], [155], А.С. Слуцкого [162], а также в книгах И.Е. Зино, Э.А. Троппа [83], С.А. Назарова [156], [161]. В работах М.Г. Джавадова [40], [41] построены асимптотики решений задач математической физики в тонких пластинах.
В книге С.А. Назарова [156] подробно изложены приемы построения при ближенных решений на примере краевых задач с малым параметром при старших производных и краевых задачах в областях, геометрия которых описывается с помощью малого параметра, таких как тонкий прямоугольник, области с малыми отверстиями и разрезами.
Во многих областях физики, математики и современной техники возникают задачи, которые описываются математическими моделями, содержащими в том или ином виде малый параметр є 0. Примерами могут послужить задачи теории композиционных и перфорированных материалов, теории фильтрации, теории дисперсных сред. Изучение различных физических характеристик, фигурирующих в этих задачах, привело к появлению методов эффективной среды, среднего поля, а при изучении математических моделей возникли метод усреднений, понятия G-сходимости и Г-сходимости.
Изучению вопросов теории усреднения и G-сходимости эллиптических, параболических, вариационных операторов посвящен целый ряд статей В.В. Жикова, СМ. Козлова, О.А. Олейник, Г.А. Иосифьяна, А.С. Шамаева и др. ([45]-[98]). Систематическому изложению основных вопросов усреднения дифференциальных операторов посвящена книга [74]. В частности, в 12 главе [74] изучаются системы теории упругости. В книге Пятницкого А.Л., Чеч-кина Г.А. и Шамаева А.С. [179] излагаются различные методы усреденния, разбираются некоторые частные случаи, приводятся необходимые для понимания проблематики примеры.
Матричные обозначения
При исследовании задачи теории упругости для тонкой пластины будет удобна так называемая матричная форма записи, впервые предложенная С.Г. Лехницким ([118]-[120]). Матричные обозначения использовались С.А. Назаровым в [153] при изучении асимптотичекого поведения тонких стержней и в [154] для тонкой пластины. В книге [161] наиболее последовательно вводится матричная форма записи для задач теории упругости и систематически используется для асимптотического исследования упругих пластин и стержней. Так как матричная форма записи заметно облегчает работу с большими формулами, введем соответствующие обозначения, следуя примеру пречис-ленных выше статей и монографий. Для рассмотрения пластин нам удобно будет координаты х = (a?i, х2, ж3)т переобозначить также как х — (t/i, y2l z)T. Вектор смещений и интерпритируется как столбец и = (щ,и2,щ)т (Т -знак траспонирования). С помощью элементов тензора деформаций составим столбец деформаций є (и) Введем пластину, на геометрию которой не накладывается почти никаких ограничений. Для этого рассмотрим область и на плоскости R2 ограниченную простым замкнутым контуром дш, призму и семейство диффеоморфизмов Lfy : Р —» Р, гладко зависящих от точки у Є и [J 9ол Пусть 5 - замкнутое множество, расположенное в Р. Следующие формулы определяют локально периодическую пластину Oft и ее боковую nh = {x=(y,z): J/Eo;, S(y)}, Th = {x: у Є ди} Є 5(з/)}, (1.13) причем 5(?/) = (fyS и /і Є (0,1] - малый параметр. Обозначим Е(г/) = (py(8S\ дР). Множество S должно быть таким, чтобы множество Щ = {х : h lx Є S{y), у Є Ш2} было связным и имело липшицеву границу. Рассмотрим поле смещений и Є і/1(Г2/г; Г )3, аннулирующееся на Г ft т.е. пластина Oft закреплена вдоль боковой поверхности Гд. Поле и можно продолжить нулем на слой Щ. Введем матричные обозначения для изучения тонкой упругой пластины Oft. Вектор смещений интерпретируем как столбец и = (щ, щ, щ)т Соответствующий вектор деформаций є (и) определяется по формуле (1.7). Составим симметрическую положительно определенную матрицу А упругих модулей материала пластины размером 6x6, зависящую от медленных у и быстрых переменных; здесь = ( , 7/2, С) и Ці — \, С — f Столбец деформаций а (и) имеет вид (1.10) и удовлетворяет равенству а (и) = AD(Vx)u, где D(WX) -матрица дифференциальных операторов (1.9).
Смешанная краевая задача теории упругости записывается так здесь fag- столбцы объемных сил и поверхностных усилий, п - единичный вектор внешней нормали к основанию пластины Ylh — 0 \ V Если и и v - гладкие вектор-функции и v удовлетворяет условию Дирихле (1.16), то верна формула Грина где функционал (u, it;0/j) 0 имеет смысл упругой энергии, запасенной телом Од. В силу положительной определенности матрицы А имеем Разрешимость задачи (1.14)-(1.16) обеспечивается неравенством Корна (4.29), доказательство которого приводится в главе 4. Существует несколько разных подходов к выбору асимптотических анзацев для задач теории упругости тонких тел, которые в том или ином виде применялись в работах А.А. Гольденвейзера [35], Б.А. Шойхета [216], Ф. Сьярле и П. Дестюиндера [236], Э. Санчес-Паленсия [278], Д. Калери [228], Р.В. Кона и М. Вогелиуса [257]-[258], Г.П. Панасенко [174], С.А. Назарова [150], [160]. В настоящей диссертации используется общая процедура построения асимптотических анзацев, предложенная С.А. Назаровым в [150], [160]. Подробное описание и систематическое применение этой процедуры для изучения задач о деформации различных тонких пластин и тонких стержней, в том числе с мелкой периодической структурой, можно найти в книге [161]. Условием применимости данной процедуры является наличие полиномиальных свойств у формально самосопряженных эллиптических задач [152], [160]. Асимптотическая структура решения задачи угадывается после изучения некоторого конечного подпространства векторных полиномов. Система теории упругости обладает полиномиальным свойством (см. [161]), а в качестве подпространства полиномов берется линеал жестких смещений (подпространство жестких перемещений) или его расширение. Особенностью процедуры построения формальной асимптотики для пластины О, с быстро осциллирующими упругими свойствами является необходимость введения быстрых переменных во всех трех направлениях и постановка предельной задачи на ячейке S(y). а условия малости остатков fug будут приведены в п.3.1. Далее вектор -функции J0, 0 и / считаем гладкими, а точные требования к их гладкости также формулируем в п.3.1. Представлениям (2.1) соответствует такой асимптотический анзац для решения задачи (1.14)- Два первых члена анзаца (2.3) известны, а задача для столбца w = (w\, 1 2, з)Т определяется при построении следующих членов. Компонента w3 описывает в главном прогиб пластины, а компоненты W\ и гі 2 - её продольные смещения. Тот очевидный факт, что пластину легче изогнуть, чем растянуть, и объясняет расхождение показателей степеней h при функциях и з и Wl, w2 в (2.3). Матричный дифференциальный оператор L из левой части системы (1.14) допускает расщепление При этом Vlyv - совокупность всех частных производных функции v порядка /. Введем также пространство Н1+1(ш — 03) абстрактных функций со значениями в банаховом пространстве 03; норма в этом пространстве определяется так:
Результирующая задача
Перейдем к рассмотрению задачи Следующая лемма по сути содержит правило дифференцирования интегралов с переменными пределами. Лемма 2. Для любой функции W(, у) Є Л"1 — Hper(S(y))) справедливо равенство где г = 1, 2, а г — компоненты столбца ь , фигурирующего в формуле (2.6) для нормали п к поверхности Е . Доказательство. Достаточно проверить формулу (2.35) по-отдельности для функций XjW, где {Xj} разбиение единицы на окрестности множества S(y), периодическое по С и не зависящее от у. Носители срезок Xj можно считать столь малыми, что при у G Вр (круг с малым радиусом) пересечение S{y) HsuppXj помещается в множество SJ(T/), которое в подходящей системе декартовых координат — (fjJ, ) задается формулами где Q3— прямоугольник, aFJ- гладкая положительная функция. При этом пересечение (т/) П suppx7 расположено внутри поверхности He ограничивая общности, будем считать, что система координат (rp,J) совпадает с системой = (77, ), и удалим символы " "и "J"H3 (2.36) и (2.37). Нормаль n(h, х) к поверхности {х : h ly Є Q, z — hF(h 1y, у)} имеет вид (2.6), где Сохранив обозначение W для произведения xiW, имеем Осталось заметить, что в согласии с (2.38)2,з последний (двукратный) интеграл равен В силу тождества (2.35) и предположения (2.1) правые части задачи удовлетворяют условию (2.18), к — 3. Действительно, инрегрируя по частям и используя формулы (2.30) и (2.9),(2.2), находим, что Последнее равенство выполнено благодаря (2.11). Еще два условия разрешимости (2.18), к — г = 1,2, для правых частей (2.39) записываются в виде Итак, получена пара дифференциальных уравнений (2.42) для столбца ги. Чтобы получить еще одно уравнение, рассмотрим невязку, оставленную в системе (1.14)-(1.16) суммой U четырех слагаемых (2.3). При учете (2.5) и (2.1) имеем Векторы U 2) , Ul были выбраны так, чтобы аннулировать множители при /г-4, , /г-1. Следовательно, повторив преобразования применительно к краевым условиям (1.15), приходим к формулам в которых Так как согласно (2.7) 1 — N(h,y) l = 0(h2), выражения из фигурных скобок в (2.43) можно отнести к остатку. Слагаемые hfl и hlgl аналогичны составляющим h xf и hg в представлениях (2.1), поэтому естественно подчинить их условию ортогональности, подобному (2.2), Обозначим /(у) последнее слагаемое.
В силу ключевого тождества (2.9), интегрируя по частям, получаем соотношение Таким образом, для неизвестного столбца w получена система уравнений (2.41), (2.48), которую называем результирующей. Заметим, что строки Dyel, Dye2, Z)y(e1 i+e292)C, фигурирующие в (2.41) и (2.48), являются строками матрицы Т (УУ)ТУ(С)Т. Поэтому результирующую задачу можно записать в краткой дивергентной форме Здесь J = (3 ,3 )7 - столбец с компонентами (2.42), (2.47), а 6 х 6— матрица-функция Ж определяется по формуле Последнее преобразование получается интегрированием по частям при использовании сотоношений (2.33) для X. Так как боковая поверхность пластины жестко защемлена (см. (1.16)), дополним систему (2.49) краевыми условиями Дирихле где п = (пі, П2)т - единичный вектор внешней нормали к контуру ди и дп — nTVy - дифференцирование вдоль п. Доказательство следующего утверждения можно найти, например, в [161, лемма 6.4.1 и теорема 4.1.4]. Предложение 1.1) При всех у Є и матрица Ж{у) симметрична и положительно определена. 2) Если Э Є Hl l[u)2 х H1 2{OJ) при некотором Z Є {1,2,...}, то существует единственное решение w Є Hl+1(u)2 х H1+2(UJ) задачи (2.49), (2.51) и выполняется оценка iu; Н1+\и)2 х Я/+2И Q J; Н1 \ш)2 х Я "2(о;). (2.52) Доказательство. 1) Формула (2.50) показывает, что М - матрица Грама, построенная по столбцам 6x6 матрицы Z (формула (2.42) при помощи скалярного произведения (Л-, ) в пространстве L2(S(y))6. Таким образом, матрица Ж(у) симметрична, а для проверки положительной определенности нужно убедиться в линейной независимости столбцов Zl,. .., Z6. Предположим, что при некотором столбце аЕМ6 выполняется равенство Согласно (2.31), (1.9) и = D(V%) первые три строки системы (2.53) переписывается в виде здесь ді = 0—, (Ха)і - і-я компонента вектора Ха. Так как из D u = 0 в ,5(7/) следует и Є CR, то из (2.54) выводим формулу ((Xa)i(f), (Xa)2()) = (сі - с0?72, с2 + co i). Ввиду условий ортогональности (2.19) имеем (Xa)i = (Ха)г = 0. Четвертая и пятая строки системы (2.53) принимают вид Применив к этим равенствам дифференциальные операторы —д2 и 9і, сложим результаты и получим, что 2а2а = 0. Следовательно, а — 0, 9і(Ха)з = (Ха)з = 0, т.е. (Ха)з = сз и (Ха)з = 0 благодаря третьему условию ортогональности (2.19) для Xі,..., X4. Наконец, согласно (2.31)з последняя строка (2.53) превращается в соотношение аз — arj\a\ — оа]2а2 = 0 на S(y), означающее, что а\ — а2 = аз = 0. Первое утверждение доказано. 2) Благодаря первому утверждению квадратичная форма симметрическая и где положительная постоянная С(си,Ж(у)) зависит от матрицы-функции у - М(у). Структура матрицы D(Vy) и простейшее двумерное неравенство Корна (см. [161, замечание 2.3.2 (1)]) обеспечивают соотношение Применяя несколько раз неравенство Пуанкаре с учетом условий (2.51), получаем Следовательно, форма (2.55) оказывается скалярным произведением в Н1{&)2 X Н2(и), т.е. существование и единственность решения w вытекает из теоремы Рисса о представлении непрерывного функционала в гильбертовом пространстве. В нашем случае в качестве непрерывного функционала на Н1(и )2 х Н2(и) выступает функционал F(W), построенный по правой части 3F, так как функция w G Hl{u)2 х H2(LO) является обобщенным решением задачи (2.49), (2.51), если она удовлетворяет условиям (2.51) и интегральному тождеству 2E(w, W; и) = F(W), VW Є Н\ш)2 х Н2{ш). Заметим, что при I = 1 включение 3 Є Н 1(ш) нужно понимать так: (infinum вычисляется по всем представлениям (2.59)i). Очевидная оценка для функционала F(W) вместе с неравенствами (2.56)-(2.58) приводит к Эллиптичность краевой задачи (2.49), (2.51) вытекает из того, что квадратичная форма Е обладает полиномиальным свойством (см. [161]): Это позволяет повысить гладкость решения w, воспользовавшись известны ми локальными оценками (см. [161, п. 4.2], а также [125], [221]).
Теорема об асимптотике
Теорема 1. Пусть для правых частей fug выполнены соотношения (2.1), (2.2) и (3.1), (3.3). Тогда решение и задачи (1.14) - (1.16) и его асимптотическое приближение (3.7)i связаны неравенством (3.40) в котором постоянная с не зависит ни от h Є (0,1], ни от составляющих /, д, / и f,g правых частей задачи. Доказательство. В п.3.2 были установлены оценки (3.22), (3.23), (3.28), (3.39) для (3.19), благодаря которым в силу неравенства Корна, обеспеченного теоремой 2, справедливо соотношение Выберем є малым и после простых преобразований получим неравенство (3.40), где вместо Я0 фигурирует 11 . Используя оценку (3.9), заменяем il - на И0 и приходим к (3.40). Рассмотрим отдельно поля деформаций, напряжений и смещений в локально периодической пластине Пд. Так как для функции х \— U(y, h lx) выполняется очевидное равенство на основании формул (2.4), (2.31)i, (2.32), (2.12) получаем +h l(DtU + DyU l) + hU - h-\DcX + y)T (Vy)w 4- DyU. Из леммы 4 и формулы (3.6) следует оценка которая вместе с (3.40) позволяет сформулировать Следствие 1. В условиях теоремы 1 При помощи умножения на матрицу жесткости А(у:), преобразуем (3.43) в неравенство для напряжений Займемся теперь смещениями. Следствие 2. В условиях теоремы 1 верна оценка Доказательство. Для вывода оценки (3.44) достаточно обработать весовую норму U0. С этой целью преобразуем вариант неравенства Харди интегрированием вдоль контура дси в неравенство (см. предложение 1.2.3 в [161]). Отсюда, учитывая неравенства (3.5) и (3.4), получаем цепочку соотношений которая завершает доказательство неравенства (3.44). D Классические неравенства Корна с одинаковыми множителями при всех производных (см. [242], [44], [105]) пригодны лишь в той ситуации, когда малы изгибные составляющие деформации пластины. В настоящей работе рссматривается локально периодическая пластинка. С помощью процедуры "тетрис"(см. [1]), предложенной С.А. Назаровым, доказывается весовое анизотропное неравенство Корна для таких областей. Вопрос о зависимости постоянных в таком неравенстве от параметров, характеризующих геометрию области, возникает во многих задачах теории упругости. Асимптотически точные неравенства Корна для звездных областей, цилиндров и областей типа каркасов были доказаны в [106]. Весовое неравенство для тонких пластинок было доказано в [149].
Аналогичное неравенство для стержня с периодической структурой возникло в асимптотической теории тонких стержней (см.[153]). В [271] приведены неравенства Корна для различных соединений (сочленений) тонких стержней с объемными телами. 4.1 Периодическая пластина и вспомогательные конструкции. Прежде чем рассматривать локально периодический случай, докажем неравенство Корна для периодической пластины. Обозначим через S(m) целочисленный сдвиг ячейки S (см. (1.12)) вдоль плоскости г;, т.е. S(m) = {х : (771+777,1/1,772+7772/2) С) Є $} Считаем, что множество П внутренних точек объединения US(m) по всем т = (ті, т ) Є I? является связным и имеет кусочно гладкую липшицеву границу дії. Обо-значим Щ результат сжатия множества П в h раз по всем направлениям. Как и ранее, ш — область на плоскости R2, а дсо — кусочно гладкий контур. Периодическая пластина Пд и её боковая поверхность Гд определяются формулами (ср. с (1.13)) Замечание 1. В (4.1) множество 1\, по которому пластина закреплена, образовано цилиндрической оверхностью ди х R, однако, как и в [154, 161], можно ввести достаточно произвольные малые возмущения кромки пластины. В частности, из множества Q в (4.1) можно удалить малые компоненты связности (части отростков, "случайно"отрезанные поверхностью дш х R). В согласии с (4.1) поле и Є i/ f ; I\)3 продолжается нулем на периодический слой Пд. Построения ведем в слое П с единичной "толщиной", и в самом конце выполняем /г-сжатие. Имеется плоскость { : С = Со} пересечение которой с П содержит точки Рт = (а\ + т\1\,а2 + nrizfaXo) при всех т Є Z2 и некотором а Є М2. При этом существует такое г 0, что шар В с центром Рт и радиусом г расположен внутри П. В каждый шар В можно вписать крестовину Кш - объединение двух параллепипедов (см. рис. 10); точная связь величины b 0 с радиусом г не понадобится. Рассмотрим четыре соседние крестовины К , К 2\ К 3) и К 4 = К 0 (их центры находятся в вершинах прямоугольника размером l\ х fa). Четыре пары параллелепипедов (4.2), образующих эти крестовины, имеют квадратные грани, "смотрящие"одна на другую. Продолжим большие грани параллелепипедов и образуем четыре бруса Q ,..., Q , соединяющие пары крестовин (см. рис. 11). Наконец, крестовины и брусья ограничивают в слое IJ=={C:IC Со 6} плитку F. Итак, слой L удалось замостить стандартными телами: крестовинами, брусьями и плитками. Каждая крестовина может быть составлена из пяти кубов, центрального и четырех боковых. Если брус Q , соединяющий боковые кубы соседних крестовин Ю-" и К +1\ выходит за пределы периодического слоя П, то можно образовать связное множество Q \ лежащее в П, пересекающееся с крестовинами по названным кубам и называемое коромыслом (см. рис. 11). Достаточно фиксировать пару коромысел и по периодичности размножить их. Подчеркнем, что Q = Q в случае Q(J) С П.
Неравенство Корна для локально периодической пластины.
Описанная в п. 4.2 процедура устанавливает неравенство (4.5) для строго периодической пластины. Вместе с тем, соотношение (4.7) сохраняется и в том случае, когда ячейка 5 плавно изменяется (см. [105] и [154], [161]). Этот факт позволяет приспособить доказательство для локально периодических пластин. Отметим, что положение опорного слоя L/j может скачкообразно меняться в области со, т.е. допольнительно в этом разделе нужно воспользоваться разработанным в [154] приемом переноса весового неравенства Корна с одного фрагмента пластины на другой. Пусть Qh - локально периодическая пластина, определенная в (1.13). Она проецируется на множество и в плоскости переменных у. Покрытие {со1, , coN} области со можно выбрать настолько мелким, чтобы выполнялись условия: 1. каждое из множеств Qlh = {х Є П : у со1} содержит периодическую по у систему крестовин {K7 i}rnGJ\l, А - подмножество Z2; 2. как и в п. 4.1, каждая из крестовин является объединением двух параллелепипедов, но ребра этих параллелепипедов могут быть не параллельными осям координат в отличие от (4.2); 3. в рамках одной системы с номером г крестовины К , га Є А(, лежат в общем слое Lh,i ограниченном двумя параллельными плоскостями, расстояние между которыми равно толщине крестовин. Теперь из упомянутого покрытия отберем области со1, ,сок, пересекающиеся с контуром дсо, и применим весовое неравенство Корна к пластинам fl\, , Clk. Хотя пластина Q\ и не является строго периодической, в силу условия 1 к ней можно применить процедуру, описанную в п. 4.2. Соединим содержащиеся в Qlh крестовины брусьями, введем плитки, ограниченные этими брусьями и крестовинами (так стандартными телами будет замощен слой \jh,i из условия 3).
Далее образуем коромысла - связные множества, лежащие в 1\, пересекающиеся с крестовинами по боковым кубам. В отличие от случая периодической пластины, все коромысла могут оказатся разными. В связи с этим потребуется множество операторов продолжения с коромысел на брусья. В остальном повторим дословно доказательство предложения 2. Так получается весовое неравенство (4.5), суженное на фиксированную окрестность боковой поверхности пластины Qh- Далее рассмотрим области сок+1, ,coL имеющие непустые пересечения хотя бы с одним из множеств о;1,--- ,сок. Можно считать, что рн{у) с О при у Є cok+1 U UcoL, т. е. в (4.4) можно положить ри{у) = 1- Пусть, к примеру со1 Г) сот 0 и I к m L. Рассмотрим пластину Q,. Верно неравенство которое вместе с неравенством \щ П 2 с(и, fllh) дает оценку Таким образом, неравенство Корна получено для элементов покрытия {а;1, ,6Jn}, соседних для ближайших к ди . Очередные ряды обрабатываются так же, как и второй. Перебором конечного числа рядов устанавливается Теорема 2. Если Qh локально периодическая пластина (1.13) и о и Е іі/1(Г2/ї, Гд)3, то выполняется неравенство Корна в котором постоянная с не зависит от поля и и параметра h Е (0, 1], а - весовая анизотропная норма (4.4). 4.4 Асимптотическая точность анизотропного неравенства Корна для пластины Общая процедура вывода анизотропных неравенств, использованная в данной диссертации, подробно изложена в работах А.С. Назарова. Очевидная необходимость различать продольные и поперечные направления при изучении тонких пластин обуславливает использование анизотропных неравенств Корна вместо классичеких неравенств, в которых точно установлена зависимость лишь от диаметра области. Асимптотическая точность анизотропных неравенств Корна обеспечивается за счет правильного распределения множетелей ha при разных компонентах смещений и их производных. Приведем пример из главы 3 книги [161] потверждающий это. Рассмотрим цилиндрическую пластину 1 = со х (—, ), в основании которой лежит сильно липщицева область шСК2 Введем функционал
