Содержание к диссертации
Введение 8
Глава 1. Обзор литературы и предварительные сведения . . 15
1. Обзор литературы по управлению упругими колебаниями . . 15 1.1. Динамические задачи управления колебаниями упругих систем (17). 1.2. Управление колебаниями одномерных тел (21) 1.3. Управляемость и наблюдаемость (23).
2. Классы функций и функциональные пространства 25
Глава 2. Классические и обобщенные решения краевых
задач. Теоремы существования и единственности .... 33
1. Постановки краевых задач 33
2. Решение краевых задач методом Даламбера 34
2.1. Решения краевых задач с ненулевыми краевыми условиями и 0 < Г ^ 1/а (35). 2.2. Решения краевых задач с нулевыми начальными (финальными) условиями и нулевым краевым условием на правом конце при 0 < Т ^ 21/а (43)
3. Обобщенные решения 45
4. Теоремы единственности обобщенных решений краевых за
дач 57
4.1. Теорема единственности решения первой краевой зада
чи (57). 4.2. Теоремы единственности решения для других
краевых задач (61)
5. Априорные оценки решений первой краевой задачи с нуле
выми начальными (финальными) условиями 62
5.1. Априорные оценки для решений первой краевой задачи с нулевыми начальными условиями иГ^ 1/а (62). 5.2. Априорные оценки для решений первой краевой задачи с нулевыми начальными условиями при закрепленном правом конце и Т ^ 21/а (65). 5.3. Априорные оценки для решений первой краевой задачи с нулевыми финальными условиями и Т^1/а (67). 5.4. Априорные оценки для решений первой краевой задачи с нулевыми финальными условиями при закрепленном правом конце иТ^ 21/а (70).
6. Априорные оценки решений третьей краевой задачи и смешанных краевых задач (1,3) и (3,1) с нулевыми начальными
(финальными) условиями
6.1. Априорные оценки для решений третьей краевой задачи с нулевыми начальными условиями (71).6.2. Априорные оценки для решений смешанной краевой задачи (1,3) с нулевыми начальными условиями (75). 6.3. Априорные оценки для решений смешанной краевой задачи (3,1) с нулевыми начальными условиями (79). 6.4. Априорные оценки для решений третьей краевой задачи с нулевыми финальными условиями (83). 6.5. Априорные оценки для решений смешанной краевой задачи (1,3) с нулевыми финальными условиями (87).6.6. Априорные оценки для решений смешанной краевой задачи (3,1) с нулевыми финальными условиями (89).
7. Априорные оценки решений второй краевой задачи и других
смешанных краевых задач с нулевыми начальными (финаль
ными) условиями
7.1. Априорные оценки для решений второй краевой задачи с нулевыми начальными (финальными) условиями (92). 7-2. Априорные оценки для решений смешанных краевых задач (3,2) и (2,3) с нулевыми начальными (финальными) условиями (93). 7.3. Априорные оценки для решений смешанных краевых задач (1,2) и (2,1) с нулевыми начальными (финальными) условиями (95).
8. Априорные оценки решений второй краевой задачи и смешанных краевых задач (1,2) и (2,1) с нулевыми начальными (финальными) условиями и однородным краевым условием
на правом конце
8.1. Априорная оценка для решений второй краевой задачи с нулевыми начальными условиями и однородным краевым условием на правом конце (97). 8.2. Ариорная оценка для решения второй краевой задачи с нулевыми финальными условиями и однородным краевым условием на правом конце (99). 8.3. Априорная оценка для решения смешанной краевой задачи (1,2) с нулевыми начальными условиями и однородным краевым условием на правом конце (101).8.4. Априорная оценка смешанной краевой задачи (1,2) с нулевыми финальными условиями и однородным краевым условием на нравом конце (102). 8.5. Априорная оценка для реше-
ния смешанной краевой задачи (2,1) с нулевыми начальными условиями и однородным краевым условием на правом конце (104).8.6, Априорная оценка смешанной краевой задачи (2,1) с нулевыми финальными условиями и однородным краевым условием на правом конце (105).
9. Априорные оценки решений краевых задач с начальными
условиями и с однородными краевыми условиями 107
9.1. Априорная оценка для решении первой краевой задачи с начальными условиями и с однородными краевыми условиями (107). 9.2. Априорная оценка для решения третьей краевой задачи с начальными условиями и с однородными краевыми условиями (111). 9.3. Априорная оценка для решения смешанной краевой задачи (1,3) с начальными условиями неоднородными краевыми условиями (117). 9.4. Априорная оценка для решения смешанной краевой задачи (3,1) с начальными условиями и с однородными краевыми условиями (122), 9.5. Априорные оценки для решений других краевых задач с начальными условиями и с однородными краевыми условиями (127).
10. Обобщенные решения первой краевой задачи с нулевыми
начальными (финальными) 128
10.1. Решение первой краевой задачи с нулевыми начальными (финальными) условиями (129).10.2. Решение первой краевой задачи с нулевыми начальными (финальными) условиями с закрепленным правым концом (130).
11. Обобщенные решения третьей краевой задачи и смешанных краевых задач (3,1) и (1,3) с нулевыми начальными
(финальными) условиями 132
11.1. Обобщенные решения третьей краевой задачи с нулевыми начальными (финальными) условиями (132). 11.2. Обобщенные решения смешанных краевых задач (1,3) и (3,1) с нулевыми начальными (финальными) условиями (134).
12. Обобщенные решения второй краевой задачи и других
смешанных краевых задач с нулевыми начальными (фи
нальными) условиями , . 137
12.1. Теоремы существования обобщенных решений краевых задач с нулевыми начальными (финальными) условиями и неоднородными краевыми условиями (137). 12.2.
Теоремы существования обобщенных решений краевых
задач с нулевыми начальными (финальными) условиями
и с однородными краевыми условиями на правом кон
це (139).
13. Обобщенные решения краевых задач с начальными усло
виями и с однородными краевыми условиями 142
лаваЗ. Задачи граничного управления и граничного
наблюдения. Классические решения 149
1. Постановки задач граничного управления 149
1.1. Управление колебаниями струны в условиях первой краевой задачи (149). 1,2. Управление колебаниями струны в условиях других краевых задач (150).
2. Решение задач управления методом Даламбера 151
2.1. Решение задачи управления в условиях первой краевой задачи (151). 2.2. Решение задачи управления в условиях третьей краевой задачи (156). 2.3. Решение задач управления в условиях других краевых задач (166).
3. Постановки задач граничного наблюдения 166
4. Решение задач наблюдения методом Даламбера 169
4.1. Решение задачи наблюдения в условиях первой краевой
задачи (169). 4.2. Решение задачи наблюдения в условиях
третьей краевой задачи (171). 4.3. Решение задачи наблюде
ния в условиях второй краевой задачи, краевых задач (2,3)
и (3,2) (174). 4.4. Решение задачи наблюдения в условиях
краевых задач (1,3), (3,1), (1,2) и (2,1) (175).
лава 4. Обобщенные решения задач граничного управ
ления и наблюдения в условиях первой краевой зада
чи 179
1. Постановки задач граничного наблюдения 179
2. Неединственность обобщенного решения задачи управле
ния 181
2.1. Неединственность решения задачи управления для
Г = l/а при управлении по двум границам (181). 2.2. Не
единственность решения задачи управления для Т — 21/а
при управлении по одной границе (184).
3. Управление колебаниями по двум границам при отсутст
вии ограничений на управления 186
3.1. Гашение колебаний для Т — 1/а (186). 3.2. Решение задачи о переводе покоящегося объекта в заданное состояние
для Т = І/а (187). 3.3. Обсуждение результатов о наименьшем периоде времени Т (188). 3.4. Решение задачи о переводе объекта из заданного состояния в заданное (190). 4. Управление колебаниями по одной границе объекта при
отсутствии ограничений на управления 191
4.1. Гашение колебаний для Т—21/а (191).4.2. Задача о переводе покоящегося объекта в заданное состояние для Т = 21/а (192). 4.3. Обсуждение результатов о наименьшем периоде времени Т (193). 4.4. Решение задачи о переводе объекта из заданного состояния в заданное (194). 5. Управление колебаниями объекта по одной границе при
ограничении на управление 195
5.1. Гашение колебаний (195). 5.2. Перевод объекта из заданного состояние в заданное (200). 6. Управление по двум границам колебаниями объекта при
ограничениях на управления 203
6.1. Гашение колебаний (204). 6.2. Решение задачи о переводе объекта из заданного состояния в заданное (208). 7. Решение задачи граничного наблюдения за колебаниями в
условиях первой краевой задачи 212
7.1. Постановка задачи граничного наблюдения и ее решение (212). 7.2. О неединственности решения задачи граничного наблюдения для обобщенных решений (214). 7.3. Конечномерные аппроксимации (216). 7.4. Сравнение результатов для конечномерных систем и систем с распределенными параметрами (218). лава 5. Обобщенные решения задач граничного управления и граничного наблюдения в условиях других
краевых задач 220
1. Обобщенные решения задач управления в условиях тре
тьей краевой задачи 220
1.1. Постановки задач (220). 1.2. Решение задачи гашения
колебаний (221). 1.3. Решение задачи перевода покоящегося
объекта в заданное состояние (222). 1.4. Решение общей за
дачи управления (224).
2. Обобщенные решения задач управления в условиях сме
шанных краевых задач (1,3) и (3,1) 226
2.1. Задачи управления в условиях смешанной краевой задачи (1,3) (226). 2.2. Задачи управления в условиях сме-
шанной краевой задачи (3,1) (231).
3. Обобщенные решения задач управления в условиях крае
вых задач с краевым условием второго рода 235
3.1. Задача управления в условиях второй краевой задачи (235). 3.2. Задача управления в условиях смешанных краевых задач (1,2) и (2,1) (236). 3.3. Задача управления в условиях смешанных краевых задач (2,3) и (3,2) (237).
4. Обобщенные решения задач граничного наблюденияза ко
лебаниями в условиях других краевых задач , 237
4.1. Постановки задач граничного наблюдения (237).4.2. Решение задачи граничного наблюдения в условиях третьей краевой задачи (238).4.3. Решение задачи граничного наблюдения в условиях смешанной краевой задачи (1,3) (241). 4.4. Решение задачи граничного наблюдения в условиях смешанной краевой задачи (3,1) (244). 4.5. Решение задачи граничного наблюдения в условиях краевых задач, с краевыми условиями второго рода (247). лава б. Задачи управления, связанные с телеграфными
уравнениями 249
1. Краевые задачи и задачи управления 249
1.1. Постановки задач (249).1.2. Сведение краевой задачи I к краевым задачам для волнового уравнения (251). 1.3. Сведение краевой задачи II к краевым задачам для волнового уравнения (254).
2. Классические решения краевых задач I и II 255
Решение краевых задач с начальными условиями (255).
Решение краевых задач с финальными условиями (258).
3. Классические решения задач управления 259
3.1. Решение задач гашения колебаний (259).3.2. Перевод покоящейся системы в заданное состояние (261). 3.3. Решение задач управления (262).
4. Обобщенные решения задач управления 263
4.1. Определения обобщенных решений краевых задач I и II (263). 4.2. Обобщенные решения краевых задач I и II с нулевыми начальными (финальными) условиями (264). 4.3. Решение задачи управления в условиях краевой задачи I (267). 4.4. Решение задачи управления в условиях краевой задачи II (268).
Список литературы 271
Введение к работе
Возможность перевода системы из любого заданного начального состояния в любое желаемое состояние за конечный промежуток времени, выбирая соответствующим образом управляющее воздействие, называется управляемостью. Возможность восстановления начального состояния системы по некоторой наблюдаемой линейной операции над ее выходом называется наблюдаемостью. Системы, обладающие свойством управляемости (соответственно, наблюдаемости) называются вполне управляемыми (соответственно, вполне наблюдаемыми).
В теории управления конечномерными системами известны критерии управляемости и наблюдаемости линейных конечномерных систем. А также известно, что задачи управляемости и наблюдаемости являются двойственными задачами. Принцип двойственности в задаче об управляемости и наблюдаемости конечномерных систем был установлен Р. Калманом.
Для бесконечномерных систем (в теории управления их называют системами с распределенными параметрами) решение задач управляемости и наблюдаемости гораздо сложнее, поскольку при этом необходимо учитывать функциональные свойства начального и финального состояния системы.
Исследования задач управления одномерными упругими колебаниями начались с работ А.Г. Бутковского (1963 г.). Затем, в начале 70-х годов, начиная с работ Ж.-Л. Лионса и А.В. Ба-лакришнана, при решении задач управляемости и наблюдаемости стали использоваться различные функциональные пространства (пространства непрерывных абстрактных функций, пространство абстрактных функций суммируемых с квадратом и т.д.). А.И. Егоров (1986 г.) предложил учитывать волновую природу колебательного процесса при решении задачи гашения колебаний, описываемых волновым уравнением, системой телеграфных уравнений и в задаче управления колебаниями газа в длинном трубопроводе. В последние годы в работах В.А. Ильина проблемы граничной управляемости колебаниями, описываемыми уравнением
utt{x-,i) — uxx(x,t) = О, в классе обобщенных решений W^IQi^t) были детально проработаны с учетом функциональных свойств начального и финального состояния системы и в явном аналитическом виде получены граничные управления, задающие краевые условия первого рода, которые решают задачу управляемости.
Пространство H^fQ^r) — пространство функций с конечной энергией, введенное В.А. Ильиным, представляет собой совокупность функций, непрерывных в замкнутом прямоугольнике Qi т = [0 ^ х ^ /] х [0 ^ t ^ Т], имеющих обобщенные частные производные первого порядка, каждая из которых принадлежит классу 1/2[0,/] ПРИ любом фиксированном t из сегмента [0,Т] и принадлежит классу 2[0, Т] при любом фиксированном х из сегмента [0,/].
В работах В.А. Ильина для обобщенных решений волнового и телеграфного уравнений были получены в явном виде управляющие воздействия — граничные смещения (краевые условия первого рода), переводящие колебательную систему из заданного начального состояния, принадлежащего пространству И^О,/] хХ2[0,/], в заданное финальное, также принадлежащее этому пространству. Проанализированы условия полной управляемости колебательной системы.
Задача наблюдаемости линейных колебательных систем в достаточно общем виде была сформулирована Ж.-Л. Лионсом, им был предложен метод решения для случая, когда наблюдение осуществляется с помощью граничных условий второго рода. Эта же задача Ф.П. Васильевым, М.А. Куржанским и М.М. Потаповым решалась с помощью метода прямых в классе непрерывных абстрактных функций.
В диссертационной работе автором по аналогии с пространст-вом W^iQij1), вводится пространство L2(Qi,t) — пространство функций, принадлежащих L2(Qi,t), а также принадлежащих пространству г[0,/] при любом t из сегмента [0,Г] и принадлежащих пространству 1*2[О, Т] при любом х из сегмента [0,/]. Задачи наблюдаемости и управляемости решаются в этом классе функций для краевых условий первого, второго и третьего рода.
Волновым уравнением описывается процесс колебаний струны, продольные колебания стержней и пружин, крутильные колебания длинных стержней, колебания давления в длинных газопроводах, колебания напряжения и силы тока в электрических проводах и
т. п. процессы. Поэтому в дальнейшем будем говорить о колебаниях объекта.
Сформулируем более точно задачи управления и наблюдения для волнового уравнения, которые решаются в работе.
Задача управления. Объект, процесс колебания которого описывается волновым уравнением
utt(x,t) - a2uxx(x,t) ~ 0, (x,t) eQi,T, (0.1)
необходимо перевести из начального состояния
и(х,0) = (р(х), щ(х,0)=ф(х), 0 < х < /, (0.2)
в финальное состояние
и(х,Т) = tpi(x), щ{х,Т) =фі(х), 0 < х ^ /,
с помощью управлений ji(t) и //(), которые задаются краевыми условиями первого, второго или третьего рода па границах х = 0 и х = I прямоугольника Qi,t = {(ж,ґ):0<^t < Т} соответственно.
Задача наблюдения. Найти начальное состояние (0.2) объекта, процесс колебаний которого описывается волновым уравнением (0.1) с однородными краевыми условиями первого второго или третьего рода по результатам наблюдения на границах х = 0 и х ~ I прямоугольника Qi,t-
ux{0,t) = y1{t), или u(0,t) = y1{t), ux(l,t) = y2{t), или u(l,t) = y2(t),
в зависимости от того какого рода краевые условия заданы на этих границах.
Обе задачи решаются в классе обобщенных решений u(x,t) из
Объектом исследований являются системы, процесс колебаний в которых описывается волновым уравнением или системой телеграфных уравнений со специальным образом выбранными коэффициентами.
Целью диссертационной работы является решение задач управляемости и наблюдаемости для объектов, процесс колебаний которых описывается волновым уравнением или системой телеграфных уравнений в классе обобщенных решений L2(Qi,t) с краевыми условиями первого, второго и третьего рода.
Методы исследования основаны на априорных оценках классических решений различных типов краевых задач для волнового
уравнения, с помощью которых доказываются теоремы существования обобщенных решений класса L2{Qi,t)- В работе использован аппарат современного математического и функционального анализа.
Диссертационная работа состоит из введения и шести глав.
В первой главе дан обзор литературы по управлению упругими колебаниями и введены необходимые для изложения дальнейшего материала функциональные пространства. По аналогии с введенным В.А. Ильиным пространством W\(Qi,t) вводится про-странство L2(Qi,t)- Производные функций пространства L>2(Qi,t) трактуются в обобщенном смысле. Поэтому определяются пространства обобщенных функций, соответствующие краевым задачам различных типов для волнового уравнения.
Во второй главе приводятся постановки неоднородных краевых задач и их классические решения. Определяются обобщенные решения класса L2(Qi,t) различных типов краевых задач и доказываются теоремы единственности этих обобщенных решений.
В 5-8 устанавливаются априорные оценки для классических решений краевых задач с нулевыми начальными (финальными) условиями и неоднородными краевыми условиями или однородным краевым условием на правом конце. В 9 получены априорные оценки классических решений краевых задач с начальными условиями и однородными краевыми условиями различных родов.
В 10-13 с помощью полученных априорных оценок доказываются теоремы существования обобщенных решений класса ^2{Яі,т) краевых задач для волнового уравнения.
В третьей главе приводятся постановки задач граничного управления и граничного наблюдения для классических решений различных типов краевых задач. С помощью формулы Даламбера даются решения поставленных задач. В каждом из рассмотренных случаев решения задач управления и наблюдения получены в замкнутой форме.
В четвертой главе получены обобщенные решения класса L2(Qi,t) задач граничного управления и граничного наблюдения для краевых условий первого рода. Для решения задачи граничного управления с краевыми условиями первого рода используются обобщенные решения первой краевой задачи с нулевыми начальными и финальными условиями, полученные в главе 2. В классе обобщенных решений доказана неединственность решения задачи
управления — граничные управления находятся с точностью до произвольной константы. В 3 и 4 решена задача управления при отсутствии ограничений на управление, в 5 и 6 решена задача управления, когда на нормы управляющих функций наложены ограничения типа неравенств.
В 7 решена задача граничного наблюдения — по результатам наблюдения ux(Q,t) = у1 {і) и ux(l,t) = y2(t) восстанавливается начальное состояние системы. Доказана неединственность решения задачи наблюдения, а именно, и(х,0) определяется с точностью до произвольной константы, щ(х,0) определено однозначно.
В этом параграфе дано сравнение результатов решения задачи граничного наблюдения с результатами решения соответствующей задачи для конечномерных систем, являющихся конечномерными аппроксимациями первой краевой задачи.
В пятой главе сформулированы задачи граничного управления для краевых условий других родов (вторая краевая задача, третья краевая задача, смешанные краевые задачи) и даны их решения. При решении задач управления использовались обобщенные решения класса -^2(^(,г) соответствующих краевых задач, полученные в главе 2. Решения задач управления единственны.
В 4 решены задачи граничного наблюдения для однородных краевых условий различных родов. Решение задачи наблюдения также единственно в каждом рассмотренном случае.
В шестой главе решается задача управления для системы телеграфных уравнений со специальным образом выбранными коэффициентами, что соответствует случаю распространения сигнала по линии без искажений. Формулируется два типа краевых задач с однородным краевым условием на правом конце. Для этих краевых задач определяются классические решения и обобщенные решения класса L2{Qi,t)-
Решения задач управления с различными краевыми условиями приводятся для классических и обобщенных решений. Имеет место единственность решения всех задач управления.
Таким образом, новыми результатами, которые выносятся на защиту, являются:
t метод априорных оценок классических решений различных типов краевых задач для волнового уравнения;
теоремы существования обобщенных решений из L2{Qi,t) краевых задач для волнового уравнения;
решения задач граничного управления с краевыми условиями разных родов для волнового уравнения в классе обобщенных решений из L2{Qi,t) и неединственность решения задачи граничного управления с краевыми условиями первого рода;
решения задач граничного управления с краевыми условиями первого рода с ограничениями на норму управления;
решения задач граничного наблюдения с однородными краевыми условиями разных родов для волнового уравнения в классе обобщенных решений из L2{Qi,t) и неединственность решения задачи граничного наблюдения для краевых условий первого рода;
обобщенные решения задач граничного управления для системы телеграфных уравнений.
Практическая значимость. Предлагаемые методы и подходы открывают новые возможности для эффективного решения различных задач управления объектами, описываемыми гиперболическими дифференциальными уравнениями в частных производных. Результаты, полученные в работе, используются в научных исследованиях, проводимых в Исследовательском центре процессов управления Института программных систем РАН. Некоторые разделы диссертационной работы используются при чтении курсов по кафедре математики и кафедре системного анализа Института программных систем — «Университета города Переслав-ля», а также используются при написании курсовых и дипломных работ.
Результаты диссертации являются составной частью исследований, выполняемых в Институте программных систем РАН в рамках
темы фундаментальных исследований «Управление в системах с распределенными параметрами» номер государственной регистрации 01.200.1.11812;
грантов Российского фонда фундаментальных исследований: 00-01-00731, 01-01-00121, 03-01-14079, 04-01-00461.
По теме диссертации опубликовано 14 работ [47-58, 146, 147] из них 1 монография [54], вышедшая в 2004 г. в издательстве ФИЗМАТЛИТ, 2 статьи [57, 147] в сборниках, вышедших в издательстве «Физматлит» в 2004 г. и 6 статей [47, 48, 51, 52, 55, 56] в центральных журналах.
Основные результаты диссертации докладывались на
- XII Байкальской международной конференции «Методы оп-
тимизации и их приложения» (Иркутск, 2001);
—XII и XV конференциях «Современные методы в теории краевых задач «Понтрягинские чтения» (Воронеж, 2001, 2004);
Всероссийской научной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2001);
Международном симпозиуме «Обобщенные решения в задачах управления» (Переславль-Залесский, 2001);
International Conference «Differential Equations and Related Topics» dedicated to I.G, Petrovskii (Москва, 2004);
IFAC Workshop and Satelite Ivents «Generalized Solutions in Control Problems» (Переславль-Залесский, 2004);
семинаре кафедры Общей математики факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета (рук. академик РАН В.А. Ильин, проф. А.А. Дез-ин, академик РАН Е.И. Моисеев, 2003-2004 гг.);
семинаре Исследовательского центра процессов управления Института программных систем РАН (рук. д.т.н., проф. В.И. Гурман, 2001-2004);
семинаре «Методы оптимизации» кафедры Оптимального управления факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., профессор Ф.П. Васильев, 2004).
В работе используется следующая система нумерации. В каждой главе формулы, теоремы и т.д. имеют двойную нумерацию: первое цифра — номер главы, вторая — порядковый номер формулы, теоремы и т. д. Список литературы в алфавитном порядке вынесен в конец работы.
Автор выражает благодарность академику РАН В.А. Ильину за постановки задач, постоянное внимание к работе, многочисленные консультации и обсуждения в ходе ее выполнения.
Автор считает своим долгом выразить благодарность руководителю Исследовательского центра процессов управления ИПС РАН профессору В.И. Гурману за постоянную поддержку исследований.