Устойчивость линейных дифференциально-разностных уравнений с периодическими коэффициентами Седова, Светлана Михайловна

Введение к работе

Актуальность темы. В работе исследуются вопросы устойчивости линейных дифференциально-разностных уравнений с периодическими коэффициентами

x(t)-a(t)x(t-a) = f(t), t>0, (1)

где a(t + та) = a(t) , т є jV ; x(t) є R^l , со = const > 0 , . -

*(0-X^a,(Wt-to) = /(0. '^0. (2)

7 = 0

*(S) = 0,.<0,

где при г = 0,1,...,w я,(0 - периодическая функция с периодом T_t = ₍ю, /<:, е {1,2,...,т), т.е. периоды 7J рационально соизмеримы запаздыванию о» .

В настоящее время в теории устойчивости линейных периодических уравнений с запаздыванием существует несколько теорем, называемых критериями устойчивости. Отметим два из них , наиболее известных :

1. в монографии Дж.Хсйл приведен критерий устойчивости , основанный на свойствах мультипликаторов оператора моиодромии . Теоремы такого типа усматривались А.Стоксом, С.Н.Шимановым . -

2. в работе З.И.Рехлицкого приведен критерий устойчивости , полученный : помощью метода производящих функций (в данной работе это-теорема 1.3). В заботе В.В.Малыгиной этот критерий получает характерную для Пермского семинара формулировку - речь пойдет об условии существования экспоненциальной оценки функции Коши C(t,s) уравнения (1) - и новое доказательство (в панной работе это-теорема 1.4).

Отметим . что в работах В.А.Тышкевича, В.В.Малыгиной, В.А.Соколова, АИ.Башкирова получает развитие одно из направлений теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений , общие основы которой заложены в работах Н.В.Азбелева , Л.Ф.Рахматуллиной , В.П.Максимова .

Упомянутые критерии устойчивости объединяет одно обстоятельство : они не пригодны для практического использования . В настоящее время предпринимаются попытки вывести критерии устойчивости на более конструктивный уровень , т.е. пригодный для практического использования. В работах A.M. Зверки-па, Ю.Ф.Долгого развитие получает первый из упомянутых критериев : получены результаты о спектре оператора моиодромии . Отметим, что в работах Ю.Ф.

Долгого об устойчивости уравнения (1) накладывается дополнительное ограничение на коэффициент уравнения a(t): a(t) < 0 , / є [0,2со].

Существующая форма условия устойчивости в критерии Рехлицкого-Малыгиной (второй из упомянутых критериев) также весьма сложна для применения . Проверка этого условия представляет самостоятельную и , в общем случае, трудно решаемую задачу : расположение нулей целой по z функции A_m(z,Q) , зависящей от параметра 9, 6 є [0,со] , относительно единичного круга на комплексной плоскости ; функция A_m(z,Q) задана в виде определителя , элементы которого ряды .

Цель работы. Автор предлагаемой работы , развивая идеи и результаты З.И.Рехлицкого, В.В.Малыгиной об устойчивости уравнения (1) , предпринимает попытки вывести второй из критериев устойчивости на более конструктивный уровень, не вводя ограничений на знак коэффициента a(t) .

і Методы, применяемые п работе : метод производящих функций, описанный в монографии Э.Пинни и получивший развитие в работах З.И. Рехлицкого, В.В.Малыгиной ; одним из основных вспомогательных средств является краевая задача для компонент производящей функции, построенной по функции Коши уравнений (1),(2) , а также методы математического анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории функций комплексного переменного, общей теории функционально-дифференциальных уравнений .

Научная новизна результатов. 1) Леммы 3.1 ,6.1 о краевой задаче для компонент производящей футпеции , построенной по функции Коши C(t,s) уравнений (1) , (2) в данной работе впервые приведены в общей ситуации : т є N, хотя краевая задача в связи с рассматриваемыми уравнениями давно и хорошо известна многим авторам : А.М.Зверкин, Ю.Ф.Долгий записывают краевую задачу для мультипликаторов оператора монодромии , в монографій Э. Пинни приведена краевая задача для производящей функции , построенной по решению уравнения (1) в стационарном случае : a{f) = const. Автору краевая задача для производящей функции , построенной по функции Коши C(t,s) уравнения (1), была показана В.В.Малыгиной для случая со - периодического коэффициента a(t) : a(t + со) = a(t) , т.е. для т = 1 .

2) "Теоремы о независимости" от параметра s определителя краевой задачи A_m(z,s) , A^,(z,s) -теоремы 3.1,6.1-сформулированы и доказаны впервые . Однако свойство , отмеченное в этих теоремах , есть проявление хорошо известного (см., например, работы Дж.Хейл, С.Н.Шиманова) свойства : спектр оператора монодромии а(С/(/₀)) не зависит от начальной точки t₀ .

3. Многие частные случаи "характеристических" функций A_m(z) , A^(z) шервые приведены в этой работе ( 4 , 5 ', 6,п.З ), причем без ограничения на шак коэффициента a(t) в уравнении (1). Отметим, что приведенные характеристические функции совпадают с известными , полученными в работах A.M. Зверкина, Ю.Ф.Долгого .

4. Автор приводит новую формулировку критерия устойчивости для функцій Коши - теорема 7.1 , которая позволяет сформулировать критерий устойчи-зости и для уравнения (2) - теорема 7.2 .

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы позволяют тридать известному критерию устойчивости Рехлицкого-Малыгиной более кон-лруктивную формулировку -теоремы 7.2, 7.3 . На основе этой формы критерия можно получать эффективные , т.е. выраженные через коэффициенты уравнений, признаки устойчивости , такая перспектива обозначена в работе : в ней приведен эдин эффективный признак устойчивости - теорема 7.4 .

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на заседаниях Пермского семинара по функционально-дифференциальным уравнениям (ФДУ) 1986 - 1996 гг. , а также на П-й (Челябинск , 1987) , Ш-й (Пермь , 1988) , IV-й (Уфа , 1989) Уральских региональных конференциях "ФДУ и их приложения" , на XIV-й школе по теории операторов в функциональных про-пранствах (Новгород , 1989), на Весенней Воронежской математической школе 'Понтрягинские чтения - V" (Воронеж , апрель , 1994) , на Ш-й (Воронеж , 1995) , IV-й (Волгоград , 1996) , V-й (Ростов-на-Дону , 1997) Международных конференциях женщин - математиков , на Ижевском городском семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления (шонь , 2000).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1]-[11] .

Структура и объем работы. Диссертация состоит кз введения , семи параграфов и списка литературы . Объем диссертации 130 страниц . Библиографический список содержит 65 наименований .