Усреднение задач для p-Лапласиана в перфорированной области с нелинейным краевым условием третьего типа Подольский Александр Вадимович

Содержание к диссертации

Введение

1 Вспомогательные утверждения . 7

1.1 Рассматриваемые перфорированные области 7

1.2 Теорема продолжения 11

1.3 Следствия теоремы продолжения 15

1.4 Вспомогательные предложения 19

2 Усреднение краевой задачи в перфорированной области с нелинейным крае вым условием третьего типа на границе полостей 24

2.1 Постановка задачи 24

2.2 Теорема существования и единственности. Продолжение решения 25

2.3 Теоремы усреднения в случае 2 р п 29

2.3.1 Случай а = J2-,7 = о-{п — 1) — п = J2-(p — 1) п—р і v п—р

2.3.2 Случай а є (1,п/(п — р)), 7 = о.{п — 1) — п 35

2.3.3 Случай: а -12—, 7 произвольно п—р 2.3.4 Случай: а 1, 7 а(п — I) — п 40

2.3.5 Случай: 1 а -в—, 7 &(п — 1) — п п—р і v

2.3.6 Случай: а = -, 7 о-{п — 1) — п = - —(р — 1) п—р і v п—р \

2.4 Теорема усредения для случая р = п 46

2.4.1 Вспомогательные леммы 46

2.4.2 Теорема усреднения. Критический случай 49

3 Усреднение начально-краевой задачи в перфорированной области с нелиней ным краевым условием третьего типа на границе полостей . 54

3.1 Постановка задачи 54

3.2 Теорема существования 55

3.3 Дополнительная регулярность решения. Продолжение решения 60

3 4 Случай а = п 7 = п (v — 1) п—р і п—р 3.5 Случай а є (1,п/(п — р)), 7 = о.{п — 1) — п 67

3.6 Случай: 1 а п/(п — р), 7 а(п — I) — п 69

4 Заключение

• Теорема продолжения
• Вспомогательные предложения
• Теорема существования и единственности. Продолжение решения
• Дополнительная регулярность решения. Продолжение решения

Введение к работе

Актуальность темы.

Представленная работа является исследованием в области теории усреднения.

Диссертация посвящена изучению асимптотического поведения при є —> О решения и_е задач для эллиптического и параболического уравнений с р-Лапласианом: А_ри = div{\Vu\^p~²Vu), в є-периодически перфорированной области П_є с Ш^п, п > 2, 2 < р < п, с нелинейным краевым условием вида d_v и_е + Р(є)а(х,и_є) = О, заданным на границе полостей, где d_v и = |Vw|^p_2(Vw, и), v — вектор внешней единичной нормали к поверхности полостей. Предполагается, что полости диффеоморфны замкнутому шару, диаметр которого есть 0(а_є), где а_є ^С є. Таким образом, исследуемая задача имеет четыре параметра: п — размерность пространства, р — показатель оператора, а — характеризует размер перфораций; и так называемый коэффициент адсорбции /3(e), который характеризует процессы, происходящие на границе перфораций.

Рассматриваемая в работе задача возникает при изучении нелинейной диффузии¹,² веществ в пористой среде³, при этом подразумевается, что на границе включений имеет место нелинейная адсорбция. Математические модели, в которых участвует р-Лапласиан, появляются также при изучении неньютоновских жидкостей⁴, задач ползучести⁵,⁶, в климатологии⁷, в гляциологии⁴,⁸ . Необходимость исследования уравнений с р-Лапласианом появляется и при восстановлении изображения, поврежденного вследствие его некачественной передачи по каналам связи⁹.

1Philip J.R. // N-diffusion, Austral. J. Phys., V.14, 1961, pp.1-13

²Guan M., Zheng L., Zhang, X. The similarity solution to a generalized diffusion equation with

convection. // Advances in dynamical systems and applications, V.1, N.2, 2006, 183-189

³Showalter R.E., Walkington, N.J. Diffusion of fluid in a fissured medium with microstructure.

// SIAM J. Math. Anal., V.2, 1991, pp. 1702 - 1722

⁴Antontsev S.N., Diaz J.I., Oliveira H.B. Mathematical models in dynamics of non-newtonian fluids and in glaciology, Proceedings of the CMNE/CILAMCE Congress, 2007

⁵Phillippin G.A. A minimum principle for the problem of torsional creep. // J. Math. Anal. Appl., V.68, 1979,pp. 526-535

⁶Kawohl B. On a family of torsional creep problems.// J.reine angew. Math., V.410, 1990, pp.1-22

⁷Diaz J.I., Hernandez, Tello L. On the multiplicity of equilibrium solutions to a nonlinear diffusion equation on a manifold arising in climatology. // Journal of mathematical analysis and

applications, V.216, 1997, pp.593-613

⁸Glowinski R., Rappaz J. Approximation of a nonlinear elliptic problem arising in a non-Newtonian fluid model in glaciology. // M2AN Math. Model. Numer. Anal., V.37, N.1, 2003, pp. 175-186.

⁹Gomathi R., Vincent Antony Kumar A. Shearlet domain color image inpainting based on

p-laplacian operator. // European journal of scientific research, V.67, N.3, 2012, pp.413-420

При изучении задач в перфорированных областях, когда число полостей велико, нахождение решений приближенными или точными методами становится невозможным. Поэтому, возникает проблема замены исходной задачи усредненной (эффективной) задачей, которая, как правило, задана в области, имеющей более простую структуру, что дает возможность изучения свойств исследуемого процесса. Второй проблемой является обоснование правильности построенной усредненной модели, что приводит к доказательству теорем о близости решения исходной задачи к решению усредненной. Данными проблемами занимается теория усреднения, которая получила первоначальное развитие в работах О.А. Олейник¹⁰, В.В. Жикова¹⁰, СМ. Козлова¹⁰, В.А. Марченко¹¹, Е.Я.Хруслова¹¹, Т.А. Шапошниковой, СЕ. Пастуховой, А.С. Шамаева, Г.А. Иосифьяна, Г.П. Панасенко, А.Л. Пятницкого, Н.С Бахвалова Г.А. Чечкина, А.Ю. Беляева, J.-L. Lions, E. De Giorgi, L. Tartar, F. Murat, G. Papanicolau, E. Sanchez-Palencia, D. Cioranescu и многих других выдающихся математиков.

Усреднение краевых задач в перфорированных областях с третьим краевым условием на границе полостей изучалось во многих работах. Такого рода задачам были посвящены работы В.И. Сукретного¹², СЕ. Пастуховой¹³. Краевая задача в частично перфорированной области для уравнения Пуассона, в которой а(х,и) = є~¹а(х/є)и и 7 Є К¹, была рассмотрена в работе ¹⁴. Линейная задача с третьим краевым условием в частично перфорированной области с произвольной плотностью перфораций для уравнения Пуассона была изучена

¹⁰В.В. Жиков, СМ. Козлов, О.А. Олейник. Усреднение дифференциальных операторов. Изд. "Физико-математическая литература Москва, 1993, 464 с.

¹¹Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей.

Киев: Наукова думка. 1974.

¹²Сукретный В.И. Асимптотическое разложение решений третьей краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка в перфорированных областях // Успехи мат. н., т. 39, №4, 1984. - с. 120 - 121

¹³Пастухова СЕ. Метод компенсированной компактности Тартара в усреднении спектра смешанной задачи для эллиптического уравнения в перфорированной области с третьим краевым

условием // Мат. сб., т. 186, №5, 1995. - с. 127 - 144.

¹⁴Олейник О.А., Шапошникова Т.А. О задаче усреднения в частично перфорированной области с граничным условием смешанного типа на границе полостей, содержащим малый параметр.// Дифференциальные уравнения, т. 31, N. 7, 1995. - с. 1140-1150.

в работе ¹⁵. Усреднение задач для уравнения Пуассона с краевым условием третьего рода было исследовано в работах ¹⁶,¹⁷.

Задача для эллиптического уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами и нелинейным краевым условием на границе полостей при а_є = є изучалась в работах Гончаренко М.В.¹⁸, Иосифьяна Г.А.¹⁹,²⁰,²¹, Мельника Т.А.²², Сивак О.А.²², Пятницкого А.Л.²³.

Усреднение задачи Дирихле для уравнения — _ри_є = f(x) при а_є = є и 1 < р < 2 было изучено в ²⁴. В работе ²⁵ исследуется усреднение указанного уравнения при 1 < р < п в задаче с препятствиями в области перфорированной множествами случайного размера, при этом, а = е^п^^п~^р, если 1 < р < п.

Для параболического уравнения начально-краевая задача при а_є = є была изучена в ²⁶. Усреднению параболического квазилинейного уравнения посвящена работа ²⁷.

¹⁵Oleinik O.A., Shaposhnikova T.A. On homogenization of the Poisson equation in partially

perforated domains with arbitrary density of cavities and mixed type conditions on their boundary//

Rend. Mat. Acc. Lincei, V.7, S.9, 1996, pp.129-146

¹⁶Беляев Г.А., Пятницкий А.Л., Чечкин Г.А. Усреднение в перфорированной области с

осциллирующим третьим краевым условием// Мат.Сб., т.193, N.7, 2001, стр.3-20.

¹⁷Егер В., Олейник О.А., Шамаев А.С. Об усреднении краевой задачи для уравнения Лапласа в частично перфорированной области с краевым условием третьего рода на границе полостей

// Труды Моск. Матем. Об-ва., 1997, т.58, стр.187-223

¹⁸Berlyand L.V., Goncharenko M.V. The averaging of the diffusion equation in a porous medium

with weak absorption // Journal of soviet mathematics, v.52, N.5, 1990, pp.3428-3435

¹⁹Yosifian G.A. On homogenization problems in perforated domains with nonlinear boundary

conditions // Applicable Analysis, v.65, 1997, pp.257-288

²⁰Yosifian G.A. Some homogenization problems for the system of elasticity with nonlinear

boundary conditions in perforated domains // Applicable Analysis, v.71, 1999, pp.379-411

²¹Yosifian G.A. Homogenization of some contact problems for the system of elasticity in

perforated domains // Rend.Sem.Mat.Univ.Padova, v.105, 2001, pp.37-64

²²Mel’nik T.A., Sivak O.A. Asymptotic analysis of a boundary-value problem with the nonlinear

boundary multiphase interations in a perforated domain // Ukr.Math., v.61, 2009, pp.494-512. ²³Piatnitski A.L., Chiado Piat V. Gamma-convergence approach to variational problems in

perforated domains with Fourier boundary conditions // ESAIM COCV, 2008.

²⁴Boukrim L., Hakim A., Mekkaoui T. Quasilinear dirichlet problem in a periodically perforated domain // GLASNIK MATEMATICKI, v.42, N.62, 2007, pp. 375-388.

²⁵Lan Tang. Random homogenization of p-laplacian with obstacles in perforated domain. //

Communications in partial differential equations, v.37, N.3, 2012, pp.538-559.

²⁶Мельник Т.А., Сивак О.А. Асимптотический анализ параболической задачи с нелинейными граничными многофазовыми взаимодействиями в перфорированной области // Проблемы Мат. Анализа, т.43, 2009, стр.107-128.

²⁷Abdulle A., Huber M.E., Vilmart G. Linearized numerical homogenization method for nonlinear monotone parabolic multiscale problems // Multiscale modeling and simulation, 2014

Наиболее близкими являются работы ²⁸ и ²⁹, в которых рассматривается аналогичная "геометрия" перфораций. В ²⁸ изучается усреднение краевой задачи для уравнения — Аи_є = f(x) с краевым условием третьего рода д₁,и_є + є~¹а(х,и_є) = g{x)e~¹, заданным на границе полостей. Работа ²⁹ посвящена исследованию асимптотического поведения решения начально-краевой задачи для параболического уравнения d_tu — Аи_є = f(x,t) с аналогичным краевым условием. В указанных работах построены усредненные задачи и доказаны теоремы о слабой сходимости решения исходной задачи к решению усредненной. Таким образом, настоящая работа обобщает результаты, полученные в ²⁸ и ²⁹, на случай задач, содержащих нелинейные уравнения с оператором р-Лапласа.

Асимптотическое поведение решения вариационного неравенства для оператора Лапласа в перфорированной области с нелинейными ограничениями вида: и_е > 0, d_vu_e > —є~¹а(х,и_є), Ue(d_vUe + є~¹а(х,и_є)) = 0, заданными на границе перфораций, было исследовано в работе ³⁰.

Работа ³¹ посвящена изучению краевой задачи для оператора Лапласа в области, перфорированной мелкими изопериметрическими полостями (см. (24)), с нелинейным краевым условием третьего рода. В приведенной работе рассматривается критический случай соотношения между параметрами а и /3(e) при п = 2. Настоящая работа обобщает результаты, полученные в ³¹, на случай уравнения с р-Лапласианом (р = п > 3).

В работах ²⁸,²⁹,³⁰,³¹ при критическом соотношении между параметрами а_є, j5{e) наблюдается следующий эффект: усредненная задача содержит новое нелинейное слагаемое, определяемое как решение функционального уравнения. Данный эффект впервые был замечен в работе ³², в которой была рассмотрена краевая задача для уравнения Пуассона при п = 3 и а_є = є^а, где а є (2,3].

²⁸Зубова М.Н., Шапошникова Т.А. Об усреднении краевых задач в перфорированных областях с третьим граничным условием и об изменении характера нелинейности задачи в результате усреднения.// Дифференциальные уравнения, 2010.

²⁹Егер В., Нойс-Раду М., Шапошникова Т.А. Об усреднении уравнения диффузии в перфорированной области с нелинейным условием на поток на границе полостей и масштабами задачи, приводящими к новому нелинейному соотношению между краевыми условиями и эффективным распределением источников/стоков. // Тр. сем. им. И.Г.Петровского, т.28, 2011,

161-181.

³⁰Jaeger W., Neuss-Radu M., Shaposhnikova T.A. Homogenization of a variational inequality for

the Laplace operator with nonlinear restriction for the flux on the interior boundary of a perforated

domain. // Nonlinear Analysis: Real World Applications, v. 15, N.1, pp. 367-380

³¹Перес Е., Зубова М.Н., Шапошникова Т.А. Задача усреднения в области, перфорированной

мелкими изопериметрическими полостями с нелинейным краевым условием третьего типа на их границе. // Доклады Академии Наук, т.457, N.5, 2014, с. 520-525

³²Goncharenko M. The asymptotic behaviour of the third boundary-value problem solutions in domains with fine-grained boundaries // Homogenization and applications to the material sciences, v.9, 1997, pp.203-213.

Стоит отметить, что в настоящей работе наблюдается аналогичная особенность (см. Теоремы 3, 9, 12).

Цель работы. Основной целью настоящей работы является исследование асимптотического поведения решений задач для эллиптического и параболического уравнений с оператором р-Лапласа в перфорированной области с нелинейным краевым условием третьего типа, заданным на границе полостей, при стремлении диаметра полостей и периода, с которым расположены эти множества, к нулю.

Методы исследования. В работе используются методы теории усреднения дифференциальных операторов, общей теории уравнений в частных производных, функционального анализа и теории пространств Соболева. Также строятся пробные функции, учитывающие нелинейный характер оператора р-Лапласа.

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми. Основные из них следующие:

Дана полная классификация асимптотического поведения решения рассматриваемой задачи для случая 2 < р < п. Выделены 6 различных видов асимптотического поведения решения, каждому из которых соответствует определенное соотношение между параметрами а и /3(e). Для каждого из этих случаев был разработан метод, позволяющий построить усредненную задачу и доказать теоремы о слабой сходимости решения исходной задачи к решению усредненной.

Рассмотрено критическое соотношение между параметрами а_є и /3(e) (см. условия (23)) для случая р = п. Разработан метод позволяющий рассматривать перфорации произвольной формы с заданной площадью поверхности. Построена усредненная задача и доказана теорема о слабой сходимости решения исходной задачи к решению усредненной.

Для начально-краевой задачи рассмотрен случай, когда 2 < р < п и когда выполнены условия (39). Выделены 3 различных случая асимптотического поведения решения рассматриваемой задачи, для каждого из которых построена усредненная задача и доказана теорема о слабой сходимости решения исходной задачи к решению усредненной.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Результаты настоящей работы относятся к теории усреднения краевых и начально-краевых задач для уравнений с р-Лапласианом. Использованные в диссертации методы могут быть применены при исследовании других краевых и начально-краевых задач, вариационных неравенств с ограничениями различного типа.

Апробации работы. Результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на заседаниях семинара Механико-математического факультета МГУ “Асимптотические методы математической физики” под руководством В.В. Жикова, А.С. Шамаева, Т.А. Шапошниковой.

Результаты диссертации были представлены на следующих научных конференциях:

Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы”, Россия, Москва, посвященная 110-й годовщине со дня рождения И.Г. Петровского, проходившая с 30 мая по 4 июня 2011 года.

Международная конференция "Седьмая международная конференция по дифференциальным уравнениям и функционально-дифференциальным уравнениям”, Россия, Москва, РУДН, проходившая с 26 по 28 августа 2014 года.

Международная конференция "Многомасштабные методы и моделирование: переход от микро- к макромасштабу в механике и медицине”, Россия, Москва, МГТУ им. Баумана, проходившая 25-27 июня 2015 года.

“Новогодняя мини-конференции кафедры дифференциальных уравнений Механико-математического факультета”, Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2014.

Международная научная конференция "Ломоносов-2010”, Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2010.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 7 печатных работах, 4 из которых опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК. Список работ приведен в конце диссертации.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав (первая глава содержит вспомогательные утверждения, в последующих главах приводятся основные результаты), а также из списка цитируемой литературы. Главы разбиты на 14 параграфов и 8 подпараграфов. Параграфы и формулы имеют двойную нумерацию, теоремы и леммы — сквозную. Диссертация содержит 16 теорем и 9 лемм. Список литературы включает 47 наименований, общий объем диссертации 78 страниц.

Теорема продолжения

Под обобщенным решением задачи (1.10) будем понимать функцию v є Wl p{U), для которой выполнено v = h на Si (т.е. v — h є И/1 р([/, Si)), и которая удовлетворяет интегральному тождеству: для произвольной функции v є И/1 р([/, Si). Через И/1 р([/, 5 1) обозначено пополнение по норме Wl p{U) пространства функций C(U), обращающихся в ноль в окрестности Si. Данное пространство является баноховым, рефлексивным и сепарабельным (см. [39]). Для функций v є W1,P(U, Si) выполняется неравенство Фридрихса (см. [36])

Следуя методам, описанным в [35,37], получим следующую теорему. Теорема 1. Существует единственное обобщенное решение v задачи (1.10) и для него справедлива оценка: l iyi,P({/) {Ц- Ц /т + ІІ -ІІТ-У1 }) (1.13) где К не зависит от v, F, h.

Доказательство. Используя (1.11), получаем, что функция ф = v — h удовлетворяет следующему интегральному тождеству: Используя результаты, полученные в [46] и то, что h є Wl p{U), заключаем, что Jh Є C1(W1 P(U, Si), Ж). Обозначим Ah = J h : W1,P(U, Si) — W 1,q(U, Si). Тогда тождество (1.14) можно переписать в виде:

Оператор Ah является огранчиенным, непрерывным, коэрцетивным (см. [37,42]). Также легко проверяется, что он монотонен (см. [43]). Таким образом, все условия Теоремы 2.1 из [37] выполнены, следовательно, существует обобщенное решение задачи (1.10).

Докажем, что решение задачи единственно. Пусть существует два решения vi и v2 задачи (1.10). Тогда для каждой функции выполнено интегральное тождество (1.11). Очевидно, что функция v = vi — v2 Є И/1 р([/, Si), поэтому возьмем поэтому возьмем ее в качестве пробной функции в соответствующих интегральных тождествах:

Но для функций из пространства И/1 р([/, Si) выполнено неравенство (1.12), откуда заключаем, что vi = V2, следовательно, решение задачи (1.10) единтсвенно.

Теперь докажем оценку (1.13). В интегральном тождестве (1.11) в качестве пробной функции положим ip = v — h:

Доказательство. Рассмотрим шар Всі" достаточно большого радиуса, содержащий некоторую окрестность множества Y. Известно (см. [35], Теорема 7.25, стр. 165), что функция и продолжается с Y \ G на В так, что для продолжения Ей выполнена оценка:

Ввиду единственности решения задачи (1.23) (см. теорему 1) имеем, что для L = const справедливо равенство P(u + L) = Ри + РЬ. Тогда, применяя неравество Пуанкаре, из (1.24) получим оценку:

Доказательство. Пусть и(х) є Wl p{Vle). Сначала рассмотрим отедльную ячейку. Введем новую переменную у = а 1х. Рассмотрим область a lYe = [a leY\G0). Так как аєє 1 — О при є — О, тогда можно выбрать куб Y\ со сторонами не зависищами от є с гранями параллельными граням Y и такой, что Go С Y\.

Таким образом мы построили продолжение функции и внутри одной ячейки. Так как множество Ge состоит из шаров, которые лежат строго внутри своих ячеек, не пересекаясь с их границей, то мы можем построить продолжение по изложенной схеме для каждой из ячеек, не опасаясь того, что следы функции не будут совпадать на соседних гранях. Следовательно, мы получим продолжение Ри на множество П. Используя (1.30), (1.31), получим оценки (1.26), (1.27).

Используя результаты, полученные в теореме 2 и лемме 3, мы можем доказать ряд полезных в дальнейшем утверждений. Во-первых, при усреднении начально краевой задачи для параболического уравнения нам требуется построить продолжение функции на цилиндр QT = П х (0,Т). Сначало построим продолжение функции, определенной на множестве Y \ G х (0,Т), до функции, определенной на ячейке Y х (0,Т). Справедлива следующая лемма. Лемма 4. Пусть G cY сМ" и G, Y, Y\G — непустые ограниченные области с гладкой границей и Г = (dG)f]Y ф %, тогда для любой функции и є Lp(0,T; Wl p(Y \ G)), где 2 р п, определен оператор продолжения R : Lp(0,T; Wl,p{Y \ G)) — Lp(0,T; Wl,p(Y)), а также R : L2(Y \ G х (О, Т)) — L2(Y х (О, Т)) такой, что Ru = и на Y \G х (О, Т),

Проводя аналогичные рассуждения, что и в теореме 2, получим следующую теорему продолжения решения, которая используется при изучении начально-краевой задачи для уравнения параболического типа.

Во-вторых, справедлива следующая оценка функции на ячейке периодичности через ее градиент. Тот факт, что в оценке присутствует малый параметр є, является существенным при доказательстве теоремы усреднения 6.

Усредненная задача в теоремах 5, 11, 14 содержит новое нелинейное слагаемое, которое определяется как решение функционального уравнения (см. (2.23), (3.44)). Далее приводится лемма, в которой доказывается существование и единственность решения данного уравнения, а также показывается, что данное решение обладает свойством монотонности по одной из переменных. Благодаря данному свойству, справедливо утверждение о существовании и единственности решения усредненной задачи.

Вспомогательные предложения

В данной главе описывается рассматриваемая краевая задача для уравнения эллиптического типа с р-Лапласианом как для случая 2 р п, так и для случая р = п. Также приводится доказательство теоремы существования и единственности решения соответствующей задачи.

В параграфе 2.3 доказываются теоремы усреднения для случая 2 р п для всех возможных наборов параметров 1 а и 7 Є R. Параграф разбит на 6 подпараграфов, которые соответствуют определенному соотношению между указанными параметрами.

В параграфе 2.4 доказывается теорема усреднения для случая р = п для критического соотношения между параметрами а и /3(e) (см. (1.1)). Данный параграф разбит на 2 под-параграфа: в первом доказывается вспомогательная лемма, а во втором — непосредственно теорема усреднения.

Рассмотрим следующую задачу при 2 р п 2(Vw,z/), v — внешняя единичная нормаль Предположим, что а(х,и) — непрерывно дифференцируемая по перменным х є О и и є Е функция такая, что а(х,0) = 0 и существуют положительные постоянные к\ и к2, что выполнены неравенства

Под обобщенным решением задачи (2.1) будем понимать функцию ие є W1 p(0,dO), удовлетворяющую интегральному тождеству удовлетворяет условиям (1.1), и — функция, обладающая аналогичными свойствами, что и в случае 2 р п.

Под обобщенным решением задачи (2.5) будем понимать функцию иє є Wl n{0E)dO), удовлетворяющую интегральному тождеству для р = п. Доказательство. Проведем доказательство данной теоремы для случая 2 р п. Доказательство в случае р = п в точности повторяет приводимое ниже с несущественными изменениями.

Перечислим свойства введенного оператора, которые будут использоваться в доказательстве.

Основываясь на свойствах функции о и оператора р-Лапласа (см. [42,43]), отметим, что А — непрерывный и ограниченный оператор. Также для любых a,b є Шп справедливо следующее неравенство (см. [43]): Из этих неравенств и условия (2.2), наложенного на функцию а(х,и), следует строгая монотонность оператора А.

Для доказательства существования решения задачи воспользуемся методом Галерки-на (см. [37]). Для этого рассмотрим {шп}п 1 — счетное всюду плотное множество в W1 P(Q,дО,). Будем искать функцию иЄ)ГП такую, что иЄ)ГП є [ш\,... ,шп] и Из определения функции / заключаем, что /0 — линейный непрерывный функционал, определенный на W1 p(0,dO). Поэтому из перечисленных выше свойств оператора А следует существование иє т, удовлетворяющего (2.9) (см. [37]). Оценим норму функции и т. Из (2.9) следует что может быть переписано в следующем виде:

Как было сказано выше, данный случай является критическим, так как характер нелинейности меняется при усреднении исходной задачи. Из-за особенностей используемого метода для данного набора параметров мы полагаем, что СР в определении (1.2) — это шар единичного радиуса с центром в начале координат. Таким образом, перфорации — это шары малого радиуса, ає, центр которых совпадает с центром соответствующих ячеек.

Доказательство. Заметим, что, ввиду леммы 8 существует единственное решение уравнения (2.23). При этом данное решение обладает свойством (см. (1.63)) для всех х є П, и, v є Е. Тогда из строгой монотонности функции \Н\Р 2Н и АР_2А (см. [43]), р 2, следует существование и единственность обобщенного решения задачи (2.22) (см. [37,42]). В интегральном тождетсве (2.4) в качестве пробной функции рассмотрим р = иє — v:

Так как We - Ов W0 P(Q,), то из соответствующей теоремы вложения (см. [39]) следует, что W — 0 в LP(Q). Также если q р, то из оценки (2.33) следует, что We — 0 в Lq(Q,). Таким образом, все интегралы в правой части оценок (2.34) и (2.35) не содержащие Vue стремятся к нулю, так как в данном случае q р— 1. Далее, используя неравенство Гельдера получим

Если q р — 1, то данное выражение стремиться к нулю, исходя из оценки (2.33). Данное условие в нашем случае выполненно. Таким образом, из сказанного выше следует требуемое утверждение.

Если q — не целое число, то рассмотрим т такое, что 0 q — т 1, то есть целую часть числа q. Тогда справедлива следующая оценка:

Из-за особенностей используемого метода для данного набора параметров мы полагаем, что СР в определении (1.2) — это шар единичного радиуса с центром в начале координат. Таким образом, перфорации — это шары малого радиуса, а, центр которых совпадает с центром соответствующих ячеек.

Теорема существования и единственности. Продолжение решения

В цилиндре Ql = Пє х (0,Т) рассматриваем следующую начально-краевую задачу внешняя единичная нормаль к Se , 7 = ot-{p — 1) и предполагается, что / є L2(QT). Также предполагается, что параметры а и 7 удовлетворяют следующим условиям: Предположим, что а(х,и) — непрерывно дифференцируемая по переменным х є П и и є Е функция, такая, что т(ж,0) = 0 и существуют положительные постоянные к\ и fc2, что выполнены неравенства (а(х,и) — а(х,v)){u — v) к\\и — v\p, (3.3) (т(ж,м) /с2мр_ . (3.4) Обобщенным решением задачи (3.1) назовем функцию и є Lp(0,T; W1 p(Q,dQ)), dtu є Lq(0,T;W 1 q(Q,dQ)), и(х,0) = О, удовлетворяющую интегральному тождеству

Используя лемму 6, метод Галеркина и метод монотонности (см. [37,42]), получим следующее утверждение. Существует единственное обобщенное решение и задачи (3.1) и для него справедливы оценки: Доказательство. Рассмотрим оператор А, определенный в теореме 4. При доказательстве данной теоремы было указано, что он обладает следующими свойствами: 1. непрерывность, 2. ограниченность, 3. строгая монотонность, 4. коэрцетивность. Для доказательства существования решения задачи (3.1) воспользуемся методом Галеркина (см. [37,42]).

Известно, что, при упомянутых выше свойствах оператора А, задача (3.10) имеет единственно решение (см. [42]), являющееся абсолютно непрерывной функцией, определенной на некотором отрезке [0,te m]. Покажем, что это решение определено на всем отрезке [0,Т]. Получим некоторые априорные оценки на функцию и т. Умножим уравнение (3.8) на d%mи просуммируем по А; от 0 до т. Имеем где постоянная С не зависит от є и т. Из данной оценки следует, что dkm(t)(k = 1,...,т) определены на всем отрезке [0,Т

Аналогично, рассмотрев v = и — \ш, где теперь Л 0, получим такое же неравенство, но с противоположным знаком. Следовательно, х = Аи. удовлетворяет интегральному тождеству для задачи (3.1). Перейдем к доказательству единственности обобщенного решения. Воспользуемся методом от противного. Пусть существуют два решения и\ и и2 краевой задачи. Тогда они удовлетворяют интегральному тождеству (3.5). В качестве пробной функции возьмем Для перехода к пределу в задаче (3.1) при є — 0 следует построить продолжение функции ие, для которой справедливы неравенства (3.2), (3.2) и (3.33), на весь цилиндр QT, таким образом, чтобы для продолжения й были справедливы следующие неравенства мип р(п) Сми/1 р(п,ш), VMLp(n) VMLp(n), п.в.і є [0,Т], (3.38) \\йє\\т ,ПТИ/І РСО\І + \\9tuJ\rjn(QT-Ln(n)) С- (3.39) Такое продолжение построено в теореме 3. Следовательно, существует такая подпоследовательность (используем для нее тоже обозначение, что и для исходной последовательности), что при є — 0 имеем

Из-за особенностей используемого метода для данного набора параметров мы полагаем, что СР в определении (1.2) — это шар единичного радиуса с центром в начале координат. Таким образом, перфорации — это шары малого радиуса, ає, центр которых совпадает с центром соответствующих ячеек.

Доказательство. Ввиду леммы 8, существует единственное решение уравнения (3.1). При этом данное решение обладает свойством (см. (1.63)) для всех х є П, и, v є Е. Тогда из строгой монотонности функции \Н\Р 2Н и ЛР_2Л (см. [43]), р 2, следует существование и единственность обобщенного решения задачи (3.43) (см. теорему 12 и [37,42]).

Для нахождения предела в левой части (3.68) воспользуемся леммой 7. Из леммы 7 и неравенства (3.68) следует, что т / [dtip,ip — u)dt + / У"0Р_ VV,V(,0 — u)dxdt + Л I \Н\Р H{tp — u)dxdt Стоит отметить, что в (3.69) ф = rq(t)p(x), где г\ є С1([0,Т]), р є С (П). Однако, линейная оболочка функций {rj(t)ip(x) \ р Є С(П), rj Є C fOjT])} плотна в Я = {и є Lp(0,T; W0 P(Q,)) I 9tw є Lq(0,T; W_1 9(Q))} (см. [42]), следовательно, интегральное неравенство (3.69) справедливо для произвольной функции «/»ей. Полагая в (3.69) ф = u + Xv, А 0, v є Lp(0,T; W0 P(Q,)), и переходя к пределу при Л — О, получим функции АР_2А при Л є Е (см. [43]) следует существование обобщенного решения задачи (3.80) (см. [37,42]).

1. Shaposhnikova T.A., Podolskiy A.V. Homogenization limit for the boundary value problem with the p-Laplace operator and a nonlinear third boundary condition on the boundary of the holes in a perforated domain // Functional Differential Equations, 2012, Vol. 19, No. 3-4, pp. 351 - 370. [Шапошникова Т. А. – постановка задачи, общее руководство; Подольский А.В. – решение задачи.]

2. Подольский А.В., Шапошникова Т.А. Об усреднении начально-краевозадачи в перфорированной области с нелинейным краевым условием третьего типа на границе полостей для нелинейного параболического уравнения // Сборник тезисов международной конференции "Дифференциальные уравненния и смежные вопросы посвященной 110-й годовщине со дня рождения И.Г. Петровского. Москва. 2011 г. — М.:Изд-во МГУ и ООО "ИНТУИТ.РУ 2011 г., стр. 307-308.

3. A.V. Podolskii, T.A. Shaposhnikova. Homogenization ofthe initial-boundary value problem in perforated domain for parabolic equation with p-laplace operator and nonlinear Robinype boundary conditions. The Seventh international conference on dand functional differential equations, 2014. Тезисы докладов. — M:РУДН, 2014, стр. 93-94.

Дополнительная регулярность решения. Продолжение решения

Под обобщенным решением задачи (1.10) будем понимать функцию v є Wl p{U), для которой выполнено v = h на Si (т.е. v — h є И/1 р([/, Si)), и которая удовлетворяет интегральному тождеству: для произвольной функции v є И/1 р([/, Si). Через И/1 р([/, 5 1) обозначено пополнение по норме Wl p{U) пространства функций C(U), обращающихся в ноль в окрестности Si. Данное пространство является баноховым, рефлексивным и сепарабельным (см. [39]). Для функций v є W1,P(U, Si) выполняется неравенство Фридрихса (см. [36])

Следуя методам, описанным в [35,37], получим следующую теорему. Теорема 1. Существует единственное обобщенное решение v задачи (1.10) и для него справедлива оценка: l iyi,P({/) {Ц- Ц /т + ІІ -ІІТ-У1 }) (1.13) где К не зависит от v, F, h. Доказательство. Используя (1.11), получаем, что функция ф = v — h удовлетворяет следующему интегральному тождеству: Используя результаты, полученные в [46] и то, что h є Wl p{U), заключаем, что Jh Є C1(W1 P(U, Si), Ж). Обозначим Ah = J h : W1,P(U, Si) — W 1,q(U, Si). Тогда тождество (1.14) можно переписать в виде:

Оператор Ah является огранчиенным, непрерывным, коэрцетивным (см. [37,42]). Также легко проверяется, что он монотонен (см. [43]). Таким образом, все условия Теоремы 2.1 из [37] выполнены, следовательно, существует обобщенное решение задачи (1.10).

Докажем, что решение задачи единственно. Пусть существует два решения vi и v2 задачи (1.10). Тогда для каждой функции выполнено интегральное тождество (1.11). Очевидно, что функция v = vi — v2 Є И/1 р([/, Si), поэтому возьмем поэтому возьмем ее в качестве пробной функции в соответствующих интегральных тождествах:

Но для функций из пространства И/1 р([/, Si) выполнено неравенство (1.12), откуда заключаем, что vi = V2, следовательно, решение задачи (1.10) единтсвенно. Теперь докажем оценку (1.13). В интегральном тождестве (1.11) в качестве пробной функции положим ip = v — h: Далее используя неравенство (1.12) для функции v — he И/1 р([/, Si) и неравество Юнга, получим:

Следуя методу, описанному в [38], докажем лемму о продолжении решения на ячейке периодичности. Лемма 3. Пусть G cY сМ" и G, Y, Y\G — непустые ограниченные области с гладкой границей и Г = (dG) f]Y ф %, тогда для любой функции и є Wl p(Y \ G), где 2 р п, определен оператор продолжения Р : Wl p(Y \ G) — Wl p(Y) такой, что Доказательство. Рассмотрим шар Всі" достаточно большого радиуса, содержащий некоторую окрестность множества Y. Известно (см. [35], Теорема 7.25, стр. 165), что функция и продолжается с Y \ G на В так, что для продолжения Ей выполнена оценка: -C/ UVF1 P(i?) _: ( s \\Uj\\w1 P(Y\G) Таким образом мы построили продолжение функции и внутри одной ячейки. Так как множество Ge состоит из шаров, которые лежат строго внутри своих ячеек, не пересекаясь с их границей, то мы можем построить продолжение по изложенной схеме для каждой из ячеек, не опасаясь того, что следы функции не будут совпадать на соседних гранях. Следовательно, мы получим продолжение Ри на множество П. Используя (1.30), (1.31), получим оценки (1.26), (1.27).

Используя результаты, полученные в теореме 2 и лемме 3, мы можем доказать ряд полезных в дальнейшем утверждений. Во-первых, при усреднении начально краевой задачи для параболического уравнения нам требуется построить продолжение функции на цилиндр QT = П х (0,Т). Сначало построим продолжение функции, определенной на множестве Y \ G х (0,Т), до функции, определенной на ячейке Y х (0,Т). Справедлива следующая лемма. Лемма 4. Пусть G cY сМ" и G, Y, Y\G — непустые ограниченные области с гладкой границей и Г = (dG)f]Y ф %, тогда для любой функции и є Lp(0,T; Wl p(Y \ G)), где 2 р п, определен оператор продолжения R : Lp(0,T; Wl,p{Y \ G)) — Lp(0,T; Wl,p(Y)), а также R : L2(Y \ G х (О, Т)) — L2(Y х (О, Т)) такой, что

Проводя аналогичные рассуждения, что и в теореме 2, получим следующую теорему продолжения решения, которая используется при изучении начально-краевой задачи для уравнения параболического типа.

Во-вторых, справедлива следующая оценка функции на ячейке периодичности через ее градиент. Тот факт, что в оценке присутствует малый параметр є, является существенным при доказательстве теоремы усреднения 6.

Рассмотим функцию следующего вида: а(х,и) = д(х)\и\р 2и, где д(х) — непрерывно дифференцируемая на Q функция, которая также является строго положительной на данном множестве. Ясно, что функция а(х,и) удовлетворяет всем условиям леммы 8. Но в данном случае мы можем найти в явном виде решение соответствующего функционального уравнения: (Bgixjjp-1 Н{х,и) = и. 1 + (Вд(х))р-1 Глава 2 Усреднение краевой задачи в перфорированной области с нелинейным краевым условием третьего типа на границе полостей

В данной главе описывается рассматриваемая краевая задача для уравнения эллиптического типа с р-Лапласианом как для случая 2 р п, так и для случая р = п. Также приводится доказательство теоремы существования и единственности решения соответствующей задачи.

В параграфе 2.3 доказываются теоремы усреднения для случая 2 р п для всех возможных наборов параметров 1 а и 7 Є R. Параграф разбит на 6 подпараграфов, которые соответствуют определенному соотношению между указанными параметрами.

В параграфе 2.4 доказывается теорема усреднения для случая р = п для критического соотношения между параметрами а и /3(e) (см. (1.1)). Данный параграф разбит на 2 под-параграфа: в первом доказывается вспомогательная лемма, а во втором — непосредственно теорема усреднения.