Введение к работе
Актуальность теш. Изучение вопросов сходимости и суммируемости спектральных разложений является одним из основных направлений в спектрачьной теории эллиптических операторов. С другой стороны, эти вопросы :і;.іє:от ва:;шое прикладное значение для обоснование метода Фурье при. релении различных задач математической іизики. Именно поэтому исследования шогих математиков включая ряд монографий и обзорных статей, как в пашей стране так и заруОе:.:ом, посвя.\-;ны этому направления. Следует отметить работы С.Бочі:о;.а, ь.Ы.Левитана, D.A. Ильина, З.Стеііна, Я.Петре, Л.Хсрг.іондори.
Первые результаты в это»» оснасти посвящены изучений круговых частичных сумм кратных рядов ;; интегралов Фурье. Затем часть из этих результатов (т.е. в случае, когда разлагаемая функция сама или вместе с производным:! до определенного порядка интегрируется со степенью о .=? 2 ) норокос:_псь на случаи спектральных разложений оператора Лапласа и затем -произвольного эллиптического оператора л.ооого порядка. Результаты, относящиеся этому случаю, в настоящее время имеют, в определенном смысле, завершенный характер.
При переносе другой части результатов (случай нр< 2 ) пришлось потребовать от разлагаемой функции гораздо больше условий чем для кратных интегралов Фурье з зависимости от дифференциального зырачения и рассматриваемого самосопряженного расширения (.граничных условий ) .
В работе [6] (см.также 17]) А.Й.Бастис построил такое самосопряженное расширение оператора Лапласа, что для суммируемости соответствующих спектральных разложений необходимо ютрвбовать от разлагаемой функции столько же условий, что в ;лучае общего эллиптического оператора.
Поэтому несомненно актуальным является вопрос: при фик->ированных граничных условиях какие характеристики (.геометри-іеские, алгебраические или другие) рассматриваемого дифферен-
шального выражения и как влияют на условия сходимости и суммируемости соответствующих спектральных разложений?
Изучению именно этого вопроса посвящена настоящая диссертация.
Цель работы - исследование влияния геометрических свойств поверхности уровня главного символа эллиптического оператора на условия локализации и суммируемости почта всюду соответствующих средних Рисса спектральных разложений.
Научная новизна. Все доказанные в работе теоремы являются новыми.
Основные результаты диссертации показывают, что условия локализации спектральных разложений существенно зависят (при этом установлена точная зависимості ) от числа отличных от нуля глазных кривизн поверхности уровня главного символа рассматриваемого оператора, в то время как на условия, обесле-чива:цие суммируемости почги всюду, эти геометрическою характеристики никакого влияния не оказывают. На этом пути найдено асимптотическое разложение средних Рисса спектральной функции произвольного эллиптического оператора в норме пространства Ьг . Установленная асимптотическая оценка спектррль-ней функции играет ключевую роль в исследованиях вопросов равносходимости и в доказательствах теорем отрицательного харак-тера^ т.е. теорем об отсутствии сходимости и суммируемости,
Методы исследования. Спектральная функция во псам пространстве эллллтического оператора о постоянными коэффициентами является осциллирующим интегралом. Асимптотическое поведение этих функций при больаих спектральных параметрах изучен методом стационарной фазы. Для оценки спектральной функции на торе применяем метод суммирования Пуассона. При оценке спектральных разложений (максимального оператора в третьей главе ) мы используем либо тауберовую теорему Л.Хер-макдера , либо интерполяционную теорему З.Стейна для аналити-чзского семейства линейных операторов.
Зо второй главе изучается спектральная функция эллиптического дифференциального оператора произвольного порядка.
При построение асимптотического разложения средних Рисса спектральной функции в метрике L.z мы, в отличии от других работ (исключением является работы В.А.Ильина), где исследуется асимптотика спектральной функции, не привлекаем каких-либо тауберовых теорем и непосредственно обращаем преобразование Стильтьеса (метод В.А.Ильина оснозан на формуле среднего значения для решения эллиптического уравнения второго порядка). При этом использувтся различные свойства резольвенты и спектральной функции.
Насколько автору известно, такой подход решения данного вопроса им применен впервые.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер и ее результаты могут служить для дальнейшего развития спектральной теории эллиптических дифференциальных операторов, а тагсхе могут найти применения при реэекии методом Фурье эволюционных уравнений математической физики.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях по дифференциальным уравнениям, проходивших в Кардиффе ( Уэльс, 1985г.), Данди [ Шотландия, 1990г ), Киото (Япония,1990г.) , Самарканде (Узбекистан, 1990г. ) , Обервольфахе (ФРГ, 1991г.), Пловдиве (.Болгария, 1991г.) , на всесоюзной школе иолоднх ученых "Функциональные методы в прикладной математике и математической физике" ('г.Ташкент, 1988г.) на всесоюзной конференции " Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений" ( г.Алма-Ата, 1991г. ) , в школе " Современные летоды качественной теории краевых задач" (Воронеж, 1992г.), в школе молодых ученых ;Я7( ШиК, 1982,1983гг. ) , на семинарах акад. FAH Ильина В.А. и член корр. РАН Еицадзо А.Н. ,МГУ) , член корр. РАН Бипадзе А.Н. (МИ РАН), академиков АН Уз Салахиддинова М.С., Джураева Т.Д.(ИМ АН РУз), член корр. 1Н РУз Алимова Ш.А. (ТашГУ ), проф, да. Б.Маклеода (Окофорд-!хай университет ), проф. Е.Б.Дэвиса (Кинге колледж Локдонско-'о Ушверситота) , проф. Б.Д. Званса (Кардиффский университет)
просо. В.Д.Эверита( Бирмингемский Уішверситет ) .
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы а работах [21 - 40] автора, список которых приведен в коше автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Кадцая глава разбита на параграфы, а отдельные параграфы разбиты на пункты. Объем диссертации 277 страниц, включая 9 страниц цитированной литературы. 3 списке литературы 75. наименований.