Уравнения одномерного движения вязкого газа с негладкими данными и их квазиосреднение Амосов, Андрей Авенирович

Введение к работе

^х>

Актуальность темы. Уравнения механики сплошной среды привлекают внимание математиков многоообразием постановок задач, сложностью их решения, а также разнообразием методов исследования. Практическая важность решаемых задач обусловлена их многочисленными приложениями. Одной из наиболее известных и интересных моделей механики является модель Навье-Стокса вязкой сжимаемой среды (вязкого газа). Она включает в себя весьма сложную систему квазилинейных дифференциальных уравнений. Входящие в нее уравнения импульса и энергии являются параболическими относительно искомых функций - скорости и и температуры в, а уравнение неразрывности является уравнением первого порядка относительно плотности р, так что вся совокупность уравнений не имеет определенного типа. Теория таких систем уравнений (систем составного типа) развита еще недостаточно полно.

Начало систематического изучения корректности начально-краевых задач для системы уравнений Навье-Стокса вязкого сжимаемого газа принято связывать с работой Дж. Серрина (1959 г.), в которой были сформулированы постановки основных краевых задач и доказаны теоремы единственности в классе гладких решений. Этой работе предшествовала статья Д. Граффи (1953 г.) по единственности классических решений начальной задачи для баротропного течения (т.е. для случая р = р(р)).

Первую теорему существования классического решения задачи Коши "в малом" по времени в 1962 г. получил Дж. Нэш. Позже эти результаты были обобщены А. И. Вольпертом и А. И. Худяевым, а также Н. Итая. Для начально-краевых задач локальные по времени теоремы существования получены В.А. Солонниковым и А.Тани. В 1980 г. А.Мацумураи Т.Ниши-да доказали разрешимость задачи Коши "в целом" по времени, но при условии, что начальные данные близки к состоянию покоя, т.е. в малом по данным. Другие результаты о локальной разрешимости (по времени или по данным) получили A.Valli, P.Secchi, A.Matsumura, T.Nishida, G.Lukaszewich, A.Tani, D.Hoff.

Несмотря на значительный интерес к вопросу о глобальной (по времени и по данным) разрешимости многомерных уравнений Навье-Стокса вязкой сжимаемой жидкости (вязкого газа), он еще весьма далек от удовлетворительного решения. Некоторые новые идеи и подходы для баротропного случая представили в своих работах M.Padula, P.L.Lions. Опре-

Ч Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 96-01-00621, 97-01-00214)

деленные надежды появились в связи с опубликованной в 1995 г. важной работой В.А.Вайганта и А.В.Кажихова, в которой доказана глобальная разрешимость двумерной начально-краевой задачи для уравнений вязкой сжимаемой баротропной жидкости при наличии некоторых специальных предположений на коэффициенты вязкости.

Достаточно полная теория глобальной по времени и данным разрешимости уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды построена пока только для одномерных течений с плоскими волнами, когда решение зависит лишь от одной пространственной координаты і и времени t. В 1968 г. Я.И. Канель впервые установил глобальную по времени и данным однозначную разрешимость задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа (р = ср¹, 7^1)- Д^ля модели Бюргерса (р = const) разрешимость задачи Коши и начально-краевых задач была доказана в работах Н. Итая и А. Тани. Целостная теория глобальной корректной разрешимости основных начально-краевых задач и задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого газа была построена в цикле работ А.В. Кажихова и его учеников В.В.Шелухина, Николаева В.Б. Разрешимость начально-краевых задач с другими краевыми условиями получили T.Nagasawa, S.Kawashima и T.Nishida. Уравнения движения вязкого баротропного газа с немонотонной функцией состояния и нелинейным коэффициентом вязкости изучены А.В.Кажиховым, В.Б.Николаевым, S.Yanagi. Уравнения движения вязкого теплопроводного газа с функциями состояния достаточно общего вида (уравнения реального газа) рассматривали M.Okada, S.Kawashima, B.Kawohl, D.Hoff, S.Jiang.

Большинство отмеченных выше результатов получено в предположении достаточной гладкости данных. Интересный и сложный случай разрывных данных (начальных данных, граничных данных, свободных членов и др.) оказался исследован явно недостаточно (Шелухин В.В., Serre D., Hoff D., Zarnowski R., Fuijita Yashima H., Padula M., Novotny А.), несмотря на его важность для приложений.

В 1983 г. Н.С. Бахваловым и М.Э.Эглит была рассмотрена задача осреднения системы уравнений одномерного движения вязкой сжимаемой среды с быстроосциллирующими свойствами, и с помощью метода формальных асимптотических разложений были выведены новые предельные уравнения движения. В 1991 г. для случая однородной баротропной среды при быстроосциллирующих начальных данных такие же уравнения независимо и из иных соображений получил D. Serre. Выведенные

уравнения естественно назвать квазиосредненными, т.к. они содержат "быструю" переменную . Они являются интересным примером двух-масштабных гомогенизированных уравнений, вывод и изучение которых представляет собой новое направление в теории гомогенизации (Allaire G.). Проблема строгого математического обоснования кваэиосреднен-ных уравнений до последнего времени оставалась открытой.

Цель работы. Исследование корректной разрешимости начально-краевых задач для систем уравнений одномерного движения вязкого газа с негладкими данными и их квазиосредненных аналогов. Строгое обоснование квазиосреднения - предельного перехода от начально-краевых задач для систем уравнений одномерного движения вязкого газа с негладкими быстроосциллирующими данными к соответствующим задачам для систем квазиосредненных уравнений.

Методика исследования. В работе широко используются идеи и методы теории функций, функционального анализа, нелинейных дифференциальных уравнений, уравнений математической физики. Для доказательства разрешимости изучаемых задач используются специальные полудискретные приближенные методы, работа с которыми максимально приближена к работе с самой дифференциальной задачей. При доказательстве единственности и непрерывной зависимости обобщенных решений от данных используется специальная техника зацепления оценок и выводится ряд нестандартных оценок решений параболических задач.

Научная новизна. Основные результаты дисертации.

1. Получены новые результаты о глобальной корректной разрешимости неоднородных начально-краевых задач для систем уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа и вязкого теплопроводного газа с негладкими данными в классе обобщенных решений.

2. Впервые установлена глобальная корректность начально-краевых задач для систем квазиосредненных уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа и вязкого теплопроводного газа с негладкими данными в классе обобщенных решений.

3. Впервые дано строгое обоснование квазиосреднения уравнений одномерного движения вязкого газа (баротропного и теплопроводного) с негладкими быстроосциллирующими данными. В баротропном случае получены оценки погрешности квазиосреднения.

4. Получены новые результаты о слабой сходимости специальных классов быстроосциллирующих функций, позволяющие обосновывать осред-

нение при наличии разрывов коэффициентов как по быстрой, так и по медленной переменным.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Установлена корректная разрешимость начально-краевых задач для систем уравнений одномерного движения вязкого газа с негладкими данными и их квазиосредненных аналогов. Дано строгое обоснование квазиосреднения - предельного перехода от начально-краевых задач для систем уравнений одномерного движения вязкого газа с негладкими быстроос-циллирующими данными к соответствующим задачам для систем квазиосредненных уравнений.

Используемые для доказательства теорем существования специальные полудискретные приближенные методы дают хорошую основу для построения конечно-разностных методов решения рассматриваемых задач.

Ряд полученных в работе результатов (о свойствах решений линейных параболических уравнений, о представлении функционалов из [V^¹ '(Q)]* , о слабой сходимости некоторых классов быстроосциллирующих функций) и разработанная методика исследования могут быть успешно применены к изучению различных задач математической физики и механики сплошной среды.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах: Института проблем механики РАН (рук. академик РАН В.П.Маслов) - 1994 г.; Института гидродинамики СО РАН (рук. чл.-корр. РАН В.Н.Монахов) - 1995 г.; Института математики СО РАН (рук. профессор А.М.Блохин) - 1995 г.; Seminare d'URA - 740 CNRS (Франция, Лион, рук. профессор D.Serre) - 1995 г.; механико-математического факультета МГУ (рук. академик РАН Н.С. Бахвалов) - 1995г. и 1996 г.; Математического института РАН (рук. академик РАН А.Г.Куликовский) - 1996 г; механико-математического факультета МГУ (рук. академик РАН Олейник О.А.) - 1997 г.; Математического института РАН (рук. профессор В.П.Михайлов) - 1997 г; факультета ВМиК МГУ (рук. академик РАН В.А.Ильин) - 1996 г. и 1997 г.;

а также на следующих конференциях:

Совместные заседания семинара им. И.Г.Петровского и Московского Математического общества, 16-я и 17-я сессии (Москва, 1994 г. и 1995 г.): Международная конференция "Алгебра и Анализ" (Казань, 1994 г.); 4-ая Международная конференция по современному численному анализу (Москва, 1995); Международная конференция "Функциональные прост-

ранства, теория приближений, нелинейный анализ" (Москва, 1995); Международная конференция "Современные проблемы математики и механики" (Москва, 1996 г.); Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Москва, 1996 г.); 11-ая Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики" (Пущино, 1996 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 30 работ. Основные результаты содержатся в работах [1 - 19]. Значительная часть результатов получена в соавторстве с А.А.Злотником. Некоторые факты, установленные А.А.Злотником (лемма 1.3.3, предложения 2.2.1, 2.4.1, 2.8.1, 2.8.2, теорема 2.8.2), существенно используются в диссертации; чтобы сделать изложение замкнутым, эти факты (с разрешения автора) приводятся с доказательствами.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, восьми глав и списка литературы. Объем работы - 307 стр., библиография - 284 наименований.