Вариационная задача Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов, порожденных некоэрцитивными формами Константинова Туйаара Петровна

Содержание к диссертации

Введение

1 Вариационная задача Дирихле с однородными граничными условиями 22

1.1 Функциональные пространства. Вспомогательные интегральные неравенства 23

1.2 Неравенства Гординга для эллиптического оператора со степенным вырождением 28

1.3 Задача Дирихле с однородными граничными условиями, связанной с некоэрцитивной формой, имеющей только старшие коэффициенты 36

1.4 Задача Дирихле с однородными граничными условиями, связанной с некоэрцитивной формой, младшие коэффициенты которой принадлежат некоторым весовым лебеговым пространствам 61

2 Вариационная задача Дирихле с неоднородными граничными условиями 77

2.1 Функциональные пространства. Вспомогательные интегральные неравенства 77

2.2 Об однозначной разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями 82

Заключение 90

• Неравенства Гординга для эллиптического оператора со степенным вырождением
• Задача Дирихле с однородными граничными условиями, связанной с некоэрцитивной формой, младшие коэффициенты которой принадлежат некоторым весовым лебеговым пространствам
• Функциональные пространства. Вспомогательные интегральные неравенства
• Об однозначной разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями

Введение к работе

Актуальность и степень разработанности темы исследования. Работа посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений высшего порядка в ограниченной области.

Одним из основных направлений в современной теории краевых задач для уравнений с частными производными является исследование разрешимости краевых задач для различных классов вырождающихся эллиптических уравнений. Интерес к таким исследованиям обусловлен тем, вырождающиеся эллиптические уравнения встречаются в теории малых изгибов поверхностей вращения, в теории трещин, в теории броунских движений и во многих других задачах математической физики и механики. Также известно, что с помощью замены независимых переменных некоторые классы дифференциальных уравнений в неограниченных областях и в областях с сингулярностями границы сводятся к вырождающимся эллиптическим уравнениям.

Существуют разнообразные способы вырождения эллиптических уравнений и поэтому для изучения краевых задач для таких уравнений применяются разные методы. Применяемый нами метод основан на элементах теории вложения весовых функциональных пространств и теории полу-торалинейных форм. Этот метод разрабатывался и совершенствовался в работах С.М. Никольского, Л.Д. Кудрявцева, П.И. Лизоркина, С.В. Успенского, К.Х. Бойматова, Х. Трибеля, А. Куфнера, Н.В. Мирошина, Б.Л. Байдельдинова, С.А. Исхокова и др.^1-4.

Основная часть научных публикаций по краевым задачам для эллиптических уравнений с вырождением относится к случаю, когда коэффициенты рассматриваемых дифференциальных уравнений имеют форму произведения двух функций, одна из которых является ограниченной,

¹Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы.- М.: Мир.- 1980.- 664 с.

²Никольский С.М., Лизоркин П.И., Мирошин Н.В. Весовые функциональные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений.// Известия Вузов. Математика. 1988, №8, с.4 – 30.

³Исхоков С.А. Неравенство Гординга для эллиптических операторов с вырождением // Математические заметки. 2010. Т. 87. №2. С. 201 – 216.

⁴Исхоков С.А., Гадоев М.Г., Якушев И.А. Неравенство Гординга для эллиптических операторов высокого порядка с нестепенным вырождением // Доклады Академии наук (Россия). 2012. Т. 443, №3. с. 286-289.

а другая характеризует вырождение. Существуют лишь отдельные работы, в которых исследовалась разрешимость вариационной задачи Дирихле с помощью весового аналога неравенства Гординга для вырождающихся эллиптических уравнений с младшими коэффициентами из весовых ^-пространств. Результаты этих работ существенно опираются на коэрцитивности интегро-дифференциальных полуторалинейных форм, с помощью которых порождаются исследуемые эллиптические операторы. В диссертации впервые исследуется случай вырождающихся эллиптических операторов с суммируемыми коэффициентами, ассоциированными с некоэрцитивными полуторалинейными формами. Здесь коэрцитивность формы понимается в следующем смысле²: если Я₀ - гильбертово пространство со скалярным произведением (, -)о и нормой || ||о, Н₊ - другое гильбертово пространство с нормой || ||₊ плотно вложенное в Я₀, то определенная в Я₊ полуторалинейная форма Р[и, v] называется Н₊-коэрцитивной относительно Я₀, если найдутся числа /і₀ Є R, 5₀ > 0 такие, что

ReP[u,u]+,io\\uf₀>5o\\u\\l

для всех и Є Н₊.

Цель диссертации. Целью диссертационной работы является исследование разрешимости вариационной задачи Дирихле с однородными и неоднородными граничными условиями для эллиптических операторов высшего порядка в ограниченной области n-мерного евклидова пространства со степенным вырождением на границе области в случае, когда соответствующая полуторалинейная форма может не удовлетворять условию коэрцитивности.

Объекты исследования. Объектом исследования являются эллиптические операторы высокого порядка с суммируемыми коэффициентами и со степенным вырождением на границе области, которые порождаются с помощью некоэрцитивных полуторалинейных интегро-дифференциальных форм.

Методы исследования. Применяемый в диссертации метод основан на элементах функционального анализа и теории пространств дифференцируемых функций многих вещественных переменных со степенным весом (теоремы вложения, эквивалентные нормировки, прямые и обратные теоремы о следах, теоремы о плотности гладких функций и т.д.).

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются

новыми, представляют научный интерес и состоят в следующем:

1. Доказана теорема о существовании и единственности решения однородной вариационной задачи Дирихле для нового класса вырождающихся эллиптических операторов в ограниченной области, не содержащих промежуточных коэффициентов, соответствующая полуторалинейная форма которых, в общем случае, не удовлетворяют условию коэрцитивности.

2. Впервые исследована разрешимость однородной вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов в ограниченной области с суммируемыми младшими коэффициентами в случае, когда полуторалинейные формы, соответствующие эллиптическим операторам, могут не удовлетворять условию коэрцитивности.

3. Доказаны теоремы существования и единственности решения неоднородной вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов в ограниченной области с суммируемыми младшими коэффициентами в случае, когда соответствующие полуторалинейные формы могут не удовлетворять условию коэрцитивности. Выделен случай, когда неоднородные граничные условия задаются в явном виде и их количество зависит от степени вырождения старших коэффициентов исследуемого оператора. Доказано неравенство, в котором норма решения неоднородной вариационной задачи Дирихле сверху оценивается через нормы граничных функций и правой части уравнения.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Они могут быть использованы при развитии теории вариационных задач для вырождающихся эллиптических операторов высокого порядка, порожденных с помощью некоэрцитивных полуторалинейных форм, а также при исследовании спектральных свойств таких операторов.

Практическая ценность работы определяется прикладной значимостью вырождающихся дифференциальных уравнений в решении прикладных задач механики и других разделов физики.

Степень достоверности результатов проведенных исследований. Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается строгими математическими доказательствами всех утверждений, при-веденных в диссертации, подтверждается исследованиями других авторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и неоднократно обсуждались автором на следующих семинарах и конференциях:

семинар кафедры фундаментальной и прикладной математики Политехнического института (филиала) Северо-Восточного федерального университета им. М.К. Аммосова в г. Мирном под руководством д.ф.-м.н., проф. С.А.Исхокова и д.ф.-м.н. М.Г.Гадоева (2011-2016);

общеинститутский семинар Института математики им. А. Джураева Академии наук Республики Таджикистан под руководством д.ф.-м.н. член-корреспондента АН РТ, проф. З.Х.Рахмонова (ноябрь, 2016);

Четвертая международная конференция "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования посвященная 90-летию члена-корреспондента РАН, академика Европейской Академии наук, профессора Л.Д.Кудрявцева (Москва, 25-29 марта 2013 г.);

Международная научно-практическая конференция "Наука и инновационные разработки - северу"посвященная 20-летию Политехнического института (филиалу) Северо-Восточного Федерального университета им. М.К.Аммосова (г. Мирный, 12-14 марта 2014 г.);

Международная научная конференция ”Математический анализ, дифференциальные уравнения и теория чисел”, посвященная 75-летию профессора Т.С.Сабирова (г. Душанбе, 29-30 октября 2015 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-6], список которых приведен в конце автореферата. Работы [1-3] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. В работах, написанных совместно с С.А.Исхоковым и М.Г.Гадоевым, соавторам принадлежат постановка задач и выбор метода доказательств результатов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, который содержит 78 наименований. Общий объем диссертации – 101 страниц

Неравенства Гординга для эллиптического оператора со степенным вырождением

Далее будем считать, что Л Л0 и Л0 - достаточно большое число. Тогда из равенства (1.3.25) следует, что Bx[K(\)R-\\)F,v] = {F,v) для всех v Є C0(ft). Поэтому, при Л Л0, функция U{x), определенная равенством (1.3.66) удовлетворяет равенству Bx[U,v] = (F,v) УУЄС {П). Следовательно, функция (1.3.66) является решением задачи Dx. Так как при Л Ло оператор ограничен, то из (1.3.23) и (1.3.24) следует, что функция (1.3.66) удовлетворяет оценке (1.3.10) теоремы 1.3.1, то есть \\U]V2 r.a{Q)\\ М F; (У{.а{П) ) где число М не зависит от Л Є [Ло, оо) и от функционала F.

Для доказательства единственности решения задачи D\ рассмотрим сопряженную задачу: для заданного функционала F Є №а{Щ найти функцию U\ Є V2raiP) удовлетворяющую равенству Bx[v,U1] = (F,v) VveV2ra(Q). (1.3.67) Так как коэффициенты билинейной формы Bx[v, Ui] удовлетворяют условиям теоремы 1.3.1., поступая так же как выше, можно построить операторы 7г,(Л), R,(A) такие, что функция Щ = П,(Х)ЩХ)-1 F (Л Є [Л,ос)) принадлежит пространству V )) и удовлетворяет уравнению (1.3.67). Пусть функция и Є V2.a(Q) удовлетворяет равенству Bx[u,v] =0 (Vv Є V2r.a(n)), (1.3.68) где Л Л0 = тах{Л,Л0}. Пусть F - произвольный элемент простран ства ( V{.a(Q) ) . Так как принадлежит пространству V{.a{Q), то, полагая v = Ux в (1.3.68), получаем ВА[и,С7і]=0 то есть Bx[u,U1]=0. С другой стороны, функция Ui = 7г,(Л)М,(Л)-1 удовлетворяет (1.3.67). Поэтому (F,u) = 0 для всех F Є V{.a{Q). Учитывая вложение V{.a{Q) - ( Vi-aity) и полагая F = и, имеем (и,и) = 0, то есть и = 0. Теорема 1.3.1. доказана полностью.

Задача Дирихле с однородными граничными условиями, связанной с некоэрцитивной формой, младшие коэффициенты которой принадлежат некоторым весовым лебеговым пространствам

Пусть, так же как в 1.3, Q ограниченная область в Rn с замкнутой (п - 1)- мерной границей дП, удовлетворяющая условию конуса. Пусть р(ж)-регуляризованное расстояние от х Є П до Ш, г- натуральное, а, А вещественные числа. Рассмотрим интегро-дифференциальную полутора-линейную форму Вх[иМ= Е Pk{x)Pl{x)akl{x)u k\x)v {x)dx+ т\ гп + \ f p%a-r\x)u(xMx)dx, (1.4.1) п где Рк(х) = ра г+\к\х) и аы(х) - комплекснозначные функции, на которых ниже накладываются некоторые условия. Отметим, что форма (1.4.1), в отличие от формы Bx[u,v], рассмотренной в 1.3, имеет младшие коэффициенты ам(х), \к\ + \1\ 2г - 1.

Так же как в 1.3, рассмотрим вариационную задачу Дирихле, связанную с формой (1.4.1). Задача Dx. Для заданного функционала F Є (У2.а(П)) требуется найти решение U(x) уравнения Bx[U,v]= F,v V GC0( ), (1.4.2) принадлежащее пространству V2.JSl). Также как в 1.3 (см. замечание 1.3.1) заметим, что если граница dQ области Q достаточно гладкая и число а такое, что а + - Ф {1, ..., г}, — а г , 2 2 2 то согласно теореме 1.1.4 решение U(x), х Є Q, задачи D\ удовлетворяет однородным граничным условиям О, s = 0, 1, ..., s0-1, дП dsU дп& где д/дп - производная по внутренней нормали, а целое число S0 такое, что г -а-1/2 s0 г -а +1-1/2. Поэтому, в общем случае, граничные условия в задачи D\ формально будем считать однородными. Предположим, что коэффициенты ам(х) формы (1.4.1) удовлетворяют следующим условиям: I) старшие коэффициенты ам(х), \к\ = \1\ = г, непрерывны в замкнутой области П; II) существуют числа C0 0, ір Є (0, 7г) и непрерывная в Q функция 7(ж) ф 0 такие, что arg Y, а"(х№ Л = /=г if, (1.4.3) «( ) ReЫх) J2 М Ч1 с\С\2г. (1.4.4) для всех х Є Q, Є іГ \ 0. п III) младшие коэффициенты akl{x), \k\ + \l\ 2r - 1, \k\, \l\ г, принадлежат пространству LPki;_n/Pkl(Q), где число ры определяется следующим образом: г-\к\ + є,/ =r, п 2(г-\к\), 1) Ры = п + e,k =r, п 2(г-/); r-\l\ 2) если \к\ г-1,/ г-1, то п 2г-/с-/ + є, п 2(г-\к\), n 2(r-/), № = п г-\1\+е n 2(r-\k\), п 2(г-/), п г-\к\+є n 2(r-\k\), n 2(r-/); 3) Р/с/ - любое конечное число больше 2 в оставшихся случаях. Здесь є - достаточно малое положительное число. Замечание 1.4.1. Разрешимость вариационной задачи Дирихле и некоторые спектральные вопросы для эллиптических операторов, связанных с полуторалинейной формой вида (1.4.1), ранее изучались в работах К.Х. Бойматова [9, 10, 13], С.А. Исхокова [23], К.Х. Бойматова и С.А. Ис-хокова [14] в предположении, что все коэффициенты аы(х), \к\, \1\ г, формы (1.4.1) непрерывны в замкнутой области П и удовлетворяют условиям агёЛ(ж, С) р, (1.4.5) J2\(k\2 MRe{ y(x)A(x} С)} \к\=г (1.4.6) для всех х Є П и любого набора комплексных чисел ( = {(к}\к\ г. В этих условиях А(х, С) = Е а хШи \к\,\1\ г 7(ж) - некоторая непрерывная в П функция, которая не обращается в нуль, (р - некоторое положительное число меньше 7Г, число М 0 не зависит от х, (. Отметим, что в отличие от наших условий (1.4.3), (1.4.4) в (1.4.5), (1.4.6) участвуют и младшие коэффициенты формы (1.4.1), и даже в случае, когда форма (1.4.1) имеет только старшие коэффициенты, условия (1.4.3), (1.4.4) слабее, чем условия (1.4.5), (1.4.6).

Теорема 1.4.1. Пусть 0 а г и выполнены условия I)-III). Тогда найдется число Л0 0 такое, что при А А0 для любого заданного функционала F Є (У{.а{П) ) существует единственное решение U{x) задачи D\ и при этом справедлива оценка

Задача Дирихле с однородными граничными условиями, связанной с некоэрцитивной формой, младшие коэффициенты которой принадлежат некоторым весовым лебеговым пространствам

В этой главе диссертационной работы изучается разрешимость вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для

вырождающихся эллиптических операторов высшего порядка, порожденных с помощью некоэрцитивных полуторалинейных форм. Она состоит из двух параграфов. В первом параграфе приведены определения основных весовых пространств дифференцируемых функций многих вещественных переменных и сформулированы их основные свойства. В этом же параграфе приведены некоторые вспомогательные леммы. Основные результаты этой главы сформулированы и доказаны во втором параграфе.

Пусть Q - ограниченная область в евклидовом пространстве Rn с достаточно гладкой (п-1)- мерной границей 0Q. Пусть г- натуральное, а, р-вещественные числа и 1 р ос. Символом W a(Q) обозначим пространство функций и(х), определенных на Q, имеющих все обобщенные в смысле С.Л.Соболева производные до порядка г включительно с конечной нормой \\u;W;.a(n)\\ = і J2 [ppa(x)\u{k)(x)\pdx+ j\u{x)\4x\ . (2.1.1) Функциональные пространства Wpa(Q) являются банаховыми пространствами с нормой (2.1.1) и при а = 0 совпадают с классическими пространствами WLiQ). Пространства Wpa(Q) при р = 2 являются гильбертовыми и скалярное произведение в них определяется равенством (и, v)Wr;a{n) = J2 JP2a{x)u {x) x)dx+ fu(x) )dx. \k\=rn n Первый результат типа теорем вложения для пространств Wp.a(Q) был получен В.И. Кондрашовым [36]. Систематическое исследование пространств W.a{Q) принадлежит Л.Д. Кудрявцеву [37]. Оно развивалось и дополнялось работами многих математиков, среди которых отметим работы СМ. Никольского [52], О.В. Бесова, Я. Кадлеца, А. Куфнера [5], О.В. Бесова [3], Х. Трибеля [58] и др. Более подробную библиографию работ по исследованиям весовых пространств Wp.a(Q), опубликованных до 1988 г. можно найти в обзорной работе СМ. Никольского, П.И. Лизоркина, Н.В. Мирошина [54].

Также как в 1.1 вложение В\ — В2 для нормированных пространств i, 2, соответственно с нормами Ц-; В\\\, Ц-; 2І, означает, что все элементы пространства В\ можно рассматривать как элементы пространства В2 и, кроме того, \\щ Ві М\\щ В2\\ для всех и Є Вх с положительной константой М, не зависящей от и.

Ниже сформулируем несколько теорем о свойствах пространств W.a{Q) без указания литературных источников. Соответствующие ссылки можно найти в обзорной работе [54]. Теорема 2.1.1. Пусть т - целое число; 0 m г, ат а - т -1/р. Тогда справедливо вложение Wp.a(Q) — Wp im(Sl) — Wp (Q) с соответствующими оценками норм.

При выполнении некоторых условий на гладкость границы dQ области Q изучаются следы функций и Є W. (Q) на границе 0Q. Так же как в случае классических пространств Соболева следы функций и Є Wp.a(Q) на границе dQ принадлежат некоторым пространства О.В.Бесова Вр{дО) (определение пространств О.В.Бесова см., например, в [4] или [58]).

Далее символом Cs+e, где s - натуральное число и є Є (0, 1), обозначим класс поверхностей, которые локально описываются с помощью функций, производные s-того порядка которых удовлетворяют условию Гельдера с показателем є.

Теорема 2.1.2. Пусть -- а г--, (2.1.2) р р So - целое число, удовлетворяющее неравенствам г-а s0 -a + l , (2.1.3) р р граница дП принадлежит классу CS0+1+, где є Є (0,1). Тогда справедливо вложение w;.a(n) - в;-а-Ур(дп). (2.1.4) Вложение (2.1.4) означает, что любая функция и Є W .a{Q) имеет на границе dQ следы = ps Є Brp--l/p-s(dn), s = 0,1, , s0 - 1, дП dsu dns и при этом выполняются неравенства \\ ps; Вгр-а-1/р- {дП)\\ С\\щ\;.а{П) s = О,1, , s0 - 1. Здесь д/дп - производная по внутренней нормали к поверхности dQ, константа С 0 не зависит от функции и. Справедлива также следующая обратная теорема о следах. Теорема 2.1.3. Пусть выполняется условие (2.1.2), целое число s0 определено неравенствами (2.1.3), дП Є CS0+1+e, є Є (0,1). Тогда если заданы функции tPs G в;-а"1/р"5(Ш), s = o,i,--- ,s0-i, (2.1.5) то существует функция и Є WL;a{Q), для которой выполнены равен ства dsu dns и справедливы оценки д (ps, s = 0,l,--- ,s0 r—a—1/p—s и «0-1 Wrp;a{Q)\\ С ( ;Я (дП) s=0 где число С 0 не зависит от набора функций (2.1.5).

Обозначим через С$(П) множество всех бесконечно дифференцируемых в Q функций с компактными носителями. Замыкание множества 0 C0(ft) по норме (2.1.1) обозначим через W гр;а{П). Теорема 2.1.4. 1) Пусть граница дП области П принадлежит классу С1. Тогда множество C (Q) плотно в пространстве W ;a(Q) в том и только в том случае, если а —1/р или а г — 1/р. 2) Пусть -1/р а г - 1/р и граница дП удовлетворяет условиям теоремы 2.1.3. Тогда выполняется равенство } dsu dns W г (П) = ueW;;a(Q): { р;а 0,s = 0,1,2,- ,s0 д где д/дп - производная по внутренней нормали, а целое число S0 определено неравенствами (2.1.3). Для исследования разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями нам понадобится следующая теорема вложения разных метрик для пространств Wp.a(Q), доказанная в работе С.А. Исхокова [67]. Теорема 2.1.5. Пусть граница дП области П принадлежит классу С1 и пусть выполнены условия О m г, 1 р q +оо, ат —, а-т атЛ . q q р Тогда справедливо вложение WLJVt) - Wl7{VL). С помощью этой теоремы доказывается весовое интегральное неравенство, в котором оценивается норма произведения производных функций и Є W;.a(Q), v Є Wrp.a{Q). Это неравенство опубликовано в работе С.А.Исхокова, О.А.Нематуллоева [34] и доказывается с помощью рассуждений, таких как в доказательстве леммы 1.1.3 из первой главы.

Функциональные пространства. Вспомогательные интегральные неравенства

Далее сформулируем и докажем одну вспомогательную лемму. Лемма 2.2.1. В условиях теоремы 2.2.1 любая функция Ф(х) Є W.a(Q) по формуле (GA, V) = -ВА[Ф, v] (2.2.7) порождает функционал Gx, который принадлежит пространству и найдется положительная постоянная М{\) такая, что (о \ М(Х) \\Ф(х); W 2.a(n) (2.2.8) для всех Ф(х) Gl .a((]). Доказательство. Функционал GA, определенный равенством (2.2.7), представим в виде (GA, и) = -В,[Ф, и]+ВА[Ф, v], (2.2.9) где В [Ф, ]= Ьк1(х)Ф(х)уЩх)4х \k\=\l\=r П ВА[Ф, v}= J2 Ьк1(х)Ф (х)Щх)(іх + А р фФИф) . A + / 2r-lj( І Согласно условию (I) 6и(ж) = р2а(х)ам(х) при fc = / = г и а«(ж) -ограниченные в П функции (ввиду их непрерывности в замкнутой области П). Поэтому применяя неравенство Коши-Буняковского, имеем Щ\Х}Ч К (X, В,[Ф, v]\ J2 Р2 акі(Ф v(x) dx \к\ = Щ=гЬ р«ф(А). у L2(tt) pV);L2(fi) Ф;Ц;в(П)і;;Ц;в(П) =/=r Так как it; .Ц (Г2) ІІ; И/2;а( ), то отсюда следует, что В,[Ф, v}\ « Ф; \ .а(П)\\ \\v; WZ;a(Q)\\ (2.2.10) 2; Теперь переходим к оценке слагаемых полуторалинейной формы В [Ф, v]. Заметим, что числа Хм = т/(Ркі 1), где числа цы такие же как в условии (II), удовлетворяют условиям леммы 2.1.1. Поэтому применяя неравенство Гельдера и лемму 2.1.1, получим ВА[Ф, v]\ Е f\bki(x)$ )\\v(x)\dx + \\\ f p2a 2r{x)\ S {x)\\v{x)\dx \k\ + \l\ 2r-l{ І для всех V GVK 2-а( ) A;+/ 2r-l + + Л p2a-2r(x)\ S (x)\\v(x)\dx (М + Л) Ф; Щ;а(Щ \\v; W .a(Q)\\ . п Следовательно ВА[Ф, v]\ (М+Л)Ф; Wr2.Q{tt)\\ \\v; Wr2.Q{tt)\\ (2.2.11) о для всех v Є\ 2-а( )- Здесь М - положительная постоянная не зависящая от выбора функции v(x). Далее объединяя оценки (2.2.10), (2.2.11) и равенства (2.2.7), (2.2.9) получим (GA, V)\ М(Л) Ф; WJ.a(fi) \\v; Щ.а(Щ\ о для всех v Є W 2;«( )- Это неравенство означает, что функционал GA, определенный равенством (2.2.7), принадлежит пространству \W 2-а( ) ) и имеет место неравенство (2.2.8). Лемма 2.2.1 доказана. Теперь, действуя по стандартной схеме, с помощью леммы 2.2.1 можно свести задачу Дирихле DA с неоднородными граничными условиями к некоторой задаче с однородными граничными условиями, для решения которой можно применить теорему 2.2.2. Пусть заданы элементы F Є W 2;a( ) , Ф(Ж) Є Щ;а№) и пусть U(x) какое нибудь решение задачи Ш)А. Рассмотрим функцию U (x) = и(х)-Ф(х).Таккак MX[U, v] = (F, v) (Vv Є С0( )), и С/(ж) - Ф(ж) єи 2;а(Щ, то U (x) принадлежит пространству W 2;«( ) и удовлетворяет уравне нию (2.2.12) MX[U , v] = (F, v + (GA, V) (VV Є C0( )), где функционал GA определяется равенством (2.2.7). Таким образом, вспомогательная функция U (x) является решением следующей задачи: W 2;аФ) ) и заданной функции Ф(х) Є W2 ;a{Q) требуется найти решение U {x) уравнения о (2.2.12) принадлежащее пространству W 2;«( ). Обратно, легко можно проверить, что, если U (x) является решением задачи РА,то функция и(х) = и (х) + Ф(х) (2.2.13) будет решением задачи Ю)А.

Согласно лемме 2.2.1 функционал GA принадлежит пространству W 2;а( ) ) . Поэтому по теореме 2.2.2 задача Wx имеет единственное решение и для нее выполняется следующая оценка (о \ /о \ U \ V 2;a( ) Ж 2;a(fi)J + G; [W г2;аЩ Отсюда и из оценки (2.2.8) леммы 2.2.1 следует, что U \ V 2;a( ) F: (о \ Ж 2;а( )) + ІІФ; Wa(fi). Поэтому для функции U(x) решения задачи DА (см. (2.2.13) ) имеет место неравенство U; V 2;a( ) + ф; 2г;а( ) (о w r2;a(Q) т.е. выполняется оценка (2.2.6) теоремы 2.2.1. Из единственности решения задачи Dx и равенства (2.2.13) следует единственность решения задачи D\. Теорема 2.2.1 доказана. Далее покажем, что при некоторых дополнительных ограничениях на параметр а можно задавать неоднородные граничные условия в задаче DA в явном виде. Пусть число а такое, что 1 1 - а г . 2 2 Определим целое число S0 неравенством 1 1 г - а s0 г - а -\—. 2 2 Тогда, согласно теореме 2.1.3 при условии дП є CS0+1+, є Є (0,1), для заданных граничных функций ps Є Br2-a-1/2-s(dQ), s = 0,1, , s0 - 1, найдется функция Ф Є W2 ;a(Q) такая, что = (ps, s = 0,l,--- ,s0-l, д д Ф dns где д/дп - производная по направлению внутренней нормали, и имеет место следующее неравенство Ф; Щ;аЩ\ « J2 р; В2-а-1/2-"(Ж1) В этом случае, условие (см. (2.2.3)) U(x)-Q (x)ew 2;а(П), d8U{x) которое имеется в задаче D\ принимает следующий вид (см. теорему 1.1.4 из 1.1) ps, s = 0,l,--- ,s0-l. (2.2.14) Поэтому в сделанных выше предположениях задачу D\ можно сформулировать следующим образом W 2;а( ) ) и заданного набора граничных функций Є В2г"а"1/2_5(Ш), s = 0,l,--- ,s0-l, (2.2.15) требуется найти решение U(x) уравнения (2.2.2) из пространства W2 ;a{Q) удовлетворяющее граничным условиям (2.2.15) Применяя теорему 2.2.1 получаем следующий результат о разрешимости задачи D\. Теорема 2.2.3. Пусть 0 а г - 1/2, граница дП области П принадлежит классу CS0+1+, 0 є 1, и выполнены все условия теоремы 2.2.1. Тогда существует неотрицательное число Л0 такое, что при А А0 для любого заданного функционала F Є (w 2;«( )У и заданного набора граничных функций (2.2.15) существует единственное решение U(x) задачи Dх и при этом справедливо неравенство S-1 I м U; W2 ;a(Q)\\ М F- w 2;а(щ + 2 и,-, в: а 1/2 3{дп) где число М 0 не зависит от выбора функционала F и граничных функций (2.2.15). Заключение

Таким образом, в диссертационной работе найдены достаточные условия существования и единственности решения вариационной задачи Дирихле для эллиптических операторов высшего порядка в ограниченной области n-мерного евклидова пространства со степенным вырождением на границе области, в случае, когда полуторалинейные интегро-дифференциальные формы, порожденные исследуемыми операторами, могут не удовлетворять условию коэрцитивности. Младшие коэффициенты исследуемых эллиптических операторов принадлежат некоторым весовым Lp-пространствам, и следовательно могут иметь интегрируемые особенности во внутренних точках области. Выделен случай, когда неоднородные граничные условия вариационной задачи Дирихле задаются в явном виде и их количество зависит от степени вырождения старших коэффициентов исследуемого оператора и в этом случае доказано неравенство, в котором норма решения вариационной задачи Дирихле сверху оценивается через нормы граничных функций и правой части уравнения. Разработанная в диссертационной работе техника может быть использована при исследовании спектральных свойств вырождающихся эллиптических операторов, порожденных некоэрцитивными полуторалинейными интегро-дифференциальными формами, а также при исследовании разрешимости краевых задач для дифференциальных уравнений с такими операторами.

Об однозначной разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями

Далее, действуя так же как в доказательстве утверждения 1.3.1 (см.1.3), построим оператор Ax-j такой, что при А А0 О, где Л0 -некоторое конечное число, Kj(\)f = A f (1.4.24) для всех / Є І (Г2) и также имеет место представление А = В"]/2Х,(А)В ]/2, (1.4.25) где Xj{\) - ограниченный оператор, норма которого не превосходит некоторого положительного числа М\ не зависящего от Л Є [Ао,оо), а B\-j -самосопряженный оператор в L2(fi), порожденный симметричной формой (см. лемму 1.3.1) B\j[u,v] = - іехр(іву)Вх [и,у] + ехр(-іЄ3)Вх-№,и}\ . Теперь используя (1.4.23) - (1.4.25) для произвольного элемента F Є Ь2(П) имеем N B [%)(X)F} v] = J2eMi0j)B JB /2XJ(X)B /4JT}v}. (1.4.26)

Далее сформулируем без доказательства одну лемму, которая является частным случаем леммы 1.1.3 из первого параграфа.

Лемма 1.4.1. Пусть ры - такие же числа как в теореме 14.1 и qkl = Ры/ (ры 1) . Тогда для всех мультииндексов к, I таких, что \к\ г - 1 и \1\ г существует число /І 0 такое, что для любого т 0 имеет место следующее неравенство и(к)у(1). (Q\ \\у;У2Га(П)\\т\\щЩ.а(П)\\+с0т- \\ра-гщ L2(fi), (1.4.27) для всех и Є V.a(n),v Є V2r.a(Q). Применяя неравенство Гельдера с показателями рыАы в силу неравенства (1.4.27) имеем fc r-l, U 7 pkpiu{k) v{l)] ь,а,„Іп№)\ v;VJa(n){r«;L$.a(n)+q)r- ipa-r«; ЫЩ\}. (1.4.28) Действуя также как при доказательстве неравенства (1.3.39) (см. доказательство леммы 1.3.1) получаем \\ра гщ Ь2 (П)\\ \m\=r{ p2{-a-r\x)\u{x)\2dx\ т\\щ Ьг2.а(П)\\ + сот-» \\ rRe -,1/2 ехр(г#? +PiW (1.4.29) п где непрерывная положительная функция р\(т) такая, что р\(т) — оо при т -+ 0. Обратную относительно Рі{т) функцию обозначим через qx и положив А = рг(т), то есть т = qi(X) в равенстве (1.4.29) имеем т\\щЬг2.а(П)\\+с0т-»\\ра-гщ Ь2(П)\\ qi(X)Re +А ( J2 (( {х)ащ{х)и к\х)Ф\х)йх+ \m\=r{ Отсюда и из (1.4.28) следует, что \Bil)[u,v}\ ді(А)?;;ї/2у ) p2{o-r){x)\u{x)\2dx ] ует, что Re / Г ехр( ) Y, P2a( WiJ(xWk)(x)u (x)dx+ \m\=r{ -І 1/2 +Л p2{a-r\x)\u(x)\2dx (1.4.30) Q Здесь j Є {1, 2,..., N}, qi(X) - положительная функция такая, что qi(X) - 0 при Л - +оо. Согласно равенству (1.3.35) Re +Л = Ке{ехр(гад Ау[«,и]} Поэтому из (1.4.30) следует, что ехр( )( Е [P24xWiJ(xWk\x)u( )(x)dx+ р2(а-г)(ж)м(ж)2 I В / щЬ2(П) (1.4.31) \вР[иМ\ 9i(A)v;VJa(fi) B 2w;L2(ft) ( 7i(A) — 0 при Л — +оо). Теперь применяя это неравенство из (1.4.26) получим \Bil)[%){X)F,v}\ дг{Х)\\у]У2г.а{П)\\ х (1.4.32) (1.4.33) Согласно неравенствам (1.3.49), (1.3.51) из 1.3 при А А0 имеют место следующие соотношения B-J%F;L2(n) B jF;L2(Q) F- Va(fi) ) р\ №;ату (1.4.34) В нашем случае (см. (1.4.21), (1.4.22)) Т = К. A)F и К. :(А) - огра-ниченный оператор, действующий из ( V{.a(Q) ) в ( V{.a(Q) ) . Поэтому из (1.4.34) следует, что В %Т;Ь2(П) K F; №; №) ) F; ( a(fi) ) (1.4.35) ВЦ ;Ь2(П) Ниже мы докажем неравенство М0 в]/2Ф Ь2(П) Отсюда при v = В 1/2и следует неравенство (1.4.36) (1.4.37) М0\\щЬ2(П)\\. л,3 J л,3 вЦ В-х;/2и;Ь2(П) Это означает ограниченность оператора В 2Ф3В Т. Учитывая этот факт, ограниченность оператора Xj{\) и применяя (1.4.35) из (1.4.33) получим \Bi1)[%)(X)F,v}\ N \В %Т;Ь2(П) К WW ( i(A) qi(X) \\v;V2r.a(n)\\ J2 \\Bx jB /2 3=1 5i(X)\\v;V2r.a(n)\\ \\F; V2r.a(n)f (Si(X) -+ 0 при A - +oo). Это и есть неравенство (1.4.18). Для полного завершения доказательства этого неравенства нам осталось доказать неравенство (1.4.36). С этой целью воспользуемся равенством (1.4.31)

Так как коэффициенты акф), \к\ = \1\ = г ограничены, то применяя неравенство Коши-Буняковского из последнего неравенства находим вЦ]щЬ2(П) m\=rl + cos A p2 -r \x)\v(x)\2dx п MiH jLynj + cos A p2 \x)\v(x)\2dx. (1.4.38) Q Здесь мы также воспользовались неравенством \(pj(x)\ 1 Ух Є Q. Функции (pj(x) также обладают следующим свойством \ pf\x)\ Со для всех мультииндексов к : \к\ г и всех х Є Q. Поэтому WW, Ьг2;а(Щ = P2a{x)\{ {x)v{x)p\ dx \k\=r Q {X)\ \x)\Vn(x)\2 dx , 7 //I F+;"=r Q x)\v \x)\2dx 1 III Q fc" r (1.4.39) Здесь мы также воспользовались неравенством 0 с1 р-г+ (х),УхєП, \к\ г, которое имеет место вследствие ограниченности области Q. Далее применяя неравенство (1.4.19) при А = До, имеем

В процессе доказательства леммы 1.3.1 мы доказывали эквивалентность норм 11 it; 2га(Г2) и вЩщЫП) Учитывая это и применяя (1.4.24), (1.4.25) из (1.4.40) находим \B12)I%)(\)F,V}\ N 1/2 1/2 g2(A) В Ф -В" .,2Х3{\)В 2Ф3Т- L2{tt) B]gv;L2(n) 3=1 (1.4.41 Пусть A A0. Тогда в силу равенства (1.4.31) имеем В 1х щЬ2(П) = Re{exp(i6 ,)BAo;,[it,it]} Re{exp(i6 ,)BA;,[it,it]} ВЦ.-ЩЬ2(П) 1/2 —1/2 Отсюда следует, что оператор Вх -Вх- ограничен и в]!2.в:1/2 ло,з л;з для всех А А0. Поэтому применяя неравенство (1.4.37) получаем В1/2.Ф3В:1/2 Ло,3 ? л,3 ВІ/2.В71/2 Ло,3 л, Mi VA A0. (1.4.42) ло,з ? л;з Так как Х,(А) ограниченный оператор и его норма не превосходит некоторого положительного числа, не зависящего от А Є [Ао, +оо), то используя (1.4.42) и (1.4.35) имеем С (А)С; (п) F; № №) B]! v;L2(n) и В силу этого неравенства и эквивалентности норм ; а( ) из (1.4.41) следует неравенство (1.4.19). Доказательство единственности решения. Для доказательств единственности решения задачи D\ рассмотрим сопряженную задачу.

Задача D x. Для заданного функционала F є {V{.a{Q) ) требуется найти решение U\{x) уравнения Bxlv,Ux] = (F,v) (Vv Є С0(П)), (1.4.43) принадлежащее пространству V .JSl). Так как Bx[v,U!] J2 ІРк(Фі(Фкі{хУк){х),Щ1)(х)) + \{p2 -r){x)v{x), Ui(x)) \k\,\l\ r = J2 Щх),рк(х)рі(х) ф)Щ1)(x)) + X{v{x),p -r){x)U1{x)) = \k\,\l\ r = Y, (№(ф/И )И, Н ))+А(р2(а-гН ) іИ И) = \k\,\l\ r = E [Рк(х)рі(х) и[1\х)Щд х + X [ f xWxMddx, то (поменяем местами kиl) Bx[v)Ul} = E Pk(x)pi(x)bki(x)u[k)(x)vW(x)dx+ m\ r{ + \[ a-r\x)U1(xMx)dx, n где В условиях теоремы 1.4.1 аы(х) Є Ьрк1-_п/рк1Щ при \к\ + \1\ 2г - 1 и ры = рік. Поэтому Ьы{х) Є ЬРк1._п/ры(П) при fc + / 2г - 1 действуя, так же как и в первой части доказательства теоремы 1.4.1 (то есть доказательства существовании решения), можно построить операторы (Л Ао)

Я (А): ( VJaW) - VJa(fi), К (Л): ( V2a(fi) ) - ( V2a(fi) ) такие, что оператор К (А) непрерывно обратим и для любого функци-онала F є (У2.а{П) ) функция U1{x) = %:{X)R-1{X)F будет решением задачи D\. Теперь рассмотрим уравнение (1.4.2) с нулевой правой частью, то есть BX[U, v}=0 Vv Є С(П). (1.4.44) Так как множество C (Q) плотно в пространстве V2QX ), то равенство (1.4.44) имеет место для всех v Є V2.a{Q). Пусть функция и Є У2.а(П) удовлетворяет уравнению (1.4.44) и и1 Є У2а 1) - уравнению (1.4.43). Из равенства (1.4.44) при v = U1 = %,(X)R-1(X)F получим Вх[и, Щ] = 0, то есть Вх[и, Щ] = 0. Отсюда и из (1.4.43) следует, что {F,u)=0 (1.4.45) для всех F Є (У2-аі ) ) . Так как V2-dS ) вложено в ( 2га( ) ) , то полагая F = и из (1.4.45) имеем (и,и) = 0, то есть и = 0. Таким образом мы доказали, что уравнение (1.4.2) с нулевой правой частью при А Ао, где Ао - некоторое неотрицательное число, имеет только нулевое решение. Это и означает единственность решения задачи Dx.