Устойчивость нулевого решения релейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя реле Лосев Андрей Александрович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Вводные определения и замечания 19

Глава 2. Доопределение приведённой системы на гиперплоскостях разрыва и на их пересечении 26

2.1 Существование движений на гиперплоскостях разрыва вне их пересечения 26

2.2 Уравнения движений на гиперплоскостях разрыва вне их пересечения 34

2.3 Существование движения на пересечении гиперплоскостей разрыва 36

2.4 Уравнения движения на пересечении гиперплоскостей разрыва 49

Глава 3. Устойчивость нулевого решения приведённой системы 52

3.1 Достаточные условия устойчивости 52

3.2 Достаточные условия неустойчивости 73

3.3 Суммирование полученных достаточных условий устойчивости и неустойчивости 81

3.4 Заключительные выводы о механизмах устойчивости и неустойчивости 82

Заключение 84

Список литературы 96

• Уравнения движений на гиперплоскостях разрыва вне их пересечения
• Уравнения движения на пересечении гиперплоскостей разрыва
• Достаточные условия неустойчивости
• Заключительные выводы о механизмах устойчивости и неустойчивости

Введение к работе

Актуальность и степень разработанности темы исследования. Диссертация является исследованием в области теории систем дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. В ней изучается устойчивость нулевого решения (определения см. ниже) системы вещественных обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя реле вида

п
Уг = Pi Sgnyi + Qi Sgn?/2 + / ^TijHj, І = 1, . . . ,П, (1)

І=1

при различных значениях параметров р\,... ,р_п, q\,... , q_n, rij, 1 ^ і, j ^ n, этой системы. Здесь n ^ 2; y\(t),... , y_n{t) – неизвестные функции времени t; yi обозначает производную di/i/dt, і = 1,... , щ (pi,... ,р_п)^т и (^i, , q_n)^T – заданные постоянные гг-мерные векторы (символ T обозначает транспонирование); (т^)1^^^_п - заданная постоянная (п х п)-матрица.

Математические основы теории устойчивости были заложены А. М. Ляпуновым.¹'²'³'⁴ В настоящее время в силу своей актуальности для современной теории дифференциальных уравнений и для приложений теория устойчивости включается в программы курсов дифференциальных уравнений для математических, физических и инженерных специальностей.⁵ Дифференциальные уравнения, рассматриваемые в работах А. М. Ляпунова, имеют непрерывные правые части.

Однако физические законы могут выражаться разрывными функциями, например, разрывная зависимость силы трения от скорости в случае сухого трения.⁶ Кроме этого, дифференциальные уравнения с разрывной правой частью получаются из дифференциальных уравнений с непрерывной правой частью при предельных переходах по параметру⁷

Релейные системы, то есть системы дифференциальных уравнений, правые части которых содержат выражения вида sgn(/(yi,... ,у_п)), где / - гладкая функция, изучались в связи с задачами теории автоматического управления начиная с середины 20 века.⁸'⁹'¹⁰

Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский¹¹ и Д. В. Аносов¹² изучали релейную систему,

¹ Ляпунов А.М. О постоянных движениях твёрдого тела в жидкости // Сообщ. Харьк. мат. о-ва. Сер. 2. 1888. Т. 1, № 1. С. 7-60.

²Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Харьков, 1892; М.; Л.: Гостехтеориздат, 1950.

³Ляпунов А.М. Об одном свойстве дифференциальных уравнений задачи о движении тяжёлого твёрдого тела, имеющего неподвижную точку // Сообщ. Харьк. мат. о-ва. Сер. 2. 1894. Т. 4, № 3. С. 123-140.

⁴Liapounoff A.M. Sur une serie dans la theorie des equations differentielles lineaires du second ordre a coefficients periodiques // Зап. Акад. наук по физ.-мат. отд. Сер. 8. 1902. Т. 13, № 2. С. 1-70.

⁵Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.

⁶Painleve P. Lecons sur le frottement. Paris: Hermann, 1895. Русск. пер.: Пэнлеве П. Лекции о трении. М.: Гостехиздат, 1954.

⁷Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 8, п. 3.

⁸Емельянов СВ., Уткин В.И., Таран В.А. и др. Теория систем с переменной структурой. М.: Наука, 1970.

⁹Емельянов СВ. Теория систем автоматического управления с переменной структурой: зарождение и начальный этап развития // Нелинейная динамика и управление. Сборник статей / Под ред. Емельянова СВ., Коровина С.К. М., 2004. Вып. 4. С. 5-16.

¹⁰ Уткин В.И. Короткий комментарий к методу А. Ф. Филиппова продолжения решения на границе
разрыва // Автомат. и телемех. 2015. Т. 76. № 5. С. 165-174.

¹¹ Болтянский В.Г., Понтрягин Л.С. Об устойчивости положения равновесия «релейной» системы
обыкновенных дифференциальных уравнений // Труды третьего всесоюзного математического съезда
/ Под ред. Никольского СМ. М.: Изд-во АН СССР, 1956. Т. 1. С. 217-218.

¹² Аносов Д.В. Об устойчивости положений равновесия релейных систем // Автомат. и телемех. 1959.

аналогичную (1), но с одним реле, имеющую вид

п
Уг = Pi Sgn Ці + У ^"ijl/j, І = 1, . . . ,П, (2)

і=і

с точки зрения устойчивости её нулевого решения. Полное исследование вопроса было первоначально проведено Л. С. Понтрягиным и В. Г. Болтянским. Д. В. Аносову удалось найти более простое решение задачи.

Пользуясь обозначением d для оператора дифференцирования, релейную систему (2) можно записать в виде

п

di/i — У Tijijj = pi sgn уі, і = 1,..., п.

Исключая отсюда у2, , у_п, получим

K(d)yi + ML(d) sgn у! = 0, (3)

где М - вещественное число, K(d) и L(d) - многочлены:

K(d) = dⁿ + aid!^1- + ..., L(d) = dⁿ-^r + I3\dⁿ-^r- + ...

(не исключено L(d) = 0). Заметим, что само по себе соотношение (3) не имеет смысла, так как функция sgnyi разрывна и недифференцируема при у\ = 0. Поэтому, когда пишут уравнение (3), то имеют в виду, что рассматривается система (2) и что (3) есть формальная запись этой системы.

В работе Д. В. Аносова доказаны следующие необходимые, а также достаточные условия устойчивости нулевого решения системы (2).

В случае г = 1 для устойчивости необходимо, чтобы было М > 0 и чтобы многочлен L(d) не имел корней справа от мнимой оси и достаточно, чтобы сверх того все корни многочлена L(d) находились слева от мнимой оси.

В случае г = 2 к этим необходимым условиям добавляется ещё условие а\ ^ /Зі, а к достаточным - условие а\ > f3\.

В случае г ^ 3 или L(d) = 0 всегда имеет место неустойчивость.

В своей статье Д. В. Аносов рассматривает систему

п

Уг = РіЯІУі, N) + У Tijyj, і = 1,..., п,

3 =1

где д = д(у\, N) - непрерывная функция, удовлетворяющая следующим условиям:

1. д(у\, N) = — 1 при ух ^ a(N) < 0, g(yi, N) = 1 при у\ ^ /3(iV) > 0;

2. на отрезке [a(N), f3(N)] функция д монотонно возрастает и удовлетворяет соотношению |Дд| ^ K(N)|Ayi|, где K(N) —> +оо при Л^ —> +оо.

Т. 20, № 2. С. 135-149.

Неформально говоря, функция g(yi, N) - это непрерывное приближение к sgnyi, тем лучшее, чем больше N. Осуществляя предельный переход в последней системе при N —> +оо, Д. В. Аносов получает систему (2) (вместе с доопределением этой системы на гиперплоскости у\ = 0). Здесь речь идёт лишь о предельном переходе в некоторой окрестности гиперплоскости у\ = 0. Также Д. В. Аносов показывает, что любой конечный (в смысле времени) отрезок фазовой траектории приближается при N —> +оо к некоторой кривой, которая оказывается отрезком траектории системы (2).

А. Ф. Филиппов изучал¹³'¹⁴ двумерную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, правые части которых являются суммами двух кусочно непрерывных слагаемых, одно из которых разрывно на одной гладкой линии, другое - на другой, и эти линии пересекаются под ненулевым углом. Если сделать замену переменных так, чтобы эти две линии стали осями координат, то система примет вид

Уі = іі(Уі7 2/2) + 9і(Уі7 2/2 )> 2=1,2; (4)

функции fi разрывны только на оси Ог/2, д% - только на Оу\. На линиях разрыва используется простейшее выпуклое доопределение по Филиппову.¹⁵ Исследуется поведение решений системы (4) вблизи точки пересечения линий разрыва. Рассматриваемая нами релейная система (1) при п = 2 является частным случаем системы (4) (можно взять fi(yi} 2/2) = Pi sgnyi + Гцу\, Qi(2/1,2/2) = Qi sgn г/2 + ?"г22/2, і = 1,2). Из результатов А. Ф. Филиппова¹³'¹⁴ получается полный ответ на вопрос об устойчивости нулевого решения двумерной релейной системы (1), параметры которой принадлежат открытому всюду плотному множеству в пространстве параметров этой системы, указанному в формулировке утверждения 3.1. (При п = 2 исходная релейная система (1) уже является приведённой, определение приведённой системы см. ниже.) Его результаты дают в частном случае при п = 2 утверждения случаев (i)-(v) теоремы 3.1, случаев (i)-(ii) теорем 3.2 и 3.3, а также утверждение теоремы 3.4.

Р. И. Алидема рассматривал¹⁶'¹⁷ двумерную систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

2/1 = а + b sgn 2/1 + с sgn г/2,

(5) г/2 = d + е sgn 2/1 + / sgn г/2,

где а,Ь,... , / - непрерывно дифференцируемые в окрестности начала координат функции от 2/i,2/2. На линиях у\ = 0 и г/2 = 0 разрыва правых частей уравнений системы (5) используется простейшее выпуклое доопределение по Филиппову. Р. И. Алидема исследовал устойчивость нулевого решения системы (5) в случаях, когда коэффициенты рядов Тейлора функций а,Ь,..., / с центром в начале координат удовлетворяют некоторым условиям типа равенств. Рассматриваемая нами релейная система (1) при п = 2 является частным случаем системы (5) с а(г/і,г/2) = fnyi + ^122/2, ^(2/1,2/2) = Pi, (2/1,2/2) — 9i, ^(2/1,2/2) = ?"2i2/i + r222/2, е(г/і,г/2) = Рг, /(2/1,2/2) = Q2. Результаты Р. И. Алидемы¹⁶ дают

¹³ Филиппов А.Ф. Исследование системы дифференциальных уравнений с двумя пересекающимися линиями разрыва // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат., мех. 1979. № 6. С. 68-75.

¹⁴Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 20, п. 3.

¹⁵Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью // Матем. сб. 1960. Т. 51 (93), № 1. С. 99-128.

¹⁶ Алидема Р.И. Исследование устойчивости системы с двумя линиями разрыва в критических случаях
первого порядка // Publ. Inst. Math. 1979. V. 26 (40). P. 19-25.

¹⁷ Алидема P.И. Исследование устойчивости системы с двумя линиями разрыва в критических случаях
второго порядка. II // Вестн. ЛГУ. 1985. № 15. С. 3-10.

в частном случае при п = 2 утверждение случая (iii) теоремы 3.2 и часть утверждения случая (iii) теоремы 3.3.

Цель работы. Целью работы является изучение устойчивости нулевого решения системы вещественных обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя реле вида (1) при различных значениях параметров р\,... ,р_п, q\,... , q_n, г^, 1 ^ i, j ^ п, п ^ 2, этой системы.

Методы исследования. В работе используются методы теории систем дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями, методы качественной теории систем дифференциальных уравнений и теории устойчивости.

Основные результаты диссертации. Если А := рщ2 —P2Q1 ф О, то, вычитая из всех уравнений системы (1), начиная с третьего, первые два с подходящими коэффициентами, её можно привести к виду

Х\ = а\ sgnxi + Ъ\ sgnx2 + / cijxj>

п
Х2 = 0-2 SgnXi + &2 SgnX2 + / c2j%j, (6)

І=1

п

Хі = У cijxj> і = 3,... ,п (если п = 2, то этих уравнений нет).

і=і

При этом Xk = Ук, Ok = Рк, bk = Qk, к = 1, 2, А = аі&2 ^— Я2^і. Релейную систему вида (6) мы будем называть приведённой. Если п = 2, то рассматриваемая система (1) изначально имеет вид (6), т.е. является приведённой.

В настоящей диссертации получены следующие основные результаты:

1) Полностью исследована устойчивость нулевого решения приведённой системы для
открытого всюду плотного множества в пространстве параметров а\, Ь\, 02, &2> Су,

1 ^ h J' ^ ^п) этой системы, заданного неравенствами А ф 0, а\ + Ъ\ ф 0, —0\ + Ъ\ ф О,

02 + &2 Ф 0, —02 + &2 Ф О и, если \о\\ < \Ь\\, |&2І < |^2І, ^2^1 < О, то дополнительно

г := ai|a21 + &2І&і| ф 0 (случаи (i)–(v) теоремы 3.1, случаи (i)-(ii) теорем 3.2 и 3.3, теорема 3.4, утверждение 3.1).

2) Частично решён вопрос об устойчивости нулевого решения для множества при
ведённых систем, параметры которых принадлежат одной из следующих гранич
ных гиперповерхностей вышеупомянутого открытого всюду плотного множества:
{а\ + Ь\ = 0}, {—а\ + Ь\ = 0}, {аг + &2 = 0}, {—02 + &2 = 0} (случаи (vi)-(ix)
теоремы 3.1, теорема 3.2, теорема 3.3).

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно, обоснованы строгими и подробными математическими доказательствами.

Результаты диссертации являются обобщением результатов Л. С. Понтрягина, В. Г. Болтянского¹¹ и Д. В. Аносова¹² на случай релейной системы с двумя реле, а также результатов А. Ф. Филиппова¹³'¹⁴ и Р. И. Алидемы¹⁶'¹⁷ на случай произвольной размерности системы обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями вида (1).

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся основные результаты диссертации:

3. Полностью исследована устойчивость нулевого решения приведённой системы для открытого всюду плотного множества в пространстве параметров а\, Ь\, й2, &2, Су, 1 < h J' ^ ^п) этой системы, заданного неравенствами А ф О, а\ + Ъ\ ф О, — а і + &і ^ О, аг + ^ / 0, —аг + &2 7^ 0 и, если |аі| < |Ьі|, |&2І < |^2І, &Ф\ < О, то дополнительно г := аі|«21 + &2І&1І 7^ 0 (случаи (i)-(v) теоремы 3.1, случаи (i)-(ii) теорем 3.2 и 3.3, теорема 3.4, утверждение 3.1).

4. Частично решён вопрос об устойчивости нулевого решения для множества приведённых систем, параметры которых принадлежат одной из следующих граничных гиперповерхностей вышеупомянутого открытого всюду плотного множества: {а\ + b\ = 0}, {—d\ + b\ = 0}, {й2 + 62 = 0}, {—U2 + 62 = 0} (случаи (vi)-(ix) теоремы 3.1, теорема 3.2, теорема 3.3).

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер. Полученные результаты относятся к теории систем дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Все полученные в диссертации результаты сформулированы в виде строгих математических утверждений и обоснованы строгими и подробными математическими доказательствами. Результаты работы могут использоваться в исследованиях устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями, в том числе возникающих в прикладных задачах, ведущихся в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН, Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова, Институте математики и механики им. Н. Н. Красовско-го УрО РАН, Московском физико-техническом институте. Результаты диссертации могут также найти применение при чтении специальных курсов по дифференциальным уравнениям и теории устойчивости для студентов, магистрантов и аспирантов математических, физических и инженерных специальностей.

Степень достоверности и апробация результатов работы. Результаты диссертации являются достоверными, обоснованы строгими и подробными математическими доказательствами, опубликованы в четырёх печатных работах автора [1, 2, 3, 4], из них две [1, 2] - в журналах, входящих в перечень рецензируемых научных изданий ВАК, две [3, 4] - в тезисах международных конференций. Работ, написанных в соавторстве, автор не имеет.

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

Международная конференция «Системы Аносова и современная динамика», посвящённая 80-летию со дня рождения Д. В. Аносова (г. Москва, 19-23 декабря 2016 г.);

Международная школа-конференция «Соболевские чтения» (г. Новосибирск, 18-22 декабря 2016 г.);

Всероссийский научно-исследовательский семинар «Нелинейная динамика и управление» (МГУ им. М. В. Ломоносова, 2016 г.);

Семинар «Проблемы нелинейной динамики: качественный анализ и управление» под руководством акад. РАН С. В. Емельянова (кафедра нелинейных динамических систем и процессов управления факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова, 2016 г.);

Семинар отдела математической физики Математического института им. В. А. Стек-лова РАН под руководством чл.-корр. РАН И. В. Воловича (2016 г.);

Семинар «Проблемы математической теории управления» под руководством чл.-корр. РАН С. М. Асеева, д. ф.-м. н., проф. М. С. Никольского (Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2015 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырёх печатных работах автора [1, 2, 3, 4], из них две [1, 2] - в журналах, входящих в перечень рецензируемых научных изданий ВАК, две [3, 4] - в тезисах международных конференций. Работ, написанных в соавторстве, автор не имеет. Список работ, опубликованных автором по теме диссертации, приведён в конце автореферата.

Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и списка иллюстративного материала. В заключении имеется таблица 1, в которой сведены результаты исследования устойчивости нулевого решения приведённой системы, полученные в настоящей диссертации. Все теоремы, леммы, следствия, утверждения, а также занумерованные замечания и определения в диссертации имеют двойную нумерацию. Первое число (1,2 или 3) обозначает номер главы, второе -номер соответствующего утверждения или определения внутри главы. Формулы в настоящей работе нумеруются следующим образом. Во введении и в заключении используется одинарная нумерация, в основном тексте - двойная. Первое число (1,2 или 3) обозначает номер главы, второе - номер формулы внутри главы. Список литературы содержит 33 наименования. Список иллюстративного материала содержит 1 наименование (таблицу 1). Общий объём текста - 99 страниц.

Уравнения движений на гиперплоскостях разрыва вне их пересечения

Правые части уравнений этой системы разрывны на гиперплоскостях у\ = 0 и у2 = 0.

Перейдём к изложению наиболее часто используемых определений решения системы дифференциальных уравнений с кусочно непрерывными правыми частями. В изложении этих определений мы будем следовать книге А. Ф. Филиппова [27]. Всюду в настоящей работе пространство Шп рассматривается со стандартной топологией. Обозначим через у точку пространства Шп с координатами yi}... , уп.

Вектор-функция f(y) называется кусочно непрерывной в конечной области G С Шп, если область G состоит из конечного числа областей Gi (і = 1,...,/), в каждой из которых функция / непрерывна вплоть до границы, и множества М меры нуль, состоящего из точек границ этих областей. Функция непрерывна в области вплоть до границы, если она непрерывна в этой области и, кроме того, при приближении к каждой точке границы стремится к конечному пределу, возможно, к разным пределам для разных граничных точек. Если область G бесконечна, то в определении кусочно непрерывной функции разрешается разбивать область G на бесконечное число областей Gi, однако каждая ограниченная часть области G должна пересекаться лишь с конечным их числом. fc-мерной гиперповерхностью в m-мерном пространстве будем называть такое множество S, что в окрестности каждой его точки а все координаты точек множества S являются непрерывными функциями каких-либо к из этих координат, изменяющихся в некоторой к-мерной области Gk(a). Например, УІ = Рі(уі,, у к) Є С, г = к-\-1,... , га; (у\,... , у к) & Gk(a). Если все ifi принадлежат Ср, то есть имеют непрерывные производные до порядка р включительно, то гиперповерхность S принадлежит классу Ср. Гиперповерхности класса С1 называются гладкими. Если все функции ifi линейны, а область Gk(a) есть fc-мерное пространство, то гиперповерхность называется гиперплоскостью. Одномерная гиперповерхность есть линия.

Числа и точки пространства Шп везде далее будем обозначать малыми буквами (за исключением начала координат пространства Шп с координатами у\,... ,уп или х\,... ,хп, которое будем обозначать большой буквой О), а множества и матрицы - большими.

Множество А С Шп называется выпуклым, если для любых двух его точек а и b все точки отрезка, соединяющего а и 6, принадлежат этому множеству, т.е. если для любых a, b Є А, а Є [0,1] имеем: аа + (1 — а)Ъ Є А.

Наиболее часто используемые определения решения системы дифференциальных уравнений с кусочно непрерывными правыми частями могут быть изложены следующим образом. Система дифференциальных уравнений в векторной записи у = f (у) с кусочно непрерывной вектор-функцией f(y) заменяется дифференциальным включением вида у Є F(y).

Определение. Решением дифференциального включения у Є F(y) называется абсолютно непрерывная вектор-функция y(t), определённая на интервале или отрезке /, для которой почти всюду на / y(t) Є F(y(t)). Рассмотрим систему в векторной записи У = f(y)) (1.3) где вектор-функция f(y) кусочно непрерывна в области G С ]Rra; у Є G, у = dy/dt; М -множество (меры нуль) точек разрыва функции /. Для каждой точки у Є G указывается множество F(y) С Шп. Если в точке у функция / непрерывна, то множество F(y) состоит из одной точки, совпадающей со значением функции / в этой точке. Если у - точка разрыва функции /, то множество F(y) задаётся тем или иным способом. Решением системы (1.3) называется решение дифференциального включения у Є F(y). Определение 1.1 (простейшее выпуклое доопределение по Филиппову, см. [26]). Для каждой точки у Є G пусть F\{y) - наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее все предельные значения вектор-функции f(y ), когда у М, у — у. Решением системы (1.3) называется решение включения у Є Fi(y).

В точках непрерывности функции / множество F\(y) состоит из одной точки f(y) и решение удовлетворяет системе (1.3) в обычном смысле. Если точка у Є М лежит на границах двух или нескольких областей G\,... , Gk, то множество Fi(y) есть отрезок, выпуклый многоугольник или многогранник с вершинами fi(y), і к, где fi(y) = Иту еа,у -у 1(у ). Все точки fi(y), і = 1, к, содержатся в F\(y), но не обязательно, чтобы все они являлись вершинами.

Доопределение методом эквивалентного управления применяется к системам, имеющим в векторной записи вид у = f(y,U\(y),... ,иг(у)), (1.4) где у Є Кга, вектор-функция f(y,Ui,... ,иг) непрерывна по совокупности аргументов, а скалярная функция щ(у) разрывна только на гладкой поверхности Si ( fi(y) = 0), і = 1,..., г. Допускаются пересечения и даже совпадения этих поверхностей.

В точках, принадлежащих одной или одновременно нескольким поверхностям, например, поверхностям Si,..., Sm, 1 т г, полагают (если решение не может мгновенно сойти с такой поверхности или с пересечения этих поверхностей) у = f(y, щд(у),..., и (у), um+i(y),... ,иг(у)), (1.5) где эквивалентные управления щд(у),... ,и (у) определяются так, чтобы вектор / в (1.5) касался поверхностей Si,... , Sm и чтобы значение щд(у) содержалось в отрезке с концами и (у), и 1 (у), где и , и 1 - предельные значения функции щ с обеих сторон поверхности Si, і = 1,... , т. Таким образом, функции иед{у), г = 1,... , т, определяются из системы уравнений V /?i(y) f(y, щд(у),...,и (у), um+i(y),..., иг(у)) = 0, і = 1,..., т. Здесь V(/?i(y) = (d i(y)/dyi,..., dtpi{y)/дуп), і = 1,..., га; обозначает скалярное произведение векторов.

Определение 1.2 (доопределение методом эквивалентного управления, см. [24]). Решением системы (1.4) называется абсолютно непрерывная вектор-функция у it), определённая на интервале или отрезке I, которая вне поверхностей Si удовлетворяет системе (1.4), а на этих поверхностях и их пересечениях - уравнениям вида (1.5) (при почти всех t).

Сведём систему (1.4), доопределённую указанным образом, к дифференциальному включению. Для каждой точки у Є W1 введём множества Ui(y), і = 1,... , г. Если функция щ непрерывна в точке у, то Ui(y) состоит из одной точки щ{у). Если функция щ разрывна в точке у, то Ui(y) - отрезок с концами и (у) и и 1(у). Пусть F2(y) = f(y, U\(y),..., Ur(y)) -множество значений функции f(y, щ,... , иг), когда у постоянно, а щ,... , иг независимо друг от друга пробегают соответственно множества U\(y),... , Ur(y). Тогда система (1.4), доопределённая методом эквивалентного управления, сводится к дифференциальному включению у Є F2(y). Правая часть (1.5) есть вектор с концом в точке пересечения множества F2(y) с касательной к пересечению поверхностей Si,..., Sm.

Общее доопределение по Айзерману - Пятницкому, как и доопределение методом эквивалентного управления, применяется к системам вида (1.4), где у Є Кга, вектор-функция f(y,Ui,... ,иг) непрерывна по совокупности аргументов, а скалярная функция щ(у) разрывна только на гладкой поверхности Si ( Рг(у) = 0), г = 1,... , г. Допускаются пересечения и даже совпадения этих поверхностей.

Определение 1.3 (общее доопределение по Айзерману - Пятницкому, см. [1]). Пусть Ui(y), і = 1,... , г, и F2(y) те же, что и в определении 1.2, а Fs(y) - наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее множество F2(y). Решением системы (1.4) называется решение дифференциального включения у Є Fa(y).

Уравнения движения на пересечении гиперплоскостей разрыва

Доказательство (леммы 2.5). Пусть существует открытое множество W такое, что а) Wi2 = W П {х\ = 0, Х2 = 0} ф 0; б) жі 0 или ж2І 0 на каждом из множеств W П {х\ 0, Х2 0}, W П {х\ 0, Х2 0}, W П {х\ 0, Х2 0}, W П {х\ 0, Х2 0}; в) существуют такие множества J, К, что W\ := W П {жі = 0, Х2 ф 0} С Ji U Xi (до пускается, что одно из объединяемых множеств пусто), где J\ := J П {жі = 0, Ж2 т 0}, і ! := X П {жі = 0, Ж2 т 0}, 1 21 0 при движении на множестве J\ и нигде на множестве К\ не существует движения; г) существуют такие множества L, М, что И := VK П {жі т 0, Ж2 = 0} С L2 U М2 (до пускается, что одно из объединяемых множеств пусто), где Ь2 := L П {жі ф 0, Ж2 = 0}, Мг := МП {жі т 0, Х2 = 0}, жі 0 при движении на множестве L2 и нигде на множестве Мг не существует движения. (Непустота W П {жі 0, Х2 0}, VK П {х\ 0, Жг 0}, VK П {х\ 0, Жг 0}, VK П {х\ 0, Ж2 0}, W\, W2 следует из открытости W и условия а).)

Тогда решение приведённой системы с начальным значением на множестве W\2 не может мгновенно покинуть это множество. В самом деле, W открыто и функции X\(t),... ,xn(t) непрерывны. Поэтому рассматриваемое решение не может мгновенно покинуть множество W. Выйти из W\2 в множество W П {х\ ф 0, Х2 ф 0} решение не может в силу условия б). Условия в), г) не позволяют решению выйти из W\2 в множества W\ и W2 соответственно. Итак, решение приведённой системы с начальным значением на множестве W\2 в течение некоторого промежутка времени двигается по этому множеству и в приведённой системе всюду на множестве W\2 существует движение.

Перейдём к построению множества W со свойствами а)-г) в каждом из случаев, указанных в настоящей лемме.

При Х\ ф О, Х2 ф 0 имеем: Xi = a sgnxi + bjSgna + СІ(Х), \ХІ\ = i sgna , і = 1,2, и \Х\\ = Сі\ + Ь\ Sgn(x\X2) + (sgnX\)Ci(x), 2 І = «2 Sgn i ) + &2 + (sgn З С ж). 1. На множестве А из формулировки утверждения 1 имеем ж2І 0, на множестве В имеем жі 0. Так как A U В D {х\ ф 0, Х2 ф 0, Сг(з ) — &2 — &2 Сі(ж)І аі + і}, то int A U і? I) {С2(ж) — й2 — 6г, Сі(ж) аі + &і}. Учитывая, что аг + &2 0, аі — b\ 0, заключаем отсюда, что О Є int A U В. Значит, int A U В - окрестность начала координат. При этом (int A U В) П {жі 0, Х2 0} = (A U 5) П {жі 0, Х2 0} = А П {жі 0, жг 0}, (int A U 5) П {#1 0, Х2 0} = А П {х\ 0, Ж2 0}, (int A U В) П {жі 0, Ж2 0} = В П {жі 0, Х2 0}, (int A U В) П {жі 0, Х2 0} = В П {жі 0, Х2 0}. Отсюда следует, что пересечения множеств, стоящие в правых частях этих четырех равенств, непусты и (int AU В) Г) {х\ ф 0, Х2 ф 0} = Аи В. Итак, на пересечении окрестности int A U В начала координат с каждой из координатных четвертей {х\ 0, Х2 0}, {х\ 0, Х2 0}, {х\ 0, Х2 0}, {х\ 0, Х2 0} имеем \х\\ 0 или 21 0. Так как А ф 0, \Ь\\ \а\\ —ci\ и аг І&2І —&2, то выполнены условия утверждения 2а леммы 2.1 и условия утверждения 2 леммы 2.2. Пусть V(i), V(2) - окрестности начала координат из формулировок этих утверждений соответственно, U - множество (2.3). Поскольку int A U В, V(i), V(2) – окрестности начала координат, U - тоже окрестность начала координат, а значит, U П {жі ф 0, Х2 ф 0} ф 0, U Г) {х\ = 0, Х2 ф 0} ф 0, U Г) {х\ ф 0, Х2 = 0} ф 0, U Г) {х\ = 0, Х2 = 0} ф 0. Так как U П {жі т 0, Х2 ф 0} С (int AU В) Г) {х\ ф 0, Х2 ф 0} = Аи В, то на пересечении множества U с каждой из координатных четвертей имеем \х\\ 0 или ж2І 0. В силу того, что ІІГ\{хі = 0, Х2 ф 0} С У(і)Гі{жі = 0, Х2 ф 0}, из случая (а) утверждения 2 леммы 2.1 получаем, что в приведённой системе нигде на множестве ІІГ\{хі = 0, Х2 ф 0} не существует движения. Поскольку U П {Х\ ф 0, Х2 = 0} С V{2) П {Жі 7 0, Х2 = 0}, из утверждения 2 леммы 2.2 следует, что в приведённой системе нигде на множестве 11Г\{х\ ф О, Х2 = 0} не существует движения. Итак, окрестность U начала координат удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к множеству W в начале доказательства настоящей леммы (можно взять J = 0, К = V(i), L = 0, М = V )), и можно положить W = U. Рассуждение в начале доказательства настоящей леммы показывает, что окрестность U начала координат такова, что в приведённой системе всюду на множестве U\2 = ІІГ\{х\ = 0, Х2 = 0} существует движение. 2. Утверждение 2 сводится к утверждению 1 преобразованием (х\,Х2,х) ь- (—Х\,Х2,х). Можно взять те же множества J, К, L, М, что и в утверждении 1. 3. Пусть множество А то же, что в утверждении 2, а множество В то же, что в утверждении 1. Тогда на каждом из множеств А и В имеем \х\\ 0. Так как A U В D {х\ ф 0, 2 ф 0,Сі(ж) —а,\ — &i}, то int A U В D {\Ci(x)\ —а\ — \Ъ\\}. Учитывая, что &i — а\, заключаем отсюда, что О Є int A U В. Значит, int A U В - окрестность начала координат. Отсюда так же, как в утверждении 1, получаем, что А П {х\ 0, Х2 0} ф 0, А П {х\ 0, Х2 0} ф 0, В П {х\ 0, Х2 0} ф 0, В П {х\ 0, Х2 0} ф 0. Итак, на (int A U В) П {х\ ф 0, Х2 ф 0} = АиВ имеем \х\\ 0. Так как А ф 0 и Ьі —аі, то выполнены условия утверждения 1а леммы 2.1. Поскольку А 0 и аг — &2, то выполнены условия утверждения 2 леммы 2.2. Пусть /(i), V ) – окрестности начала координат из формулировок этих утверждений соответственно. Рассмотрим множество С, определенное в (2.5). Так как A/ai 0, то О Є С. Поскольку С D {\С2і(х) — (a2/di)C1 (x)\ — A/ai} и A/ai 0, у точек множества С с координатой Х2 = 0 существует окрестность, которая вложена в С. Так как A/ai 0, то неравенство, определяющее пересечение С П {х2 0}, выполнено всюду в достаточно малой окрестности начала координат и С П {жг 0} т 0. Аналогично С П { 2 0} ф 0. Поэтому окрестность, вложенная в С, существует и у точек множества С с координатой Х2 ф 0. Отсюда получаем, что С открыто. Таким образом, С - окрестность начала координат. Рассмотрим множество U, определенное в (2.4). Так как int A U В, U(i), С, V{2) - окрестности начала координат, то U также является окрестностью начала координат. Отсюда U П {х\ = 0, Х2 = 0} ф 0, U П {х\ = 0, Х2 ф 0} ф 0, U П {х\ ф 0, Ж2 = 0} ф 0, [/ П {х\ ф 0, Х2 ф 0} ф 0

Достаточные условия неустойчивости

Так как А 0 и \Ь\\ —а\, то выполнены условия случая (а) утверждения 2 леммы 2.1. Пусть V(i) - окрестность начала координат из формулировки этого случая. Согласно этому утверждению в приведённой системе нигде на множестве V(i) П {Х\ = 0, Х2 ф 0} не существует движения. Поскольку А/Ои 10.21 — &2, то выполнены условия утверждения 1 леммы 2.2. Пусть U ) – окрестность начала координат из формулировки этого утверждения, Va0 - множество (3.2). Тогда, как показано в доказательстве случая (i) настоящей теоремы, int Va0 - окрестность начала координат, Wa0ti30 0!оА/(4б2) 0 при движении на множестве 0 ф U{2) П (int Va0) П {х\ ф 0, Х2 = 0} = [/(2) П Va0 П {х\ ф 0, Х2 = 0}. Пусть множества А, В и окрестность D начала координат те же, что и в утверждении 4 леммы 2.5. Тогда, как показано в этом утверждении, int A U В - окрестность начала координат. (При п = 2 рассуждение, обосновывающее этот факт, такое же, как и при п 3.) Пусть Р, Q - окрестности начала координат, определенные в (3.3). Определим окрестность S начала координат:

S := (int A U В) П V(i) П f/(2) flDnPnQn (int Va0 0) П (int Va0). В силу того, что Д 0, &i —OSl, аг — &2, S П {х\ = 0, Ж2 = 0} С (int A U В) П V(i) П [/(2) П Д П {жі = 0, Х2 = 0}, из утверждения 4 леммы 2.5 получаем, что в приведённой системе всюду на множестве S П {х\ = 0, Х2 = 0} существует движение. Из этого факта так же, как в доказательстве случая (i), делаем вывод, что на S П {х\ = 0, Х2 = 0} движение описывается системой уравнений (2.8). Так как 0 ф S П {х\ ф 0, Ж2 т 0} С (int 1а0)/з0) П {Х\ ф 0, Х2 ф 0} = Va0 0, Wa0ti30 М/4 0 на Va0ti30, 0 Ф S Г) {х\ ф 0, Х2 = 0} С [/(2) П (int V 0) П {х\ ф 0, Х2 = 0} = [/(2) П Va0 П {жі т 0, Х2 = 0}, Wa0t[30 Q!oA/(4b2) 0 при движении на U{2) П Va0 П {х\ ф О, Х2 = О}, то Wa0 0 М/4 О на множестве S \ ({х\ = О, Х2 = 0} U {х\ = О, Х2 ф 0}) = S \ {х\ = 0} ф 0, где -г- Г А1 Г. 7n/ 1 М := тах М, «от = mcLX ао(а\ + Oi) + ро(&2 + Рг), ско( і — Оі) + Ро(—&2 + Рг), &ог } "2 2 При достаточно малом с 0 подокрестность начала координат {И д с} содержится в S, и поэтому на множестве {И д с} \ ({жі = 0, Х2 = 0} U {х\ = 0, Х2 ф 0}) = {И д с} \ {жі = 0} ф 0 справедлива оценка Wa0 0 М/4 0. Так как 0 ф {Wa0,p0 с} П {Х\ = 0, Х2 ф 0} С S Г) {Х\ = 0, Х2 ф 0} С V(i) П {Жі = 0, Х2 ф 0} и в приведённой системе нигде на V(i) П {жі = 0, Жг ф 0} не существует движения, то в приведённой системе нигде на множестве {И д с} П {х\ = 0, Х2 ф 0} тоже не существует движения. Поэтому из последней оценки следует, что на множестве {И о0Д с} \ {Х\ = 0, Х2 = 0} траектории приведённой системы протыкают поверхности (при п = 2 линии) уровня функции Wa0ti30 извне вовнутрь. Далее доказательство завершается точно так же, как в случае (i). (iii) Так как А ф 0 и Ьі —а\, то выполнены условия случая (а) утверждения 2 леммы 2.1. Пусть V(i) - окрестность начала координат из формулировки этого случая. Согласно этому утверждению в приведённой системе нигде на множестве V(i) П {х\ = 0, Х2 ф 0} не существует движения. Так как А ф 0 и аг — &2, то выполнены условия утверждения 2 леммы 2.2. Обозначим через V ) окрестность начала координат из формулировки этого утверждения. В соответствии с этим утверждением в приведённой системе нигде на множестве V(2) П {х\ ф 0, Х2 = 0} не существует движения. Пусть множества А, В те же, что и в утверждении 1 леммы 2.5. Как показано в этом утверждении, intAUB - окрестность начала координат. (При п = 2 обоснование этого факта такое же, как и при п 3.) Пусть Р, Q - окрестности начала координат, определенные в (3.3). Определим окрестность S начала координат: S := (int A U В) П V(i) П V(2) Г) Р Г) Q Г) (int 1«0д). В силу того, что ai &1, &2І 2, 0 Ф S Г) {х\ = 0, Х2 = 0} С (int АиБ) П V(i) П V(2) П {х\ = 0, Ж2 = 0}, из утверждения 1 леммы 2.5 получаем, что в приведённой системе всюду на множестве S П {х\ = 0, Х2 = 0} существует движение. Из этого факта так же, как в доказательстве случая (i), делаем вывод, что на S П {х\ = 0, Х2 = 0} движение описывается системой уравнений (2.8). Так как 0/5П {Х\ ф 0, Х2 ф 0} С (int Va0,p0) П {Х\ ф 0, Х2 ф 0} = Va0ti30 и Wa0ti30 М/4 0 на Va0ti30, то эта оценка справедлива и на множестве S П {жі ф 0, Х2 ф 0} Ф 0. При достаточно малом с 0 подокрестность начала координат {И д с} содержится в S, а значит, Wa0 0 М/4 0 на {И д с} П {жі ф 0, Х2 ф 0}. Так же, как в случае (ii) настоящей теоремы, доказывается, что в приведённой системе нигде на множестве {М а0Д с} П {х\ = 0, Х2 ф 0} не существует движения. Аналогично в приведённой системе нигде на множестве {И д с} П {х\ ф 0, Х2 = 0} тоже не существует движения. Далее доказательство завершается точно так же, как в случае (ii), но с заменой М на М. (iv) Случай (iv) сводится к случаю (ii) преобразованием (х\,Х2,х) ь- (х2,Х\,х). (v) Случай (v) сводится к случаю (iii) заменой (х\,Х2,х) ь- (—Х\,Х2,х). (vi) Исследуем сначала случай аг — &2. Так как п 2, А ф 0, аг — &2, то выполнены условия утверждения 1 леммы 2.2. Пусть [/(2) - окрестность начала координат из формулировки этого утверждения, Va0 - множество (3.2). Так же, как в доказательстве утверждения (i), устанавливаем, что int Va0 - окрестность начала координат, (int Va0) П {х\ ф 0} = Va0, при движении на множестве 0 ф 7(2) П (int V 0)n{xi ф 0,Х2 = 0} = и 2)ГіУа0Г){хі ф 0,Х2 = 0} имеем: Wa0t[30 Q!oA/(4b2) 0. Пусть D - множество из формулировки утверждения 4 леммы 2.5. Рассуждая так же, как в доказательстве этого утверждения, получаем, что D -окрестность начала координат.

Рассмотрим сначала подслучай п 3, (сіз, С\п) ф (0,... , 0), С\2 ф 0. Покажем, что в этом подслучае существует такая окрестность W начала координат (например, W = Т д0, см. ниже) и такие множества J, К (можно рассмотреть J = U П Vg0, К = V(i) U V(io)o, см. ниже), что W\ := W П {жі = 0, 2 ф 0} С U К\ (допускается, что одно из объединяемых множеств пусто), где J\ := J П {жі = 0, 2 т 0}, 7G := К П {жі = 0, 2 ф 0}, в приведённой системе всюду на множестве J\ есть движение, в котором производная функции И о0д отрицательна и отделена от нуля константой, нигде на множестве К\ не существует движения. Так как А ф 0, а\ + Ъ\ = 0, —аі + Ьі 0, п 3, (сіз, , с\п) ф (0,..., 0), то выполнены условия утверждения 1б леммы 2.1. Пусть [/(!) - множество из формулировки этого утверждения. Согласно этому утверждению в приведённой системе всюду на U П {х\ = 0, Х2 ф 0} существует движение. Следствие 2.1 устанавливает, что это движение описывается системой уравнений (2.1). Пусть Vp0 - множество (3.1). Так же, как в доказательстве утверждения (i), устанавливаем, что int Vg0 - окрестность начала координат, (intVg0) П {х2 ф 0} = Vp0, при движении на множестве U[\) П (int Vp0) П \х\ = 0, Х2 ф 0} = U[\) П Vg0 П \х\ = 0,Х2 ф 0} имеем: М а0./З0 А)А/(4яі) 0. Согласно утверждению 1б леммы 2.1 [/(і) П \х\ = 0, 2 т 0} ф 0. Кроме этого, при х Є [/(і) П {х\ = 0,Х2 ф 0} имеем: {7Ж : 0 7 1} t (i) П {жі = 0, Х2 ф 0}. Пусть С - множество из формулировки утверждения 3 леммы 2.5. Рассуждая так же, как в доказательстве последнего утверждения, получаем, что С - окрестность начала координат. Учитывая, что int Vg0 - окрестность начала координат, int Vg0 П {х2 ф 0} = V 0, получаем, что [/(1) Г) С Г) Vj30 П {Х\ = 0, Х2 ф 0} = [/(і) Г) С Г) (int Vg0) П {жі = 0, Х2 ф 0} ф 0.

Итак, при движении на множестве 0 ф U П (int Vg0) П {х\ = 0, Х2 ф 0} = [/(і) П Vg0 П {х\ = 0, 2 т 0} имеем: Wa0 0 /ЗоД/(4аі) 0. В силу того, что п 2, А ф 0, а\ -\- b\ = 0, —а\ + + 61 0, (сі2, С\п) ф (0,... , 0), имеем, что выполнены условия утверждения 2б леммы 2.1. Пусть V(i) - множество из формулировки этого утверждения. Согласно этому утверждению в приведённой системе нигде на V(i) П {х\ = 0, Х2 ф 0} ф 0 не существует движения. Поскольку А т 0, ai + b\ = 0, — а\ + 61 0, й2 + &2 0, п 3, (сіз, cin) 7 (0, 0), С12 7 0, то выполнены условия утверждения 3а (при с\2 0) и утверждения 3б (при с\2 0) леммы 2.1. Пусть V(io) - окрестность начала координат из формулировки утверждения 3а (при С\2 0) и утверждения 3б (при С\2 0) леммы 2.1. Положим V(io)o := У(Щ {С\{х) = 0}. Согласно этим утверждениям в приведённой системе нигде на V(io)o П {х\ = 0,Х2 ф 0} ф 0 не существует движения.

Заключительные выводы о механизмах устойчивости и неустойчивости

Тогда в области А++ := і П {жі 0, Ж2 0} имеем г і;2(ж) = г» + о(1) f /4 0. (В этой формуле либо всюду берется индекс 1, либо всюду индекс 2.) Так как в области А++ выполнены неравенства Х\ 0, X\t2 0, то решение приведённой системы с начальным значением в А++ не мож ет выйти из этой области через гиперплоскость Х\ = 0 или Х2 = 0.

В силу того, что в области А++ имеем Х\ є, Х\ f +/4 0, рассматриваемое решение не может навсегда остаться в А++. Учитывая непрерывность функций X\(t),... ,xn(t), делаем вывод, что решение приведённой системы с начальным значением в области А++ через некоторый конечный (длины меньше 4є/г 1 +) промежуток времени выходит из неё через ту часть её границы, которая принадлежит дА = S(0). Так как А++ Э О, то отсюда следует, что нулевое решение приведённой системы неустойчиво. (ii) Этот случай сводится к случаю (i) преобразованием (х\,Х2,х) ь- (—Х\,Х2,х). (iii) В первой координатной четверти {х\ 0, 2 0} значение «главной части» Оь2 sgnxi + 62 sgnx2 = 0,2 + &2 =: v + компоненты i 2 векторного поля, заданного приведённой системой, положительно. Линейный «довесок» ( (ж) является о(1) при х — 0. В рассматриваемой координатной четверти значение «главной части» c Q sgnxi + sgna ) = С\2{о2 + + &г) =: (Ci)++ производной функции С\(х) в силу приведённой системы положительно. Линейный «довесок» Di(x) является о(1) при х — 0. Выберем є 0 таким, что ґ 3. 7ІП/М 71 А := Вє(0) С С2(ж) — (й2 + 02) , -Ь і(ж) С\2 [СІ2 + 02) 4 Так как С\2 О, то при Х2 0 имеем: С12Ж2 0. Поэтому при достаточно малых Х\ О, Жз, ,хп (в случае п = 2 при достаточно малом ж і 0) выполнено неравенство С\(х) 0. Отсюда получаем, что В := {х\ 0, 2 0,С\(х) 0} ф 0. Поскольку при х Є В верно, что { ух : 0 7 1} = -В, то 4+++ := АГ) В ф 0. В области А+++ имеем: х\ = С\(х) 0, С\(х) = (Сі)++ + о(1) 0, (ж) = fj+ + о(1) г 2 +/4 0. Так как в области А+++ х\ 0, Х\ 0, С\(х) 0, Сі(ж) 0, Х2 0, Х2 0, то решение приведённой системы с начальным значением в А+++ не мож ет выйти из этой области через гиперплоскости Х\ = 0, Х2 = 0 или С\(х) = 0. Из того, что в А+++ Х2 є, Х2 г 2 +/4 0, получаем, что рассматриваемое решение не может навсегда остаться в А+++. Принимая во внимание непрерывность функций X\(t),... ,xn(t), делаем вывод, что решение приведённой системы с начальным значением в области А+++ через некоторый конечный (длины меньше 4є/г 2 +) промежуток времени выходит из неё через ту часть её границы, которая принадлежит дА = S(0). Так как А+++ Э О, то отсюда следует, что нулевое решение приведённой системы неустойчиво. (iv), (vi) Случай (iv) (случай (vi)) сводится к случаю (iii) (случаю (v)) преобразованием (Xi,X2,x) I— (x2,Xi,x). (v) Случай (v) сводится к случаю (iii) заменой (xi,X2,x) 1— (—Xi,X2,x).

Замечание. При выполнении условий теоремы 3.2 для исследования устойчивости нулевого решения приведённой системы не требуется как-либо доопределять её ни на одном из множеств {х\ = 0, 2 ф 0}, \х\ ф 0, 2 = 0}, \х\ = 0, 2 = 0}. (Требуется лишь показать, что вектор-функция x{t) = 0 является решением приведённой системы. Это сделано в утверждении 1.1 для системы (1.1), частным случаем которой (прирз = Рп = 0, qs = ... = qn = 0) является приведённая система (1.6).) Поэтому при доказательсве теоремы 3.2 не используется ни одна из лемм 2.1-2.6.

Если А ф 0, существует открытое множество D (соответственно, F) такое, что D\ Э О (соответственно, i 2 Э О), где D\ := D Г) {х\ = 0,Х2 ф 0} (соответственно, := F П {х\ ф 0, 2 = 0}), в приведённой системе всюду на множестве D\ (соответственно, на множестве F2) существует движение, то из леммы 2.3 (соответственно, из леммы 2.4) следует, что в достаточно малой окрестности начала координат основной вклад в вектор фазовой скорости в этом движении вносит постоянное слагаемое (A/ai)sgnx2 (соответственно, (Д/02) sgnxi) из уравнения для х2 (соответственно, для Х\). Следующая теорема устанавливает некоторые случаи, в которых решение приведённой системы с начальным значением на множестве {х\ = О, Х2 ф 0} (случаи (i), (iii), (iv)) (на множестве \х\ ф 0, Х2 = 0} (случаи (ii), (v), (vi))), сколь угодно близким к началу координат, отходит от начала координат, двигаясь по соответствующему множеству. В этих случаях нулевое решение приведённой системы неустойчиво.

Теорема 3.3. Пусть п 2, А 0 и выполнена хотя бы одна из систем условий: (i) Ьі — а\; (ii) 10.21 — &2; (iii) d\ + b\ = 0, — d\ + b\ 0 и, кроме того, выполнено либо неравенство С\2 0, либо каждое из условий (с\2, , с\п) = (0,..., 0) и сц 0; (iv) — а\ + b\ = 0, d\ + b\ 0 и, кроме того, выполнено либо неравенство С\2 0, либо каждое из условий (ci2, , С\п) = (0,..., 0) и сц 0; (v) аг+Ьг = 0, —аг+Ьг 0 и, кроме того, выполнено либо неравенство С2\ 0, либо каждое из условий (c2i, С2з, С24, , С2п) = (0,..., 0) (при п = 2 здесь и далее в формулировке и доказательстве настоящей теоремы это условие имеет вид съ\ = 0) и С22 0; (vi) —U2 + 62 = 0, й2 + &2 0 и, кроме того, выполнено либо неравенство С2\ 0, либо каждое из условий (сгі, Сгз, С24, , С2П) = (0,..., 0) и С22 0. Тогда нулевое решение приведённой системы неустойчиво. Доказательство. (i) Пусть U - окрестность начала координат из формулировки случая (а) утверждения 1 леммы 2.1. Согласно этому утверждению в приведённой системе всюду на U\ := U П {х\ = 0, Х2 ф 0} существует движение. Следствие 2.1 устанавливает, что это движение описывается системой уравнений (2.1). На множестве VГ\{х\ = 0, Х2 0} значение «главной части» (A/ai)sgnx2 = Д/яі =: v2+ компоненты г 2 векторного поля, заданного приведённой системой, положительно. Линейный «довесок» С2і(х) — (а,2/сіі)С-ft (х) есть о(1) при х — 0. Возьмем є 0 таким, что А := Вє(0) С UC\{\C2i(x) — (0,2/0,1)Сгі(х)\ ЗА/(4аі)}. Тогда на множестве А0+ := Аґі{жі = 0, Х2 0} имеем г 2(х) = f2++o(l) f2+/4 0. Решение приведённой системы с начальным значением на А0+ не может выйти из этого множества через гиперплоскость Х2 = 0. Так как на множестве А0+ имеем Х2 є и Х2 v2+/4 0, то рассматриваемое решение не может бесконечно долго оставаться на А0+. Таким образом, решение приведённой системы с начальным значением на множестве А0+ через некоторый конечный (длины меньше 4є/г 2+) промежуток времени выходит из этого множества через ту часть его относительной (в топологии гиперплоскости #1 = 0, индуцированной стандартной топологией Шп) границы, которая принадлежит дА = S(0). Так как А0+ Э О, то отсюда следует, что нулевое решение приведённой системы неустойчиво. (ii) Случай (ii) сводится к случаю (i) симметрией (хі,Х2,х) і— (х2,Хі,х). (iii) Рассмотрим сначала случай С\2 0. Пусть U - множество из формулировки утверждения 1б леммы 2.1. Согласно этому утверждению в приведённой системе всюду на U\ := := UГ) {х\ = 0, Х2 ф 0} существует движение. Следствие 2.1 устанавливает, что это движение описывается системой уравнений (2.1). На множестве U\+ := U П {х\ = 0, 2 0} ф 0 (см. утверждение 1б леммы 2.1) значение «главной части» (A/ai)sgnx2 = А/аі =: г 2+ компоненты г 2 векторного поля, заданного приведённой системой, положительно. Линейный «довесок» C2i(x) — (а2/сц)С1і(х) есть о(1) при х — 0. На рассматриваемом множестве значение «главной части» СІ2(А/СІІ) sgnx2 = C\2 jci\ =: (С )1+ производной функции C\i(x) в силу приведённой системы отрицательно. Линейный «довесок» D i x) — С\2((І2/СЧ)СІІ(Х) есть о(1) при х — 0. Линейная функция С\(х) также есть о(1) при х — 0. Выберем є 0 таким, что

Тогда на множестве AC\U\+ имеем: г 2(х) = г 2+ + о(1) v2+/4 0, С\{х) = C ix) = (С )1+ + + о(1) 0. Решение приведённой системы с начальным значением на AC\U\+ не может выйти из этого множества через гиперплоскости Х2 = 0 или С\(х) = 0. Так как на множестве AC\U\+ имеем: Х2 є и Х2 v2+/4 0, то рассматриваемое решение не может бесконечно долго оставаться на AC\U\+. Таким образом, решение приведённой системы с начальным значением на множестве AC\U\+ через некоторый конечный (длины меньше 4є/г 2+) промежуток времени выходит из этого множества через ту часть его относительной (в топологии гиперплоскости Х\ = 0, индуцированной стандартной топологией Шп) границы, которая принадлежит дА =