Введение к работе
Актуальность темы. Теория ветвления нелинейных функциональных уравнений возникла в начале XX века в работах А.М.Ляпунова, Э.Шмидта и А.Пуанкаре .
Они показали, что задача о ветвлении решений нелиней -ных интегральных уравнений с аналитическими неиинейностя-ыи эквивалентна исследованию уравнения разветвления (УР)-конечномерной системы неявных функций. Предложенный ими метод построения УР получил название метода Ляпунова-Шмидта. Дальнейшее развитие теории ветвления содержится в работах А.К.Некрасова, Л.Лихтенштейна, Н.Н.Назарова, Дж. Кронин, І.1.!,і.Еайнберга, В.А.Треногина, І.І.А.Красносельского, В.И.Юдовича, Н.А.Сидорова, Б.Е.Логинова и других авторов.
Основополагающие результаты в теории устойчивости были получены А.І.І.Ляпуновым.
Ветвление решений Происходит, когда тривиальное (известное) решение теряет устойчивость при переходе определяющего ветвление параметра через критическое значение. Поэтому исследование прикладной задачи естественно считать завершенным, когда кроме'построения асимптотики разветвляющихся решений рассмотрен вопрос об их устойчивости (неустойчивости) .
Гопросы устойчивости разветвляющихся решении рассматривались В.И.ЮдоЕичем ("й;етод nmeaL изации в гидродинамической теории устойчивости". Изд. Ростовского ун-та. 1984 г.) и его учениками в гидродинамических .. приложениях, Н.А.&зди^оЕцм, Е.В.Логиновым, Х.Кильхе'Н'цхм, Р.Лаутербахом,
_ 4 -
А. Вандербауведе и другими авторами.
Глубокие исследования обобщенной жордановой структуры, выполненные Ю.Б.Русаком, позволили определить проекторы на корневые подпространства, сыгравшие ключевую роль в исследовании устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с вырожденным оператором при производной. Эти проекторы позволили также дать модификацию метода Ляпунова-Шмидта для изучения разветвляющихся решений, полезную также и в других задачах.
. Цель работы. I) Исследование на устойчивость решений дифференциальных уравнений с вырожденным оператором при производной.
2) Исследование устойчивости разветвляющихся периодических и стационарных решений нелинейных уравнений.
Методика исследования. В работе используются общая теория дифференциальных уравнений, методы нелинейного анализа, а также теория устойчивости.
Научная новизна и практическая ценность. Основные теоретические результаты диссертации развивают или обобщают известные случаи. Полученные результаты применяются к задаче о капиллярно-гравитационных волнах в слое жидкости над ровным дном.
Апробаг.ия работы. Основные результаті! работы доклад; вались на І'І Всесоюзно;"; конференции по качественной теории ди.;\-ерснгяалыи-х уравнений (г. Иркутск, ЕЦ СОЛИ, июль I0G6 г.), на УІ всесоюзном коллоквиуме по методам группою:о анализа (г.Епку, сентябрь І-Г'3'І-' г.), на кок'е-.-
реніїиях "Моделирование сложных механических систем (г.Ташкент, ТашГУ, сентябрь 1991г.), "Моделирование и исследование устойчивости процессов" (г.Киев, КГУ, май 1992г.), на научных семинарах: Института математики им. Романовского АН РУз (ноябрь 1992г.), профессора М.М.Хапаева (г.Москва, ВМК МГУ, январь 1993г.), а также на конференциях молодых ученых Института математики им. Романовского АН Узбекистана.
Публикаїтии. По теме диссертации опубликовано десять печатных работ (включая тезисы докладов).
Структура и объём работы. Диссертация изложена на 126 страницах машинописного текста и состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 109 наименований.